Moti con accelerazione costante

Mo# con accelerazione costante Mo# bidimensionali Moto con accelerazione costante
ü  Se l’accelerazione è costante vuol dire che la velocità varia in
modo lineare nel tempo, cioè per intervalli di tempo uguali si hanno
incrementi di velocità eguali.
v − v0
t −0
v = v0 + at
D’altronde dal grafico risulta che, per un
moto rettilineo la velocità media può essere
scritta
v=
1
(v0 + v ) = 1 (v0 + v0 + at )
2
2
Ricordando
(2)
v=
x − x0
t −0
1 #
&
x − x0 = t $ v0 + at !
2 "
%
1
v = v0 + at
2
velocità
(1)
a=
In un piano v-t questa equazione
rappresenta una retta con
coefficiente angolare a
v
v0
o
t
x − x0 = vt
1
x = x0 + v0 t + at 2
2
Questa è l’equazione oraria
di un moto accelerato
Equazioni del moto con a = cost
•  Il moto con a = cost è descritto da 5
grandezze
• 
x-x0, v, v0, a, t.
•  Tali grandezze sono conseguenza delle
equazioni 1 e 2 della precedente
diapositiva.
•  Il moto con accelerazione costante più
comune è il moto di un grave in caduta
libera
•  al livello del mare l’accelerazione di
gravità media è: g = 9,806 + 0,017 m/s2
v = v0 + at
x
1 2
x = x0 + v0 t + at
2
v 2 = v02 + 2a (x − x0 )
v
1
(v0 + v )t
2
1
x = x0 + vt − at 2
2
x = x0 +
t
a
v0
Caduta di un grave •  In prossimità della superficie terrestre ogni corpo è
soggetto ad una accelerazione costante pari a 9,81 m/s2.
Quindi l’equazione oraria y = f(t) di un oggetto lasciato
libero di muoversi è:
y = -1/2 gt2
•  Il segno meno deriva dall’orientazione del sistema di
riferimento che è definito positivo allontanandosi dalla
superficie della Terra.
•  Se l’oggetto parte da una posizione y0 e se ha una sua
velocità iniziale v0 allora l’equazione oraria si completa nel
seguente modo
y = y0 + v0t -1/2 gt2
Equazioni del moto in forma integrale Dalla definizione di
accelerazione:
a = dv/dt
ovvero dv = adt:
∫ dv = ∫ adt
∫ dv = a ∫ dt
v = at + c
per
t = 0 → c = v0
quindi v = v0 + at
L’altra equazione
base si ottiene
dalla definizione di
v = dx/dt ovvero
dx = vdt:
∫ dx = ∫ vdt
∫ dx = ∫ (v + at )dt
x = v ∫ dt + a ∫ tdt
0
0
1 2
x = v0 t + at + c
2
t = 0 → c = x0
quindi
x = x0 + v0 t +
1 2
at
2
Moto in più dimensioni I moti in più dimensioni si
ottengono sommando
vettorialmente i moti
lungo ciascun asse
r = xi + yj + zk ⇒ Δr = r2 − r1
Δr = ( x2i + y2 j + z 2 k ) − ( x1i + y1 j + z1k )
Δr = (x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + (z 2 − z1 )k
Δr = Δxi + Δyj + Δzk
Δv
dv
Δr
dr
〈
a
〉
=
⇒
a
=
〈v 〉 =
⇒v=
Δt
dt
Δt
dt
dv y
dv x
dv z
d
dx
dy
dz
i+
j+
k
v = (xi + yj + zk ) = i +
j+ k a =
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
a = axi + a y j + az k
v = vxi + v y j + vz k
Moto di un proie;le La vy varia passando da funzione positiva, nulla
e negativa, mentre la vx è sempre costante.
Un corpo viene lanciato con una velocità iniziale
V0 in prossimità della superficie terrestre. Se le
cui componenti sono V0x e V0y avremo che: nel
suo progredire il proiettile risentirà, solo della
forza di gravità che gli imprime una
accelerazione pari a g = - 9.81 m/s2
Moto parabolico §  Il moto orizzontale e quello verticale sono due moti
indipendenti e possono essere trattati ciascuno per conto
proprio
§  Lungo l’asse x il moto è un moto rettilineo uniforme,
mentre lungo l’asse y il moto è uniformemente
accelerato.
x = x0 + v0 x t
1 2
y = y0 + v0 y t − gt
2
x = x0 + v0 cos θ 0 ⋅ t
1 2
y = y0 + v0 senθ 0 ⋅ t − gt
2
v y = v0 sin θ 0 − gt
Se un oggetto cade da fermo, la sua posizione, rispetto al punto da
cui cade, aumenta con il quadrato del tempo (y = - ½ gt2), mentre la
sua velocità aumenta linearmente con il tempo (vy = - gt)
Traie=oria di un proie;le parabola
400
Y (metri)
§  Ricavando t dalla equazione del
moto rettilineo uniforme,
supponendo x0 ed y0 uguali a
zero, e sostituendo
nell’equazione nel moto
uniformemente accelerato si
ottiene:
300
200
100
1
t=
⋅x
v0 cosθ 0
0
'
$ 2
g
"" x + (tgθ 0 ) x
y = − %%
& 2(v0 cosθ 0 ) #
0
10
20
X (metri)
Equazione di una parabola nel piano x,y con la
concavità rivolta verso il basso y = - ax2 + bx + c
30
40
Gi=ata •  La gittata è la distanza
orizzontale coperta da un proiettile.
•  L’equazione della traiettoria si ricava
da:
x − x0 = v0 (cos θ 0 )t
y − y0 = v0 senθ 0t −
•  chiamiamo x-x0 = R e
1 2
gt
2
poniamo
y-y0 = 0
R = v0 (cos θ0 )t
1
0 = v0 senθ0t − gt 2
2
le cui soluzioni sono
v02
v02
R = 2 sin θ 0 cos θ 0 ⇒ R =
sin(2θ 0 )
g
g
t=0
〈 t = 2v0 sin θ0
g
R è massima a
θ0 = 45°
Moto circolare uniforme Δv
ü  Il moto è circolare perché la sua traiettoria è una
v2
circonferenza, ed è uniforme perché il modulo
della sua velocità è costante.
r2
ü  E’ costante solo il modulo, non il vettore
r1
velocità.
ü  Istante per istante la direzione del vettore
! !
! !
velocità cambia, quindi varia e pertanto il
Δv : v1 = Δs : r1
moto è soggetto ad una accelerazione.
ü  Il modulo di questa accelerazione sarà
pari a:
a = v2/r ü  la direzione, istante per istante,
perpendicolare al vettore velocità
ü  verso diretto al centro della traiettoria
v2
v1
Δs
quindi dividendo per Δt
!
!
Δv ! Δs !
:v1 =
:r1
Δt
Δt
per Δt → 0
a:v = v:r
v2
a =
r
v1