Corso di Laurea in Fisica Anno Accademico 2003-2004 Compito di Fisica bIIA (12 luglio 2004) 1 Si schematizzi la ionosfera terrestre come uno strato uniforme di gas ionizzato, esteso oltre un’altezza h = 300 km dalla superficie terrestre, avente una densità di elettroni liberi pari a ne = 1011 m−3 . a) Si consideri la riflessione dalla ionosfera di onde radio emesse da antenne sulla superficie terrestre. Si dica, ad incidenza normale, qual’è il valore massimo ωM della frequenza ω delle onde radio affinchè queste siano totalmente riflesse, e la corrispondente lunghezza d’onda. Una stazione radio posta nel punto A sulla superficie terrestre (v. figura), la cui antenna lineare è schematizzabile come un dipolo elettrico oscillante ortogonale alla superficie, sfrutta la riflessione dalla ionosfera per trasmettere oltre una catena montuosa ad una stazione ricevente nel punto B della superficie distante l = 600 km da A. b) L’antenna trasmittente ha una potenza totale P = 1 kW. Si calcoli l’intensità (in W/m2 ) della radiazione incidente in B assumendo riflessione totale dalla ionosfera. c) Si supponga ora che l’antenna emetta ad una frequenza ω > ωM . Si scriva il coefficiente di riflessione dalla ionosfera in funzione dell’indice di rifrazione della ionosfera n e dell’angolo di incidenza θ, utilizzando la opportuna formula di riflessione. (12 punti) 2 All’interno di un cilindro di sezione S e lunghezza infinita contenente un elettrolita scorrono ioni positivi di carica q+ e densità n+ aventi velocità v+ > 0 , e ioni negativi di carica −q− e densità n− aventi velocità v− < 0. Il sistema è elettricamente neutro ovvero n+ q+ − n− q− = 0. a) Calcolare i campi elettrico e magnetico all’esterno del cilindro. 1 Si consideri ora un sistema di riferimento mobile S 0 nel quale gli ioni positivi hanno velocità nulla. b) Calcolare la densità lineare di carica λ0 e l’intensità di corrente I 0 del filo in S 0 . c) Calcolare i campi elettrico e magnetico all’esterno del cilindro in S 0 . d) Si risponda di nuovo alle domande b) e c) per un sistema mobile S 00 nel quale gli ioni negativi hanno velocità nulla. (12 punti) 3 Si consideri un mezzo omogeneo semi-infinito, esteso nella regione x > 0, le cui proprietà ottiche sono descritte da una costante dielettrica reale ². Nel mezzo si trova un’onda elettromagnetica di frequenza ω, propagantesi in direzione parallela alla superficie (cioè lungo y). Si sa che il campo magnetico dell’onda ha solo la componente z ed è dato da ³ Bz = B0 e−qx cos(ky − ωt) = Re B0 e−qx eiky−iωt ´ dove q ha un valore reale e positivo. a) Si dia la relazione tra q, k e ω affinchè il campo Bz soddisfi l’equazione d’onda nel dielettrico. b) Si scriva il campo elettrico E dell’onda. c) Si scriva il vettore di Poynting S dell’onda e si dica in quale direzione scorre il flusso medio di energia. Si considerino ora due mezzi dielettrici semi–infiniti, aventi costanti dielettriche ²1 e ²2 , che occupano rispettivamente i semispazi x < 0 e x > 0 (v. figura). Lungo la superficie si propaga un’onda il cui campo magnetico è dato da ³ ´ B = Re Bz (x)ẑeiky−iωt dove ( Bz (x) = B1 e+q1 x (x < 0) . B2 e−q2 x (x > 0) d) Si imponga la continuità di Bz alla superficie x = 0 e se ne ricavi una relazione tra B1 , B2 . e) Si imponga la continuità di Ey alla superficie x = 0 e se ne ricavi una relazione tra q1 e q2 . Si mostri che ²1 e ²2 devono avere segno opposto affinchè si abbia q1,2 > 0, ovvero dei campi nulli per |x| → ∞. f) Usando i risultati dei punti a) ed e) si ricavi la relazione di dispersione ω = ω(k) in funzione di ²1 , ²2 mostrando che deve essere ²2 + ²1 < 0 affinchè l’onda possa