1 Esercizio (tratto dal Problema 13.6 del Mazzoldi 2) Un gas ideale (n = 0.45 moli) passa con un’isobara reversibile dallo stato A (pA = 2 bar) allo stato B, compiendo un lavoro WA→B = 640 J. Successivamente il gas passa dallo stato B allo stato C (TC = 459.7 K) con un’isoterma reversibile, compiendo un lavoro WB→C = 454 J. NB: I punti 1. e 2. sono preliminari in quanto riguardano nozioni estremamente basilari. Se le risposte ai punti 1. e 2. non risulteranno corrette, i restanti punti non verranno considerati. 1. Calcolare il volume VB ; [1 punto] 2. Calcolare il volume VA ; [2 punti] ——————————————————————3. Calcolare il volume VC ; [3 punti] 4. Calcolare la temperatura TA ; [1 punto] 5. Calcolare il calore scambiato lungo l’isoterma B→C; si tratta di calore assorbito o ceduto?; [2 punti] 6. Si può tornare da C ad A con un’adiabatica reversibile ? [3 punti] p A B C V (R = 8.314 J mol−1 K−1 ) Fabrizio Dolcini (http://staff.polito.it/fabrizio.dolcini/) Dipartimento di Fisica del Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I 2 SOLUZIONE Riscriviamo i dati iniziali, in modo che tutti i dati siano espressi in unità del Sistema Internazionale. DATI INIZIALI: n pA TC WA→B WB→C = = = = = 0.45 mol 2 · 105 Pa 459.7 K 640 J 454 J 1. Dall’equazione di stato dei gas perfetti, applicata allo stato B, abbiamo pB VB = nRTB D’altra parte sappiamo che TB = TC pB VB = ⇒ nRTB pB (perché B→C è un’isoterma) = pA (perché A→B è un’isobara) Sostituendo in (1) otteniamo: VB = nRTC pA (1) (2) (3) Sostituendo i dati VB = J 0.45 mol / · 8.314 mol / / K / 459.7 K 2 · 105 Pa J = 8.60 · 10−3 = Pa [uso J= Nm e Pa=N/m2 ] = = 8.60 · 10−3 m3 (4) 2. Dall’espressione del lavoro, applicata alla trasformazione A→B, abbiamo WA→B = Z VB p dV = VA = [A→B è un’isobara ⇒ p non dipende dal volume, è costante] Z VB = p dV = |{z} VA =pA =pB = pA (VB − VA ) (5) da cui VA = VB − WA→B pA (6) Fabrizio Dolcini (http://staff.polito.it/fabrizio.dolcini/) Dipartimento di Fisica del Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I 3 Sostituendo i dati VA = VB − WA→B = pA 640 J 2 · 105 Pa [uso J= Nm e Pa=N/m2 ] = 8.60 · 10−3 m3 − = 5.40 · 10−3 m3 (7) 3. Dall’espressione del lavoro per l’isoterma da B a C, otteniamo: Z VC WB→C = p dV = VB [lungo un’isoterma p non è costante, ma dipende da V , quindi non possiamo portarla fuori dall’integrale. Uso allora l’equazione di stato.] Z VC nRT = dV = V VB [lungo un’isoterma T è costante] Z VC dV = = nR |{z} T V VB =TB =TC = nRTC ln VC VB (8) Quindi abbiamo WB→C = nRTC ln VC VB ⇓ WB→C nRTC = ln VC VB ⇓ e WB→C nRTC (prendo l’esponenziale di ambo i membri) VC = VB (9) Pertanto VC = VB e WB→C nRTC (10) Sostituendo i dati VC = 8.60 · 10−3 m3 exp 454 J/ J / 0.45mol / · 8.314 mol / K / 459.7 K / = [Controllo dimensionale: l’argomento di un exp deve essere adimensionale, semplifico le unità di misura] 454 −3 3 = 8.60 · 10 m exp = 0.45 · 8.314 · 459.7 | {z } adimensionale: OK = 8.60 · 10−3 m3 · 1.302 = 11.20 · 10−3 m3 (11) Fabrizio Dolcini (http://staff.polito.it/fabrizio.dolcini/) Dipartimento di Fisica del Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I 4 4. Per calcolare la temperatura TA utilizziamo nuovamente l’equazione di stato pA VA = nRTA da cui TA = pA VA nR (12) (13) Sostituendo i dati, e utilizzando (7) TA = 2.0 · 105 Pa · 5.40 · 10−3 m3 = J 0.45 mol / · 8.314 mol / K [uso J=Pa m3 ] = 288.67 K (14) 5. Per calcolare il calore scambiato lungo l’isoterma B→C utilizziamo il primo principio ∆UB→C = QB→C − WB→C (15) Ricordando che per un gas perfetto l’energia interna U dipende solo dalla temperatura U = n cV T notiamo che ∆UB→C = n cV (TC − TB ) = 0 , (16) in quanto B→C è un’isoterma. Pertanto da (15) abbiamo che QB→C = WB→C = 454 J (17) Essendo Q > 0 si tratta di calore assorbito. Infatti durante B→C il gas si espande e compie lavoro: dato che l’energia interna rimane costante il lavoro viene compiuto assorbendo calore. 6. Le trasformazioni adiabatiche (reversibili) sono caratterizzate da equazioni pV γ = cost (adiabatiche rev.) Siccome γ = cp /cV > 1, nel piano p-V le curve delle trasformazioni adiabatiche hanno una pendenza maggiore rispetto alle curve isoterme, che sono invece caratterizzate da equazioni pV = cost (isoterme) Osservo che lo stato A, rispetto allo stato C, è caratterizzato da: VA < VC TA < TC (18) Partendo dal punto che identifica lo stato C nel piano p-V (vedi Fig.1), l’adiabatica che passa per C ha pendenza maggiore dell’isoterma BC. Di conseguenza, se ci si muove da C lungo tale adiabatica diminuendo il volume, la temperatura del gas aumenta; e se ci si muove lungo tale adiabatica verso temperature piú basse (zona azzurra) il volume aumenta. In nessun caso si può dunque tornare allo stato A muovendosi lungo un’adiabatica reversibile che parte da C. Fabrizio Dolcini (http://staff.polito.it/fabrizio.dolcini/) Dipartimento di Fisica del Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I 5 V B A T T T < TC = > TC TC C p Figure 1: Nel piano p-V le adiabatiche reversibili (pV γ = const, curve blu tratteggiate) hanno pendenza maggiore rispetto alle isoterme (pV = const, curve rosse continue). L’isoterma BC divide il piano p-V in due regioni: quella delle basse temperature T < TC (regione azzurra in basso a sinistra) e quella delle alte temperature T > TC (regione arancio in alto a destra). Fabrizio Dolcini (http://staff.polito.it/fabrizio.dolcini/) Dipartimento di Fisica del Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I