Corso di Laurea in Fisica Anno Accademico 2008-2009

Corso di Laurea in Fisica
Anno Accademico 2008-2009
Compito di Fisica B2 (09/09/2009)
1
Una guida d’onda è costituita da due pareti piane di materiale perfettamente conduttore, poste
parallelamente al piano xz e a distanza a (siano y = ±a/2 le posizioni delle pareti). Lungo la guida
si propaga un’onda EM nel modo TE10 la cui unica componente del campo elettrico è
πy eikx−iωt ,
(1)
E(x, y, t) = E0 ẑ cos
a
e per cui la frequenza ω e il vettore d’onda k sono legati dalla relazione di dispersione
r q
πc 2
ω=
+ k 2 c2 ≡ ωT2 + k 2 c2 .
a
(2)
L’espressione (1) soddisfa le condizioni al bordo Ez (y = ±a/2) = 0 e la (2) mostra, com’è noto, che
la propagazione è possibile solo se ω > ωT = πc/a.
Si supponga adesso che la guida venga “terminata”,
ovvero che lungo la guida si ponga un “tappo” costituito da una parete perfettamente conduttrice posta a y
a
x
x = 0.
0
a) Determinare i campi elettrico e magnetico lungo la
guida terminata risultanti dalla riflessione dell’onda incidente (1) a x = 0, verificando esplicitamente
le condizioni al contorno su tale piano.
Si supponga adesso che il “tappo” scorra lungo la guida con velocità costante V = V x̂.
b) Determinare la frequenza ωr e il vettore d’onda kr del- y
x
l’onda riflessa dal “tappo mobile” assumendo V < kc2 /ω,
e verificare che ωr e kr soddisfano la relazione di dispersione (2).
c) Si discuta cosa succede all’onda riflessa nel caso V > kc2 /ω.
1
a
V
2
Nei materiali anisotropi (ad esempio nei cristalli), l’indice di rifrazione e la corrispondente velocità di
fase delle onde elettromagnetiche dipendono in generale dalla polarizzazione. Nel seguito si consideri
un particolare materiale tale che l’indice di rifrazione ha un dato valore ns per onde polarizzate lungo
un certo asse (sia l’asse ẑ per fissare le idee) e un valore np 6= ns per onde polarizzate nel piano
perpendicolare a tale asse (cioè nel piano xy). Sia np che ns si intendono reali e positivi.
a) Si consideri ora luce incidente sulla superficie piana del cristallo, tagliato
in maniera che l’asse ẑ giaccia sulla superficie e che il piano d’incidenza sia il
piano xy (vedi figura). La luce incide ad angolo θi sulla superficie ed è polarizzata ad un angolo diverso da 0 e π/2 rispetto al piano d’incidenza (ovvero
la polarizzazione è un mescolamento di “S” e “P ”). In questa condizione si
osserva che all’interno del cristallo il raggio luminoso si scinde in due raggi
aventi angoli di rifrazione diversi θr± = θr ± α/2. Si spieghi perché e si dica
come dalla misura di θr e α si possano ottenere ns e np . (Per semplificare si
può assumere np,s = n̄ ± δn/2 con δn/n̄ ≪ 1 e sviluppare al primo ordine in
δn).
b) Si assuma ora incidenza normale (θi = 0) e che la polarizzazione dell’onda incidente sia lineare ed orientata a
π/4 rispetto agli assi ŷ e ẑ (cioè diretta lungo la bisettrice del piano yz) come in figura. Il cristallo ha spessore
d. Determinare i valori di d tali che la luce uscente dalla
superficie opposta a quella di incidenza sia polarizzata
circolarmente, oppure che sia polarizzata ancora linearmente, ma con polarizzazione ruotata di π/2 rispetto alla
polarizzazione dell’onda incidente. (Si trascuri la differenza nel coefficiente di riflessione per le componenti S e
P ).
α
θi
y
z x
y
E
x
z
d
NB Si scriva chiaramente e si giustifichi brevemente ogni passaggio; risultati dati senza commento
non saranno considerati.
2
SOLUZIONI
1
a) Il campo elettrico si ottiene come somma dell’onda incidente e di un’onda riflessa di fase opposta:
πy Ez (x, y, t) = E0 cos
sin(kx)e−iωt .
