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1.1-CONDUTTORI E ISOLANTI
Cap 1- Elettrostatica
Cap 1-vol2-Elettrostatica
Nell’elettromagnetismo studieremo fenomeni elettrici e magnetici che
rappresentano un’altra interazione fondamentale della natura (dopo quella
gravitazionale che abbiamo visto in precedenza): l’interazione elettromagnetica
1.1 La carica elettrica
La carica elettrica è una proprietà della materia: le cariche sono già presenti
nella materia. Ci sono due tipi di carica che convenzionalmente indichiamo
come positive e negative. La materia normalmente è neutra perchè il
numero di cariche è esattamente uguale a quelle negative. Dalle osservazione
troviamo inoltre che cariche di segno uguale si respingono e di segno
opposto si attraggono.
2
1.1-Conduttori e isolanti
1.1-Conduttori e isolanti
Distinguiamo le sostanze nelle quali le cariche si possono facilmente muovere
che chiameremo conduttori da quelle invece che non hanno tale proprietà
che chiameremo non conduttori o isolanti. La differenza di comportamento è legata alla struttura atomica o molecolare del materiale.
1.2-struttura elettrica della materia e induzione elettrostatica
1.2-struttura elettrica della materia e induzione elettrostatica
I costituenti fondamentali per quello che riguarda la materia ordinaria stabile, dell’atomo sono: protone neutrone ed elettrone. Il neutrone ha carica
nulla, protone ha carica positiva e l’elettrone negativa (ma valore uguale a
quella del protone) e tali cariche sono anche le minime possibili. Ne consegue che la carica è una grandezza fisica quantizzata. Sperimentalmente
abbiamo anche che la carica si conserva (principio di conservazione della carica) e in un sistema isolato la somma delle cariche non varia
nel tempo.
Inoltre se avviciniamo una carica ad un conduttore, grazie alla mobilità delle sue cariche avviene un’avvicinamento di cariche di
Cap1-Parte II-Elettrostatica
1
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ESERCIZIO-ESEMPIO 1.3
segno opposto a quella avvicinata, pur rimanendo la somma totale inalterata. Questo fenomeno che studieremo meglio più avanti è detto induzione
elettrostatica
Parte I
1.3-Legge di Coulomb
1.3-Legge di Coulomb
La forza che agisce tra due cariche segue una legge che è simile all’interazione
gravitazionale ed è data dalla Legge di Coulomb:
F=k
q1 q2
r2
dove q1 e q2 sono i valori delle due cariche che interagiscono e la forza è diretta lungo la congiungente le due cariche. L’unità di misura della carica è il
1
= 8.99 · 109 N · m2 /C 2
Coulomb (C). Il valore della costante è k = 4πǫ
0
e la costante che useremo più spesso da ora è ǫ0 = 8.85 · 10−12 C2 /(Nm2 )
detta costante dielettrica del vuoto
L’unità di carica è la carica
dell’elettrone (e del protone) ed ha valore pari a e = 1.6 · 10−19 C
3
Esercizio-esempio 1.3
Esercizio 1.3
Due palline di equale massa sono appese con dei
fili di lunghezza L e hanno uguale carica q come mostrato in figura.
Si assuma θ piccolo e trovare la x all’equilibrio. Risolvere il problema
asssumendo L = 1m q = 2 · 10−9 C e m = 2 · 10−3 kg
Cap1-Parte II-Elettrostatica
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ESERCIZIO-ESEMPIO 1.3
T~ + F~el + P~ = 0 è l’eq. dell’equilibrio su ognuno delle palline. Scomponendo
otteniamo:
Ty = mg
Tx = Fel =
q2
4πǫ0 x2
ed inoltre Tx = T sin θ e Ty = T cos θ da cui tan θ =
x
2
2L
x
= L sin θ che porta infine all’equazione
⇒ x3 =
2Lq2
4πǫ0 mg
Tx
Ty
=
x
2L
⇒(
Tx
Ty ≃ sin θ
mg
−1
q2
4πǫ0 x2
)
e dalla figura
⇒
mg4πǫ0 x2
q2
=
Con i valori forniti risulterà θ = 4.1◦
Esercizio
Una carica Q è distribuita uniformemente nel volume di una sfera di raggio
R secondo la legge ρ = Ar essendo r la distanza dal centro. Determinare la
carica totale Q.
