FISICA GENERALE II
FORMULARIO di ELETTROMAGNETISMO
1) Elettrostatica
= o r = costante dielettrica assoluta ; r = costante dielettrica relativa
Nel vuoto( e nella maggior parte dei gas, condizioni STP)r 1
−
→
Legge di Coulomb nel vuoto : F =
1 q1 q2
r̂
4πo r 2
−
→
−
→
F
−
→ dF
−
→
o E =
Campo elettrostatico : E =
q
dq
P −
→
→ −
Potenziale : forma integrale :V (P1 ) − V (P2 ) = P12 E · dl
−−→
−
→
−
→
forma differenziale : E = −grad V = − ∇ V
Conservativitá del campo elettrostatico
−
→
→ −
Forma integrale : E · dl = 0
−
→ −
→
Forma differenziale : ∇ × E = 0
Campo elettrostatico e potenziale generati da :
1 q
1 q
−
→
-carica isolata puntiforme : E =
r̂
V =
2
4π r
4π r
1 qi
1 qi
−
→
r
ˆ
V
=
-distribuzione discreta di carica : E =
i
4π i ri2
4π
ri
ρdτ
ρdτ
1
1
−
→
-distribuzione continua di carica : E =
r̂
V =
2
4π Ω r
4π Ω r
Dipolo elettrico
→
→
1 −
1 −
p ·−
r
−
→ 1
→
=
−
p
·
∇( )
3
4π r−
4π
r
−
→
→
p
1 3( →
p ·−
r )−
−
→
→
r − 3]
Campo
: E =
[
4π
r5
r
−
→
→
Energia del dipolo in un campo esterno : U = −−
p ·E
−
→
−
→
−
→ → −
→
Forza agente su un dipolo costante: F = − ∇ U = ∇ (−
p · E)
−
→
→
→
Momento meccanico agente : −
τ =−
p ×E
Potenziale : V =
1
Legge di Gauss
−
Qint
→
E · n̂ dS =
Σ
o
ρ
−
→ −
→
Forma differenziale : ∇ · E =
o
Forma integrale
:
(Σ superficie chiusa)
Conduttori
−
→
• E int = 0
•conduttore è sempre equipotenziale
σ
−
→
•campo in vicinanza di un conduttore(Teorema di Coulomb): E = n̂
o
dF
σ2
•forza per unitá di superficie su un conduttore :
=
dS
2o
Equazione del potenziale elettrostatico
ρ
Equazione di Poisson : ∇2 V = −
o
Equazione di Laplace : ∇2 V = 0 (dove ρ = 0)
Condensatori
Q
Definizione di capacitá : C =
∆V
S
Capacitá cond. piano : C = d
Capacitá cond. cilindrico : C = 2π
Capacitá cond. sferico :
Condensatori in parallelo :
Condensatori in serie :
Energia del condensatore :
Forza tra armature :
(cond.piano)
L
log(rest /rint )
rint rest
C = 4π
rest − rint
C = C1 + C2 + ... + CN
1
1
1
1
=
+
+ ... +
C
C1 C2
CN
1
1
1 Q2
U = Q ∆V = C ∆V 2 =
2 2
2
2C
Q
F =
2S
Energia elettrostatica
Energia distribuzione discreta : U =
1
1 1 qi qj
=
qi Vi
2 4π
rij
2 i
i,ji=j
(Vi potenziale
di tutte le cariche = i)
1
Energia distribuzione continua : U =
ρV dτ
2
1
Qi Vi
