Teoria Geometrica della Propagazione

Teoria Geometrica
della Propagazione
•
Una corretta caratterizzazione dei collegamenti radio non può
prescindere dallo studio degli effetti generati dalla presenza
dell’atmosfera terrestre.
•
In un radiocollegamento la propagazione avviene in mezzi ad
indice di rifrazione variabile. Si possono avere quindi:
ionosfera
Onda di cielo
troposfera
Onda riflessa
Onda diretta
Onda di terra
Onda di terra
(onda di superficie)
•
Una trattazione della propagazione in modo esatto a partire
dalle equazioni di Maxwell è molto complessa ed è quindi
necessario ricorrere ad una trattazione più semplificata
•
•
•
La natura ed il comportamento della luce ci consentono di interpretare
alcuni fenomeni tramite i raggi luminosi, ognuno dei quali si può
pensare come un segmento di retta che ha la direzione di
propagazione del fronte d'onda.
Tale modello, noto come "ottica geometrica", fu introdotto da Keplero
e costituisce una buona approssimazione della realtà ed è di estrema
utilità nello studio dei fenomeni di riflessione e rifrazione, nonché degli
effetti prodotti dai vari tipi di specchi (piani, concavi e convessi) e dalle
lenti.
I fenomeni interpretati mediante l'ottica geometrica possono essere
spiegati anche con la teoria ondulatoria della luce sebbene con
maggiore difficoltà nell'effettuare i calcoli. Il campo in questo caso è
descritto dalla cosiddetta funzione d’onda:
2
1
f (r , t )
∂
2
=0
∇ f (r , t ) − 2
2
v
∂t
•
dove v è la velocità della luce nel mezzo considerato
•
La funzione d’onda può poi essere associata ad una delle componenti
del campo elettromagnetico ed applicare a tale componente tutte le
considerazioni fatte nei corsi di Campi Elettromagnetici.
•
È importante sottolineare che questa è una teoria scalare e che quindi
fa perdere la possibilità di descrivere tutti quei fenomeni, come ad
esempio la polarizzazione, che richiedono la conoscenza di tutte le
componenti del campo.
•
Un modello ancora più semplice della teoria ondulatoria è la
cosiddetta teoria geometrica, che è in grado di descrivere la
propagazione in mezzi non omogenei inizialmente supposti senza
perdite, a condizione che gli scostamenti dall’uniformità siano piccoli
su lunghezze confrontabili con la lunghezza d’onda.
•
Due casi in cui si manifestano i fenomeni tipici dell’ottica (riflessione,
rifrazione e diffrazione) che sono accomunati dal fatto che il sistema
interagente con il campo è costituito da oggetti di grandi dimensioni
rispetto alla lunghezza d’onda:
– regioni caratterizzate da costanti costitutive del mezzo lentamente
variabili nello spazio (tipicamente nell’atmosfera):
• ε r costante dielettrica
• n r indice di rifrazione
• N r rifrattività
In questo caso l’ottica geometrica diviene sempre più precisa al crescere
della frequenza
()
()
()
– estese superfici di materiale solido (spigoli, pareti…..), in questo caso
valgono le teorie della riflessione, l’ottica fisica e la teoria geometrica
delle diffrazione
•
Le condizioni di lenta variabilità, ancorché necessarie, non sono
sufficienti a garantire la totale esattezza delle soluzioni ottenute con
l’ottica geometrica:
– concentrazioni di raggi in regioni dette “fuochi” o “caustiche” in cui l’ottica
geometrica porta a soluzioni incomplete o erronee
•
L’insieme dei raggi rifratti, riflessi e diffratti costituisce una descrizione
del campo sufficientemente approssimata in regioni complesse quali
l’ambito urbano o extraurbano quando si voglia tener conto del profilo
verticale dell’indice di rifrazione troposferica e/o delle irregolarità del
terreno.
•
Rimangono escluse le onde superficiali, non configurabili come raggi,
ma la cui importanza decresce all’aumentare della frequenza.
Definizioni preliminari
¾ Onda: operata una perturbazione su una grandezza fisica in una
regione limitata dello spazio, si dice che si ha un’onda quando tale
perturbazione si propaga nelle altre zone dello spazio con velocità e
modalità che dipendono dal mezzo e dal tipo di grandezza
perturbata.
