Paradosso dei condensatori e dell`energia

Paradosso dei condensatori e dell’energia
mancante.
A cura di Eugenio Amitrano
Contenuto dell’articolo:
1.
Introduzione
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2
2.
Descrizione del paradosso .
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2
3.
Dimostrazione
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3
4.
Conclusioni .
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4
Paradosso dei condensatori e dell’energia mancante.
1. Introduzione
Il presente articolo vuole dimostrare matematicamente l’inesistenza del paradosso
dei condensatori e dell’energia mancante, che spesso gli studenti di elettronica
incontrano durante il loro percorso di studio.
2. Descrizione del paradosso
Dati due condensatori di pari capacità Ci , il primo carico, del quale misuriamo ai
suoi capi una tensione Vi e il secondo completamente scarico.
L’energia immagazzinata nel condensatore carico, corrisponde al lavoro svolto per
caricarlo, ed è data dalla seguente formula:
Ei 
1
2
Ci  Vi
2
Cosa succede, quando colleghiamo i due condensatori fra loro?
Da semplici considerazioni fisiche, è facile verificare che:
1) La capacità raddoppia C f  2  Ci
1
2
2) La tensione dimezza V f  Vi
Se proviamo a calcolare nuovamente l’energia, notiamo qualcosa che non quadra:
2
1
1
1
1
1 
2
2
E f  C f  V f  2  Ci    Vi    Ci  Vi  Ei
2
2
4
2
2 
Visto che idealmente non ho considerato nessuna resistenza, la domanda è che fine
ha fatto metà dell’energia iniziale?
Molto spesso ci si accontenta del paradosso, ma la risposta corretta alla precedente
domanda è che l’energia mancante, in realtà si è dissipata.
Eugenio Amitrano
2
Paradosso dei condensatori e dell’energia mancante.
3. Dimostrazione
Consideriamo il seguente circuito.
La potenza elettrica per il calcolo dell’energia dissipata da una resistenza elettrica,
istante per istante, è data dalla formula Pt   R  I 2 t  da cui l’energia dissipata è
W   Px   dx   R  I 2 x   dx .
t
t
0
0
W   R  I 2 x   dx
t
(1)
0
Nel nostro caso reale la corrente ë variabile nel tempo ed è data dalla relazione:

d Vi  C f

dQ(t )
I t  
 
t
t


RC f

 1 e


t
t



RC f


d 1 e



 Vi  C f  
t


t

t

RC f
Vi  RC f
  V C  e
 e
i
f
RC f
R
2t
(2)
V 
I t   i  e RCi
R
1
2
Considerando che con la presenza della resistenza risulta C f  Ci
Sostituendo la relazione (2) nella relazione (1), otteniamo:
2x
 V  RC
i

W   R  I x dx   R 
e i
0
0
R

t
2
t
2
t
4x
4x
4t
2
2 






 dx  Vi  t e RCi dx  Vi   RC i  e RCi   1 C V 2 1  e RCi
i i


R 0
R  4

 0 4

(3)
4t


1
2
RCi
W  CiVi 1  e

4





Non possiamo calcolare l’intensità di corrente e di conseguenza nemmeno l’energia
dissipata per valori di R  0 , ma possiamo farlo nel suo intorno.
Osserviamo cosa succede quando i valori di R  0 :
Eugenio Amitrano
3




Paradosso dei condensatori e dell’energia mancante.
4t


1
2
W  lim . C i  Vi 1  e RCi
R 0 4


Quindi l’energia dissipata è sempre
 1
  C V 2
 4 i i

1
2
C i  Vi .
4
Come Volevasi Dimostrare.
4. Conclusioni
La dimostrazione del paradosso è di natura puramente matematica. Non sono stati
presi in esame i reali effetti fisici e comportamenti del fenomeno.
Eugenio Amitrano
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