MAT5-unità2- limiti

CONTENUTI DISCIPLINARI /
PLURIDISCIPLINARI
OBIETTIVI
(abilità)
(conoscenze)
LIMITI E CONTINUITA’
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
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


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



Limite finito per x che tende ad un
valore finito e suo significato intuitivo
Limite destro e limite sinistro finito per
x che tende ad un valore finito
Limite infinito per x che tende ad un
valore finito (da destra e da sinistra) e
suo significato intuitivo (asintoto
verticale)
Limite finito per x che tende ad un
valore infinito e suo significato intuitivo
(asintoto orizzontale)
Limite infinito per x che tende ad un
valore infinito e suo significato intuitivo
Asintoti
Teorema di unicita' del limite
Definizione di funzione continua
Discontinuita’ di prima, seconda e terza
specie.
Continuita’ delle funzioni elementari
Limiti di funzioni continue
Teoremi sul calcolo dei limiti: limite
della somma algebrica, del prodotto, del
quoziente di funzioni, delle funzioni
composte
Forme indeterminate (infinito meno
infinito, zero su zero, infinito su infinito)
ed eliminazione dell’indeterminazione
per funzioni razionali e irrazionali
Grafico probabile di funzioni razionali e
irrazionali, intere e fratte (dominio,
parità, intersezione con gli assi, studio
del segno, limiti agli estremi del
dominio, equazioni degli asintoti
orizzontali, verticali e obliqui)
conoscere le seguenti definizioni di limite lim f x  l ,

lim f x    ,
x  x0
lim f x   l
x  
x  x0
,
lim
x  
f x   
e saperle rappresentare graficamente


conoscere la definizione di limite destro e sinistro
conoscere la definizione di funzione continua in un punto
e in un intervallo
conoscere i teoremi sul calcolo dei limiti
saper calcolare il limite di un funzione continua
applicando i teoremi
saper calcolare il limite di funzioni razionali intere o fratte
che si presentano nella forma indeterminata




0
,   ,

0

saper leggere i limiti da un grafico e saper rappresentare i
limiti in un grafico
saper riconoscere un asintoto e saper determinare gli
asintoti di funzioni razionali
conoscerei diversi tipi di discontinuità e saperli
rappresentare graficamente
saper calcolare i limiti di una funzione agli estremi del
dominio e saperli rappresentare graficamente



