Corso di
COMUNICAZIONI ELETTRICHE
Docente : Prof. Roberto Gaudino
Tutore : Prof. Vito De Feo
Esercitazione n° 6
Trasmissione di
Simboli Isolati
Anno Accademico 2007-2008
Esercizio 1
Quale delle forme d'onda h(t) in fig.1 e la risposta all'impulso del filtro adattato al segnale
s(t)?
Soluzione
Considerando che la risposta all’impulso di un filtro adattato è il complesso coniugato del
segnale s(t) in (-t):
h(t ) = s * (− t )
Nel caso proposto il segnale s(t) non ha parte immaginaria, quindi è sufficiente leggere al
contrario sull’asse dei tempi il segnale stesso, trovando che la risposta cercata è il segnale
h2(t):
Esercizio 2
Qual e il valore della distanza minima d per la costellazione di fig. 2?
Soluzione
Premessa:
Considerando che la figura descritta dai punti s1, s2, s3, s4, è un quadrato, la diagonale s1, s3,
è uguale a L 2 ; sottraendo la distanza s5, s6,e dividendo per due otteniamo il secondo cateto
del triangolo formato da s1, s5 con la diagonale s1, s3.
La soluzione algebrica è:
2
⎛ D ⎞ ⎛⎜ 2 L D ⎞⎟
− ⎟
d ( s 5 , s1 ) = ⎜ ⎟ + ⎜
2
2
2⎠
⎝ ⎠ ⎝
Sapendo che
L=
(
1+ 3
D
2
)
2
2
⎛ D ⎞ ⎛⎜ 2 1 + 3 D D ⎞⎟
− ⎟ =
⎜ ⎟ +⎜
2⎠
2 2
⎝2⎠ ⎝
2
otteniamo
2
D 2 ⎛ D + 3D − D ⎞
⎟ =
+ ⎜⎜
⎟
4 ⎝
2
⎠
D 2 3D 2
+
=D
4
4
quindi la distanza s5, s6 è uguale alla distanza s1, s5 che la distanza minima ed è pari a D.
Esercizio 3
In un sistema di trasmissione numerica si usano due segnali che, rispetto ad una base ψ1(t)
e ψ2(t) hanno componenti:
s1 = [− 1,1]
s2 = [1,−1]
Il ricevitore proietta il segnale ricevuto r(t) lungo ψ1(t) e lungo ψ2(t) ottenendo le due
componenti r1 e r2, rispettivamente.
Quale relazione deve intercorrere tra r1 e r2 affinché il decisore ottimo decida che più
probabilmente è stato trasmesso il segnale s1(t)?
Soluzione
Affinché il decisore decida che più probabilmente sia stato trasmesso il segnale s1(t)
deve trovarsi nella parte superiore della bisettrice della base; questo si verifica per
r2 ⟩ r1
Esercizio 4
Calcolare l'energia media E della costellazione di 8 segnali indicata in fig. 3
Soluzione
L'energia media si calcola sommando l'energia di ogni simbolo intesa come distanza
al quadrato dall'origine degli assi.
Data la formule generale:
E media
1
=
M
M
∑ di
2
(1.1)
i =1
Per la costellazione in figura 3 vale:
( )
[ ( ) ( )]
2
1
1
2
Emedia = ⎡4 2d + 4(3d ) ⎤ = 4 2d 2 + 4 9d 2 = 5,5d 2
⎥⎦ 8
8 ⎢⎣
E le grandezze caratteristiche sono:
d min = 2d
Esercizio 5
Emin = 2d 2
Emax = 9d 2
Calcolare l'energia media E della costellazione di 8 segnali indicata in fig. 4
Soluzione
Applicando la formula 1.1
Emedia
2
⎡
⎛
⎞
⎛ 9d 2 ⎞ ⎤
1
3 2d ⎤ 1 ⎡ 2
2
2
⎟ ⎥ = ⎢4d + 4⎜⎜
⎟
d
= ⎢4d + 4⎜⎜
=
9
,
5
⎥
⎟
⎟ ⎥ 8
8⎢
2
4
⎝
⎠⎦
⎝
⎠ ⎦
⎣
⎣
E le grandezze caratteristiche sono:
d min = 2d
Esercizio 6
Emin = d 2
Emax = 18d 2
Calcolare l'energia media E della costellazione di 8 segnali indicata in fig. 5
Soluzione
Applicando la formula 1.1
Emedia =
[
] [
]
1
1
2
4d 2 + 4(2d ) = 4d 2 + 16d 2 = 2,5d 2
8
8
E le grandezze caratteristiche sono:
d min = d
Esercizio 7
Emin = d 2
Emax = 4d 2
Calcolare l'energia media E della costellazione di 8 segnali indicata in fig. 6
Soluzione
Applicando la formula 1.1
Emedia
( ) (
)
[
]
2
2
1⎡
1
= 4 2d + 4 2 2d ⎤ = 8d 2 + 32d 2 = 5d 2
⎥⎦ 8
8 ⎢⎣
E le grandezze caratteristiche sono:
d min = 2d
Emin = 2d 2
Emax = 8d 2
Esercizio 8
Si deve trasmettere un segnale 4-PSK su un canale di banda BT = 1 kHz. Qual e la massima
velocità di trasmissione dei bit, se si usa un filtro a coseno rialzato con roll-off 0.5?
