I Poligoni
Spezzata
A cosa vi fa pensare una spezzata?
Qualcosa che si rompe in tanti pezzi
A me dà l’idea di un spaghetto che
si rompe
Se noi rompiamo uno spaghetto e
manteniamo uniti i vari pezzi per un
punto abbiamo l’idea della spezzata
In pratica la spezzata è
data dall’unione di tanti
segmenti uno consecutivi
all’altro
C
B
D
A
E
F
Elementi di una pezzatavertici
I punti di inizio e di fine della
spezzata prendono il nome di
estremi della spezzata
C
B
lati
D
I punti che uniscono i
segmenti consecutivi
prendono il nome di vertici
della spezzata
I segmenti consecutivi che
formano la spezzata
prendono il nome di lati della
spezzata
A
estremi
E
F
Tipi di spezzata
Spezzata aperta semplice
Spezzata aperta intrecciata
Spezzata chiusa semplice
Spezzata chiusa intrecciata
Spezzata aperta
Una spezzata si dice aperta se i suoi
estremi non coincidono
Spezzata aperta
Una spezzataintrecciata
aperta si dice rintracciata
quando ha due o più lati che si
Spezzata aperta
intersecano
Spezzata Chiusa
Una spezzata si dice chiusa se i suoi
estremi coincidono
Una spezzata chiusa si dice intrecciata
se ha almeno due lati che si
intersecano
Spezzata semplice
chiusa
Spezzata chiusa
intrecciata
Poligono
Cosa succede al piano a se noi
tracciamo una spezzata chiusa
semplice?
Se immaginiamo di prendere un
paio di forbici e di ritagliare il
contorno cosa abbiamo preso?
Un pezzo di piano più
precisamente una porzione di
piano (parte colorata)
Definiamo poligono una porzione di
piano delimitata da una spezzata chiusa
Delimitare: Chiudere qualcosa dentro un limite, tracciarne
i confini
Lati consecutivi
Consideriamo la
seguente figura
Vediamo che i lati a e
i lati b hanno un
vertice in comune (B)
Contributi esterni
Tipi di poligono
Possiamo riconoscere due tipi di poligoni
1. Poligono concavo
2. Poligono convesso
Che differenza esiste fra i due?
Poligono Convesso
Fissiamo la nostra attenzione sugli
angoli interni e sui lati
Definiamo interno l’angolo formato
da due lati consecutivi
Tutti gli angoli interni sono minori di
un angolo piatto
Se consideriamo le rette passanti
per i lati del poligono nessuna di
esse lo attraversa
Si definisce convesso un
poligono che non viene
attraversato dal
prolungamento dei suoi lati
Poligono concavo
Fissiamo nuovamente la nostra
attenzione sugli angoli interni e sui
lati
Alcuni angoli interni sono maggiori
di un angolo piatto
Se consideriamo le rette passanti
per i lati del poligono alcune di esse
lo attraversano
Si definisce concavo un
poligono che è
attraversato dal
prolungamento di alcuni
lati
Diagonali
Consideriamo la seguente figura
Disegniamo un segmento che
unisce due vertici non
consecutivi
Chiamiamo questo segmento
diagonale
Si definisce diagonale
in segmento che
unisce due vertici non
consecutivi di un
poligono
Perimetro
Consideriamo il seguente poligono
I lati a, b, c, e d rappresenteranno il contorno del poligono
Immaginiamo ora di prenderli uno ad uno e di sommarli
(sappiamo già come si fa altrimenti slide successiva)
La lunghezza del segmento A’A’’
A’A’’ ottenuto sommando questi
lati è detta perimetro del poligono
Di definisce perimetro di un poligono e si
indica con 2P la misura del contorno del
poligono
Figure equivalenti
Equivalenti significa che le
due figure si equivalgono cioè
hanno lo stesso valore
Consideriamo le seguenti due
figure
Il loro contorno racchiude la
stessa porzione di piano cioè
hanno la stessa area
Si definiscono
equivalenti due
figure che hanno
la stessa area
Somma di segmenti
Per sommare due segmenti occorre metterli uno
dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del
secondo segmento con la fine del primo in modo
C
D
da avere due segmenti adiacenti
Consideriamo i segmenti AB e CD
Facciamo coincidere B con C
Otteniamo il segmento AD
Tale segmento è la somma di AB + CD
AD = AB + CD
A
B
Figure isoperimetriche
Ogni volta che ci troviamo
di fronte al prefisso Iso
significa che abbiamo due
cose uguali
Consideriamo i seguenti
due poligoni
Essi pur essendo diversi
hanno lo stesso perimetro
Si definiscono isoperimetrici due
poligoni che hanno lo stesso perimetro
Area
Un qualsiasi poligono,
per definizione,
racchiude al suo interno
una porzione di piano
Si definisce area la
misura di questa
porzione di piano
α
L’area è la misura della porzione di
piano che si trova all’interno di una
linea chiusa non intrecciata
Calcolo di un perimetro
Consideriamo la seguente figura
Il suo perimetro 2P sarà dato da:
Se sostituiamo ai lati il loro valore
avremmo che:
cioè
Angolo interno di un poligono
Prendiamo in considerazione la parola
pentagono
Essa deriva dai termini penta che
significa 5 e gono che significa angolo
Perciò letteralmente si tratta di una
figura geometrica con 5 angoli
Ma da come avranno origine questi
angoli?