propagarsi. g) Se il mezzo 1 è il vuoto (²1 = 1), come scegliereste il materiale 2 (ed eventualmente la frequenza) affinchè l’onda possa esistere? (18 punti) 2 Soluzioni 1 a) L’indice di rifrazione di un gas ionizzato è dato da s n= 1− ωp2 ω2 dove la frequenza di plasma ωp è data da s ωp = ne e2 = 1.8 × 107 s−1 . ²0 me Si ha riflessione se n è immaginario, ovvero se ω < ωp . Quindi ωM = ωp e per la lunghezza d’onda si ha 2πc λ> = 10.5 m. ωp b) L’intensità della radiazione emessa da un dipolo a distanza R ed ad un angolo θ rispetto alla propria direzione è 3Ptot sin2 θ I= . 2 8πR q Nel nostro caso R = 2 h2 + (l/2)2 , in quanto essendo la riflessione speculare è come se la radiazione incidente in B provenisse da una sorgente nel punto A’ simmetrico di A rispetto alla superficie della ionosfera. Quindi R2 = 4(h2 + l2 /4) = 7.2 × 1011 m2 . L’angolo di emissione è dato da tan θ = l/2h = 1 ovvero θ = π/4 e sin2 θ = 1/2. Quindi I= (3/2)103 W m−2 ' 8.3 × 10−11 W m−2 . 11 8π(7.2 × 10 ) c) Per emissione di dipolo elettrico la polarizzazione giace nel piano formato dal dipolo e dalla direzione di osservazione; quindi alla superficie di riflessione la polarizzazione è nel piano di incidenza (pol. “P”). La formula di Fresnel da usare è quindi √ !2 à n2 cos θ − n2 − sin2 θ √ R= . n2 cos θ + n2 − sin2 θ 2 a) Poichè il filo non è carico ovviamente E = 0. L’intensità di corrente nel filo è I = (q+ n+ v+ − q− n− v− )S e produce un campo magnetico solenoidale Bφ = µ0 I/2πr. b) La trasformazione di Lorentz richiesta ha ovviamente velocità parallela al filo e uguale a βc = v+ . Si può assumere β ¿ 1. La quadricorrente J = (ρ, j) trasforma come un quadrivettore. Per l’invarianza della sezione trasversale S si ha che anche (λ, I) = SJ trasforma come un quadrivettore e quindi I 0 = γ(I − βcλ) = γI ' I, λ0 = γ(λ − βI/c) = −γβI/c ' βI/c. Allo stesso risultato si arriva considerando le trasformazioni delle densità e delle velocità per le due popolazioni. 3 c) Dalle trasformazioni di Lorentz per i campi si ha un campo elettrico radiale Er0 = γ(E − βcB) = −γβcBφ = µ0 γβcI/2πr ' µ0 βcI/2πr, ed un campo magnetico Bφ0 = γ(B − βE/c) = γB ' B. Allo stesso risultato si arriva calcolando i campi a partire dalle sorgenti trovate al punto precedente. d) Il procedimento è identico. 3 a) Dall’equazione d’onda in un mezzo dielettrico µ ¶ ² 2 ∂ Bz = 0 c2 t ∇2 − si ricava q2 − k2 + ω2 ² = 0. c2 b) Usando la relazione, valida in un dielettrico, ∇ × B = ²∂t E si ha, in notazione complessa −iω²E = (x̂∂y − ŷ∂x )Bz = (ikx̂ − qŷ)Bz ovvero E=− kx̂ + iqŷ Bz . ²ω c) Dalla definizione S = ²0 c2 E × B si trova che S ha componenti lungo x ed y date da Sx = −²0 c2 Ex Bz = +²0 c2 qB02 2qx e cos(ky − ωt) sin(ky − ωt), ²ω kB02 2qx e cos2 (ky − ωt). ²ω Si ha hSx i = 0 e quindi il flusso di energia è dato da hSy i 6= 0, ovvero è lungo y (com’è intuitivo). Sy = −²0 c2 Ey Bz = +²0 c2 d) Imponendo Bz (0− ) = Bz (0+ ) si trova immediatamente B1 = B2 . e) Usando il risultato del punto b) per Ey (attenzione al segno di q1 !), imponendo Ey (0− ) = Ey (0+ ) e sfruttando il risultato del punto d) si ricava q2 q1 =− ²1 ²2 da cui dovendo essere q1,2 > 0 si ricava che ²1 e ²2 hanno segni opposti. 4 f) Sfruttando la relazione (q1 /²1 )2 = (q2 /²2 )2 ed il punto a) si ha à ²22 ! à ! ω2 ω2 k − 2 ²1 = ²21 k 2 − 2 ²2 , c c 2 da cui, con un pò d’algebra ²22 − ²21 ²2 + ²1 ω =k c 2 = k 2 c2 . 2 ²2 ²1 − ²1 ²2 ²2 ²1 2 2 2 Affinchè l’onda si propaghi deve essere k 2 > 0 e quindi essendo ²1 ²2 < 0 si ha la condizione ²1 + ²2 < 0. g) Deve essere ²2 < −²1 = −1. Si può scegliere un metallo (o un plasma) per cui ²2 = 1 − ωp2 /ω 2 √ e una frequenza tale che ωp > 2ω. 5