Soluzione
Un segnale 4-PSK significa che trasmette con 4 simboli, quindi su 2 bit.
Date le relazioni:
TS =
1+ rolloff
2 BT
(1.2)
Rs =
1
TS
(1.3)
Rb = nRs
(1.4)
si calcola:
TS =
1 + 0,5
= 0,75 ms
3
2 × 10
Rs = 1,33 ksimboli / s
Rb = nRs = 2 × 1,33 = 2,66 kbit / s
Esercizio 9
Si deve trasmettere un segnale 8-PSK su un canale di banda BT = 1 kHz. Qual e la massima
velocità di trasmissione dei bit, se si usa un filtro a coseno rialzato con roll-off 0.5?
Soluzione
Un segnale 8-PSK significa che trasmette con 8 simboli, quindi su 3 bit.
Utilizzando le formule (1.2), (1.3) ed (1.4) otteniamo una velocità di trasmissione pari a:
Rb = nRs = 3 × 1,33 = 3,9 kbit / s
Esercizio 10
Si deve trasmettere un segnale 16-QAM su un canale di banda BT = 1 kHz. Qual e la
massima velocità di trasmissione dei bit, se si usa un filtro a coseno rialzato con roll-off 0.5?
Soluzione
Un segnale 16-QAM significa che trasmette con 16 simboli, quindi su 4 bit.
Utilizzando le formule (1.2), (1.3) ed (1.4) otteniamo una velocità di trasmissione pari a:
Rb = nRs = 4 × 1,33 = 5,32 kbit / s
Esercizio 11
In un sistema di trasmissione numerica si usano 4 segnali, cui corrispondono i vettori
s1 = E [1,0] s2 = E [0,1]
s3 = E [− 1,0] s4 = E [0,−1]
Qual è la regione di decisione per il segnale s1=?
Soluzione:
Supponendo di aver trasmesso un certo segnale, corrispondente a un dato punto p dello
spazio, la regione di decisione è costituita da un poliedro a ν dimensioni contenente al suo
interno il punto p e le cui facce sono gli iperpiani luoghi dei punti a egual distanza da p e dai
punti ad esso vicini. Indichiamo con r la distanza fra p e il punto più vicino. Consideriamo ora
un’ipersfera a ν dimensioni di raggio r/2, centrata su p. Tale sfera sta sicuramente tutta
all'interno del poliedro a ν dimensioni che rappresenta la regione di decisione associata a quel
punto, e pertanto la probabilità di errore condizionata alla trasmissione del punto p è
sicuramente maggiorata dalla probabilità che,per effetto del rumore, il punto ricevuto sia al di
fuori di tale sfera.
In base a queste considerazioni possiamo concludere che la regione di decisone per la
costellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione:
r1 ⟩ r2
Esercizio 12
In un sistema di trasmissione numerica si usano 4 segnali, cui corrispondono i vettori
s1 = E [1,0] s2 = E [0,1]
s3 = E [− 1,0] s4 = E [0,−1]
Qual è la regione di decisione per il segnale s2=?
