Matematica
Laurea Triennale in Scienze Geologiche
Prof. Giuseppe Maria COCLITE
anno accademico 2016/2017
Preliminari.
I numeri razionali e irrazionali. Irrazionalità di
√
2. Densità di Q in R. Classi separate.
Completezza di R. Intervalli. Funzioni pari, funzioni dispari, funzioni periodiche. Restrizioni, prolungamenti. Funzioni iniettive, funzioni invertibili. Funzione inversa. Funzione
composta. Funzioni monotone. Monotonia e invertibilità. Esistenza e unicità della radice
n-esima. Le funzioni elementari: valore assoluto, segno, parte intera, potenze, logaritmi, trigonometriche, trigonometriche inverse. Le diseguaglianze: | sin x| ≤ |x| ≤ | tan x|, |x| < π/2.
Minimo e massimo di un insieme. Minoranti e maggioranti. Insiemi limitati e insiemi non
limitati (inferiormente, superiormente). −∞, +∞. Esistenza del minimo (risp. massimo) dei
maggioranti (risp. minoranti) di un insieme limitato superiormente (risp. inferiormente) (*).
Estremo inferiore, estremo superiore. Proprietà caratteristiche dell’estremo inferiore e dell’estremo superiore. Il numero di Neper. Minimi, massimi, minoranti, maggioranti, estremi di
una funzione. Funzione limitata e funzione non limitata (inferiormente, superiormente).
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo P
(P.1, Valore assoluto e diseguaglianze: 7,...., 42);
(P.4, Funzioni e grafici elementari: 1,...., 6, 23,...., 34);
(P.5, Funzioni composte: 11,...., 16, 25, 26, 27);
(P.6, Polinomi e funzioni razionali: 1,...., 20);
(P.7, Richiami di trigonometria: 1,...., 49).
Capitolo 3
(3.1, Funzioni iniettive e invertibilità: 1,....,12);
(3.2, Funzioni esponenziali e logaritmiche: 1,..., 18, 21,...., 24, 29, 30);
(3.3, Funzioni esponenziali e logaritmiche in base e: 1,....,18);
(3.5, Funzioni trigonometriche inverse: 1, 2, 3, 5,.....,17)
Numeri complessi.
Definizione. Modulo. Argomento. Somma. Prodotto per uno scalare. Prodotto. Rapporto. Forma algebrica e forma trigonometrica. Potenza n-esima e radici n-esime. Forma
esponenziale.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Appendice 1
(Numeri complessi: 1,...., 43, 46, 47, 49, 51,..., 55).
Limiti di successioni.
1
2
e Limite di una successione. Unicità del limite (*).
Insieme ampliato dei numeri reali: R.
Limitatezza delle successioni convergenti (*). Non limitatezza delle successioni divergenti (*).
Limite di una combinazione lineare, prodotto e quoziente di successioni. Forme indeterminate.
Teorema della permanenza del segno (*). Teoremi di confronto (*). Teorema della convergenza
obbligata o dei carabinieri (*). Criteri di divergenza (*). Limite del prodotto di una successione
infinitesima e di una limitata (*). Regolartà delle successioni monotone (*). Il numero di Neper
come limite di una successione. Alcuni limiti notevoli. Confronto d’infiniti e d’infinitesimi.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 9
(9.1, Limiti di successioni: 1,...., 12, 14,..., 26, 29).
Limiti di funzioni.
e Limite di una funzione reale. Unicità del limite. Limite da sinistra e limite da
Intorni in R.
destra. Relazione fra limiti unilateri e bilateri. Limite di una combinazione lineare, prodotto
e quoziente di funzioni. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Teorema
della convergenza obbligata o dei carabinieri. Criteri di divergenza. Limite del prodotto di
una funzione infinitesima e di una limitata. Limiti notevoli. Confronto di infinitesimi e di
infiniti.
Funzioni continue.
Funzioni continue. Continuità di somme e prodotti di funzioni continue. Continuità delle
funzioni composte. Continuità delle funzioni elementari. Discontinuità di I, II specie ed
eliminabili. Prolungamenti continui. Teorema degli zeri(*). Metodo di bisezione. Teorema
dei valori intermedi (*). Teorema di Weierstrass.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 1
(1.2, Limiti di funzioni: 7,....,36, 49,...., 56, 59, 60);
(1.3, Limiti di funzioni: 1,....,34);
(1.5, Limiti di funzioni: 11,....,20, 27,...., 30);
(1.Riassunto, Limiti di funzioni: 5,....,30).
Capitolo 3
(3.4, Limiti coinvolgenti le funzioni esponenziali e logaritmiche: 1,....,8);
Capitolo 4
(4.3, Limiti coinvolgenti le funzioni trigonometriche: 1,....,13)
Calcolo differenziale.
Derivate. Funzioni differenziabili. Retta tangente in un punto al grafico di una funzione.
Continuità delle funzioni differenziabili (*). Derivata di una combinazione lineare, di un
prodotto, di un rapporto di funzioni differenziabili. Derivata di una funzione composta di
funzioni differenziabili e di una funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Estremi
relativi e punti di estremo relativo per una funzione. Punti stazionari. Teorema di Fermat (*).
