Corso di
PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI 1
ing. Antonio Comi
Marzo 2006
Probabilità e Statistica
Esercizi
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Esercizi Probabilità
Variabile aleatoria X(E): funzione che associa ad un evento
E dello spazio delle prove un numero reale X. Ad ogni
valore della v.a. è associata una probabilità P[X(E)] che è la
probabilità che si verifichi l’evento E, P(E).
Ω
1
E
X(E)
P[X(E)]
0
ℜ
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Esercizi Probabilità
Se una v.a. assume un numero finito di valori, ovvero una
infinità numerabile, essa si dice discreta, altrimenti è continua o
mista.
Una v.a. è in genere indicata con una lettera maiuscola; i valori
che essa assume sono indicati con una lettera minuscola.
Ad ogni intervallo di valori di una v.a. corrisponde un
sottoinsieme dello spazio delle prove su cui è definita e la
probabilità associata a tale sottoinsieme. La corrispondenza fra
valori di una v.a. e probabilità può avvenire attraverso la
formulazione di una legge di probabilità, che è una relazione fra
i valori assunti da una v.a. e le probabilità ad essi corrispondenti.
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Esercizi Probabilità
Funzione di distribuzione di probabilità
La funzione di distribuzione FX(x) di una v.a. X è una
funzione della variabile reale x, definita su tutto l’intervallo
[-∞,+∞], la quale fornisce la probabilità cumulata che la v.a.
X assuma un qualsiasi valore minore o uguale a x.
Cioè:
FX(x) = Pr(X ≤ x)
x∈R
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Esercizi Probabilità
La funzione di distribuzione gode delle seguenti proprietà:
1) assume valori compresi nell’intervallo chiuso [0,1];
2) tende a zero per x→ -∞ e a 1 per x→ +∞;
3) per a e b qualsiasi ed a ≤ b risulta:
FX(a) ≤ FX(b)
da cui risulta che FX(x) è una funzione monotona non
decrescente. Si ha inoltre:
FX(b) - FX(a) = Pr(a < X ≤ b)
4) Se la v.a. è discreta la sua funzione di distribuzione ha un
andamento a scalini, con discontinuità in corrispondenza dei
valori assunti dalla v.a. di entità pari alle corrispondenti
probabilità. Se FX(x) è continua e derivabile la v.a. è
continua. Se FX(x) presenta punti di discontinuità, ma non
ha un andamento a scalini, ovvero non è costante fra
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successivi punti di discontinuità, la v.a. si dice di tipo misto.
Esercizi Probabilità
Funzione di
distribuzione per v.a.
discreta
FX(x) = Pr(X ≤ x)
Funzione di
distribuzione per v.a.
continua
FX(x) = Pr(X ≤ x)
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Esercizi Probabilità
Funzione di probabilità
La funzione di probabilità pX(x) di una v.a. discreta X è una
funzione della variabile reale x che ha valore diverso da
zero solo in corrispondenza dei valori x assunti dalla v.a. e
uguale alla corrispondente probabilità:
Proprietà:
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Esercizi Probabilità
Funzione di densità di probabilità
La funzione di densità di probabilità fX(x) di una v.a.
continua X è la derivata della funzione di distribuzione
FX(x):
Proprietà:
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Esercizi Probabilità
La funzione di probabilità associa all’evento E la
probabilità che l’evento si verifichi.
La funzione di densità di probabilità fX(x) di una v.a.
continua X fornisce la probabilità che un valore di x
appartenga all’intervallo Δx molto piccolo.
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Esercizi Probabilità
Funzione di densità di probabilità
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Esercizi Probabilità
Variabile Normale o Gaussiana
La v.a. normale è una variabile continua XN definita
nell’intervallo ]-∞,+∞[, caratterizzata dalla funzione di
densità di probabilità:
⎡ ( x − μ) 2 ⎤
1
fX ( x) =
exp ⎢ −
2 ⎥
2σ ⎦
σ 2π
⎣
con
μ media
σ deviazione standard
La v.a. caratterizzata dalla funzione di densità di probabilità
con μ=0 e σ =1 prende il nome di variabile aleatoria
normale standard.
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Esercizi Probabilità
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Esercizi Probabilità
Una v.a. normale qualunque può essere “standardizzata”
ovvero ricondotta ad una normale standard con una
semplice trasformazione:
XN −μ
Z=
σ
⎡ ( x) ⎤
1
fZ ( x ) =
exp ⎢ −
⎥
2
2π
⎣
⎦
2
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Esercizi Probabilità
Esercizi
Data la variabile aleatoria normale standard, Z , si calcoli la
probabilità che Z sia minore di:
•
•
•
•
•
•
1,2 (0,8849)
0,1 (0,5398)
1,94 (0,9738)
0,65 (0,7422)
-2,15 (0,0158)
-0,12 (0,4522)
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Esercizi Probabilità
Data la variabile aleatoria normale standard, Z , si calcoli la
probabilità che Z sia maggiore di:
•
•
•
•
•
•
2,98 (0,0014)
-0,11(0,5438)
1,76
2,65
-1,75
-1,92
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Esercizi Probabilità
Data la variabile aleatoria normale standard, Z , si calcoli la
probabilità che Z sia compreso tra:
• 1,2 e 2,86 (0,113)
• -1 e 1,1 (0,7062)
• -2,35 e 1,97
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Esercizi Probabilità
Data la variabile aleatoria normale, X (μ = 0,44; σ=3,24), si
calcoli la probabilità che X sia minore di:
• 0,66 (0,5279)
• -0,54
• -0,35
si compresa tra:
• -0,26 e 0,68 (0,115)
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Esercizi Probabilità
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