Soluzione:
In base alle considerazioni dell’esercizio 11possiamo concludere che la regione di decisone
per la costellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione:
r2 ⟩ r1
Esercizio 13:
In un sistema di trasmissione numerica si usano 4 segnali, cui corrispondono i vettori
s1 = E [1,0] s2 = E [0,1]
s3 = E [− 1,0] s4 = E [0,−1]
Qual è la regione di decisione per il segnale s3=?
Soluzione:
In base alle considerazioni dell’esercizio 11possiamo concludere che la regione di decisone
per la costellazione in figura è il luogo dei punti ove vale la relazione:
− r1 ⟩ r2
Esercizio 14
Stimare la probabilità d'errore sul simbolo per la costellazione di 8 segnali indicata in figura 7,
usando la formula "union bound".
Soluzione:
Premessa:
Considerando strutture di segnali di tipo multidimensionale in generale non è possibile trovare
espressioni in forma chiusa per la probabilità di errore.
Si può invece ricavare un limite superiore. Tale limite superiore è detto “Union Bound”, in
quanto ottenuto utilizzando le proprietà della probabilità di un evento definito come unione di
altri eventi.
La probabilità di errore sul simbolo P(E) e tenendo conto del numero n di bit per
simbolo è:
P(E ) = 1 − [1 − P (e)] ≈ nP (e )
n
passando alla probabilità di errore equivalente sul bit P(e), si ottiene:
⎛ d min
2n − 1
P(e ) =
erfc⎜
⎜2 N
2n
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(1.5)
Nel nostro caso, tenendo conto che bisogna stimare la probabilità di errore per costellazioni
formate tutte da 8 simboli, abbiamo un numero costante di bit (n=3), quindi l'unico parametro
che influisce è la distanza minima tra i simboli.
Quindi per questa costellazione otteniamo:
d min = 2d
e la probabilità di errore, applicando la formula (1.5), diventa:
⎛ d ⎞
7
⎟
P(e ) = erfc⎜
⎜ N ⎟
6
0 ⎠
⎝
Esercizio 15
Stimare la probabilità d'errore sul simbolo per la costellazione di 8 segnali indicata in figura 8,
usando la formula "union bound".
Soluzione:
In base alle considerazioni fatte nell’esercizio 14, per questa costellazione otteniamo:
d min = 2d
e la probabilità di errore, applicando la formula (1.5), diventa:
⎛ 2d
7
P(e ) = erfc⎜
⎜2 N
6
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Esercizio 16
Stimare la probabilità d'errore sul simbolo per la costellazione di 8 segnali indicata in figura 9,
usando la formula "union bound".
Soluzione:
In base alle considerazioni fatte nell’esercizio 14, per questa costellazione otteniamo:
d min = d
e la probabilità di errore, applicando la formula (1.5), diventa:
⎛ d
7
P(e ) = erfc⎜
⎜2 N
6
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Esercizio 17
Stimare la probabilità d'errore sul simbolo per la costellazione di 8 segnali indicata in figura
10, usando la formula "union bound".
Soluzione:
In base alle considerazioni fatte nell’esercizio 14, per questa costellazione otteniamo:
d min = 2d
e la probabilità di errore, applicando la formula (1.5), diventa:
⎛ 2d
7
P(e ) = erfc⎜
⎜2 N
6
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
Osservando che la probabiltà di errore, utilizzando la formula di 'union bound', risulta
inversamente proporzionale alla distanza tra i vari simboli, possiamo concludere che la
costellazione di Fig. 7 ha una probabilità di errore miniore rispetto alle altre costellazioni
perché ha la distanza minima maggiore.
Esercizio 18
In un sistema di trasmissione numerica si usano 4 segnali che, rappresentati su un'opportuna
base, corrispondono ai seguenti 4 vettori:
s1 = [1,0,2]
s2 = [− 1,1,2]
s3 = [1,3,−2]
s4 = [0,0,0]
Il segnale ricevuto, proiettato sulla stessa base fornisce il vettore:
r = [0,5,0,2,1,2]
Qual e il segnale che più probabilmente è stato trasmesso?
