Un modello di Markov per la determinazione del rendimento atteso

Un modello di Markov per la
determinazione del rendimento
atteso di un’obbligazione rischiosa
Analisi dei Sistemi Finanziari
1 Giugno, 2007
Cristina Manfredotti
Dipartimento di Informatica, Sistemistica e Comunicazione (D.I.S.Co.)
Università degli Studi Milano-Bicocca
[email protected]
Cristina Manfredotti
D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca
Effetti del rischio di insolvenza sui rendimenti di obbligazioni detenute
fino a scadenza
Rendimento atteso
≠
Si calcola prendendo in
considerazione sia la probabilità di
insolvenza futura dell’obbligazione,
sia la percentuale del capitale che i
detentori pensano di poter
recuperare in caso di insolvenza.
Cristina Manfredotti
Rendimento promesso
Rendimento a scadenza
dell’obbligazione, tasso interno
di rendimento calcolato sulla
base del prezzo di mercato
corrente dell’obbligazione, dei
suoi pagamenti promessi e del
rendimento finale promesso sul
capitale
D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca
Cosa faremo oggi:
• Useremo un modello di Markov per determinare il
rendimento attesso di un’obbligazione rischiosa,
considerando:
– Probabilità di insolvenza
– Transizione dell’emittente da uno stato creditizio ad un
altro
– La percentuale di recupero del valore nominale in caso di
insolvenza
In laboratorio: programmeremo un foglio di lavoro usando il modello
studiato e statistiche “reali” e mostreremo come questo modello possa
essere usato per derivare la misura di rischio del CAMP relativa ai titoli.
Cristina Manfredotti
D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca
Nozioni preliminari (1)
•
Un’obbligazione è emessa per un certo ammontare di capitale o valore
nominale. Quando l’obbligazione scade, il detentore del titolo si attende la
restituzione di questo capitale.
•
Un’obbligazione matura un tasso di interesse chiamato cedola. Il
pagamento periodico promesso al detentore del titolo è pari al prodotto tra
questo tasso e il valore nominale dell’obbligazione.
•
In ogni momento, un’obbligazione può essere venduta al prezzo di
mercato. Questo prezzo può differire dalla cedola dell’obbligazione.
•
Il rendimento a scadenza è il tasso interno di rendimento dell’obbligazione,
nell’ipotesi che essa sia detenuta fino a scadenza e che non vada in
insolvenza.
•
Quando un’obbligazione diventa insolvente, il suo detentore riceve di solito
un certo ammontare, definito percentuale di recupero (di gran lunga
inferiore alla cedola promessa o al rimborso del capitale).
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Nozioni preliminari (2)
Le obbligazioni emesse dalle società sono classificate da varie
agenzie sulla base dell’abilità dell’emittente di fare fronte ai
pagamenti dell’obbligazione:
schema di classificazione di due agenzie di rating internazionali, Standard&Poors e Moody’s:
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Calcolo del rendimento atteso:
caso uniperiodale (1)
Il rendimento a scadenza è diverso dal
rendimento atteso. Perché il rating
dell’obbligazione e il ritorno previsto del
detentore del titolo in caso di insolvenza
influenzano il suo rendimento atteso.
Calcoliamo il rendimento atteso di un’obbligazione a
1 anno, nell’ipotesi che essa diventi insolvente alla
scadenza …
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Calcolo del rendimento atteso:
caso uniperiodale
Calcoliamo il rendimento atteso di un’obbligazione a 1 anno,
nell’ipotesi che essa diventi insolvente alla scadenza …
Siano:
F, valore nominale dell’obbligazione
P, prezzo dell’obbligazione
Q, cedola annuale del titolo
p, probabilità che l’obbligazione NON diventi insolvente alla fine
dell’anno
l, frazione del valore dell’obbligazione recuperata dal detentore in
caso di insolvenza
Rendimento atteso:
[p * (1 + Q) * F + (1 - p) * l * F] / P – 1
Flusso di cassa atteso alla fine dell’anno
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D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca
Estendiamo il caso precedente a più periodi …
Modello markoviano multiperiodale
multistato
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Catena di Markov(1)
Un processo stocastico a tempi discreti è una catena di
Markov se, per t = 1, 2, 3, … e per tutti gli stati, si ha che:
P( Xt+1 = i | Xt, Xt-1, …, X1, X0) = P( Xt+1 = i | Xt )
Date le probabilità iniziali: P(X0)
Abbiamo che P(X0, X1, …, XK) = P(XK|XK-1, …, X1) P(XK-1, …, X1)
= P(XK|XK-1) … P(X1|X0)P(X0)
9
Cristina Manfredotti
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Matrice delle probabilità
P=
p11 p12 …. p1n
p21 p22 …. p2n
pn1 pn2 …. pnn
pij
n
dove:
∑ pij = 1
j=1
rappresenta la probabilità di raggiungere uno
stato j partendo da uno stato i della catena.
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Esempio (1)
Supponiamo che un’industria produca due tipi di Cola.
Una persona che, all’acquisto precedente, ha comprato Cola1, per il 90% di
possibilità comprerà ancora Cola1.
Chi ha comprato invece Cola2, per l’80% di possibilità comprerà ancora
Cola2.
Matrice dell probabilità:
Cola1
Cola1
0.90
0.10
Cola2
0.20
0.80
P=
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Cola2
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Esempio (2)
1. Se una persona usualmente compra Cola2, qual è la probabilità
che compri Cola1 dopo due acquisti ?
P21(2) = P( X2 = 1 | X0 = 2)
2
P =
0.90
0.10
0.90
0.10
0.20
0.80
0.20
0.80
Cristina Manfredotti
=
0.83
0.17
0.34
0.66
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Probabilità di transizione a n-passi
Domanda: Se una catena di Markov è in uno stato i al tempo m,
qual è la probabilità che dopo n passi sarà in uno stato j ?
Pij(n) = P( Xm+n = j | Xm = i) = P( Xn = j | X0 = i)
Per n = 2 si avrà che:
n
Pij(2) =∑ pik · pkj
prodotto scalare riga i colonna j
k=1
n
Risposta
Pij(n) = ij-simo elemento di P
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Esempio (3)
1. Se una persona usualmente compra Cola1, qual è la
probabilità che compri ancora Cola1 dopo tre acquisti ?
P11(3) = P( X1 = 1 | X0 = 1)
3
0.90
P =
0.20
0.10
0.80
Cristina Manfredotti
0.83
0.34
0.17
0.66
=
0.781
0.219
0.438
0.562
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Probabilità di transizione
La probabilità di essere in un certo stato j al tempo n, non
conoscendo lo stato del sistema al tempo 0, è:
∑i qi Pij(n) = q · (colonna
j di P n )
dove:
qi = probabilità che il sistema sia nello stato i al tempo 0.
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Esempio (4)
1. Supponiamo che il 60% delle persone beva Cola1 e il
40% beva Cola2. Dopo tre acquisti, qual è la percentuale
delle persone che berranno Cola1?
3
p = q · (colonna 1 di P )
p = 0.60 0.40
Cristina Manfredotti
0.781
= 0.6438
0.438
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Classificazione degli stati (1)
• Uno stato j è raggiungibile da uno stato i se esiste un
cammino che da i arriva a j.
• Due stati i e j si dice che comunicano se j è raggiungibile
da i e viceversa.
• Un insieme di stati S in una catena di Markov è un
insieme chiuso se nessuno stato fuori S è
raggiungibile dagli stati in S.
• Uno stato i si definisce stato assorbente se pii = 1.
• Uno stato i si definisce stato transiente se esiste uno stato
j raggiungibile da i, ma i non è raggiungibile da j.
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Classificazione degli stati (2)
• Uno stato che non è transiente viene definito stato
ricorrente.
• Uno stato i è periodico di periodo k>1 se k è il più
piccolo numero tale che tutti i cammini che dallo
stato i ritornano ad i hanno una lunghezza che è un
multiplo di k.
• Se uno stato non è periodico si definisce aperiodico.
• Se tutti gli stati in una catena sono ricorrenti, aperiodici e
comunicano l’uno con l’altro, la catena si definisce
ergodica.
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Modello markoviano multiperiodale multistato:
4 possibili rating per l’obbligazione:
A, rating più elevato
B, secondo rating più elevato
D, l’obbligazione è insolvente per la prima volta (paga l del
valore nominale)
E, l’obbligazione era già insolvente nel periodo precedente
(paga 0 nel periodo corrente ed in qualsiasi periodo futuro)
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Matrice delle probabilità di transizione:
p=
pij
 p AA

