Soluz. Prima Prova Gara Naz. 2012 - Treviso - 6.xlsx

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE STATALE "FERMI"
TREVISO
GARA NAZIONALE DI MECCANICA 2012
Proposta di soluzione Prima Prova
a cura di Benetton Francesco
(vincitore edizione 2011)
Funzionamento:
La gru a bandiera girevole sopra riportata è costituita da una trave principale di tipo IPE, su
cui scorre un carrello provvisto di paranco elettrico dove verranno agganciati dei carichi.
Il carrello scorrevole è posizionato manualmente dall'operatore ed ha una lunghezza utile di
movimentazione pari a 3 metri.
La trave viene saldata su un tubo senza saldatura che permette così la rotazione della trave.
ed è sostenuta da un tirante a sezione cava quadrata.
A permettere la rotazione ed a supportare il carico, nel tubo che funge da supporto vengono
montati due cuscinetti a rulli conici disposti ad O.
In questa configurazione la trave è sottoposta a flessione e compressione, mentre il tirante
lavora a sola trazione, ed oltre a ridurre le sollecitazioni sulla trave, la mantiene vincolata
limitando la deformazione della stessa.
La gru viene installata mediante giunzione bullonata alla parete portante di un capannone
industriale.
ITIS "FERMI" ‐ Treviso
1
Dati di Progetto:
Carico nominale
Sovraccarico massimo
Corsa ammessa del carico
Distanza del carico dall'asse di rotazione
Lunghezza totale
Posizione fissaggio tirante
Arco di rotazione
Angolo inclinazione tirante
Velocità di sollevamento carico
Tempo di sollevamento
m
s
L
a
Lt
l
Θ
α
v
t
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
400
25
3000
500
3500
2800
160
12
10
2
kg
%
mm
mm
mm
mm
°
°
m/min
s
Dati e formule utilizzate sono state ricavate dal "Manuale di Meccanica" HOEPLI, sezioni H ed I.
Il carico da sollevare sarà uguale al peso della massa da sollevare sommato alla forza di
inerzia dovuta all'accelerazione nel sollevamento e al sovvraccarico massimo.
Calcolo l'accelerazione nel sollevamento stando attento a usare le unità di misura secondo il
Sistema Internazionale: la velocità andrà trasformata da m/min a m/s
a
Accelerazione
v
t
a
=
F
=
2
0,083 m/s
Calcolo ora la forza totale che solleciterà la struttura
Forza
F  ( m  g )  ( m  a )  25%
La gru in esame viene schematizzata come in figura ed analizzata in 2 casi:
1) Carico in prossimità del supporto.
posto all'estremo della trave;;
2)) Carico p
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2
4946,67 N
1o caso:
Forza totale
Posizione suggerita fissaggio tirante
Distanza del carico dall'asse di rotazione
Angolo inclinazione tirante
F
l
a
α
=
=
=
=
Distanza tra gli appoggi
h
=
594,85 mm
h
=
595 mm
h  l  tan 
Per i successivi calcoli assumo
4946,67
2800
500
12
N
mm
mm
°
Calcolo le reazioni sugli appoggi A e B utilizzando l'equilibrio dei momenti:
F  a  Rax  h
R ax 
da cui si ricava
F a
h
Reazione vincolare punto A
Rax
=
4156,86 N
Come si può capire dallo schema, Rax=Rbx
Rbx
=
4156,86 N
R
=
4156,86 N
P
=
883,33 N