3
Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange o di interpolazione costante (*). Caratterizzazione
delle funzioni costanti in un intervallo (*). Criteri di monotonia. Metodi per la ricerca dei
punti di estremo relativo. Teorema di Cauchy (*). Funzioni convesse e funzioni concave.
Punti di flesso. Criteri di convessità in un intervallo (*). Metodi per la ricerca dei punti di
flesso. Asintoti. Diagramma qualitativo di una funzione. Teoremi di De l’Hopital. Teorema e
applicazioni della formula di Taylor.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 2
(2.1, Calcolo di rette tangenti: 1,...., 10, 13,...., 24);
(2.2, Sulla definizione di derivata: 11,...., 39);
(2.3, Calcolo di derivate: 1,...., 30);
(2.4, Derivate di funzioni composte: 1,...., 16);
(2.5, Derivate di funzioni trigonometriche: 3,....., 34);
(2.8, Teorema di Lagrange e Teoremi di monotonia: 1,...., 4, 8,...., 15)
Capitolo 3
(3.3, Derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche: 19,....,48);
(3.5, Derivate delle funzioni trigonometriche inverse: 19,.....,30)
Capitolo 4
(4.3, Applicazioni del Teorema di De l’Hopital: 14,....,28)
(4.4, Estremi di una funzione: 1,....,44);
(4.5, Concavità: 1,....,35);
(4.6, Diagrammi qualitativi di funzioni: 7,....,39);
(4.9, Linearizzazione: 1,....,10,15,.....,22);
(4.10, Applicazioni del Teorema di Taylor: 1,.....,26);
Calcolo integrale.
Misura di rettangoloidi. Partizioni di un intervallo. Somme integrali. Separatezza delle classi
delle somme integrali inferiore e delle somme integrali superiore. Funzioni integrabili secondo Riemann. Integrabilità delle funzioni generalmente continue. Integrabilità delle funzioni
monotone. Integrale definito. Teoremi della media (*). Additività e linearità dell’integrale
definito. Confronto di integrali. Primitive e loro proprietà in un intervallo. Definizione e differenziabilità della funzione integrale ed esistenza delle primitive di una funzione continua in un
intervallo (*). Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale (*). Integrale indefinito.
Integrazione definita e indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione.
Formula di Hermitte. Calcolo di aree. Lunghezze di curve (*). Integrazione di funzioni non
limitate. Integrazione su intervalli non limitati. Criteri di integrabilità.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 5
(5.3, Somme integrali: 1,....,6);
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(5.4, Calcolo di integrali mediante il calcolo di aree: 3,...., 41);
(5.5, Integrali definiti e funzioni integrali: 1,...., 44);
(5.6, Metodo di sostituzione: 1,...., 24, 26, 28, 32,...., 36, 39,...., 47);
(5.7, Calcolo di aree: 1,...., 16).
Capitolo 6
(6.1, Integrazione per parti: 1,...., 23);
(6.2, Integrazione di funzioni razionali: 1,...., 6, 9,...., 16, 20,...., 28);
(6.3, Integrazione di funzioni irrazionali: 1,...., 10, 14, 15, 17,...., 20, 24,...., 31, 33,....,
36);
(6.5, Integrali impropri: 1,...., 22, 30,....., 37, 40, 41).
(6, Riassunto, Tecniche di integrazione: 1,...., 14, 16,...., 40, 42,...., 57, 59, 61,...., 80).
Capitolo 7
(7.1, Calcolo di volumi: 1,...., 23);
(7.3, Calcolo di lunghezze di curve: 1,....,14).
Serie
Somma di una serie. Condizione necessaria di convergenza (*). Regolarità delle serie a termini
positivi (*). Serie geometrica. Serie telescopica. Serie armoniche (*).
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 9
(9.2, Serie: 1,....., 18).
Equazioni differenziali.
Definizioni. Equazioni lineari omegenee e non omogenee del primo ordine. Variazione delle
costanti. Equazioni a variabili separabili. Equazioni di Bernoulli. Equazioni lineari omegenee
e non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine.
Esercizi: P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica 2, parte prima, 9a edizione.
Capitolo 4
(Equazioni lineari del primo ordine: 4,....., 11).
(Equazioni lineari del secondo ordine: 14,....., 18, 31, 32, 46,..., 49, 53).
Capitolo 5
(Equazioni a variabili separabili: 1,..., 4, 7, 8, 10, ..., 17, 19).
(Equazioni di Bernoulli: 23,...., 33).
P.S. È richiesta la dimostrazione dei Teoremi contrassegnati da (*).
Testi consigliati
[1] R. A. Adams. Calcolo Differenziale 1. Casa Editrice Ambrosiana, Milano 2014.
[2] P. Marcellini, C. Sbordone. Elementi di Calcolo. Casa Editrice Liguori, Napoli, 2004.
[3] P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica 2. Parte prima. Casa Editrice Liguori, Napoli, 2004.
