Esame di ammissione al XXVI ciclo del Dottorato in Astronomia

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Esame di ammissione al XXVI ciclo del Dottorato in Astronomia
Roma - La Sapienza
Compito 1
Il candidato svolga:
(a) uno, a sua scelta, tra i tre temi proposti, limitando lo svolgimento a tre facciate del foglio
a disposizione e con una calligrafia chiara;
(b) i due esercizi proposti.
Tema 1
Lo spostamento (red-shift o blue-shift) delle righe spettrali di oggetti astronomici e sua rilevanza
per la comprensione astrofisica.
Tema 2
Evidenze della presenza di materia oscura barionica e non barionica.
Tema 3
Discutere il fenomeno del trasporto radiativo e illustrare qualche caso astrofisico.
Esercizio 1
In una galassia sfericamente simmetrica le stelle in orbite circolari di raggio r qualsiasi, hanno
periodo
(r/R)3/2
P (r) = T q
r
ln r+R
− r+R
R
dove T ed R sono costanti. Si chiede :
(i) di determinare la legge di distribuzione di densitá di materia della galassia;
(ii) se la massa della galassia é finita o infinita;
(iii) di valutare la forza esercitata dalla galassia sulla stella di massa unitaria nei limiti r << R
e r >> R.
(iv) qual é il valore della costante T per cui si ha che le stelle in orbita circolare di raggio r = R
compiono 100 rivoluzioni attorno al centro galattico in un tempo di Hubble TH = 13.7 Gyr.
Nota: si assuma per la costante di gravitazione universale il valore G = 6.67 × 10−8 g−1 cm3 s−2
Esercizio 2
Un pianeta sferico di raggio R = 6.4 × 106 m é in orbita a distanza d = 1.5 × 1011 m da una
stella di raggio R = 7 × 108 m e temperatura effettiva Te = 5800 K. Si chiede di:
(i) calcolare il valore del flusso di radiazione incidente sul pianeta (W/m2 );
(ii) calcolare la temperatura di equilibrio della superficie del pianeta.
Note: Si considerino il pianeta e la stella come perfetti assobitori/emettitori. Si assuma che il
pianeta sia privo di atmosfera e abbia conducibilitá termica superficiale infinita.
Si ricordi il valore della costante di Stefan-Boltzmann σ = 5.67 × 10−8 Wm−2 K−4
Esame di ammissione al XXVI ciclo del Dottorato in Astronomia
Roma - La Sapienza
Compito 2
Il candidato svolga:
(a) uno, a sua scelta, tra i tre temi proposti, limitando lo svolgimento a tre facciate del foglio
a disposizione e con una calligrafia chiara;
(b) i due esercizi proposti.
Tema 1
Candele standard per la determinazione delle distanze in astronomia e cosmologia.
Tema 2
L’effetto Doppler-Fizeau e la sua utilizzazione nei diversi settori dell’astrofisica.
Tema 3
L’effetto Compton e la sua applicazione a casi astrofisici.
Esercizio 1
Su un pianeta A, sfericamente simmetrico e privo di atmosfera, un astronauta a uno dei poli
lancia in verticale verso l’alto una pallina imprimendole una certa velocitá iniziale e vede che
essa raggiunge l’altezza massima di 25 cm rispetto alla posizione di partenza. Durante una
missione successiva su un altro pianeta B, sempre sfericamente simmetrico, privo di atmosfera
e la cui massa é uguale a quella del pianeta A, l’astronauta effettua identico esperimento (lancio
della pallina in verticale verso l’alto con stessa velocitá iniziale) verificando che questa volta
l’altezza massima raggiunta é di 4 metri. Si chiede:
(i) qual é il rapporto dei raggi dei due pianeti;
(ii) qual é il rapporto delle loro densitá, nell’ipotesi che siano uniformi;
L’astronauta effettua poi sul pianeta B analogo esperimento ma questa volta all’equatore,
verificando che l’altezza massima raggiunta dalla pallina é di 8 metri. Si chiede:
(iii) di calcolare il periodo di rotazione del pianeta, supponendo che il raggio e la massa del
pianeta B siano 5000 km e 1027 g rispettivamente.