La trave BD è soggetta alle forze secondo il seguente schema:
Equilibrio asse x
Rbx  R  0
Equilibrio asse y
 Rby  P  F  0
Equilibrio punto B
F  a  P l  0
Reazione R
R  Rbx
Reazione P
P 
Reazione punto B
Rby  P  F
Rby
=
-4063,33 N
Momento flettente punto E
M fd  Rby  a
Mfd
=
-2031,67 Nm
F a
l
I diagrammi delle sollecitazioni saranno i seguenti:
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3
Il tirante, AC, sarà soggetto alle forze qui rappresentate, già calcolate in precedenza:
Le componenti massime della forza di trazione T agente sul tirante valgono rispettivamente:
Reazione R
Reazione P
Calcolo la forza di trazione T
R
P
T 
R
2
 P
=
=
4156,86 N
883,33 N
=
4249,68 N
2
T
Si rappresenta ora il diagramma delle sollecitazioni di sforzo normale, unica sollecitazione
presente nel tirante:
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4
Calcolo ora le reazioni vincolari nei punti E e F:
Forze agenti:
Rax
=
4156,86 N
Rbx
=
4156,86 N
a
h
c
=
=
=
Lunghezze:
150 mm
595 mm
150 mm
 R ax  R bx  R ex  0
Equilibrio asse x:
R
Equilibrio asse y:
Rey  P  F  P  0
fx
Equilibrio punto F:
 R ax  a  R bx  ( a  h )  R ex  ( a  h  c )  0
 Rax  a  Rbx  ( a  h )
(a  h  c)
Reazione punto E
Rex 
Reazione punto F
R fx   Rax  Rbx  Rex
Reazione punto E
Rey  F  P  P
Rex
=
2763,50 N
Rfx
=
-2763,50 N
Rey
=
4946,67 N
(la reazione verticale nel punto E equivale al carico applicato, anche se F non è riportata nello schema)
Calcolo ora i momenti flettenti nei punti A e B per tracciare i diagrammi delle sollecitazioni:
Momento flettente punto A
M fa  R fx  a
Mfa
=
-414,53 Nm
Momento flettente punto B
M fb  Rex  c
Mfb
=
414,53 Nm
Dai calcoli risultano i seguenti diagrammi delle sollecitazioni per la componente EF:
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5
o
2 caso:
Forza totale
Lunghezza totale
Posizione fissaggio tirante
Angolo inclinazione tirante
Distanza tra gli appoggi
F
L
l
α
h
=
=
=
=
=
4946,67
3500
2800
12
595
N
mm
mm
°
mm
Per trovare le reazioni sugli appoggi A e B utilizzo l'equilibrio dei momenti:
F  L  R ax  h
Rax 
da cui si ricava
F L
h
Reazione punto A
Rax
=
29098,039 N
Come si può capire dallo schema, Rax=Rbx
Rbx
=
29098,039 N
R
=
29098,039 N
La trave BD è soggetta alle forze secondo il seguente schema:
Equilibrio asse x
Equilibrio asse y
Rbx  R  0
 Rby  P  F  0
Equilibrio punto B
F  L  P l  0
Reazione R
R  Rbx
Reazione P
P
Reazione punto B
Momento flettente punto C
P
=
6183,33 N
Rby
F L
l
 PF
Rby
=
1236,67 N
M
 Rby  l
Mfc
=
3462,67 Nm
fc
I diagrammi delle sollecitazioni saranno i seguenti:
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6
Il tirante, AC, sarà soggetto alle forze qui rappresentate, già calcolate in precedenza:
Le componenti massime della forza di trazione T agente sul tirante valgono rispettivamente:
Reazione R
Reazione P
Calcolo la forza di trazione T
R
P
T 
R
2
 P
T
=
=
29098,039 N
6183,33 N
2
=
29747,765 N
Si rappresenta ora il diagramma delle sollecitazioni di sforzo normale, unica sollecitazione
