La derivata: analisi a priori

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO
Laboratorio di Analisi Matematica. Docente: prof. F. Spagnolo. Discente: A. Occhipinti. Classe 49A
LA DERIVATA: ANALISI A PRIORI
COSTRUZIONE DELLA TABELLA RIASSUNTIVA DELL’ANALISI A PRIORI
Si vuole presentare l’argomento riguardante le derivate a ragazzi di una classe V liceo scientifico.
Prerequisiti:
Ø Concetto di funzione
Ø Concetto di raggio di curvatura
Ø Concetto di continuità
Ø Concetti fondamentali della cinematica:
Ø Concetto di limite
ü Concetto di velocità media
Ø Concetto di tangente
ü Concetto di velocità istantanea
Ipotesi generale:
Il modo migliore di introdurre l’argomento “le derivate” è quello di presentare il
problema dal punto di vista fisico.
Si deve mettere alla prova questa ipotesi se si vuole dimostrare che essa è fondata o meno. Per far
ciò si può porre agli allievi un questionario e vedere se questo approccio ha una sua validità.
Prima questione: “sui concetti fisici”
Per verificare la corretta concezione che hanno i ragazzi della velocità e di intervallo infinitesimo si
può domandare loro di:
D1. Dare una definizione di velocità media e di velocità istantanea, e dire quando esse coincidono.
Le risposte che ci si può aspettare sono del tipo:
S1.1 vmed =
∆s
;
∆t
∆s
vist = lim
; Le due velocità coincidono quando essa varia uniformemente.
∆ t → 0 ∆t
In questo caso l’alunno ha chiaro il significato sia della prima che della seconda
definizione. Risulta inoltre che sono chiari, per l’allievo, sia il concetto di intervallo finito,
sia, più in particolare, di intervallo infinitesimo; questo si evince nel momento in cui egli
∆s
scrive: vist = lim
riferendosi alla velocità rilevata nell’arco di un istante.
∆ t → 0 ∆t
L’alunno, pertanto, è pronto ad essere introdotto alle derivate.
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S1.2 vmed =
s 2 − s1
; vist = lim vmed ; Coincidono quando s2 =s1 e quindi quando v=0.
t
t →0
In questo caso l’alunno non ha ancora compreso fino in fondo il concetto di intervallo e di
intervallo infinitesimo, e questo gli crea un ostacolo alla comprensione della definizione di
velocità istantanea, la quale viene data in maniera approssimativa senza tener conto che è
un intervallo di tempo ∆t→0 che determina l’istante e non il tempo t semplicemente. Il
fatto che non ha chiaro questo concetto viene messo in risalto, inoltre, da s2 -s1 non
evidenziato da un semplice ∆s.
S1.3 vmed =
v1 + v2
s
; vist = ; Coincidono se il moto è uniforme.
2
t
Nel caso in cui la risposta sia di questo tipo risulta evidente che si ha il concetto di velocità
dal punto di vista dimensionale ed il concetto di media aritmetica. Si è ancora lontani,
tuttavia, dal concetto di limite e quindi anche di valore infinitesimo di una grandezza.
S1.4 vmed =
∆s
;
∆t
La v ist quando
∆s
→ 0 ; Coincidono quando la v med =0.
∆t
In questo caso è evidente che ancora il concetto di limite non è del tutto chiaro all’allievo;
infatti non scrive chiaramente la funzione “lim” e così mostra di non aver capito che si
intende per istante la quantità infinitesima ∆t
0.
Seconda questione: “sulla tangenza”
Al fine di verificare la concezione che gli allievi hanno di retta tangente ad una curva, si può porre
la seguente domanda:
D2. In quale caso si dice che una retta è tangente ad una curva in un punto P?
Alcune risposte possibili possono essere le seguenti:
S2.1 Quando essa è perpendicolare al raggio di curvatura della curva nel punto P.