Nota: si assuma per la costante di gravitazione universale il valore G = 6.67 × 10−8 g−1 cm3 s−2
Esercizio 2
Le stelle di un ammasso stellare sono distribuite secondo una funzione di massa del tipo
φ(M ) = KM −2 , tale che dN = φ(M )dM sia il numero di stelle nell’intervallo infinitesimo
di massa. Le masse sono comprese tra un estremo inferiore Minf = 0.3 M⊙ e un estremo
superiore Msup incognito. La costante K vale 200 M⊙ . Si assuma inoltre che la relazione fra la
luminositá bolometrica e la massa delle stelle sia L(M ) = L⊙ (M/M⊙ )3.5 . Si chiede:
(i) di mostrare la necessitá dell’esistenza di un estremo superiore finito per la distribuzione di
massa, per evitare che la massa dell’ammasso diverga anche se il numero di stelle resta finito;
(ii) di calcolare il valore di tale estremo superiore affinché la massa totale dell’ammasso sia
600 M⊙ ;
(iii) di calcolare la luminositá bolometrica dell’ammasso in unitá solari, e la corrispondente
magnitudine assoluta.
Nota: Il simbolo ⊙ indica le unitá solari. La magnitudine assoluta bolometrica del Sole M⊙ =
4.75
Esame di ammissione al XXVI ciclo del Dottorato in Astronomia
Roma - La Sapienza
Compito 3
Il candidato svolga:
(a) uno, a sua scelta, tra i tre temi proposti, limitando lo svolgimento a tre facciate del foglio
a disposizione e con una calligrafia chiara;
(b) i due esercizi proposti.
Tema 1
Classificazioni morfologiche delle galassie e loro interpretazione fisica.
Tema 2
Metodi per la determinazione delle masse planetarie e stellari.
Tema 3
Si descriva un metodo statistico per la stima di parametri caratteristici di un modello a partire
da misure astrofisiche
Esercizio 1
Una stella sferica e omogenea ha raggio R = R⊙ e massa M = M⊙ .
Si chiede di:
(i) valutare la variazione temporale annua del raggio affinché la luminositá gravitazionale emessa
dalla stella eguagli la luminositá che essa avrebbe se fosse un corpo nero di temperatura effettiva
Te,⊙ = 5800 K, e raggio R;
(ii) valutare quanto tempo ci vorrebbe perché la stella scompaia nel suo orizzonte di Schwarzschild
nell’ipotesi di contrazione continua, al ritmo precedentemente determinato, e a massa costante;
(iii) valutare il rapporto tra la variazione temporale annua di cui al punto (i) con quella che
avrebbe una nana bianca della stessa massa M data, ma di raggio RN B = R⊙ /100 e temperatura
effettiva Te,N B = 5Te⊙ .
Nota: si assumano i seguenti valori: M⊙ = 2 × 1033 g, R⊙ = 7 × 1010 cm, σ = 5.67 ×
10−5 erg cm−2 K−4 s−1 , G = 6.67 × 10−8 g−1 cm3 s−2 , c = 3 × 1010 cm s−1 , dove σ é la costante
di Stefan-Boltzmann, G quella di gravitazione universale e c la velocitá della luce nel vuoto.
Esercizio 2
Lo spettro di un AGN nell’intervallo spettrale da 1 keV a 10 keV é descritto da una legge di
potenza del tipo Fν = Aν −2 , con A = 106 erg cm−2 s−1 Hz.
Si calcoli:
(i) il flusso totale nell’intervallo considerato;
(ii) si stimi il numero di fotoni al secondo per unitá di superficie che corrisponde al flusso
suddetto.
(iii) in quale intervallo di frequenza, a partire da 1 keV, é contenuta la metá dei suddetti fotoni.
Nota:
1eV = 1.6 × 10−12 erg;
costante di Planck h = 6.6 × 10−27 erg s.
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