∇ 2f (x, y, z, t ) −
1 ∂ 2f ( x, y, z, t )
=0
⋅
2
2
v
∂t
Equazione scalare delle onde
(mezzo senza perdite)
¾ Superficie d’onda: luogo geometrico dei punti dello spazio nei quali
la grandezza fisica perturbata varia “concordemente” nel tempo
(punti in cui la grandezza perturbata oscilla in fase)
¾ Raggio: data un’onda che si propaga in un dato mezzo, si definisce
raggio ogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto alla
superficie d’onda passante per quel punto.
Equazioni di Maxwell
Mezzo NORMALE
(lineare, isotropo, tempo invariante)
r
r
r
⎧ ∇ × E = − j ωμ H
r
r r
r
r r
⎨ r
⎩ ∇ × H = j ωε E + J c + J i = j ωε c E + J i
r r
∇ ⋅ J + j ωρ = 0
r r
∇⋅D = ρ
r r
∇⋅B = 0
(Equazione di continuità)
(Equazioni della divergenza)
Equazioni di Maxwell
r r
r ∇×A
H=
μ
r r
r
r ∇ ∇⋅A
E = − j ωA +
jωε c
(
Q
z
r
)
r’
r-r’
P
y
x
Il potenziale vettore magnetico A soddisfa l’equazione di Helmoltz non omogenea
r
r
r
2
∇ A − σ A = −μJi
2
⇒
r r
μ
A (r ) =
4π
∫∫∫
V
r r
Ji (r ' )
r r
− σ⋅|r − r '|
e
⋅ |rr − rr '|
r
dr'
Esempi
¾ Mezzo normale omogeneo privo di sorgenti (Ji = 0):
Equazioni di Maxwell ⇒ Equazioni di Helmoltz omogenee
Equazioni di Helmoltz ammettono come
possibile soluzione le onde piane:
r
r
⎧∇ 2E − σ2E = 0
r
⎨ 2r
2
⎩∇ H − σ H = 0
rr
rr
r
r
r
⎧⎪E(rr ) = E e − σ⋅r = E e −a⋅r
r 0 − σr ⋅rr r 0 −ar ⋅rr
⎨r r
⎪⎩H(r ) = H0 e
= H0 e
rr
−
j
b
e r⋅r
r
−
j
b
⋅
e r
Superfici equifase sono piani ⊥ b ⇒ raggi rettilinei e paralleli
¾ Mezzo normale omogeneo a basse perdite con sorgente elettrica
puntiforme (Ji = mδ) e r >>λ
⎧r
e − σr ˆ r r − σr
m
θ = E0 ( r ) ⋅ e
⎪⎪E ≈ jη sin θ
r
μ ⎛⎜ e − σr ⎞⎟ r
λ
2
r
⋅
⋅m ⇒ ⎨
A=
r
r r − σr
4π ⎜⎝ r ⎟⎠
m
e − σr
⎪H
⎪⎩ ≈ j 2λ sin θ r ϕˆ = H0 (r ) ⋅ e
Onda Sferica:superfici equifase sono sfere centrate nella sorgente ⇒ raggi rettilinei
in direzione radiale
O.G. e Onde piane TEM
Si consideri una regione di spazio priva di sorgenti e sede di un mezzo normale NON
OMOGENEO privo di perdite.
