Esercizi per il corso di Geometria IV

Esercizi per il corso di
Geometria IV
6 giugno 2014
Esercizio 1. Sia E := R4 \ {0} e si consideri l’azione del gruppo (Z, +) su
E definita nel modo seguente:
m · x := 2m x.
1. Verificare che si tratta di un’azione libera.
2. Dimostrare che per ogni x ∈ E e per ogni m ∈ Z \ {0} si ha
|m · x − x| ≥
|x|
.
2
3. Ricordare la definizione di azione propriamente discontinua e dimostrare che l’azione di Z su E è propriamente discontinua. (Suggerimento: dato un punto x0 ∈ E, considerare per esempio l’aperto
U := B x0 , |x100 | .
4. Calcolare il gruppo fondamentale di E.
5. Calcolare il gruppo fondamentale dello spazio quoziente X := E/Z.
6. Indicare esplicitamente un sistema di generatori del gruppo π1 (X, x0 )
dove x0 = [(1, 0, 0, 0)].
7. Consideriamo i seguenti cammini in X:
α(t) = [(2t, 0, 0, 1)]
β(t) = [(1 + t, 0, 0, 0)]
γ(t) = [(cos 2πt, sen 2πt, 0, 0]
η(t) = [(1 + 7t, 0, sen 2πt, sen 4πt)]
1
Quali di questi cammini sono lacci?
Risposta: Tutti salvo α.
8. Fra quelli che sono lacci, quali sono contraibili?
Risposta: Siccome E è semplicemente connesso, sono contraibili quelli
il cui sollevamento è un laccio. I sollevamenti sono cammini messi fra
parentesi quadr. Dunque solo γ è contraibile.
9. Per ognuno dei lacci non contraibili si esprima la classe di omotopia
del laccio in termini dei generatori del gruppo identificati al punto 6.
Risposta: [β] è un generatore. [η] = 3 · [β].
Esercizio 2. Sia X := S 1 × {0} ∪ {x = y = 0} ⊂ R3 Calcolare il gruppo
fondamentale di R3 − X e indicare un sistema di generatori.
Esercizio 3. Sia X := S 1 × {0} ∪ {x2 + (y − 10)2 = 1, z = 0} e sia Y = {x =
0, (y − 2)2 + z 2 = 1} ∪ {x2 + y 2 = 4, z = 0}. Calcolare i gruppi fondamentali
π1 (R3 − X) e π1 (R3 − Y ). Esiste un omeomorfismo di R3 in sé stesso che
manda X su Y ?
Esercizio 4. Siano A = S 1 ×{0}∪{x = y = 0} e B = S 1 ×{0}∪{x = y = 2}.
Poniamo X = R3 − A e Y = R3 − B. Dimostrare che X ed Y sono connessi
per archi e calcolare i loro gruppi fondamentali.
Esercizio 5. Sia X := S 2 ∪ ({(0, 0)} × [−1, 1]) ∪ (({0} × [0, 1] × {0}). Dimostrare che X è connesso per archi e calcolare π1 (X). Esistono applicazioni
f : X → T 2 che non sono omotope ad una applicazione costante?
Esercizio 6. Rn meno un sottospazio vettoriale di codimensione ≥ 2 è
connesso. Se la codimensione è ≥ 3 allora è semplicemente connesso.
Esercizio 7. Scrivere esplicitamente un generatore di π1 (Pn (R), x) dove x =
(1 : 0 : . . . : 0). Se H ⊂ Pn (R) è un sottospazio proiettivo di dimensione
≥ 1, dimostrare che il morfismo indotto dalla inclusione i : H ,→ Pn (R) è
suriettivo.
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Esercizio 8. Siano p0 e p1 due punti distinti di P2 (R). Poniamo
X=
P2 (R) t [0, 1]
∼
dove ∼ è la seguente relazione di equivalenza:


x = y
x ∼ y ⇔ x = p0 ∈ P2 (R) e y = 0 ∈ [0, 1]


x = p1 ∈ P2 (R) e y = 1 ∈ [0, 1].
(Oppure le stesse condizioni con x ed y scambiati.) Consideriamo su X la
topologia quoziente, ossia la topologia tale che la proiezione canonica π :
X t [0, 1] → X sia una identificazione.
