Soluzioni gara A - Liceo Giulio Cesare

SOLUZIONI
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D D A C A C D D A D A D
1) Un ciclista che viaggia alla velocità costante di 5 m/s quanti chilometri percorre
in 3 ore?
(A) 15 km (B) 18 km (C) 50 km (D) 54 km (E) nessuna delle precedenti.
R. Poiché in un secondo ci sono 3600 secondi, il ciclista percorre 3 · 3600 · 5 = 54000
metri, ovvero 54 km.
2) Se in una città c’è un matematico ogni 320 abitanti, qual è la percentuale di
matematici?
(A) 3,2% (B) 0,32% (C) 3,125% (D) 0,3125% (E) nessuna delle precedenti.
R. La percentuale è di (1/320) · 100% = (100/320)% = 0, 3125%.
b = 60◦ , AEB
b =
3) Si sa che nella figura a fianco C AE
◦
◦
b
20 , ACD = 25 . I punti E, D, B sono allineati.
b
Qual è la misura di B DC?
◦
◦
(A) 75
(B) 85
(C) 90◦
(D) 105◦
(E) le informazioni sono insufficienti.
b =
R. Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo vale 180◦ , si ha che ABE
b
180◦ − 60◦ − 20◦ = 100◦ e quindi l’angolo DBC,
ad esso adiacente, misura 80◦ .
b misura 180◦ − 80◦ − 25◦ = 75◦
Perciò l’angolo B DC
4) Uno sprinter molto regolare quando corre i 100 metri impiega 2,4 secondi per i
primi 20 metri e corre i restanti 80 m a velocità costante, concludendo la gara in
10 secondi netti. Se proseguisse per altri 100 m senza modificare la sua velocità
che tempo otterrebbe sui 200 m?
(A) 18,8 s
(B) 19 s
(C) 19,5 s
(D) 19,6 s
(E) 20 s.
R. Lo sprinter percorre gli ultimi 80 m in 7,6 s. Quindi egli percorrerebbe altri 100 m
nel tempo di (100/80) · 7,6 s = 9,5 s, con un tempo totale di 10 s + 9,5 s = 19,5 s.
6) In un rombo di area 80 cm2 , una diagonale è lunga il doppio dell’altra. Quanto è
lungo il lato del rombo?
√
(A) 8 cm (B) 80 cm (C) 10 cm (D) 20 cm (E) non si può determinare.
R. Se x è la misura in cm della diagonale minore, la diagonale
maggiore misura 2x e
√
otteniamo l’equazione: (1/2)x · 2x = 80, da cui: x = 80. Per ottenere la misura
l del lato possiamo applicare il teorema di Pitagora
rettangolo che ha
√ al triangolo
√
come cateti le due metà della diagonali: l2 = ( 80)2 + ( 80/2)2 = 100, quindi
l = 10.
7) Cinque persone non si trovano d’accordo sulla data.
— Carlo dice che oggi è lunedı̀ 16 agosto
— Franco dice che oggi è martedı̀ 16 agosto
— Marco dice che oggi è martedı̀ 17 settembre
— Roberto dice che oggi è lunedı̀ 17 agosto
— Tullio dice che oggi è lunedı̀ 17 settembre.
Uno ha ragione, ma nessuno ha “completamente” torto, nel senso che ciascuno
dice correttamente almeno una cosa (o il giorno della settimana, o il giorno del
mese, o il mese). Chi ha ragione?
(A) Carlo
(B) Franco
(C) Marco
(D) Roberto
(E) Tullio.
R. Se uno fra Carlo e Marco avesse ragione, l’altro non direbbe nessuna cosa corretta,
quindi nessuno di loro due può aver ragione. La stessa cosa vale per Franco e
Tullio. Quindi è Roberto ad aver ragione.
8) Quattro squadre di pallacanestro di pari forza disputano un torneo con girone
unico all’italiana (ogni squadra incontra ogni altra squadra una sola volta). Qual
è la probabilità che ci sia una squadra che alla fine del torneo ha vinto tutte le sue
partite? (le partite di pallacanestro non possono finire con un pareggio).
(A) 1/6
(B) 1/π
(C) 1/3
(D) 1/2
(E) 2/3.
