Esonero del 1 marzo 2002

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale
Corso di FISICA (M−Z) − Dott. G. Zollo
Prova di valutazione n° 1
Esercizi
1) Sia dato un punto materiale di massa m= 1kg su un piano inclinato scabro (α=45°) di
altezza h=1m. Si osserva che se si lascia andare il punto materiale (inizialmente
fermo) dalla sommita’ esso arriva sulla base del piano avendo acquistato una velocita’
v=4m/s. Calcolare quale deve essere l’accelerazione (in modulo, direzione e verso)
che deve essere fornita al piano inclinato affinche’ il punto materiale scivoli lungo di
esso a velocita’ costante. In quest’ultimo caso, sapendo che la potenza dissipata dalla
forza d’attrito dinamico e’ P=1W, calcolare il tempo necessario per percorrere il piano
inclinato.(assumere g=10 m/s2)
2) Una navicella spaziale di massa M=105 kg in orbita circolare a distanza r1=800 km
dalla superficie terrestre. L’equipaggio deve porre in orbita circolare un satellite di
massa m=1000 kg, ospitato a bordo, a distanza r2=1000 km dalla superficie terrestre e
poi deve spostare la navicella a distanza r3=900 km dalla superficie terrestre.
Calcolare il lavoro fatto dai motori del satellite e della navicella.
(assumere G=6.7*10−12 Nm2/kg2, MT= 6*1024 kg, RT=6400 km)
Domande
1) Dimostrare l’equazione dei momenti per un punto materiale e estenderla ai sistemi di
punti materiali (II equazione cardinale). Discutere di casi esemplificativi in cui si ha
conservazione del momento della quantita’ di moto
2) Enunciare il primo principio della termodinamica e discuterne le applicazioni nel caso
di un gas perfetto.
Soluzioni
Esercizio 1)
Quando il punto e’ lasciato libero di muoversi sul piano scabro si ha
L NC E f E i
d m g cos l
da cui otteniamo
1
2
m v mgh
2
gh d
1 2
v
2
tan
gh
0.2
.
Affinche’ il punto si muova con velocita’ costante, il piano inclinato deve essere
accelerato orizzontalmente, con verso concorde con l’avanzamento della punta del piano
e con modulo dato dalla seguente
m g sin
a g
sin
cos
m a cos
d d cos d sin g
m g cos
l
v
l P
m g cos
d
m a sin
d 1 d tan tan
P
F
Dato che P F v otteniamo v
t
a sin
d m
d h m
P
0 da cui si ottiene
6.7 m s2 .
P
g cos
g
e quindi
a sin a tan
3.3 s
Esercizio 2
Sono presenti forze conservative (forza gravitazionale) e non (forze dei motori). Pertanto
L NC E f E i . Nella situazione iniziale (navicella + satellite che orbitano insieme e
distanza r1 dalla superficie terrestre) l’energia meccanica e’ data dalla
Ei
G MT M m
1
M m v 2i 2
RT r 1
un’orbita circolare si ha :
. D’altra parte, dato che i due corpi si muovono su
G MT M m
RT r 1
Ei
ossia
M m vi
2
RT r 1
2
1 G MT M m
2
RT r 1
da cui si ottiene
1
1 G MT M m
2
M
m
v
i 2 R r
2
T
1
.
Per la stessa ragione l’energia meccanica finale (navicella e satellite che orbitano a
distanza r3 e r2 rispettivamente dalla superficie terrestre) sara’
Ef
1 G MT M
2 RT r 3
Si ottiene pertanto
1 G MT m
.
2 RT r 2
L NC
1 G MT M
2 RT r 3
1 G MT m 1 G MT M m
2 RT r 2 2 RT r 1
2 10 6 kJ