presente nel tirante:
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7
Calcolo ora le reazioni vincolari nei punti E e F:
Forze agenti:
Rax
=
29098,039 N
Rbx
=
29098,039 N
a
h
c
=
=
=
Lunghezze:
Reazione punto E
150 mm
595 mm
150 mm
 R ax  R bx  R ex  0
Equilibrio asse x:
R
Equilibrio asse y:
Rey  P  F  P  0
Equilibrio punto F:
Rax  aRbx (ah) Rex  (ahc) 0
fx
 Rax  a  Rbx  (a  h)
(a  h  c)
Rex
=
19344,51 N
Reazione punto F
R fx   Rax  Rbx  Rex
Rfx
=
-19344,51 N
Reazione punto E
Rey  F  P  P
Rey
=
4946,67 N
Rex 
Calcolo ora i momenti flettenti nei punti A e B per tracciare i diagrammi delle sollecitazioni:
Momento flettente punto A
M
 R fx  a
Mfa
f
=
-2901,68
2901 68 Nm
N
Momento flettente punto B
M fb  Rex  c
Mfb
=
2901,68 Nm
fa
Dai calcoli ottengo i seguenti diagrammi delle sollecitazioni per la componente EF:
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Dimensionamento trave BD
La trave principale viene dimensionata a compressione e carico critico di punta poiché è
sottoposta a una elevata forza di compressione ed è molto snella. Seguirà una verifica di
resistenza a flessione.
Si farà riferimento allo schema del 2° caso studiato in precedenza in quanto risulta più critico.
Materiale trave:
Acciaio S355 JR - UNI10027/1
Reh
Carico unitario di snervamento
Coefficiente di sicurezza
n
Tensione normale ammissibile
 adm 
Reh
n
σadm
=
=
355 N/mm2
2
=
177,5 N/mm2
La trave è soggetta simultaneamente allo sforzo di compressione e flessione nel piano verticale,
mentre nel piano orizzontale è soggetta solamente allo sforzo di compressione.
Si andranno pertanto ad analizzare le due situazioni, e nel piano verticale si calcoleranno le singole
tensioni che verranno sommate e confrontate con la tensione ammissibile.
Pre-dimensionamento a compressione:
Forza di compressione
Tensione normale ammissibile
c 
R
  adm da cui ricavo
A
Amin 
R
 adm
R
σadm
=
=
Amin
=
29098,039 N
177,5 N/mm2
163,93 mm2
In base alla sezione minima calcolata nel precedente passaggio, assumo come trave
principale una trave IPE 200.
Se si analizza lo schema si vede che nel piano di inflessione verticale l'asta è incernierata in
entrambi gli estremi. Nel piano di inflessione orizzontale risulta invece incastrata a un estremo
e libera nell'altro.
Verifica a carico critico di punta: (piano orizzontale di sollecitazione)
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9
Trave IPE 200 - UNI 5398
Area
Lunghezza tratto interessato
Lunghezza libera di inflessione
l0  2  l
Raggio d'inerzia minimo
Modulo di resistenza a flessione
Snellezza
y 
l0
y
2
A
l
l0
=
=
=
2850 mm
2800 mm
5600 mm
ρy
=
22,4 mm
Wx
=
λy
=
194000 mm3
250
In base al valore della snellezza calcolato, del materiale scelto e del tipo di trave, ricavo dalla
tab. H42 pag. H152 il valore del coefficiente correttivo ω.
Coefficiente correttivo
ω
=
La tensione al carico critico di punta si calcola con la seguente relazione:
p 
R