Energia sistema conduttori
: U=
2 i
(Vi potenziale conduttore i con carica Qi )
1−
→ −
→ 1
Densitá energia del campo
: u = E · D = o r E 2
2
2
Densitá energia interazione di un dielettrico in un campo esterno:
1−
→ −
→ 1
u = E · D = o r E 2
2
2
2) Correnti stazionarie
−
→
→
→
: j = nq −
v =ρ−
v
∂ρ
−
→ −
→
Equazione di continuitá : ∇ · j = − (ρ=densitá di carica)
∂t
dq
−
→
=
Intensitá di corrente
: i=
j · n̂ dS
dt
Σ
−
→
−
→
Legge di Ohm (forma locale) : j = σ E (σ=conducibilitá)
per elemento finito : V = R i
l
1 l
= ρs
Resistenza conduttore di sezione costante : R =
σS
S
N resistenze in serie : R = R1 + R2 + ... + RN
1
1
1
1
=
N resistenze in parallelo :
+
+ ... +
R
R1 R2
RN
Leggi di Kirchhoff - legge dei nodi : i
=
0
k k
i
R
=
legge delle maglie :
k
k
k
k Vk
Effetto Joule(potenza P = dW/dt,W =energia):
→
−
→ −
in forma locale : dP = j · E dτ
conduttore finito : P = V i = i2 R
Densitá di corrente
3
3) Magnetismo
Magnetostatica nel vuoto
→
→
v ×−
r
−
→ µo −
q
Campo generato da una carica in moto : B =
3
4π
−
→ r−
dl × →
r
−
→ µo
Campo generato da una corrente :
B =
i
3
4π
r
−
→ µo i
τ̂
-filo rettilineo indefinito
: B =
2π r
R2
−
→ µo
-spira circolare ( sull’asse !) : B = i k̂
2
(R2 + z 2 )3
Nspire
]
-interno solenoide indefinito : B = µo i n [n =
L
→ −
−
→ −
→
Forza agente su una corrente : F = i dl × B
−
→
−
→
→
Forza su carica in moto(Forza Lorentz) : F = q −
v ×B
Equazioni della magnetostatica nel vuoto:
−
→ −
→
−
→
∇· B =0
;
B · n̂dS = 0
Σchiusa
−
→
−
→ −
→
→ −
−
→
∇ × B = µo j
;
B · dl = µo iconc
−
→
→
m·B
Energia dipolo in campo esterno : U = −−
−
→ → −
→
Momento agente su dipolo in campo esterno : M = −
m×B
Momento magnetico e momento angolare di una
q −
→
→
L
carica q, massa m, in moto circolare uniforme: −
m=
2m
Precessione (di Larmor) in campo esterno:
qB
ωL =
m
Potenziale vettore
−
→ −
→ −
→
Definizione : B = ∇ × A
−
→
−
→
Equazione del potenziale : ∇2 A = −µo j
→
→
m ×−
r
−
→ µo −
Potenziale generato da un dipolo : A =
4π
r3
Proprietá magnetiche della materia
→
∆−
m
−
→
: M = lim∆τ →0
∆τ
(momento dipolo per unitá di volume)
Vettore magnetizzazione
1 χ −
→
−
→
−
→
B =χ H
M =
µo 1 + χ
mezzo isotropo e lineare :
4
Suscettivitá magnetica: χm = χdia + χpar −µo
NZe2 < r 2 >
N m2o