R. Essendo le quadre di pari forza, la probabilità per ogni squadra di vincere una
certa partita è 1/2. Una data squadra gioca 3 partite e la probabilità che le vinca
tutte è (1/2)3 = 1/8. Siccome le squadre sono 4, la probabilità che una squadra
qualsiasi vinca tutte le sue partite è (1/8) · 4 = 1/2.
5) Una partita di angurie del peso iniziale di 500 kg viene stoccata per una settimana
in un magazzino. All’inizio la percentuale di acqua contenuta nelle angurie è il 99%
del loro peso, alla fine dello stoccaggio, a causa dell’evaporazione, tale percentuale
è scesa al 98%. Quanto pesano alla fine le angurie?
(A) 250 kg
(B) 400 kg
(C) 480 kg
(D) 490 kg
(E) 495 kg.
9) Un pallone di cuoio è ottenuto cucendo 20 pezzi di cuoio a
forma esagonale e 12 pezzi di cuoio a forma pentagonale.
Una cucitura unisce i lati di due pezzi adiacenti. Allora il
numero totale delle cuciture è
(A) 90
(B) 172
(C) 176
(D) 180
(E) i dati del problema sono insufficienti.
R. La materia secca contenuta nelle angurie è all’inizio l’1% del peso totale, quindi
5 kg. Dopo l’evaporazione, il peso della materia secca è lo stesso, ma ora è il 2%
del peso delle angurie. Quindi le angurie pesano 5 kg/(2/100) = 250 kg.
R. I 20 esagoni hanno 20 · 6 = 120 lati. I 12 pentagoni hanno 12 · 5 = 60 lati. In tutto
ci sono quindi 180 lati, ma ogni cucitura congiunge 2 lati, quindi le cuciture sono
180/2 = 90.
10) Quanti angoli maggiori di 90◦ può avere un quadrilatero (non intrecciato)?
(A) Ne ha sempre almeno uno
(B) ne ha al più uno
(C) ne ha al più due
(D) ne ha al più tre
(E) può averne quattro.
R. La somma degli angoli interni di un quadrilatero non intrecciato è 360◦ . Quindi
al massimo esso può avere 3 angoli maggiori di 90◦ .
11) In una scatola vi sono quattro sacchetti: il primo sacchetto contiene 4 palline
bianche e 3 nere, il secondo 2 palline bianche e 4 nere, il terzo 6 palline bianche e
9 nere, il quarto 5 palline bianche e 10 nere.
Si estrae un sacchetto a caso e da questo, sempre a caso, si estrae una pallina.
Sapendo che è stata estratta una pallina bianca, quale sacchetto è più probabile
che sia stato scelto?
(A) Il primo
(B) il secondo
(C) il terzo
(D) il quarto
(E) tutti i sacchetti hanno la stessa probabilità di essere stati estratti.
R. Indichiamo con p1 , p2 , p3 , p4 la probabilità di estrarre una pallina bianca rispettivamente dal primo, dal secondo, dal terzo, dal quarto sacchetto. Si ha:
p1 =
1 4
1
· = ,
4 7
7
p2 =
1 2
1
· =
,
4 6
12
p3 =
1 6
1
·
=
,
4 15
10
p4 =
1 5
1
·
=
.
4 15
12
Poiché sappiamo che la pallina estratta è bianca, la probabilità che essa sia stata
estratta dall’n-simo sacchetto è
pn
p1 + p2 + p3 + p4
quindi il primo sacchetto è quello dal quale con maggiore probabilità la pallina è
stata estratta, perché p1 è maggiore di p2 , p3 e p4 .
12) Nel pentagono regolare disegnato a fianco, il triangolo ABC
b
è equilatero. Quanto vale l’angolo convesso E CD?
◦
◦
◦
(A) 120
(B) 144
(C) 150
(D) 168◦
(E) 170◦ .
R. La somma degli angoli interni di un poligono con n lati è uguale a n − 2 angoli
piatti. Quindi ogni angolo interno del pentagono regolare misura 108◦ . Siccome
b = 48◦ . Ma il triangolo EAC è
gli angoli del triangolo ABC sono di 60◦ , si ha E AC
◦
b = E CA
b = 66 . Analogamente si trova B CD
b = 66◦ . Quindi:
isoscele, quindi AEC
◦
◦
◦
◦
b = 360 − E CA
b − ACB
b − B CD
b = 360 − 66 − 60 − 66◦ = 168◦ .
E CD