Soluzione:
Per valutare il segnale che più probabilmente è stato trasmesso bisogna calcolare la distanza
tra r ed i segnali si, applicando la seguende formula:
d (r , si ) =
(rx − six )2 + (ry − siy )2 + (rz − siz )2
(1.6)
E per i segnali si otteniamo i seguenti risultati:
d (r , s1 ) = 0,964
d ( r , s2 ) = 1,711
d ( r , s3 ) = 4,281
d ( r , s4 ) = 1,315
Dato che d(r,s1) risulta essere la distanza minore, ed ha una grande differenza rispetto agli
altri, possiamo concludere che il segnale trasmesso è sicuramente s1.
Esercizio 19
Calcolare la probabilità d'errore sul simbolo esatta per la costellazione indicata in fig. 11.
Soluzione:
Dalla visione della figura, per questa costellazione otteniamo
d min = d = 4
Ed una trasmissione di 8 simboli, che corrisponde ad un numero di bit pari a
n=3
Utilizzando la formula 1.5, la probabilità di errore diventa:
⎛ 2 ⎞
7
⎟
P(e ) = erfc⎜
⎜ N ⎟
6
0 ⎠
⎝
Esercizio 20
In un sistema di trasmissione numerico si usano 4 segnali, cui corrispondono i seguenti 4
vettori in uno spazio a 4 dimensioni:
s1 = [1,0,0,0]
s2 = [0,−1,0,0]
s3 = [0,0,1,0]
s4 = [0,0,0,1]
Calcolare la probabilità d'errore sul simbolo usando l'approssimazione "union bound".
Soluzione:
Esaminando i 4 segnali si possiamo affermare che formano una base in R4, dato che sono
linearmente indipendenti fra loro, infatti il loro prodotto scalare è nullo a due a due.
Con riferimento alla formula 1.6, si calcolano le distanze tra i segnali presi a due a due, e
troviamo che la distanza è uguale per tutti ed è pari a
d min = 2
Per una costellazione di 4 simboli otteniamo un numero di bit pari a
n=2
Utilizzando la formula 1.5, la probabilità di errore diventa:
⎛ 2 ⎞
3
⎟
P(e ) = erfc⎜
⎜2 N ⎟
4
0 ⎠
⎝
Esercizio 21
In un sistema di trasmissione numerico si usa la costellazione indicata in fig. 12 (quattro
segnali in uno spazio monodimensionale).
Il segnale ricevuto r(t) viene proiettato sul versore ψ1(t) e si ottiene il valore r1 = -0.5. Quale
segnale è stato più probabilmente trasmesso?
Soluzione:
Analizzando la Fig. 12 possiamo vedere che il segnale trasmesso è sicuramente s0, dato che
è il più vicino a r1.
Esercizio 22
Occorre trasferire dei dati binari da un calcolatore ad un altro utilizzando una modulazione
numerica.
Si decide di prendere i bit a gruppi di otto (1 byte) e di trasmettere un segnale per ogni byte.
Quanti segnali diversi devono essere presenti nella costellazione?
Soluzione:
Considerando che in una costellazione sono presenti tutte le possibili combinazioni associabili
ai bit d’informazione, la formula che determina il numero di simboli presenti è:
numero di simboli = 2 n
dove n rappresenta il numero di bit.
Nel caso dell’esercizio si vogliono trasmettere 8bit (1 byte), di conseguenza il numero di
simboli sarà pari a:
numero di simboli = 28 = 256
Esercizio 23
Disegnare le regioni di decisione per la costellazione di punti indicata in fig. 13.
Soluzione:
Le linee tratteggiate rappresentano le regioni di decisione.
Esercizio 24
Disegnare le regioni di decisione per la costellazione di punti indicata in fig. 14.
Soluzione:
Le linee tratteggiate rappresentano le regioni di decisione.
Esercizio 25
Si calcoli la probabilità d'errore per la modulazione OOK (on-off keying) caratterizzata dalla
trasmissione di due segnali equiprobabili di coordinate
s1 = [0]
s 2 = [A]
ed esprimerla in funzione dell'energia media E trasmessa dal modulatore in un intervallo T.
Esercizio 26
Si supponga di trasmettere una modulazione binaria con i due segnali:
s1 (t ) = sin( 2πt / T )u T
s2 (t ) = cos( 2πt / T )uT
•trovare la base dei segnali che consente di rappresentare s1(t) e s2(t)
•disegnare la costellazione e le regioni di decisione ottime
•progettare il demodulatore a filtri adattati
•calcolare la probabilita d'errore