1. Calcolare π1 (X).
2. Descrivere almeno due rivestimenti doppi (cioè di grado 2) di X non
omeomorfi fra di loro.
3. Identificare il rivestimento universale di X.
Esercizio 9. Poniamo
Sx = {(x, y, z) : y = z = 0, x ≥ 0}
Sy = {(x, y, z) : x = z = 0, y ≥ 0}
Sz = {(x, y, z) : x = y = 0, z ≥ 0}
Y = Sx ∩ Sy ∪ Sz .
Calcolare il gruppo fondamentale di R3 \ Y .
Esercizio 10. Poniamo
p
x2 + y 2 − 3)2 + z 2 = 1}
T = {((x, y, z) ∈ R3 :
S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}
A = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2 e z = 0}
X = T ∪ A ∪ S 2.
Osserviamo che T è l’insieme ottenuto ruotando attorno all’asse delle z il
cerchio C = {(y, z) : (y − 3)2 + z 2 = 1}.
3
1. Dimostrare che X è connesso per archi.
2. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
Esercizio 11. Sia X uno spazio topologico e sia f : X → S n una applicazione
non suriettiva. Allora f è omotopa ad una applicazione costante.
Esercizio 12. Siano p e q due punti distinti di R3 . Consideriamo gli insiemi
Y = R3 − {p, q}
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0, z ≥ 1}
B = S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}
C = {(x, y, z) ∈ R3 : 4x2 + 4y 2 + (2z − 1)2 = 1}
X = A ∪ B ∪ C.
1. X ed Y sono omotopicamente equivalenti?
2. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
3. Sia f : X → P3 (R) un’applicazione continua. Dimostrare che se f non
è suriettiva, allora f è omotopa ad una applicazione costante.
Esercizio 13. Fare gli esercizi 11.17, 11.22, 14.1, 14.13, 14.14, 14.16 dal
libro di Manetti [1].
Esercizio 14. Siano M1 ed M2 varietà topologiche connesse. Siano Ui ⊂ Mi
degli aperti e siano ϕi : Ui → B omeomorfismi, dove B è la palla unitaria
∗
aperta in Rn centrata nell’origine. Poniamo pi := ϕ−1
i (0). Sia B = B − {0}
e sia
ψ : B∗ → B∗
ψ(x) :=
(1 − |x|)x
.
|x|
Provare che ψ è un omeomorfismo involutivo di B ∗ in sé. Poniamo Mi∗ :=
Mi − {pi }, Ui∗ := Ui − {pi } e X := M1∗ t M2∗ . Sia ∼ la seguente relazione su
X: se x, y ∈ X, si ha x ∼ y se x = y oppure se x ∈ U1∗ , y ∈ U2∗ e
ϕ1 (x) = ψ(ϕ2 (y))
(oppure la stessa condizione con x ed y scambiati).
Dimostrare i fatti seguenti.
4
Sia M := X/ ∼.
1. π : X → M è aperta.
2. π |Mi∗ è un omeomorfismo sull’immagine.
3. M è una varietà topologica (in particolare è uno spazio di Hausdorff ).
Calcolare il gruppo fondamentale di M in termini dei gruppi fondamentali di
M1 e di M2 .
Esercizio 15. Siano α, β ∈ Ω(X, x, y). Allora i due isomorfismi
α# , β# : π1 (X, x) → π1 (X, y)
differiscono per un automorfismo interno di π1 (X, x) (o π1 (X, y)). In particolare, se π1 (X, x) è abeliano, l’isomorfismo π1 (X, x) ∼
= π1 (X, y) è canonico.
Esercizio 16. Se p : X → Y è una identificazione aperta. Sia f˜ : Y → Z
una applicazione a valori in uno spazio topologico Z e sia f := f˜p. Allora f
è aperta se e solo se f˜ è aperta.
Esercizio 17. Se A è una matrice 3×3 con coefficienti tutti positivi (aij > 0)
allora A ha un autovalore positivo, vedi [2, p. 159].
Esercizio 18. Sia X uno spazio topologico e A ⊂ X un sottoinsieme. Sia ∼
la relazione che identifica tutti i punti di A ad un solo punto e sia X/A :=
X/ ∼. Dimostrare che se X = [0, 1] × S 1 e A = {0} × S 1 , allora X/A ∼
= D2 .