Si intende determinare sotto quali condizioni le equazioni di Maxwell ammettono
soluzioni aventi il carattere di onde piane TEM locali, cioè tali per cui nell’intorno di
qualunque punto dello spazio si possa individuare una regione di dimensioni lineari
piccole, ma finite, in cui le intensità di campo soddisfino equazioni simili alle:
r r −σiˆ ⋅rr
r r
E (r , ω ) = E0 (r ) ⋅ e S
(*)
r r
r r −σiˆ ⋅rr
H (r , ω ) = H 0 (r ) ⋅ e S
r
ˆiS ⋅ E0 = 0
In un qualunque punto dello spazio i campi
r
sono privi di componenti parallele al vettore di propagazione
ˆiS ⋅ H 0 = 0
r r
σ r ˆ
E0 (r ) =
H 0 × iS
jwε c
r
σ = σiˆS vettore di propagazione
Propagazione in assenza di ostacoli
(Ottica Geometrica classica)
¾ Espansione in serie di Luneberg-Kline (mezzo privo di perdite):
r
∞
r
r r
Em
E(r , ω) = e − jβ0ψ (r ) ⋅ ∑
m
m = 0 ( j ω)
¾ In assenza di ostacoli e se il mezzo non omogeneo ha indice di rifrazione
n(r) lentamente variabile con la posizione, ci si limita usualmente al solo 1°
termine, che pare una ragionevole approssimazione del caso omogeneo:
r r − jβ ψ (rr )
r r
E( r , ω ) = E 0 ( r ) ⋅ e 0
(*)
⇒ Ψ(r) : funzione iconale o cammino ottico ( si ipotizza ∈ ℜ );
⇒ Superfici equifase individuate dai punti dello spazio che soddisfano
l’equazione Ψ(r) = costante
Ottica Geometrica classica
¾ Ricordando che ∇x(∇xV)=∇(∇·V)-∇2V
(
)
(
)
r r r
r
r
∇ × ∇ × E = ∇ × − jωμH
r r r
r
r r
2
∇ ∇ ⋅ E − ∇ E = − jωμ∇ × H
r
r r r r
2
2
∇ E + ω μεc E = ∇ ∇ ⋅ E
(
)
(
r r
¾ ∇ ⋅D = 0
(
)
Essendo un mezzo privo di densità di carica
)
r
r
∇ ⋅ ε0εrE = 0
r
r
r r
ε0 (∇εr ) ⋅ E + ε0εr ∇ ⋅ E = 0
r
r
r r
r
∇εr r
2
∇ ⋅E = −
⋅ E = − ∇ ln n ⋅ E
εr
( ( ))
¾ ricordando che l’indice di rifrazione vale:
n=
εc
=
ε0
ε0 ⋅ εr
= εr
ε0
Ottica Geometrica classica
¾ Da tali equazioni si ottiene infine:
r
r
[(
r r
) ]
r
∇ 2E + β02n2E = −2∇ ∇ ln(n) ⋅ E
Allora ricordando che:
r r
r r
r - jβ S ( rr )
∇ × E = (∇ × E0 − jβ 0∇S × E0 ) e 0
r r
r r
r - jβ S ( rr )
∇ ⋅ E = (∇ ⋅ E0 − jβ 0∇S ⋅ E0 ) e 0
e che:
r
r
r
∇ A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ × (∇ × A)
2
Ottica Geometrica classica
Si ha:
(
)
(
[(
)
) ]
r r r
r r − jβ S r r r
r
r − jβ S
r
r r
r
2
2
0
0
∇ ∇ ⋅ E0 − jβ 0 ∇ S ⋅ E0 e
− ∇ × ∇ × E0 − j β 0 ∇ S × E0 e
+ n β 0 E = −2∇ ∇ ln n ⋅ E
Allora mediante il procedimento di Felsen-Marcuvitz [1] si ottiene un’espressione
del tipo:
[
( ) ]− jβ1 { E ∇ S + 2∇S [E
r
r
E0 n 2 − ∇ S
r
2
2
0
0
r
r
] (
) }
r
r r r
⋅
∇
ln(
n
)
+
2
∇
S ⋅ ∇ E0 −
0
1
( jβ 0 )
2
{∇ E
2
r
[
]}
r r r
+
2
∇
E0 ⋅ ∇ ln(n) = 0
0
Ottica Geometrica classica
Sotto l’ipotesi λ → 0 (f → ∞) (ottica geometrica) si può trascurare il 3°
termine. Uguagliando a 0 parte reale e parte immaginaria, si ottengono le
equazioni fondamentali dell’ottica geometrica:
r
∇S
( )
2
= n2
Equazione dell’ ICONALE
[
] (
r 2
r r r
r r r
E0∇ S + 2∇S E0 ⋅ ∇ ln (n ) + 2 ∇S ⋅ ∇ E0 = 0
)
S(r), soluzione della prima equazione, è detta iconale
Equazione del TRASPORTO
Equazione dei Raggi
Risolvendo l’equazione dell’iconale è possibile calcolare la funzione iconale S(r) in
ogni punto (x,y,z) ⇒ le superfici equifase (fronte d’onda) S(r)=costante ⇒ le
traiettorie dei raggi (raggio: ogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto
alla superficie d’onda passante per quel punto).