+ µo
6me
3 kT
→
−
→ −
→ 1−
Vettore campo magnetico H : H = M
χ
−
→ −
→ −
→
−
→
−
→
−
→
Relazione fra B e H : B = µo H + µo M = µo µr H
: µr = χ + 1
−
→
Correnti di magnetizzazione : jsup = M × n̂
−
→ −
→
: jvol = ∇ × M
Equazioni della magnetostatica nei mezzi materiali
−
→ −
→ −
→ −
→ −
→
∇ × H = j libere
;
H · dl =
iconc
−
→ −
→
−
→
∇· B =0
;
B · n̂dS = 0
Σchiusa
Condizioni di continuitá all’interfaccia fra due mezzi
Ht1 = Ht2 ; Bn1 = Bn2
4) Campi variabili
Campi quasi-statici
Legge di Faraday-Neumann
−
d
dΦ
→
−
→
→ −
=−
B · n̂dS
Forma integrale : E · dl = −
dt
dt Σ
−
→
∂B
−
→ −
→
Forma locale : ∇ × E = −
∂t
Coefficiente di mutua induzione fra due circuiti :
Φ2 = M12 i1 ; Φ1 = M21 i2 ; M12 = M21
Coefficiente di autoinduzione
:Φ = Li
Induttanza solenoide : L = µo n2 l S
Energia magnetica
1
Φk ik
2 k
1−
1 B2
→ −
→ 1
2
Densitá energia del campo : u = H · B = µo µr H =
2
2
2 µo µr
1 2
Energia induttore
: U= Li
2
Energia sistema circuiti
: U=
5
5) Circuiti elettrici
Grandezze variabili sinusoidalmente e fasori :
i = io cos(ωt + φ) ≡ [io exp (iφ) exp (iωt)] = [I]
I = I˜o e(iωt) ; I˜o = io eiφ
dq
q
Circuito RC
:R + =V
dt C
Carica C : q = CV (1 − exp (−t/τ ) ; τ = RC
Scarica C : q = qo exp (−t/τ )
di
+R i=V
dt
V
Extracorrente chiusura : i = (1 − exp (−t/τ ) ; τ = L/R
R
V
Extracorrente apertura : i = exp (−t/τ )
R
Circuito RL
:L
d2 i
1
di
+R + i=V
2
dt
dt C
1
Frequenza di risonanza : ωr = 2πνr = √
LC
Impedenze complesse :
resistenza : Z = R
1
capacitá : Z =
iωC
induttanza : Z = iωL
Circuito RLC serie
: L
6) Onde elettromagnetiche
Equazioni di Maxwell
Forma differenziale
−
→ −
→
∇·D =ρ
−
→ −
→
∇· B =0
−
→
∂B
−
→ −
→
∇ × E =−
∂t
−
→
−
→ −
→ −
→ ∂D
∇×H = j +
∂t
Forma integrale
−
→
D · n̂dS = Qi nt
Σ −
→
B · n̂dS = 0
Σ
−
∂
→ ˆ
−
→
E · dl = −
B · n̂ dS
Γ
∂t Σ
−
∂
→ ˆ −
−
→
→
H · dl = Σ j · n̂ dS +
D · n̂ dS
Γ
∂t Σ
−
→
−
→ ∂D
Densitá corrente di spostamento : j =
∂t
−
→
−
→
Legge di Ohm(per conduttori) : j = σ E
Caratteristiche generali propagazione per onde
1 ∂2φ
=0
v 2 ∂t2
1 ∂2φ
∂2φ
−
=0
Equazione delle onde (1D) :
∂z 2
v 2 ∂t2
Equazione delle onde (3D) : ∇2 φ −
6
parametri dell’onda sinusoidale :
ω
2π
=
numero d’onda : k =
λ −−−−
v −−−−−−−−→
−
→
vettore d’onda : k = k (versore propag.)
