Meccanica – legge conservazione momento angolare
Liceo Scientifico Tecnologico
Classe 3° LST A
a.s. 2010/2011
ESERCIZIO TRATTO DA “Fondamenti di fisica”
(D. Halliday, R. Resnick, J. Walker) Vol. meccanica- Modulo Cap. 11 - Argomento Problema. 42
Sviluppo curato da: Nicola Della Penna
Docente: prof. Quintino D’Annibale
Testo
La particella di massa m=50g della figura 11.46 scivola giù per la superficie priva di attrito per un’altezza
h=20cm e va ad urtare l’estremità dell’asta verticale omogenea (massa m=100g e lunghezza d=40cm), alla
quale si attacca. L’asta gira intorno a O di un angolo ϑ e quindi arriva ad un istante di arresto. Trovate ϑ .
d/2
h3
d/2
d/2
h2
Figura 11.46
Sviluppo
Innanzitutto al fine di determinare l’angolo ϑ , l’idea chiave è quella di sfruttare il principio di conservazione
dell’energia meccanica, a tal fine è dapprima necessario determinare la velocità angolare ω del
sistema(blocco-asta) dopo l’urto. Ciò è possibile sfruttando la legge di conservazione del momento angolare
e applicandola negli istanti immediatamente precedente l’urto(istante iniziale) e successivamente ad
esso(istante finale) quando il sistema è in rotazione rispetto ad o (consideriamo solo i moduli delle
grandezze).
Li = L f
(1)
Li ,sarà dato solo dal momento angolare del blocco in movimento alla velocità v:
Li = m ⋅ v ⋅ dsenα
Ma essendo
α = 90° ⇒ senα = 1
Li = m ⋅ v ⋅ d
(2)
Nell’istante finale invece l’unico momento angolare è quello del corpo rigido blocco-asta che ruota attorno ad
o:
L f = It ⋅ω
(3)
Sostituendo
Li e L f alla (1):
m ⋅ v ⋅ d = It ⋅ω
Ma in tale equazione vi due incognite v e
(4)
It .
Tuttavia la velocità del blocchetto dato che interviene solo la forza gravitazionale(forza conservativa) potrà
essere definita dalle leggi riguardanti la caduta dei gravi:
v = 2 ⋅ g ⋅ h = 2 ⋅ 9,8
m
m
⋅ 0,20m ≅ 1,98
2
s
s
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-
Pagina - 2 Invece
I t cioè il momento d’inerzia totale, può essere pensato come il momento d’inerzia dell’asticella( I a
)più il momento d’inerzia del blocchetto ( I b ). Ma al fine di determinare
I a ovvero il momento d’inerzia
dell’asticella rispetto al suo estremo sfrutteremo il teorema degli assi paralleli, quindi:
2
1
1
d
2
It = Ia + Ib =
Md + M + md 2 = Md 2 + md 2
2
3
2
Sostituendo:
It =
1
2
2
⋅ 0,1kg ⋅ (0,4m ) + 0,05kg ⋅ (0,4m ) = 1,33 ⋅ 10 − 2 kg ⋅ m 2
3
Quindi essendo noti sia v che I t possiamo risolvere l’equazione (4)rispetto a
m⋅v⋅d
ω=
=
It
ω:
m
s ≅ 3 rad s
2
0,4m ⋅ 0,05kg ⋅ 1,98
1,33 ⋅ 10 − 2 kg ⋅ m
Soffermiamoci ora sull’intero sistema analizzando l’energia totale appena dopo l’urto e nell’istante in cui il
sistema blocco-asta si ferma ad un’inclinazione ϑ . Applicando il principio di conservazione dell’energia:
Ei = E f
Ma
(5)
E i sarà data dall’energia cinetica rotazionale del sistema blocco-asta e dall’energia potenziale iniziale
dell’asta nell’istante immediatamente successivo all’urto. In particolare l’energia potenziale iniziale dell’asta è
definita dall’energia potenziale del centro di massa situato all’altezza d 2 rispetto al piano con E p = 0 .
E i = E k + E p1 =
Invece
1
d
⋅ It ⋅ω 2 + M ⋅ g ⋅
2
2
(6)
E f , dato che il sistema è fermo sarà l’energia potenziale del blocco più l’energia potenziale dell’asta.
E f = E p 2 + E p 3 = m ⋅ g ⋅ h2 + M ⋅ g ⋅ h3
Tuttavia a noi non sono noti né
(7)
h2 , né h 3 , i quali però possono essere espressi in funzione di cos ϑ . In
particolare abbiamo che:
h2 = d − d cos ϑ
Invece:
h3 = d −
d
cos ϑ
2
Di conseguenza sostituendo alla (7) otteniamo che:
d
E f = m ⋅ g ⋅ (d − d cos ϑ ) + M ⋅ g ⋅ d − cos ϑ
2
Applicando il principio di conservazione dell’energia:
1
d
d
⋅ I t ⋅ ω 2 + M ⋅ g ⋅ = m ⋅ g ⋅ (d − d cos ϑ ) + M ⋅ g ⋅ d − cos ϑ
2
2
2
Così facendo si ottiene un’equazione di primo grado in incognita
cos ϑ , sostituendo:
2
1
m 0, 4
m
rad
⋅ 1,33 ⋅ 10 − 2 kg ⋅ m 2 ⋅ 3
m = 0,05 kg ⋅ 9,8 2 ⋅ 0,4 m (1 − cos ϑ ) +
+ 0,1kg ⋅ 9,8 2 ⋅
2
2
s
s
s
m
1
+ 0,1kg ⋅ 9,8 2 ⋅ 0,4 m 1 − cos ϑ
2
s
cos ϑ otteniamo che:
cos ϑ ≅ 0,85 ⇒ ϑ ≅ 32 °
Risolvendo rispetto a
Nicola Della Penna
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