Essi risulteranno formati dalle
semiratte che contengono e segmenti
consecutivi del poligono
Gli angoli interni di un poligono sono gli
angoli formati da due segmenti consecutivi
Somma degli angoli interni di un triangolo
Consideriamo il seguente
triangolo
Tracciamo la retta passante per
CB e la sua parallela passante per
A
A questo punto noi abbiamo due
rette parallele tagliate da due
trasversali che sono i lati del
triangolo
Gli angoli β e β1
sono uguali
perché alterni
interni rispetto alla
trasversale c
Interessante contributo esterno
Gli angoli γ e γ1 sono uguali per lo
stesso motivo perché alterni interni
rispetto alla trasversale b
Adesso si vede chiaramente come
la somma degli angoli interni del
triangolo α, β, γ sia uguale alla
somma degli angoli β1, γ1 e α
perché:
γ1 = γ; β1 = β e α è in comune
con
Come si vede chiaramente dalla
figura
Somma degli angoli interni di un
poligono
Adesso sappiamo quanto
vale la somma degli angoli
interni di un triangolo
Possiamo utilizzare questa
conoscenza per calcolare la
somma degli angoli interni di
ogni poligono?
Secondo voi come possiamo
fare?
È possibile ad es. dividere il
poligono in tanti triangoli
avente per lati i lati del
poligono e le sue diagonali
Quanti lati ha
questo
poligono?
Quante
diagonali?
Quanti
triangoli
Ogni triangolo
= 180°
3 x 180°
= 540°
A noi serve una
formula: come
trovarla?
Consideriamo il
seguente
poligono
Inseriamo al
proprio interno
un punto
Uniamo con un segmento
il punto G con ciascun
vertice del poligono
Otteniamo tanti triangoli
quanti sono i lati del
poligono
Istintivamente potremmo dire
che indicato con l il numero
dei lati del poligono la somma
dei suoi angoli interni sarà :
l x 180°
Una via per la formula
Gli angoli che hanno il vertice in G
vanno sottratti dal calcolo
Quanto vale la loro somma? 360°
360° (è un
angolo giro) cioè 2 x 180°
180°
Perciò a l x 180 (il numero dei triangoli
che è possibile costruire è uguale al
numero dei lati) vanno sottratti questi 2
x 180°
180° (che non fanno parte degli angoli
interni)
Nel nostro poligono la somma degli
angoli interni è
6 x 180 – 360
360°° = 720
720°°
Formula
Da cui
Definizione
La somma degli angoli
interni di un poligono è
uguale al numero dei lati
diminuito di due per 180 °
Angoli esterni di un poligono
Si definisce angolo esterno di un
poligono l’angolo formato dal
prolungamento del lato precedente
e il lato successivo di un poligono
La somma degli
angoli esterni di
un poligono vale
sempre 360°
approfondimenti
Angoli adiacenti
Si dicono adiacenti due angoli consecutivi
e i cui lati non comuni giacciono sulla
stessa retta
Noti una qualche somiglianza con gli angoli interni ed esterni
di un poligono?
Consideriamo
la seguente
figura
Le coppie angoli interni ed
esterni di un poligono che
fanno capo ad uno stesso
vertice costituiscono una
coppia di angoli adiacenti
Numero delle diagonali di un
poligono
Il numero delle diagonali di un poligono di
n vertici è dato dalla formula:
Dove n è il numero dei vertici
del poligono
Poligono equiangolo
Un poligono si dice equiangolo se
ha gli angoli interni uguali
Poligono equilatero
Un poligono si dice equilatero
se ha tutti i lati congruenti
Poligoni regolari
Si dicono
regolari quei
poligoni che
sono sia
equilatere che
equiangoli
Perimetro di un poligono
regolare
Il perimetro della seguente figura si
trova sommando i suoi lati cioè:
2P = 3u + 3u + 3u + 3u + 3u + 3u
2P = 6 x 3u = 18u
Il perimetro di un
poligono regolare si
ottiene moltiplicando il
valore di un lato per il
numero di lati
2P = n x l
Lato di un poligono regolare
A noi serve l perciò dobbiamo
modificarla
2P rimane al suo posto
Noi sappiamo che :
x scavalca l’uguale diventando la
sua operazione opposta cioè :
2p
=
x
:
n scavalca l’uguale
e da fattore diventa
divisore
l
n
=
l
Da cui
2p
:
n