1
LIMITI PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO
Siano f(x)una funzione definita in D , x0 un numero reale che risulti di accumulazione per D e l un
numero reale. Siano inoltre 𝜀 e 𝛿 due numeri positivi molto piccoli e M e M’ due numeri positivi
molto grandi.
1)Limite finito di una funzione per x che tende ad un valore finito
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒍
𝒙→𝒙𝟎
⇒
Se x si avvicina a x0
x→ 𝑥0
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 𝑙
𝑓(𝑥) → 𝑙
l
°
x∈ I𝑥0 (|𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ) ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐼𝑙 (|𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜺)
∀𝜀 > 0 ∃𝛿𝜀 > 0: ∀𝑥 (𝑒𝑠𝑐𝑙𝑢𝑠𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑖ù 𝑥0) 𝑐𝑜𝑛 |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀
X0
2)Limite destro
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒍
𝒙→𝒙𝟎+
Se x si avvicina a x0 𝑑𝑎 𝑑𝑥
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 𝑙
x→ 𝑥0 +
⇒
𝑓(𝑥) → 𝑙
x∈ 𝐼𝑑𝑥
⇒
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰𝒍
l
°
X0
3)Limite sinistro
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒍
𝒙→𝒙𝟎−
Se x si avvicina a x0 𝑑𝑎 𝑠𝑥
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 𝑙
x→ 𝑥0 −
⇒
𝑓(𝑥) → 𝑙
x∈ 𝐼𝑠𝑥
⇒
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰𝒍
l
°
X0
OSSERVAZIONE:
lim 𝑓(𝑥) = 𝑙 esiste solo se esistono sia il limite dx che quello sx e i due limiti coincidono.
𝑥→𝑥0
2
3
4)Limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore finito
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = +∞
𝒙→𝒙𝟎
Se x si avvicina a x0
x→ 𝑥0
x∈ 𝐼𝑥0
(|𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 )
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 + ∞
⇒
𝑓(𝑥) → +∞
⇒
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰 + ∞ (𝑓(𝑥) > 𝑀)
M
∀𝑀 > 0 ∃𝛿 > 0: ∀𝑥(𝑒𝑠𝑐𝑙𝑢𝑠𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑖ù 𝑥0) 𝑐𝑜𝑛 |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑀
X0
5)Limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore finito
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = −∞
𝒙→𝒙𝟎
Se x si avvicina a x0
x→ 𝑥0
x∈ 𝐼𝑥0
(|𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 )
⇒
⇒
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 − ∞
𝑓(𝑥) → −∞
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰 − ∞ (𝑓(𝑥) < −𝑀)
∀𝑀 > 0 ∃𝛿 > 0: ∀𝑥(𝑒𝑠𝑐𝑙𝑢𝑠𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑖ù 𝑥0)𝑐𝑜𝑛 |𝑥 − 𝑥0| < 𝛿 ⇒ 𝑓(𝑥) < −𝑀
X0
-M
OSSERVAZIONE:
Se
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = −∞
𝒙→𝒙𝟎
oppure
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = +∞
𝒙→𝒙𝟎
allora la retta di equazione x=x0 è un asintoto verticale per il grafico della funzione.
4
LIMITI PER X CHE TENDE AD UN VALORE
INFINITO
6)Limite finito di una funzione per x che tende a +∞
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒍
𝒙→+∞
Se x si avvicina a +∞
⇒
x→ +∞
x∈ 𝐼 + ∞
(𝑥 > 𝑀 )
⇒
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 𝑙
l
𝑓(𝑥) → 𝑙
M
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰𝒍 (|𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜺)
∀𝜺 > 0 ∃ 𝑀 > 0: ∀𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 𝑀 ⇒ | 𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜺
7)Limite finito di una funzione per x che tende a −∞
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒍
𝒙→−∞
Se x si avvicina a - ∞
⇒
x→ −∞
x∈ 𝐼 − ∞
(𝑥 < −𝑀 )
⇒
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 𝑙
l
𝑓(𝑥) → 𝑙
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰𝑙 (|𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜺)
.M
∀𝜺 > 0 ∃ 𝑀 > 0: ∀𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < −𝑀 ⇒ | 𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜺
OSSERVAZIONE:
Se
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒍
𝒙→+∞
oppure
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝒍
𝒙→−∞
allora la retta di equazione y=l è un asintoto orizzontale per il grafico della funzione.
5
LIMITE INFINITO PER X CHE TENDE AD UN
VALORE INFINITO
8)Limite infinito di una funzione per x che tende a +∞
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = +∞
𝒙→+∞
Se x si avvicina a +∞
⇒
x→ +∞
X∈ 𝐼 + ∞
(𝑥 > 𝑀′ )
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 + ∞
M
𝑓(𝑥) → +∞
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰 + ∞ (𝑓(𝑥) > 𝑀)
⇒
∀𝑀 > 0 ∃ 𝑀′ > 0: ∀𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 𝑀′
⇒
M’
𝑓(𝑥) > 𝑀
𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = −∞
𝒙→+∞
Se x si avvicina a +∞
⇒
x→ +∞
X∈ 𝐼 + ∞
(𝑥 > 𝑀′ )
⇒
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 − ∞
𝑓(𝑥) → −∞
M’
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰 − ∞ (𝑓(𝑥) < −𝑀)
∀𝑀 > 0 ∃ 𝑀′ > 0: ∀𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 𝑀′
⇒
-M
𝑓(𝑥) < −𝑀
6
9)Limite infinito di una funzione per x che tende a −∞
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = +∞
𝒙→−∞
Se x si avvicina a - ∞
⇒
x→ −∞
X∈ 𝐼 − ∞
(𝑥 < −𝑀′ )
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 + ∞
𝑓(𝑥) → +∞
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰 + ∞ (𝑓(𝑥) > 𝑀)
⇒
M
∀𝑀 > 0 ∃ 𝑀′ > 0: ∀𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < −𝑀′
⇒
- M’
𝑓(𝑥) > 𝑀
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = −∞
𝒙→−∞
Se x si avvicina a - ∞
⇒
x→ −∞
X∈ 𝐼 − ∞
(𝑥 < −𝑀′ )
′
⇒
⇒
𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑎𝑣𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑎 − ∞
𝑓(𝑥) → −∞
𝑓(𝑥) ∈ 𝑰 − ∞ (𝑓(𝑥) < −𝑀)
∀𝑀 > 0 ∃ 𝑀 > 0: ∀𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 < −𝑀
′ ⇒
- M’
-M
𝑓(𝑥) < −𝑀
7
ASINTOTO
Il termine asintoto deriva dal greco asymptotos che significa che non incontra .
L’aggettivo asintotico significa ciò che tende ad avvicinarsi sempre più a qualcosa senza mai raggiungerlo.
Per una funzione il cui grafico si estende all’infinito (ad esempio parabola , iperbole, retta, funzione
esponenziale e logaritmica) si definisce asintoto una retta che goda della proprietà di essere tangente alla
curva all’infinito, cioè detto P un punto del grafico e H la sua proiezione ortogonale sull’asintoto r, la
distanza̅̅̅̅̅
𝑃𝐻 tende a zero al tendere del punto P all’infinito ( cioè al tendere all’infinito di almeno una delle
sue coordinate)
Rispetto a un sistema di assi cartesiani Oxy, un asintoto può essere



verticale o parallelo all’asse y,
orizzontale o parallelo all’asse x,
obliquo.
Per il grafico di una funzione y=f(x) una retta

x=c è un asintoto verticale se lim 𝑓(𝑥) = ±∞
( c ∈ 𝑅)

y=l è un asintoto orizzontale se lim 𝑓(𝑥) = 𝑙
(𝑙 ∈ 𝑅)
𝑥→𝑐
𝑥→±∞
8

y=mx+n è un asintoto obliquo se
o lim 𝑓(𝑥) = ±∞
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥→±∞ 𝑥
o
esiste finito e diverso da zero lim
o
della retta uguale a tale limite ( m= 𝑙1)
esiste finito lim 𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥 = 𝑙2 così da assumere l’intercetta n della retta uguale a
= 𝑙1 così da assumere il coefficiente angolare m
𝑥→±∞
tale limite ( n= 𝑙2)
Ciascun asintoto potrebbe essere destro e/o sinistro
ASINTOTO OBLIQUO
Se
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ∞
𝒙→∞
Cerco , se esiste un asintoto obliquo di equazione y=mx+n
Per la ricerca di m calcolo
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)/𝒙 = 𝒍𝟏
𝒙→∞
Se l1 è finito e diverso da 0 allora
m=l1
Per la ricerca di n calcolo
𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) − 𝒎𝒙 = 𝒍𝟐
𝒙→∞
Se l2 è finito allora
n=l2
Una volta trovati m e n posso scrivere l’equazione della retta e posso disegnarla intendendo che
essa sia un asintoto obliquo per f(x).
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