Esame di Calcolo Numerico per Informatica A.A. 2010/11
Proff. S. De Marchi e M. R. Russo
19 settembre 2011
• L’esame consiste di 4 domande aperte e 10 esercizi a risposta multipla.
• Per gli esercizi ci sono tre risposte etichettate con le lettere A, B, C. Riportare la correspondente lettera nella
griglia finale. Non sono ammesse cancellazioni o correzioni alle risposte della griglia .
• Non è ammesso l’uso di appunti, libri e qualsiasi tipo di calcolatrice e/o pc (incluso i cellulari
che devono essere spenti e riposti sopra il tavolo).
• Tempo: 2 ore e 30 minuti.
1 Si consideri un metodo di punto fisso xk = g(xk−1 ), k ≥ 1. Quale condizione deve essere verificata affinchè il
metodo ammetta un’unico punto fisso? Si dia un esempio di funzione d’iterazione avente un unico punto fisso.
Risposta. Si richiede che la funzione g sia una contrazione. Ovvero esiste L < 1 tale che |g(x)−g(y)| < L|x−y|, ∀x, y.
Una funzione, banale, che ammette un unico punto fisso è g(x) = ax + b con a 6= 1 il cui punto fisso è b/(1 − a) per
ogni scelta di b.
2 Cos’è il numero di condizionamento in norma 2 di una matrice? Si faccia vedere inoltre che, se la matrice A è
simmetrica, vale kAk2 = ρ(A).
Risposta. κ2 (A) = kAk2 kA−1 k2 . Sappiamo inoltre che kAk2 =
che ρ(A2 ) = ρ2 (A) e quindi concludere che kAk2 = ρ(A).
p
ρ(AT A). Se A è simmetrica, è facile osservare
3 Il polinomio di Taylor
tn (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) + · · · +
(x − x0 )n (n)
f (x0 )
n!
corrisponde al polinomio d’interpolazione in forma di Newton di una funzione f , quando i punti d’interpolazione
collassano nel punto x0 . Ma chi è il polinomio d’interpolazione in forma di Newton di una funzione f ?
Risposta. Il polinomio d’interpolazione in forma di Newton è pn (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f [x0 , x1 ] + · · · + (x −
x0 ) · · · (x − xn−1 )f [x0 , . . . , xn ] con f [x0 , . . . , xk ], k = 0, ..., n − 1 la differenza divisa di ordine k della funzione
f.
1
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4 Si scriva una function Matlab per implementare il metodo d’iterazione di punto fisso x = g(x) che, richiedendo
in ingresso la funzione g, il valore iniziale x0, una tolleranza prefissata tol e un numero massimo di iterazioni
maxit, restituisca il valore del punto fisso x e il numero di iterazioni effettuate iter.
function [x, iter]=MetIterazioneFunz(g, x0, tol, maxit)
%-------------------------------------% Metodo d’iterazione funzionale
%-------------------------------------% Inputs
% g: funzione d’iterazione
% x0: guess iniziale
% tol: tolleranza
% maxit: numero massimo d’iterazioni
%
% Outputs
% x: soluzione
% iter: iterazioni fatte
%---------------------------------------x1=g(x0); k=1;
while abs(x1-x0) > tol*abs(x1) & k <= maxit
x0=x1;
x1=g(x0);
k=k+1;
end
% Se converge, x0 oppure x1 contengono il valore
% dello zero cercato.
iter=k-1;
x=x1;
return
1. Si consideri la serie del coseno
cos x = 1 − x2 /2! + x4 /4! − x6 /6! + x8 /8! − · · · .
Valutare cos( 1) il cui valore, arrotondato a 2 decimali, è 0.540. Quanti termini della serie sono necessari per
approssimare cos(1) con errore assoluto ≈ 1.7 · 10−3 ?
A 3
B 4
C 5
Risposta A. Infatti, 1 − 1/2 + 1/24 ≈ 0.54
2. Il polinomio cubico p3 (x) = x3 − 3x2 + 3 ha una radice reale α > 0. Qual è l’intervallo separatore di tale radice?
Si dia anche una stima di α con una una cifra decimale usando come iterazione il metodo di Newton.
A [-0.5, 0], α ≈ −0.3
B [1, 1.5], α ≈ 1.3
C [1, 1.5], α ≈ 1.6.
Risposta B. p3 (1) = 1 > 0 e p3 (3/2) = −3/8 < 0. Usando Newton partendo da x0 = 1 si ha x1 = 1−1/(−3) =
4/3 ≈ 1.3.
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3. Data la funzione f (x) = 1 − ex−1 . Per calcolare la radice x∗ = 1, quale tra le seguenti 3 funzioni d’iterazione
converge con ordine almeno quadratico?
A g1 (x) = xex−1
B g2 (x) = x − 1 + e1−x
C g3 (x) = 1 + log(x + 1)
gi0 (1)
Risposta B. Basta verificare quale
= 0, i = 1, 2, 3. Ma g2 (x) altro non è che la funzione d’iterazione del
metodo di Newton. Infatti, g20 (x) = 1 − e1−x che per x = 1 si annulla.
4. Si consideri, al variare del parametro a > 1, la matrice
1 1+a
A=
.