A
Forza di compressione
Area
Tensione carico critico di punta
12,4
p 
R

A
Tensione normale ammissibile
R
A
σp
=
=
=
29098,039 N
2
2850 mm
2
126,60 N/mm
σadm
=
177,5 N/mm2
La trave resiste al carico critico di punta perché σp < σadm
Verifica a carico critico di punta: (piano verticale di sollecitazione)
Trave IPE 200 - UNI 5398
Area
Lunghezza tratto interessato
Lunghezza libera di inflessione
l0  l
Raggio d'inerzia minimo
Modulo di resistenza a flessione
Snellezza
x 
l0
x
A
l
l0
=
=
=
ρx
=
Wx
=
λx
=
2850 mm2
2800 mm
2800 mm
82,6 mm
194000 mm3
33,90
In base al valore della snellezza calcolato, del materiale scelto e del tipo di trave, ricavo dalla
tab. H42 pag. H152 il valore del coefficiente correttivo ω.
Coefficiente correttivo
ω
=
La tensione al carico critico di punta si calcola con la seguente relazione:
p 
R

A
Forza di compressione
Area
Tensione carico critico di punta
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1,10
p 
R

A
R
A
σp
10
=
=
=
29098,039 N
2
2850 mm
2
11,23 N/mm
Calcolo tensione di flessione:
f 
La tensione di flessione si calcola come:
Momento flettente massimo
Modulo di resistenza a flessione trave
Tensione massima di flessione
f 
M f max
M
f max
Wx
Mfmax
=
3462,67 Nm
Wx
=
194000 N/mm2
σf
=
17,85 N/mm2
Wx
Verifica tensione risultante
Per effettuare la verifica si sommano le tensioni calcolate in precedenza e si confrontano con
la tensione ammissibile del materiale della trave.
Tensione normale totale
Tensione normale ammissibile
 tot   p   f
σtot
σadm
=
=
29,08 N/mm2
177,5 N/mm2
Ho verificato che la trave resiste alle tensioni normali a cui è sottoposta in quanto
risulta σtot < σadm
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Dimensionamento tirante AC
Il tirante in oggetto viene dimensionato a trazione. Sarà costituito da un profilato cavo
quadrato UNI 7812.
Materiale tirante:
Acciaio S275 JR - UNI10027/1
Reh
Carico unitario di snervamento
Coefficiente di sicurezza
n
Tensione normale ammissibile
 adm 
Reh
n
Forza di trazione
Dalla relazione
t 
N
  adm
A
=
=
275 N/mm2
2
σadm
=
137,5 N/mm2
N
=
29747,765 N
ricavo la formula per calcolare la sezione minima
che resista alla forza di trazione applicata
Area minima
Amin 
N
 adm
Amin
=
216,35 mm2
2
Assumo un profilato cavo quadrato UNI7812 - 40x40x3,2 con una sezione pari a 435,9 mm
Tenendo conto che nella sezione in cui avverrà il fissaggio andrà saldato un cilindro di
diametro esterno 28 mm verifico che l'area effettiva del profilato sia maggiore di quella
minima calcolata.
Sezione profilato
Spessore
Diametro cilindro
Area effettiva
A eff  A  (2  d  s )
A
s
d
=
=
=
435,9 mm2
3,2 mm
28 mm
Aeff
=
256,7 mm2
Il profilato assunto resiste anche con il foro per alloggiare il cilindretto, infatti dai calcoli risulta
Aeff > A
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12
Dimensionamento perno di supporto EF
Il perno di supporto, fissato sui supporti a muro, collega la parte fissa della gru a quella
mobile e permette la rotazione della mensola attorno all'asse del perno.
Viene dimensionato a flessione secondo lo schema del primo caso che risulta più critico
Materiale perno:
Carico minimo di rottura
Coefficiente di sicurezza
C40 UNI EN10083 Bonificato
Rm
n

Tensione normale ammissibile
Tensione tangenziale ammissibile
adm

 adm 
Rm
n
 adm
3
=
=
800 N/mm2
3
σadm
=
266,67 N/mm2
τadm
=
153,96 N/mm2
Si effettua un dimensionamento a flessione e una successiva verifica a taglio.
Mf
=
2901,68 Nm
d
=
48,04 mm
Assumo
e procedo con la verifica a taglio:
d
=
55 mm
Forza di taglio
Area perno
A
T
A
=
=
Taglio massimo
 
4 T

3 A
τ
=
16,34 N/mm2
Tensione tangenziale ammissibile
τadm
=
153,96 N/mm2
Momento flettente massimo
Diametro perno
d 3
32  M f 10 3
   adm
 d2
4
29098,039 N
2374,625 mm2
Il perno resiste anche allo sforzo di taglio in quanto viene soddisfatta la relazione τ < τadm.
Effettuo anche una verifica a compressione:
Forza di compressione
Area perno
A
 d2
Tensione compressione massima
Tensione normale ammissibile
N
A
=
=
σ
=
σadm
=
6183,33 N
2
2374,63 mm
4
 
N
A
2
2,60 N/mm
266,67 N/mm2
Ho verificato che il perno resiste allo sforzo di compressione in quanto viene soddisfatta la
relazione σ < σadm
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Reazioni vincolari con gru ruotata
Nel caso in cui la gru sia ruotata, le risultanti sono le stesse già calcolate in precedenza nel
secondo caso, devono però essere scomposte nelle componenti parallele e perpendicolari
al piano di ancoraggio.
Le risultanti delle forze con il carico all'estremità valgono:
Reazione punto F
Rf
=
19344,51 N
Reazione punto E
Re
=
-19344,51 N
β
=
Angolo di rotazione
80 °
Le reazioni scomposte nelle componenti parallele e perpendicolari vengono calcolate nel
seguente modo:
Reazione perpendicolare punto F
Rfx
=
3372,62 N
Reazione parallela punto F
Rfz
=
19048,24 N
Reazione perpendicolare punto E
Rex
=
-3372,62 N
Reazione parallela punto E
Rez
=
-19048,24 N
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