ρ(r) = Ar e ρ =
dq
dV
Z
Q=
Z
V
R
per cui
ρ(r)dV =
Z
R
A · r · 4πr2 dr =
0
A4πr3 dr = A4πR4 /4 = πAR4
0
1.4-Campo elettrostatico
1.4-Campo elettrostatico
Se mettiamo una carica in una regione dove c’è un’altra carica essa risentirà
della sua presenza manifestando una forza di Coulomb. Per spiegare questa
interazione a distanza possiamo ricorrere al concetto di campo: diremo
che una carica genera attorno a se un campo elettrico che permea tutta la
regione dello spazio. Se a questo punto introduciamo una seconda carica
essa interagirà con il campo elettrico manifestando una forza. In questo
modo le due cariche non interagiscono direttamente ma tramite l’azione
di un campo. Qualunque regione di spazio avente una qualche proprietà
definita da una opportuna grandezza è detta avere un campo.
Il campo elettrico
Cap1-Parte II-Elettrostatica
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Quando la forza è di tipo elettrico si parlerà di campo elettrico (o elettrostatico) Come facciamo ad evidenziare il campo? Assumiamo avere a
disposizione una carica positiva di test e la collochiamo nello spazio a piacimento. In ogni punto dello spazio se c’è un campo troveremo una forza
~ = F~ e di
elettrica. Definiamo come campo elettrico il vettore E
q0
conseguenza noto il campo elettrico, la forza su una particella carica sarà
~ = q0 E
~ direzione e verso del campo sono quelli della forza agente
data da F
sulla carica di prova (positiva). Il campo comunque esiste indipendentemente dalla carica di prova (⇒ l’espressione di E non deve dipendere da
q0 ).
Dal momento che le forze sono vettori anche il campo elettrico è un vettore, inoltre se agiscono più cariche contemporaneamente possiamo applicare
il principio di sovrapposizione e sommare i campi delle varie cariche. Di
conseguenza se agiscono n cariche (q1 , . . . qi . . . qn ) su una carica q0 avremo:
X
X qi q0
X qi
~=
~i =
F
F
û
=
q
ûi
i
0
4πǫ0 ri2
4πǫ0 ri2
i
i
i
P qi
~ = q0 E
~ ed E
~ =
che possiamo scrivere come F
i 4πǫ0 r2 ûi Il campo elettroi
statico in un punto P prodotto da un sistema di cariche puntiformi è dato
dalla somma vettoriale dei campi eletrostatici di ciascuna carica singolarmente presa Nel caso vi sia una unica carica si ottiene da questa il campo
elettrico generato da una carica puntiforme:
~ =
E
q1
û1
4πǫ0 r2
Questa espressione comporta che il campo elettrostatico di una carica
positiva è uscente, mentre quello di una carica negativa è entrante
Parte II
Problema svolto 22.2
Cap1-Parte II-Elettrostatica
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Problema svolto 22.2
Problema svolto 22.2
In figura vi sono due cariche q1 =
+8q e q2 = −2q la prima si trova
nell’origine del sist. di rif. la seconda sull’asse x a distanza L. In
che punto possiamo collocare una
carica positiva qualunque in modo
che resti in equilibrio?
Se mettiamo la terza carica verde in figura a sinistra dell’origine degli assi, le
forze agenti sono con versi opposti: repulsiva quella della carica positiva e verso
negativo asse x e attrattiva quella dovuta alla carica negativa e verso positivo
asse x.
Se la carica viene messa a destra della seconda carica analogamente i
versi risultano opposti: repulsiva e verso positivo asse x la forza dovuta alla carica
+ e attrattiva con verso negativo asse x per la carica -. Nella regione tra le due
cariche invece quando mettiamo la terza carica si hanno forze concordi e dirette nel
verso positivo dell’asse x. Ne concludiamo che la nostra soluzione deve trovarsi
nella regione esterna alle due cariche iniziali. Poniamo la terza carica a
destra oltre l’ultima carica e assegniamo coordinata x. I campi agenti nel punto in
cui collochiamo la terza carica è dato dalla somma dei campi di q1 e q2 e perchè ci
sia equilibrio la risultante delle forze deve essere nulla quindi il campo elettrico
è nullo:
q2
q1
=0⇒
k 2 −k
x
(L − x)2
q1
x2
=
q2
(L−x)2
2
da cui
x2
8
=
(L−x)2
2
ovvero x2 − 4(L2 − 2Lx + x2 ) = 0 ⇒ −3x2 +
√
2
2
−12L
8Lx − 4L = 0 che da per soluzione x = +4L± 16L
⇒ x = +4±2
3
3 L da cui le
2
due soluzioni x1 = 2L e x2 = 3 L la seconda è quella da scartare perchè capita
nella regione intermedia
Parte III
Campo del dipolo elettrico
Campo del dipolo elettrico
Un dipolo elettrico è costituito da due cariche di uguale intensità q ma segno
opposto e collocate ad una certa distanza d tra loro. Possiamo calcolare il
campo del dipolo (nei punti sull’asse del dipolo) sommando (vettorialmente)
Cap1-Parte II-Elettrostatica
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+
θ
P
ciascuno dei campi delle due cariche.