−2 −1
Calcolare kA−1 k∞ (che dipenderà da a).
A kA−1 k∞ = (a + 2)/(2a + 1)
B kA−1 k∞ = 3/(2a + 1)
C kA−1 k∞ = a/(2a + 1)
Risposta A. Infatti
A−1 =
5. Data la matrice
1
2a + 1
α
A= 0
β
0
β−α
0
−1
2
−(1 + a)
1
.
β
0 , α < 0, β > 0 .
α
Dire, testando una condizione sufficiente, quando l’associata matrice del metodo iterativo di Jacobi risulta
convergente.
A |α| < 1 B α/β < −1 C β > −α
Risposta C. L’associata matrice di Jacobi è
0
J = 0
β
−α
β
0 −α
0
0 ,
0
0
Guardando alla norma infinito si conclude. Si possono anche calcolare gli autovalori di J e il risultato è
(ovviamente) lo stesso.
6. Sia p2 (x) il polinomio d’interpolazione di grado 2 della funzione f (x) = 1 + sin (x − π/2) costruito su nodi
equispaziati di [0, π/2]. Si fornisca una maggiorazione dell’errore assoluto |f (x) − p2 (x)|, ∀ x ∈ [0, π/2] (il
risultato sia arrotondato a 2 cifre decimali, usando l’approssimazione π/2 ≈ 1.57).
A 0.32
B 0.03
C 0.59
Risposta B. Quando i nodi sono equispaziati vale la maggiorazione
|f (x) − p2 (x)| ≤
h3
max |f 3 (x)|, ∀ x ∈ [0, π/2]
4 ∗ 3 x∈[0,π/2]
con h = π/4 ≈ 0.7. Essendo maxx∈[0,π/2] |f 3 (x)| = 1 si conclude che la risposta voluta è la B.
7. I polinomi ortogonali di Chebyshev di primo tipo soddisfano la ricorrenza
T0 (x) = 1, T1 (x) = x, Tn (x) = 2xTn−1 (x) − Tn−2 (x), n ≥ 2 .
Qual è il coefficiente del monomio di grado massimo per n = 20 e qual è il grado del terzo monomio di T20 (x)?
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A 221 , 17
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B exp(19 log(2)), 16
C 262144, 20
Risposta B. Infatti, il coefficiente del monomio di grado massimo è della forma 2n−1 . Per n = 20 si ottiene
219 = exp(19 log(2)). Il grado del terzo monomio è pertanto 16.
8. Usando la formula dell’errore di quadratura per la regola dei trapezi
R1 (f ) = −
(b − a)3
f 00(ξ)
12N 2
trovare il valore
minimo di sottointervalli N in modo da avere un errore di approssimazione minore di 10−4 per
R 1 −x
2
il calcolo di 0 e
dx.
A 41
B 100
C 11
Risposta A.
(b − a)3
1
f 00 (ξ) ≤
max |f 00 (x)|
|R1 (f )| = 2
12N
12N 2 [1,2]
2
f 0 (x) = −2xe−x ,
2
f 00 (x) = (−2 + 4x2 )e−x
⇒
max |f 00 (x)| = 2
[0,1]
|R1 (f )| ≤
2
< 10−4
12N 2
per N 2 >
104
,
6
102
N > √ ≈ 40.8
6
9. Si consideri la seguente formula di quadratura
Z 2
2
f (x)dx ≈ α1 f (0) + α2 f (−c) + f (c) .
3
−2
Valutare i parametri reali α1 , α2 e c > 0 in modo che la formula di quadratura abbia ordine di precisione
almeno 2.
q
8
A 23 , 32 , 21
B 2, 32 ,
C 13 , 29 , 49
3
Risposta B. Si determinano i parametri α1 , α2 , c imponendo che la formula sia esatta per i polinomi 1, x, x2 .
Si ottengono allora le seguenti equazioni
α1 + 32 α2 − 3 = 0
− 2 α2 c + c = 0
23 2
16
2
3 α2 c + c − 3 = 0
dalle quali, dovendo essere c > 0, si ottengono i seguenti valori delle soluzioni:
α1 = 2,
3
α2 = ,
2
r
α3 =
8
.
3
10. Trovare i coefficienti a e c in modo che la funzione y(x) = a x2 + c approssimi i punti
√
√
√
( 7, 1)
( 2, 0)
( 3, −1)
nel senso dei minimi quadrati.
A
1 2
8, 3
B
2 1
3, 3
C
2
7,
− 87
Risposta C.
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Si deve determinare la funzione polinomiale di grado n = 2, g(x) = a0 + a1 x + a2 x2 dove a1 = 0 e a0 ed a2
sono le componenti della soluzione x = (a0 , a2 )T del sistema ai minimi quadrati
AT A a = AT b
con
1
A= 1
1
da cui
AT A =
7
2 ,
3
3 12
12 62
1
b= 0
−1
AT b =
,
0
4
Si ottiene pertanto il sistema lineare di ordine 2
3 12
a0
0
=
12 62
a2
4
che risolto fornisce a0 = − 78 , a2 = 27 , quindi
y(x) =
1 2
A B
3
B
4
A
2 2 8
x −
7
7
5 6
C B
7
B
8 9
A B
10
C
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