In questo caso la risposta mostra che da parte dell’allievo è perfettamente chiaro il concetto
di tangenza, proprio perché, comunque, è chiaro anche il concetto di curvatura. Aver chiaro
il concetto di curvatura significa aver compreso fino in fondo cosa voglia dire infinitesimo,
infatti bisogna aver capito che in ogni suo punto una linea curva è una porzione di
circonferenza di raggio ρ.
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S2.2 Quando essa ha esclusivamente il punto P in comune con la curva.
Questa risposta mette in evidenza che l’allievo ha una concezione errata di retta, poiché la
immagina limitata. Infatti se si avesse un caso come quello
nella figura 1.a la retta r è tangente alla curva Γ nel punto
P, ma la interseca in tre punti. La sua definizione potrebbe
Γ
P
far pensare che egli confonde la retta con il segmento, e ciò
r
significa non avere chiaro il concetto di infinito dal punto
Fig. 1.a
di vista geometrico. Per introdurre il concetto di derivata,
invece, è necessario che si abbia chiaro cosa significhi
infinito e cosa infinitesimo.
Γ
r
Un’altra ragione per cui un allievo potrebbe rispondere in
P
questo modo potrebbe essere dovuto al fatto che egli ha dei
Fig. 1.b
ricordi vaghi di definizione di retta tangente ad una
circonferenza. Infatti in molti libri di testo la definizione di
retta tangente ad una circonferenza recita: una retta r è tangente ad una circonferenza c
quando r e c hanno un solo punto in comune. In questo caso, dunque, non si ha chiaro il
concetto di raggio di curvatura ρ come raggio della porzione infinitesima di circonferenza
che forma la linea curva stessa. Manca quindi il concetto di infinitesimo.
S2.3 Quando la retta ha in comune con la curva il punto P ed essa non attraversa la curva.
Una risposta di questo tipo mette in evidenza che l’allievo è privo del concetto di punto di
flesso di una curva. In realtà con questa definizione esso si avvicina abbastanza ad una
definizione corretta tenendo conto che tra i prerequisiti che si danno per acquisiti non c’è il
concetto di punto di flesso.
In una risposta di questo tipo si evidenzia, comunque, che l’allievo abbia già una sua
concezione dell’infinitesimo, dal momento in cui non si ferma ad osservare ciò che accade
nel punto P, ma si accerta di ciò che accade nell’intorno di esso.
S2.4 Quando si può assumere che in un intorno infinitesimo del punto P la curva e la retta
coincidano.
In un caso come questo è palese che l’allievo conosca bene il concetto di infinitesimo ed
abbia fatto suo a tutti gli effetti la definizione di limite. Infatti la definizione “elegante” che
egli ha dato di tangenza mostra come sia perfettamente pronto ad acquisire quello di
derivata come limite del rapporto incrementale di una curva in un punto.
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Terza questione: “sulla continuità”
Se si vuole analizzare il punto in cui si trova l’alunno dal punto di vista della continuità di una curva
in un punto, si può indagare ponendo la seguente domanda:
D3. Una sfera elastica cade da 30 m d’altezza. Spiegare come varia il suo moto nel momento in cui
rimbalza a terra.
Questo quesito dovrebbe far riflettere sulla continuità della funzione velocità e d ella funzione che
rappresenta lo spazio percorso dalla palla elastica. Le risposte possono essere di diverso tipo:
S3.1 L’istante in cui la palla tocca terra e rimbalza segna il momento in cui la palla inverte quasi
istantaneamente il suo moto in un istante di tempo molto piccolo. Il “quasi” sta ad indicare che
in realtà anche se l’inversione del moto avviene nel giro di un tempo molto piccolo esso avviene
pur sempre gradualmente.
Una risposta di questo tipo denota una consapevolezza da parte dell’allievo, di cosa sia un
istante di tempo, e quindi anche di come non esita in natura il “gradino” della discontinuità.