Indichiamo
ancora E− ed E+ i due campi dovuti alle cariche pos. e neg. che avendo
le stesse distanze avranno modulo uguale (E− = E+ ). Sugli assi avremo
Ex = E+ sin θ − E− sin θ = 0 Ey = −E+ cos θ − E− cos θ = −2E− cos θ Pertanto il campo complessivo è diretto lungo la direzione y ed inoltre
d
d
si ha |Etot | = 4πǫ2q0 r2 2r
= 4πǫp0 r3 p=qd
poichè r cos θ = d2 ⇒ cos θ = 2r
è il momento di dipolo elettrico ed il vettore p~ = q d~ è un vettore che ha
-
direzione data dalla congiungente le due cariche e verso che va dalla carica negativa alla positiva In altri punti del piano l’espressione del campo
è più complicata da trovare e la rappresentazione del campo segue questa
figura
1.5-Campo di distribuzioni continue
1.5-Campo di distribuzioni continue
Se le distribuzioni di carica sono continue ovvero uniformemente distribuite
su di un corpo, allora di introduce la densità media di carica del corpo (densità lineare, superficiale o volumetrica secondo i casi), come se la carica fosse
una distribuzione continua invece che discreta, e si “somma” vettorialmente
il contributo di un elemento infinitesimo del corpo. Il campo dell’elemento
infinitesimo è considerato come puntiforme cioè :
~ =
dE
Cap1-Parte II-Elettrostatica
dq
û′
4πǫ0 r′2
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E il campo complessivo si ottiene integrando sulla distribuzione continua
Z
dq
~ =
E
û′
4πǫ0 r′2
Esempio 1.6-Campo anello carico sull’asse z
Esempio 1.6-Campo anello carico sull’asse z
La λ = Q/2πR è la densità di carica dell’anello di
raggio R e con carica totale Q. Consideriamo un elemento dell’anello ds. Esso
avrà una carica (infinitesima quindi puntiforme) dq = λds e della carica infiλds
~ = 1 dq2 = 1
nitesima sappiamo che il campo (infinitesimo) è |dE|
4πǫ0 r
4πǫ0 (z 2 +R2 )
diretta come in figura.
Osserviamo che solo la componente lungo l’asse si somma coerentemente per ogni elemento infinitesimo (la componente
perpendicolare si elide) che hanno anche tutti la stessa distanza r da
P. Quindi basterà integrare le componenti z per avere il risultato. Dalla
figura abbiamo che cos θ = z/r = (R2 +zz 2 )1/2 e
λz ds
λz ds
1
=
4πǫ0 r3
4πǫ0 (z2 + R2 )3/2
R
Questa componente è la stessa per ogni ds ⇒ Ez = C dEz =
dEz = dE cos θ =
1
λ2πRz
4πǫ0 (z 2 +R2 )3/2
Qz
1
4πǫ0 (z 2 +R2 )3/2
λz
1
4πǫ0 (z 2 +R2 )3/2
R
Quindi il campo è diretto seconovvero Ez =
do l’asse z con questa espressione e quando z → ∞(z ≫ R) il campo tende
all’espressione della carica puntiforme
Esempio 1-7- Campo generato dal disco carico
Cap1-Parte II-Elettrostatica
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ds =
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Esempio 1-7- Campo generato dal disco carico
Possiamo dedurre il campo di un disco carico partendo
dal risultato dell’anello e considerando che un disco si può pensare costituito
da anelli infinitesimi di carica dq = σdA = σ(2πr)dr. σ è in questo caso
Q
la densità superficiale di carica definita come σ = πR
Pertanto l’anello
2
infinitesimo in figura di raggio r (0 ≤ r ≤ R) produrrà il campo sull’asse z:
~ =
dE
z dq
3
4πǫ0 (z 2 + r 2 ) 2
ûz
il campo totale si ottiene integrando su r in modo da ricoprire il disco con
gli anelli:
Z
Z R
z σ2πrdr
~ =
~ tot = dE
E
3 ûz =
0 4πǫ0 (z 2 + r 2 ) 2
1
Z
2
σ z 1 (z 2 + r2 )− 2 R
σz R 2
2 − 23 dr
(z + r )
|0 =
=
2ǫ0 0
2
2ǫ0 2
− 12
1
σ z 2 −1
1
σ /z 1
(1 − q
[(z ) 2 − (z 2 + R2 )− 2 ] =
)
2ǫ0
2ǫ0 /z
1 + ( R )2
z
Da notare che facendo
lim E =
σ
2ǫ0
che rappresenta il campo elettrico di un piano carico infinito.