Esercizio 19. Dimostrare che Dn /S n−1 ∼
= S n.
Esercizio 20. Sia X uno spazio topologico e sia f : S 1 → X una mappa
continua. Allora le tre condizioni seguenti sono equivalenti:
1. f è omotopa ad una applicazione costante;
2. f è omotopa ad una applicazione costante rel{1};
3. esiste F : D2 → X tale che f = F |∂D .
Esercizio 21. Sia X uno spazio connesso per archi. Allora X è semplicemente connesso se e solo se ogni applicazione f : S 1 → X si estende al disco
(cioè esiste F : D2 → X tale che f = F |∂D ).
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Esercizio 22. Sia S 2 la sfera unitaria in R3 con centro nell’origine. Sia
D := {(0, 0)} × [−1, 1] e sia X := S 2 ∪ D. Sia σ : X → X l’applicazione
σ(x1 , x2 , x3 ) := (−x1 , −x2 , −x3 ). Sia G = {idX , σ}. Poniamo Y := X/G e
consideriamo su Y la topologia quoziente.
1. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
2. L’azione di G su X è propriamente discontinua?
3. Dimostrare che la proiezione canonica π : X → Y non è un rivestimento.
4. Dimostrare che Y è omotopicamente equivalente a P2 (R).
5. Esistono applicazioni p : X → Y che sono rivestimenti?
Esercizio 23. Poniamo
Sx = {(x, y, z) : y = z = 0, x ≥ 0}
Sy = {(x, y, z) : x = z = 0, y ≥ 0}
Sz = {(x, y, z) : x = y = 0, z ≥ 0}
Y = Sx ∩ Sy ∪ Sz .
E = S 1 × {0}.
1. Calcolare il gruppo fondamentale di R3 \ E.
2. Calcolare il gruppo fondamentale di R3 \ Y .
Esercizio 24. Poniamo
p
T = {((x, y, z) ∈ R3 :
x2 + y 2 − 3)2 + z 2 = 1}
S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}
A = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2 e z = 0}
X = T ∪ A ∪ S 2.
Osserviamo che T è l’insieme ottenuto ruotando attorno all’asse delle z il
cerchio C = {(y, z) : (y − 3)2 + z 2 = 1}.
1. Dimostrare che X è connesso per archi.
2. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
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Esercizio 25. Poniamo
S 3 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x2 + y 2 + z 2 + t2 = 1}
C1 = S 3 ∩ {x = y = 0}
C2 = S 3 ∩ {z = t = 0}
X = S 3 \ C1 ∪ C2 .
(1)
(2)
(3)
1. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
2. Descrivere esplicitamente dei generatori di π1 (X).
3. Dire se esistono applicazioni continue f : P2 (R) → X che non sono
omotope ad una applicazione costante.
Suggerimento: ricordarsi della parametrizzazione
ϕ : R3 → S 3 \ {(0, 0, 0, 1)}
1
ϕ(u1 , u2 , u3 ) = 2
(2u1 .2u2 , 2u3 , 1 − |u|2 ).
|u| + 1
(4)
(5)
Esercizio 26. Consideriamo i seguenti insiemi
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1, |z| ≤ 1}
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z = 0, |y| ≤ 1}
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1, x ≥ 0}
S2 = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}
X =C ∪D
Γ = S1 ∪ S2 .
1. Calcolare il gruppo fondamentale di X e indicare un insieme di generatori.
2. Calcolare il gruppo fondamentale di Γ e indicare un insieme di generatori.
3. Sia f : X → Γ l’applicazione
(
(x, y)
se x ≥ 0
f (x, y, z) =
(−x, y) se x ≤ 0
Dimostrare che f è continua.
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4. Dire se f è omotopa ad una applicazione costante e se esiste un sole di f . (Γ
e indica il rivestimento universale di
levamento f˜ : X → Γ
Γ.)
Esercizio 27. Sia
X = R3 \ {(−1, 0, 0), (0, 0, 0), (1, 0, 0)}.
1. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
2. Sia T = S 1 ×S 1 il toro bidimensionale e sia f : X → T una applicazione
continua. Dimostrare che f è omotopa ad una applicazione costante.