Detto sˆ( x, y, z ) il versore che individua la direzione locale di propagazione (la
traiettoria del raggio nel punto (x,y,z) ), si ha evidentemente:
r r
r r
r
∇S (r ) ∇ S (r )
sˆ(r ) = r r =
r
(
)
n
r
∇S (r )
Il problema fondamentale dell’ottica geometrica è la
determinazione dei raggi a partire dai termini noti: distribuzione
di indice di rifrazione n(r).
Introduciamo l’ascissa curvilinea: s (P ) =
ˆ
P
ℜ
∫
dx 2 + dy 2 + dz 2
Si consideri il versore tangente al raggio in un punto
generico, per definizione le componenti cartesiane di
sono i coseni direttori di ŝ rispetto agli assi:
sˆ =
dxiˆx + dyiˆy + dziˆz
dx 2 + dy 2 + dz 2
ℜ
z
P0
ŝ
y
r
x
P
P0
s
Equazione differenziale dei Raggi
Indicata con r(s) l’equazione parametrica della traiettoria, risulta allora:
r
dr ( s )
sˆ(s ) =
z
ds
y
Da cui segue
r
dr(s) r
n
=∇S
ds
Equazione dei raggi
x
ℜ
r
sˆ =
P
dr
ds
Riderivando l’equazione dei raggi rispetto ad s …:
r
r ⎛ dS ⎞ r r
r
d ⎛ d r (s ) ⎞ d r
∇S = ∇⎜
⎜n
⎟=
⎟ = ∇ ∇ S ⋅ sˆ = ∇ (nsˆ ⋅ sˆ ) = ∇ n
ds ⎝ ds ⎠ ds
⎝ ds ⎠
( )
r
d ⎛ dr ⎞ r
⎜ n ⎟ = ∇n
ds ⎝ ds ⎠
(
)
Equazione differenziale dei raggi
L’equazione differenziale dei raggi permette di determinare la traiettoria dei raggi
conoscendo il solo andamento di n(r)
Equazione differenziale dei Raggi
Essendo una equazione differenziale del secondo ordine, ha infinite soluzioni, per
individuare un raggio occorre associare ad esse due condizioni al contorno del tipo:
r
r (0 ) = P0 − O
ℜ
z
y
r
dr ( s )
= sˆ(0) = sˆ0
ds s =0
r
x
P
P0
s
Dove P0 è un punto arbitrario dello spazio da cui il raggio ha origine e ŝ0 è un arbitrario
versore reale che definisce la direzione iniziale del raggio.
L’integrazione dell’equazione differenziale dei raggi può essere effettuata tramite
tecniche numeriche di tracciamento dei raggi (Ray Tracing) molto più vantaggiose
della integrazione diretta dell’equazione dell’iconale.
Traiettoria dei Raggi
¾ In ogni punto della traiettoria si può definire il vettore curvatura:...
r
r d 2 r (s ) dsˆ
c=
=
, derivando la eq. differenziale
2
ds
ds
r
d ⎡ dr ⎤
n ⎥ = ∇n
⎢
ds ⎣ ds ⎦
r
dsˆ dn
d
dn
ˆ
ˆ
ˆ
[
]
s+n =
s + nc
ns =
∇n =
ds
ds
ds ds
r⎤
r
⎡ dn
cˆ ⋅ ∇n = cˆ ⋅ ⎢ sˆ + nc ⎥ ⇒ n c = cˆ ⋅ ∇n
⎣ ds
⎦
ℜ
∇n
r
c
sˆ =
P
detto R il raggio di curvatura locale (raggio del cerchio osculatore), inoltre
r r
1
c = c ⋅ cˆ = cˆ
R
¾ Il vettore c e’ perpendicolare in ogni punto al versore s
e punta verso il centro del cerchio osculatore
dr
ds
Traiettoria dei Raggi
¾Dall’equazione differenziale dei raggi e in base alle definizioni date:
r
r
d ⎛ dr ⎞
∇n = ⎜ n ⎟ =
ds ⎝ ds ⎠
r
r
∇n ⋅ cˆ = n c ⇒
r
dn
sˆ + nc moltiplicando scalarment e per ĉ ⇒
ds
r
r 1 ∇n
c = =
⋅ ĉ
R
n
Poiché il primo membro e’ evidentemente positivo, se ne deduce che la direzione di c
e’ sempre concorde con quella di ∇n.