La pallina infatti inverte il suo moto, e anche se lo fa in un istante di tempo lo fa comunque
gradualmente. È chiaro nella mente dell’allievo sia il concetto di infinitesimo, ma anche
quello di continuità.
S3.2 La pallina inverte istantaneamente il suo moto.
Questa risposta è sintomo di un errore concettuale che deriva dal fatto che l’inversione del
moto è vista come istantanea. Non si tiene conto delle proprietà elastiche della pallina e
quindi si immagina che non esista un “transitorio” che permetta una graduale inversione del
moto della pallina. Non si ha, pertanto, da parte dell’allievo, la cognizione di infinitesimo,
tuttavia si percepisce la possibilità di una inversione istantanea del moto, e quindi si
intuisce il concetto di discontinuità.
S3.3 La pallina si rompe ed il suo moto si interrompe bruscamente
È chiaro, in questa situazione, che l’allievo immagina una traiettoria che, comunque sia, si
interrompe dopo che la palla percorre i trenta metri. Questo sembra far capire che in realtà
il ragazzo è lontano dall’intuire una discontinuità nel moto di un oggetto. In questo caso gli
si dovrebbe far comprendere che anche quando si rompe, la rottura non avviene
bruscamente, ma gradualmente. In questa maniera potrebbe cominciare ad intuire il
significato di discontinuità.
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SITUAZIONE A-DIDATTICA
La situazione a-didattica è quella parte di una situazione didattica in cui l’insegnante non esplicita la
sua intenzione a voler affrontare un dato argomento, ma mette gli allievi nelle condizioni di
apprendere il nuovo argomento in modo che essi quasi non si accorgano di avere introdotto nuove
situazioni. Essa può essere sostenuta con una gara tra gli studenti di una classe, in modo che presi
dalla competizione e dalla volontà di vincere, gli allievi comincino a riflettere sugli argomenti che
l’insegnante ha intenzione di proporre.
Nel caso delle derivate, un “gioco” potrebbe essere il seguente: si suddivide la classe in gruppi
eterogenei di allievi i quali dovranno riempire un recipiente di 20 litri dotato di un rubinetto ad
apertura variabile situato nella parte inferiore di esso. Il gioco consiste nel fissare una lineetta in
corrispondenza del livello dell’acqua ogni 20 secondi a partire da un tempo stabilito, mantenendo il
recipiente chiuso, e con la possibilità di utilizzare fino a tre fori situati nella parte superiore del
recipiente di diametro di 3 mm ciascuno, oltre al rubinetto sottostante.
Vincerà la squadra che riesce a segnare la distanza maggiore tra due tacche contigue entro tutte
quelle segnate.
Durante lo svolgimento della situazione a-didattica si distinguono tre fasi:
1. fase di AZIONE
2. fase TATTICA
3. fase di DEVOLUZIONE
Nella prima fase gli allievi dovranno imparare a padroneggiare le regole del gioco. Essi potranno
infatti fare delle prove per capire attraverso quali tecniche potranno ottenere il risultato migliore,
provando simultaneamente con recipienti uguali in aule diverse.
Nella seconda fase i concorrenti dovranno cominciare a giocare per riuscire a capire quale possa
essere la tattica vincente. Ogni gruppo dovrà scegliere un leader e due aiutanti: il primo dovrà
essere portavoce della propria squadra, gli altri due dovranno aiutarlo per effettuare il gioco. In
questa fase ogni leader dovrà prima consultarsi con i membri del proprio gruppo e, dopo aver
elaborato la tattica, spiegarla agli “aiutanti” i quali dovranno metterla in atto durante la gara.
La terza fase sarà quella decisiva in cui il leader della squadra vincente dovrà spiegare a tutta la
classe le tattiche utilizzate, specificando qual è stata quella vincente. Se dimostra che realmente la
sua tattica è vincente (se nessuno è in grado di confutare la sua tesi) allora la squadra è la vincitrice.
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