Esercizio 28. Consideriamo i seguenti sottoinsiemi dello spazio tridimensionale:
A = {(x, y, z) ∈ R3 : (x + 2)2 + y 2 + z 2 = 1}
B = {(x, y, z) ∈ R3 : (x − 2)2 + y 2 + z 2 = 1}
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + (y − 1)2 = 4, z = 0, y ≥ 1}
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + (y + 1)2 = 4, z = 0, y ≤ −1}
E = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2, z = 0, −1 ≤ y ≤ 1}.
Poniamo
X =A∪C ∪D∪E
Y =A∪B∪C ∪D
1. Calcolare il gruppo fondamentale di X e indicare un sistema di generatori.
2. Calcolare il gruppo fondamentale di Y e indicare un sistema di generatori.
3. Può esistere un rivestimento p : E → X con E omeomorfo al toro
bidimensionale T 2 = S 1 × S 1 ? Motivare la risposta.
Esercizio 29. Sia S 2 la sfera unitaria in R3 . Consideriamo i seguenti
sottoinsiemi dello spazio tridimensionale:
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0, −1 ≤ z ≤ 1}
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0, y ≥ 0}
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0, −1 ≤ y ≤ 0, z = 0}
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X = S2 ∪ A
Y = S2 ∪ B
Z = S2 ∪ B ∪ C
1. Calcolare il gruppo fondamentale di X e indicare un sistema di generatori.
2. Calcolare il gruppo fondamentale di Y e indicare un sistema di generatori.
3. Calcolare il gruppo fondamentale di Z e indicare un sistema di generatori.
4. Fra gli spazi S 2 , X, Y e Z quali sono omotopicamente equivalenti?
5. Dimostrare che ogni applicazione continua f : Y → T 2 è omotopa ad
una applicazione costante (T 2 = R2 /Z2 è il toro bidimensionale).
Esercizio 30. Poniamo Y := [−2, 2]×{(0, 0)}∪[−2, 2]×{(0, 1)}∪{(0, 1, 0)}
e X := [−2, 2]3 \ Y .
1. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
2. Ricordare la definizione di spazi omotopicamente equivalenti e dire se
X e S 1 × S 1 sono omotopicamente equivalenti oppure no (motivare
opportunamente la risposta).
Esercizio 31. Siano p e q due punti distinti di R3 . Consideriamo gli insiemi
Y = R3 − {p, q}
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0, z ≥ 1}
B = S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}
C = {(x, y, z) ∈ R3 : 4x2 + 4y 2 + (2z − 1)2 = 1}
X = A ∪ B ∪ C.
1. X ed Y sono omotopicamente equivalenti?
2. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
3. Sia f : X → P3 (R) un’applicazione continua. Dimostrare che se f non
è suriettiva, allora f è omotopa ad una applicazione costante.
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Esercizio 32. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di R3 :
A ={(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≥ 1}
B ={(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}
C ={(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0}
X =A ∪ B
Y =A ∪ B ∪ C.
Sia x0 = (0, 1, 0). Indichiamo con T n il toro n-dimensionale.
1. Verificare che X ed Y sono connessi per archi.
2. Calcolare π1 (X, x0 ).
3. Calcolare π1 (Y, x0 ).
4. Le applicazioni continue f : X → T 3 sono tutte omotope ad una
applicazione costante? Motivare adeguatamente la risposta.
5. Dimostrare che non esistono rivestimenti p : Y → T 3 .
6. Le applicazioni continue f : T 2 → Y sono tutte omotope ad una
applicazione costante? Motivare adeguatamente la risposta.
Esercizio 33. Poniamo
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 4}
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1}
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0, z ∈ [1, 2]}
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z = 0, y ∈ [1, 2]}
Y =A∪C ∪D
X = A ∪ B ∪ C ∪ D.
1. Calcolare π1 (Y ).
2. Calcolare π1 (X).
Esercizio 34. Consideriamo gli insiemi
A := {(x, y, z) ∈ R3 : x = z = 0}
B := {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 0, z ≥ 0}
C := {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, y = 1, x ≥ 0}
X := R3 \ (A ∪ B)
Y := R3 \ (A ∪ B ∪ C)
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1. Calcolare il gruppo fondamentale di X.
2. Calcolare il gruppo fondamentale di Y .
Riferimenti bibliografici
[1] M. Manetti. Topologia. Springer. xii, 297 p., 2008.
[2] E. Sernesi. Geometria 2. Bollati Boringhieri, 1994.
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