(3)
a
Il campo magnetico si ottiene da ∂t B = −∇ × E ovvero
πy i
iπ
Bx = − ∂y Ez =
E0 sin
sin(kx)e−iωt ,
ω
ωa
a
By =
πy k
i
∂x Ey = − E0 cos
cos(kx)e−iωt . (4)
ω
ω
a
Notare che Bx (x = 0) = 0 come deve.
b) Nel sistema di riferimento S ′ dove V ′ = 0 l’onda incidente ha frequenza e vettore d’onda
ωi′ = γ(ω − βkc),
ki′ = γ(k − βω/c).
(5)
Poiché per ipotesi β < kc/ω si ha ki′ > 0 (notare che ωi′ > 0 comunque poiché k < ω/c). L’onda
riflessa ha
ωr′ = ωi′ ,
kr′ = −ki′
(6)
e quindi nel sistema del laboratorio
ωr = γ(ωr′ + βkr′ c) = γ 2 (1 + β 2 )ω − 2βkc ,
kr = γ(−k + βω/c) = γ 2 −(1 + β 2 )k + 2βω/c .
(7)
(8)
(Il risultato si può controllare prendendo k = ω/c, si ottengono le note formule per lo specchio
mobile.)
Con un po’ di algebra
n
2
2 o
ωr2 − c2 kr2 = γ 4 (1 + β 2 )ω − 2βkc − c2 −(1 + β 2 )k + 2βω/c
= γ 4 (1 + β 2 )ω − 2βkc + (1 + β 2 )kc − 2βω (1 + β 2 )ω − 2βkc − (1 + β 2 )kc + 2βω
= γ 2 (1 − β)2 ω + (1 − β)2 kc (1 + β)2 ω + (1 + β)2 kc = (ω + kc)(ω − kc)
= ω 2 − k 2 c2
(9)
come ci si doveva aspettare data la natura quadrivettoriale di (ω, k) e l’invarianza delle componenti
trasversali di k.
c) Se V > kc2 /ω si ha ki′ < 0, ovvero in S ′ l’onda si propaga in direzione opposta a V e non
raggiunge la parete mobile, per cui non si ha onda riflessa. La condizione equivale a imporre che
V > vg , velocità di gruppo dell’onda nella guida.
3
2
a) Per il principio di sovrapposizione, l’onda incidente può essere scritta come la somma di due
onde polarizzate rispettivamente nel piano xy (polarizzazione P ) e lungo z (polarizzazione S). La
birifrangenza osservata è dovuta al fatto che le componenti P e S soddisfano la legge di Snell con
valori diversi dell’indice di rifrazione. I due raggi che si propagano nel cristallo corrispondono alle
due componenti di diversa polarizzazione e gli angoli di rifrazione corrispondenti sono dati da
sin θr,p =
sin θi
,
np
sin θr,s =
sin θi
.
ns
(10)
Nelle notazioni del problema θr,(s,p) = θr ± α/2. Da queste relazioni si può determinare np,s in
funzione degli angoli misurati θi , θr e α/2. Scrivendo np,s = n̄ ± δn/2 e sviluppando al primo ordine
in δn/n̄ ≪ 1, si ottiene
δn
α
sin θi
1±
sin θr ± cos θr ≃
(11)
n̄
2
2n̄
da cui sin θr = sin θi /n̄ e
α=
sin θi δn
sin2 θr
.
=
δn
cos θr n̄2
cos θr sin θi
(12)
Quindi dalla misura degli angoli si ottiene
np,s =
sin θi
sin2 θr
±
.
sin θr 2 cos θr sin θi
(13)
b) Per produrre luce polarizzata circolarmente è necessario che le due componenti vengano sfasate
di π/2 a causa della differenza di cammino ottico. Deve quindi essere
δφ = kδnd =
2πδnd . π
= ,
λ
2
(14)
ovvero d = λ/(4δn). Un oggetto cosı̀ progettato è detto lamina a quarto d’onda.
Se invece δφ = π, ovvero d = λ/(2δn), una componente cambia di segno rispetto all’altra, ovvero
la polarizzazione ruota di π/2 (lamina a semionda).
4