Matrici inverse
Nel capitolo sull’Algebra lineare abbiamo visto che la matrice unitaria I è l’elemento
neutro per l’operazione di prodotto fra matrici. Data cioè una generica matrice A di tipo (m
n), valgono le relazioni: ImA = AIn = A.
Passiamo ora alla ricerca dell’elemento inverso.
Ci chiediamo cioè se esiste una matrice D di tipo (n m) tale che AD = Im . In tal
caso la matrice D prenderà il nome di inversa destra di A. In modo analogo si definisce
inversa sinistra di A ogni matrice S di tipo (n m) tale che SA = In .
ESEMPIO:
1 1 1
Una matrice inversa della matrice A =
,èD=
1 1 2
4 1
2 0 .
3 1
Infatti:
4 1
1 1 1
1 0
AD =
2 0 =
.
0 1
1 1 2
3 1
Si può dimostrare che la matrice A assegnata ha infinite matrici inverse destre,
mentre non ammette inversa sinistra.
La distinzione operata tra matrice inversa destra e inversa sinistra si giustifica in
quanto, come abbiamo già visto, il prodotto fra matrici non gode della proprietà
commutativa. Il caso in cui inversa destra e sinistra esistano simultaneamente e siano
coincidenti, risulta un caso particolare che riguarda le matrici quadrate. Il fatto che A sia
quadrata è quindi condizione necessaria (ma come vedremo non sufficiente) affinché
esistano e siano uguali tra loro l’inversa destra e l’inversa sinistra di A.
Data dunque una matrice quadrata A di ordine n, se esiste una matrice, pure quadrata
e di ordine n che indichiamo con Â, tale che
AÂ = ÂA = In
diremo che  è la matrice inversa di A.
Si dimostra che se una matrice A ammette inversa, questa è unica.
Esistono vari metodi generali per il calcolo dell’inversa di una matrice quadrata. Qui
ci limiteremo a presentare il procedimento che utilizza la cosiddetta matrice aggiunta di A.
A partire da una matrice quadrata A = [aij] di ordine n, costruiamo la matrice A+ ove
in luogo di ogni elemento aij poniamo il suo complementare algebrico Aij:
A11
A
A+ = 21
...
An1
A12
A22
...
An 2
... A1n
... A2 n
... ...
... Ann
La trasposta di tale matrice viene detta matrice aggiunta e indicata con A*. Pertanto:
A11
A
*
+ T
A = (A ) = 12
...
A1n
A21
A22
...
A2 n
... An1
... An 2
... ...
... Ann
1 0 4
Esempio: se A = 3 2 1 , risulta: A+ =
5 2 1
8 15 6
8
5 2 e A* =
8 11
2
8 8
8
15 5 11 .
6 2 2
Si può dimostrare che AA* = A*A = In · detA.
Ad esempio, riprendendo la matrice precedente, si ha che:
detA = 32,
32 0 0
AA = A A = 0 32 0 = I3 · 32.
0 0 32
*
*
Perciò se il determinante di A è diverso da zero, si ottiene:
1
1
AA* =
A*A = In
det A
det A
Data quindi una matrice quadrata A di ordine n, essa ammette matrice inversa sse
detA 0.
In tal caso, la matrice inversa  è uguale a
1
·A*
det A
ESEMPIO:
2 1
.
1
Determinare la matrice inversa di A =
4
Poiché:
1 1
1
detA = 6 e A* =
, si ha che  =
6
4 2
1
2
1
6
A Â = ÂA =
·
4 1 2
3
1 1
6 = 6
1 2
3 3
1
1 1 6
4 2 = 2
3
1
6 , infatti:
1
3
1
6 · 2 1 = 1 0 = I2
1 4 1 0 1
3
Il procedimento che sfrutta la matrice aggiunta è poco usato nelle applicazioni;
esistono metodi, come quello di Jordan, usato specialmente da calcolatori elettronici.
La matrice inversa gode di alcune notevoli proprietà, fra cui ricordiamo le seguenti:
1)
dalle proprietà del determinante si ha che:
det(AÂ) = detIn · detA · det = 1 e allora det =
1
det A
2)
data la matrice quadrata A, se esiste la matrice inversa Â, questa è unica.
3)
l’inversa della matrice inversa  è uguale alla matrice originaria A
4)
l’inversa della trasposta è uguale alla trasposta dell’inversa
5)
sia C la matrice prodotto di due matrici invertibili A e E. L’inversa di C è
uguale al prodotto della matrice inversa di E per la matrice inversa di A; in simboli: se C =
AE allora Ĉ = ÊÂ.
6)
1
se n = 1, cioè A = [a], con a 0, risulta banalmente che  = .
a