R→∞
Parte IV
1.6-Linee di forza del campo elettrostatico
1.6-Linee di forza del campo elettrostatico
Per rappresentare il campo elettrostatico delle distribuzioni di cariche, quali
ad esempio quella del dipolo, è conveniente introdurre il concetto di linea
Cap1-Parte II-Elettrostatica
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di forza. Partendo da una generica posizione nello spazio in cui è presente
un campo, muovendosi di un tratto infinitesimo lungo la direzione iniziale
del campo elettrico, troviamo la nuova direzione del campo elettrostatico
e la tracciamo. Si ottiene quindi una linea detta linea di forza o linea
del campo. Data la procedura seguita in ogni punto della linea il campo
elettrostatico è tangente alla linea di campo.
1.7- Moto di una carica in campo elettrico esterno
1.7- Moto di una carica in campo elettrico esterno
~ = qE
~ = m~
Dalla definizione di campo F
a quindi per una carica di massa
nota, quando il campo è uniforme la carica risente di una forza costante ed
q ~
è quindi accelerata con ~
a= m
E. Se la carica è positiva la forza ed il campo
hanno lo stesso verso (altrimenti è opposto).
Dipolo in campo elettrico esterno
Dipolo in campo elettrico esterno
Dalla definizione di dipolo e dalla precedente osservazione discende che un dipolo in un campo elettrico uniforme esterno risente di 2 forze
uguali e opposte, ma come si vede dalla figura esse producono un momento di forze
agenti (una coppia). Il momento risultante è
τ = F d/2 sin θ + F d/2 sin θ = F d sin θ = (qE)d sin θ = pE sin θ
~ che rappresenta
formalmente questa si può indicare in modo vettoriale:~
τ =p
~∧E
il momento torcente sul dipolo elettrico immerso in un campo (elettrico) esterno
ad esso. Il dipolo tende quindi ad allinearsi al campo elettrico. Possiamo anche
ricavare l’energia potenziale (calcolando il lavoro ) e con simili passaggi si trova che
~
Ep = −~
p·E
Cap1-Parte II-Elettrostatica
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CAP 23- ESERCIZIO 23P
Esercizio svolto 23.3
Esercizio svolto 23.3
Trovare nel punto P il campo elettrico della bacchetta di plastica in-
curvata ed avente una carica -Q distribuita uniformemente.
a densità di carica λ abbiamo che individuato un elemento infinitesimo di
lunghezza ds la sua carica è dq = λds ed il campo prodotto da questo è
dq
λds
dE = 4πǫ
2 = 4πǫ r 2 che ha direzione radiale (e quindi sia comp. x che
0r
0
y). Osserviamo comunque che per ogni elemento ds ne esiste un altro in posizione simmetrica che produrrà un campo che ha orientazione con la componente y che è opposta a quello dell’elemento considerato. Pertanto nell’integrazione la sola componente x è quella che rimane. Inoltre dEx = dE cos θ =
R +60◦
+60◦
cos θdθ
λ
λ cos θds
con ds = rdθ per cui Ex = −60◦ λr4πǫ
=
[sin
θ]
2
−60◦ =
4πǫ0 r 2
r
4πǫ
r
0
0
5
Cap 23- Esercizio 23P
23.23P
Una bacchetta isolante di lunghezza L possiede una carica -q uniformemente distribuita sulla sua lunghezza. Determinare il campo su un
punto P posto sullo stesso asse della bacchetta e a distanza a da uno
degli estremi
Indichiamo con dx un elemento infinitesimo, posizioniamo l’origine su
uno degli estremi e orientiamo secondo x la bacchetta; il punto P è a destra
dq
λdx
ad esempio. Il campo −dE = 4πǫ
2 = − 4πǫ (L+a−x)2 e λ = q/L. Il
0r
0
campo è diretto secondo x (sarebbe con verso negativo). Possiamo integrare
Cap1-Parte II-Elettrostatica
10
√
3λ
4πǫ0 r
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CAP 23- ESERCIZIO 23P
facendo variare la posizione di dx tra 0 e L:
E=−
λ
[
1
]L
0
4πǫ0 L + a − x
1
λ 1
)=
( −
−
4πǫ0 a
a+L
1
L
Q
λ
=−
−
4πǫ0 a(a + L)
4πǫ0 a(a + L)
Cap1-Parte II-Elettrostatica
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