Il raggio tende sempre a piegare verso la regione ad indice di rifrazione più alto.
L’equivalente nel caso discreto è dato dalla Legge di Snell.
Esempio: mezzo a indice di rifrazione costante
n(r)=costante
L’equazione differenziale dei raggi si riduce in questo caso a:
r
d2 r
=0
2
ds
⇒
r
r r
r = as + b
con a,b vettori costanti definiti dalle condizioni iniziali.
Inoltre considerando l’equazione precedente della curvatura, nel caso di mezzi
ad indice di rifrazione costante, si ottiene:
r
1 ∇n
1
ˆ
=
⋅c ⇒
= 0 ⇒ il raggio è rettilineo
R
n
R
In un mezzo omogeneo le traiettorie sono dunque rettilinee
Esempio: mezzo a stratificazione sferica: n = n(r )
⇔
r
dn
∇n =
r̂
dr
Moltiplicando vettorialmente l’equazione
differenziale dei raggi per r si ottiene:
Ψ
s
r
d r
(r × nŝ) = dr × nŝ + r × d nŝ = 0
ds
ds
ds23
{
1
r
= ŝ
r
= ∇n
segue immediatamente
(rr × nsˆ ) = cost
⇒
n ⋅ r ⋅ sin (ψ ) = costante
tale relazione (legge di Snell per mezzi a simmetria sferica) e’ alla base della
propagazione ionosferica (o per onda di cielo), che sfrutta cioè la possibilità di
avere rientro a terra oltre l’orizzonte geometrico di onde lanciate con “elevazione
> zero”.
S + dS
S
Il Principio di Fermat
iˆS
P1
ℜ
P2
dS
du
l
ψ
iˆn
¾ Si considerino in un dato mezzo 2 punti P1 e P2 ed un percorso che li colleghi; si
definisce cammino ottico il seguente funzionale:
P2
L≡
∫ n(s) ds
(Il valore di L dipende ovviamente da P1,P2 e dal percorso scelto)
P1
¾ Vale allora il principio di Fermat:”Il cammino ottico e’ stazionario per raggi
ℜ
effettivi”, ovvero le traiettoria effettiva di un raggio minimizza (o, molto
P2
raramente, massimizza) il cammino ottico:
ℜ
P2
∫ n(s)ds ≤ ∫ n(u )du
l
P1
P1
OSSERVAZIONE: Il principio di Fermat può rappresentare una valida alternativa all’equazione differenziale
dei raggi per determinare le traiettorie dei raggi ottici.
Ad esempio, in un mezzo omogeneo (n=costante), il cammino ottico può essere riscritto come:
dove l rappresenta la lunghezza del percorso scelto; e’
P2
P2
allora evidente che il percorso a lunghezza minima e’
L ≡ nds = n ds = n ⋅ l
quello rettilineo ⇒ traiettorie rettilinee.