v
lunghezza d’onda : λ =
ν
pulsazione : ω = 2πν
onda piana sinusoidale progressiva(1D) :
φ = φ0 sin(kz − ωt) ≡ φ0 ei(kz−ωt)
onda sferica sinusoidale progressiva(1D) :
−
→−
φ0
→
−
→ →
φ=
sin( k · −
r − ωt) = φ0 ei( k · r −ωt)
r
Caratteristiche delle onde elettromagnetiche
1
c
; c= √
Velocitá di propagazione(fase) : v = √
r µr
o µo
−
→ −
−
→
Trasversalitá onde e.m. : E = →
v ×B
Onda piana (polarizzata asse-x) :
E = Ex = Eo sin(kz − ωt)
B = By = Bo sin(kz− ωt)
µo
377Ω
Eo = vBo = Zo Ho ; Zo =
o
c
dω
Velocitá di gruppo : vg =
=
dn
dk
n(ω) + ω
dω
Effetto Doppler (c=velocitá onda e.m.):
1 − (voss /c) cos θ
ν = ν 2 /c2
1 − vsor
Effetto Doppler nel moto collineare(non relativistico, v=velocitá onda):
v − voss
ν
ν =
v − vsor
Energia e impulso dell’onda
1
B2
1
Densitá di energia : u = E 2 + µH 2 = E 2 =
2
2
µ
(energia per unitá di volume)
−
→ −
→ −
→
Vettore di Poynting : P = E × H
→
−
Intensitá (istantanea)dell’onda : I = P = vE 2 = vu
(potenza per unitá di superficie)
Intensitá (media) dell’onda(sinusoidale) : < I >= v
−
→
P
−
→
Quantitá di moto dell’onda : p = uon k̂ =
v
(per unitá di superficie e unitá di tempo)
7
E2
2
Dipolo elettrico oscillante
p(t) = po sin ωt
Campo a grandi distanze(vuoto) :
ω 2
ω 2
1 po
1 po
sin θ( ) sin(kr − ωt) ; Bφ =
sin θ( ) sin(kr − ωt)
Eθ =
4πo r
c
4πo cr
c
p2o ω 4
Intensitá(media) irraggiata dal dipolo : < I >=
sin2 θ
32π 2 o c3 r 2
(energia per unitá superficie e unitá di tempo)
p2 ω 4
dE
>= o 3
Potenza(media) totale irraggiata dal dipolo : P =<
dt
12πo c
Carica accelerata
Potenza(media) totale irraggiata (carica q oscillante sinusoid. z = zo sin ωt
:
dE
q 2 zo2 ω 4
>=
dt
12πo c3
Intensitá irraggiata da carica accelerata nella direzione θ(rispetto all’accelerazione):
q 2 a2
dP
=
I(θ) =
sin2 θ
dθ
16π 2 o c3
dE
q 2 a2
Potenza istantanea irraggiata da una carica accelerata : P =
=
dt
6πo c3
P =<
7) Ottica
Ottica geometrica
√
; r = r (ω) cost. dielettrica
c
velocitá della luce in un mezzo : v =
n
cammino ottico : d = i ni li
sin θ1
n2
v1
Leggi di Snell : θinc = θrif l ;
=
=
sin θ2
n1
v2
n2
angolo limite : sin θlim =
; se n2 < n1
n1
n2
angolo di Brewster : tan θBre =
n1
Formule di Fresnel (µ1 = µ2 µo):
Indice di rifrazione : n =
r
n2 cos θ1 − n1 cos θ2
tan(θ1 − θ2 )
Erif l
) =
=
Einc
n2 cos θ1 + n1 cos θ2
tan(θ1 + θ2 )
n1 cos θ1 − n2 cos θ2
sin(θ1 − θ2 )
Erif l
)⊥ =
=−
(
Einc
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
sin(θ1 + θ2 )
Etra
2n1 cos θ1
2 cos θ1 sin θ2
(
) =
=
Einc
n2 cos θ1 + n1 cos θ2
sin(θ1 + θ2 ) cos(θ1 − θ2 )
Etra
2n1 cos θ1
2 cos θ1 sin θ2
(
)⊥ =
=
Einc
n1 cos θ1 + n2 cos θ2
sin(θ1 + θ2 )
Etra 2
trasmittivitá : t = (
)
Einc
Erif l 2
riflettivitá : r = (
)
Einc
(
8
Caso di incidenza normale di √
onda non polarizzata:
2 n1 n2 2
)
t=(
n1 + n2
n1 − n2 2
r=(
)
n1 + n2
1 1
1
1
1
1
Formula lenti sottili: + =
;
= (n − 1)( − )
