Testo Esame Novembre 2013

Atomica
1. Un atomo di trizio (isotopo dell’ idrogeno, con massa nucleare tripla) si muove con
velocita’ v lungo l’asse x. Nell’ origine e’ posto un atomo di idrogeno fermo. La
distanza tra i due atomi e’ tale che la loro interazione puo’ essere trascurata. L’
atomo di trizio si trova nello stato fondamentale, mentre l’ atomo di idrogeno si trova
in uno stato eccitato con numero quantico n. Il decadimendo del’atomo di idrogeno
verso lo stato fondamentale genera un fotone che viene assorbito dall’ atomi di trizio,
che si porta cosi’ al livello n. E’ possibile determinare da questi dati la velocita’ (in
modulo e direzione) del trizio ?
2. Quante righe si osservano per la transizione 2S-2P del Be+ in un campo magnetico
di 5000 Gauss? Disegnare il sistema dei livelli e le possibili transizioni. Indicare se
la riga e’ attiva quando (1) osserviamo nella stessa direzione del campo magnetico
(posto lungo z per convenzione) e (2) nella direzione (1,1,1). La separazione SO tra
2P3/2 e 2P1/2 e’ ∆ν = 6.61 cm−1
Molecolare
Una molecola biatomica A-B (con masse atomiche MA ed MB ) e’ caratterizzata da un
potenziale intramolecolare Lennard-Jones:
" 6 #
R0 12
R0
V (R) = 4
−
R
R
con R0 ed = noti.
• Calcolare la frequenza vibrazionale
• Discutere se e’ osservabile radiazione emessa o assorbita alla frequenza vibrazionale
• Calcolare la posizione della righa piu’ vicina alla frequenza vibrazionale
• Calcolare la energia di dissociazione assumendo che la molecola e’ nello stato fondamentale
• Se le due masse atomiche raddoppiassero, ci sarebbe una variazione della energia di
dissociazione ? (spiegare).
1
Soluzioni
La frequenza emessa o assorbita in una atomo di idrogeno e/o trizio fermo si scrive
1
µ
1
νa→b = R∞
−
n2a me
n2b
dove µ e’ la massa ridotta dell’ elettrone. La luce emessa da un atomo in movimento ha
una frequenza modificata da un fattore, per effetto Doppler,
v
1±
c
in base alla direzione del moto dell’ atomo che emette la luce rispetto all’ osservatore
(avvicinamento o allontanamento).
Se scegliamo come riferimento l’ atomo di Trizio, vediamo la radiazione emessa dall’
idrogeno alla frequenza modificata. Imporre l’uguaglianza tra le due transizioni (emissione
ed assorbimento) richiede dunque
3MH
1
MH
v
1
−
1
|
=
|R
1
−
|
1
±
|R∞
∞
n2
3MH + me
n2 MH + me
c
e semplificando
3
1
v
=
1±
3MH + me
MH + me
c
v
3MH + 3me
1±
=
c
3MH + me
v 3M + 3m − 3M − m
2
e
e
H
H
±
=
=
c
3MH + me
3MH /me + 1
La soluzione corretta e’ dunque quella con il segno piu’, da cui
v=c
2
= 3.6 10−4 c
3 ∗ 1836 + 1
L’ atomo di Trizio si avvicina all’ atomo di idrogeno.
La presenza del campo magnetico determina una variazione della energia dei livelli,
che nella approssimazione di campi forti (rispetto alle correzioni relativistiche) e’ scrivibile
come
En,l,ml ,ms = En + µB B(ml + 2ms )
2
con −l < ml < l e ms = ±1/2.
Per campi deboli, dove domina spin-orbita rispetto al termine magnetico,
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
= µB Bgmj
∆Ej = µB Bmj 1 +
2j(j + 1)
dove g ≡ 1 + j(j+1)+s(s+1)−l(l+1)
e’ chiamato fattore di Lande’.
2j(j+1)
Nel nostro caso dobbiamo valutare se il contributo µB B e’ maggiore o minore dello
splitting SO.
Convertendo da Gauss in Tesla (1G = 100µT ) e poi in cm−1 ,
µB B = 9.27 10−24 JT −1 5000 10−4 T = 9.27 ∗ 0.5 ∗ 10−24 J
Ricordando che 1J = 6.241 1018 eV, µB B = 9.27 ∗ 0.5 ∗ 6.24110−6 eV, e che 1eV=
8065.44 cm−1 abbiamo µB B = 9.27 ∗ 0.5 ∗ 6.241 ∗ 8065.44 ∗ 10−6 cm−1 = 0.23 cm−1
Occorre dunque considerare il campo magnetico applicato ai livelli gia’ splittati dalla
interazione SO.
Avremo dunque il sistema di transizioni mostrato nella figura seguente
3
Solo le righe con ∆m = ±1 saranno osservabili nella direzione ~k = ẑ mentre tutte nella
direzione (1, 1, 1).
Sviluppando il potenziale al secondo ordine possiamo approssimare il potenziale con
una forma armonica con
s
k
ωvib =
µ
dove µ ≡ MA MB /(MA + MB ) e’ la massa ridotta e
k=
d2 V
|R
dR2 min
La riga vibrazionale non e’ osservabile, perche’ richiederebbe un ∆J = 0. Le (due)
righe piu’ vicine sono a
~ωR,P = ωvib ± 2B
2 .
con B ≡ ~2 /(2I0 ) e I0 = µRmin
L’energia di dissociazione e’ − ~ωvib /2. Se le masse atomiche cambiassero, ωvib che
dipende dalla massa ridotta cambierebbe.
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