∫
P1
∫
P1
Onda Piana Locale
r r
r r
¾ A partire dalla E (r , ω ) = E 0 (r ) ⋅ e −
r
j β 0 S (r )
è utile osservare la disposizione vettoriale della terna s, E0, H0
partendo dalle equazioni di Maxwell (Ji ≈ 0) e ricordando che:
∇ × (Φ A ) = Φ ∇ × A + ∇Φ × A
e che quindi per E e H si ottiene:
∇ × E = (∇ × E0 − jβ∇S × E0 ) e − jβ 0 S (r )
∇ × H = (∇ × H 0 − jβ ∇S × H 0 ) e − jβ 0 S (r )
Onda Piana Locale
E quindi:
r r
r
r
r εr r
r r ⎫
1
r →
r r⎯
∇ × H = jωεE ⎯H⎯
⎯⎯
∇S × H 0 + E0 =
∇ × H0 ⎪
= H 0 e − jβ 0 S ( r )
η0
jβ 0
⎪
r r
r
r
r
r r ⎬
v
1
⎪
r r⎯
E
∇ × E = − jωμH ⎯E⎯
∇
×
− jβ⎯
S⎯
( rr ) → ∇S × E0 − η 0 H 0 =
0
0
= E 0e
⎪⎭
jβ 0
r
n
⎧ r
⎪⎪ E0 = ε η0 H 0 × sˆ
r r
⎯λ⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
⎨
→0
r
sˆ × E0
trascuro i secondi
⎪
H0 =
membri dell'eq. precedente
⎪⎩
η
essendo η0 =
μ
l’impedenza caratteristica del vuoto e
ε0
η=
μ
μ ε0
μ 1 η0
=
=
=
ε
ε ε0
ε0 n n
per un mezzo qualunque.
E0, H0, s formano una terna ortogonale sinistrorsa e la relazione che lega i 3 vettori e’
la stessa valida per onde piane uniformi
Onda Piana Locale
¾ Analogamente l’espressione del vettore di Poynting è identica a quella valida per
onde piane uniformi.
r 2
r r
r E × H * E0
S=
=
sˆ
2
2η
¾Le
⇒
L’Energia si propaga lungo i raggi ottici
r r
r r
r
− j β 0 S (r )
E (r , ω ) = E 0 (r ) ⋅ e
r r
r r
r
− j β 0 S (r )
H (r , ω ) = H 0 (r ) ⋅ e
rappresentano dunque soluzioni delle equazioni di Maxwell che godono delle stesse
proprietà delle onde piane uniformi, dove ŝ fa le veci del versore corrispondente al
vettore d’onda.
Si parla pertanto di Onde Piani Locali.
Come per le onde piane anche per le onde piane locali vale che l’intensità
(modulo del vettore di Poynting) vale:
2
1
I=
E0
2η
Variazione del campo lungo i raggi
¾ Si vuole ricavare la legge di intensità dell’ottica geometrica, che è
un’evoluzione dell’espressione dell’intensità in termini di tubi di flusso
¾ Tubo di flusso dell’energia: superficie chiusa
costituita lateralmente da una famiglia di raggi ed
ortogonalmente da due porzioni di superficie
d’onda
Σl
dΣ2
¾ Applicando il teorema di Poynting (conservazione
dΣ1
dell’energia) ad un tubo di flusso di sezioni
sufficientemente piccole da poter considerare su di esse S ≈ costante e
supponendo mezzo privo di perdite
r
r
r
r
r
r
r
r
0 = ∫ S ⋅ nˆ dΣ = ∫ S ⋅ nˆ dΣ + ∫ S ⋅ nˆ dΣ + ∫ S ⋅ nˆ dΣ = − S1 ⋅ dΣ1 + S2 ⋅ dΣ 2 ⇒ S1 ⋅ dΣ1 = S2 ⋅ dΣ 2
Σ
dΣ1
Σl
14243
dΣ 2
=0
⇒ I1 ⋅ dΣ1 = I 2 ⋅ dΣ 2
Legge di intensità dell’ottica geometrica
Spreading Factor
¾ L’intensità è inversamente proporzionale alle superficie di base del tubo di
flusso
si definisce quindi Fattore di Divergenza:
A=
r
r
S2
E2
dΣ1
r = r = lim
E1 dΣ1 ,dΣ 2 →0 dΣ 2
S1
Spreading Factor (Fattore di Divergenza)
Tale grandezza tiene conto dell’eventuale attenuazione dovuta all’allargamento
del fronte d’onda con la propagazione. La potenza portata da ogni raggio può
diminuire con la distanza anche se il mezzo e’ privo di perdite poiché, man mano
che l’onda avanza, l’energia viene distribuita su una superficie sempre più
ampia.