p q
f
f
r2 r1
Interferenza
Interferenza fra onde piane,sinusoidali, lin. polarizzate:
E1 = A1 sin[(kz − ωt) + φ1 ]
E2 = A2 sin[(kz −
√ωt) + φ2 ]
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(φ1 − φ2 )
Due sorgenti coerenti(alla Young) : I = Io cos2 β
πd
β=
sin θ (d = distanza fra sorgenti)
λ
sin2 (Nδ/2)
]
N sorgenti coerenti : I = Io [
sin2 (δ/2)
2π
δ=
d sin θ (b = larghezza fenditura)
λ
Diffrazione
Diffrazione(di Fraunhofer) da fenditura rettangolare :
sin2 α
I = Io ( 2 )
α
πb
sin θ (b = larghezza fenditura)
α=
λ
λ
condizione per i minimi
; sin θ = n [n = 0]
b
Diffrazione(di Fraunhofer) da foro circolare :
2J1 (2πR sin θ/λ) 2
]
I = Io [
2πR sin θ/λ
condizione per il 1o minimo ; sin θ = 1.22
λ
2R
Diffrazione(di Fraunhofer) da reticolo di N fenditure :
sin2 α sin2 Nβ
)
I = Io ( 2 )(
α
sin2 β
πb
α=
sin θ (b = larghezza fenditura)
λ
πp
β=
sin θ (p = distanza fra fenditure)
λ
massimi di intensitá ; p sin θ = nλ [ p= passo]
dθ
n
=
dλ
p cos θ
λ
= nN
Potere risolutivo del reticolo ;
∆λ
Potere dispersivo del reticolo ;
9
8) Operatori vettoriali
Coordinate cartesiane
Elemento di volume : dτ = dx dy dz
∂f
∂f
∂f
−
→
îx +
îy +
îz
grad f ≡ ∇ f =
∂x
∂y
∂z
−
→ → ∂vx ∂vy ∂vz
→
div −
v ≡ ∇ ·−
v =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂v
∂vx
∂vz
∂vx ∂vy
∂v
−
→
y
z
→
→
−
]îx + [
−
]îy + [
−
]îz
rot−
v ≡ ∇ ×−
v =[
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
∂2
∂2
∂2
Laplaciano : ∇2 = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
Relazioni vettoriali utili
−
→ →
−
→ → −
−
→
−
→
→
→
a ×( b ×−
c ) = b (−
a ·→
c )−−
c (−
a · b)
−
→ −
→
rot grad f ≡ ∇ × ∇ f = 0
−
→ −
→ →
→
div rot −
v ≡ ∇ · ∇ ×−
v =0
−
→
−
→ → −
→−
→ →
→
→
v
rot rot −
v ≡ ∇ × ∇ ×−
v = ∇(∇ · −
v ) − ∇2 −
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
rot(f v ) ≡ ∇ × (f v ) = f ( ∇ × v ) − ∇ f × v
−
→
−
→ →
−
→ →
→
→
div(f −
v ) ≡ ∇ · (f −
v ) = f(∇ · −
v ) + ∇f · −
v
10
9) Costanti di uso frequente
Costante dielettrica del vuoto : o = 8.85 10−12 F/m
Permeabilitá magnetica del vuoto : µo = 4π 10−7 H/m
Carica dell’elettrone : e = 1.60 10−19 C
Massa dell’elettrone : me = 9.1 10−31 kg
Rapporto e/m dell’elettrone : e/m = 1.76 1011 C/kg
Massa del protone : mp = 1.67 10−27 kg
Velocitá delle onde e.m. nel vuoto : c = 3.0 108 m/s
Impedenza del vuoto : Zo = 376.7 Ω
Costante di Planck : h = 6.626 10−34 J · s
Magnetone di Bohr : µB = 9.42 10−24 A m2
Costante gravitazionale : G = 6.672 10−11 m3 kg−1 s−2
Numero di Avogadro : NA = 6.02252 1023 mol−1
Costante di Boltzmann : k = 1.38054 10−23 J K −1
Costante dei gas : R = 8.314 J/(mol K)
= 1.986 cal/(mol K)
Volume di una mole(STP gas ideale) : k = 22.414 10−3 m3 mol−1
Unitá astronomica : AU = 1.49598 1011 m
Raggio(equatoriale)della terra : R = 6.378 106 m
Massa della terra : M = 5.973 1024 kg
Massa del sole : M = 1.989 1030 kg
11