 p BA
 0

 0

p AB
p AD
p BB
0
p BD
0
0
0
0

0
1

1 
: probabilità che in un periodo l’obbligazione passi dal rating i al rating j
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D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca
Esempio:
 0.99 0.01 0

 0.03 0.96 0.01
p= 
0
0
0

 0
0
0

0

0
1

1 
L’insolvenza- lo stato E- è uno stato assorbente.
Uno stato i si definisce stato assorbente se pii = 1
La matrice p definisce le probabilità di transizione relativamente ad un periodo.
Le probabilità di transizione relative ad n periodi sono fornite dal prodotto
matriciale p*p*…*p = p n
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Ritorno atteso dell’obbligazione:
Ricordiamo:
Q, cedola dell’obbligazione
l, frazione percentuale in caso di insolvenza del titolo
Il vettore dei ritorni dell’obbligazione è funzione del periodo nel quale si trova
il titolo, che può essere l’ultimo periodo (N) o un periodo precedente (t<N)
Ritorno(t) =
 Q
  
 Q
 l 
   Se t < N
  0

1+ Q
1+ Q
 Se t = N

 l 
 0 

La differenza tra i due vettori
dipende dal rimborso del
capitale nel periodo finale.
Vettore iniziale: vettore di zeri con 1 nel posto
dello stato occupato all’istante corrente
E(Ritorno(t)) = vettore iniziale* pt*Ritorno(t)
Cristina Manfredotti
D.I.S.Co. Università di Milano - Bicocca