Appunti di "Meccanica Razionale"

Appunti di "Meccanica Razionale"
Enrico Negossi
Appunti di Meccanica Razionale
✗
Come si fa a capire se 3 vettori formano una base?
La matrice formata da questi vettori ha determinante non nullo.
I 3 vettori sono linearmente indipendenti, ovvero la matrice ha rango 3.
✗
Prodotto scalare tra vettori
⋅
∣⋅∣v
∣⋅cos
u
v =∣u

u
 k=1

i⋅i =j⋅j= k⋅
 k⋅
 i =0
i⋅j=j⋅k=


v
 ∣= u2x u2y u2z
∣u
✗
Prodotto vettoriale
 ×v
 =w

u
 è un vettore libero.
w
dove
Il modulo di
 è:
w

 u
∣⋅∣
∣w∣=∣
v∣⋅sin 

v

u
Braccio
 è perpendicolare al piano contenente
La direzione di w
Il verso si individua con la regola della mano destra.
 
 ×u

w×
v =− v
∣
 e
u

v
Ossia il prodotto vettoriale è anticommutativo
∣

i
j k
 ×
∣u
v∣= x u y u zu
x v y v zv
✗
Volume del parallelepipedo formato da 3 vettori
∣
∣
u x u y uz



 u × v ⋅w= v x v y v z
w x w y wz
Se 2 di questi vettori sono paralleli tra loro allora il prodotto misto (ossia
il volume) è nullo.
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Enrico Negossi
Momenti
  rispetto a un punto (“polo”) O, il
Dato un vettore applicato P , v
v  rispetto a O è dato da:
momento di P , 
 =P−O× 
M
v
O
Il momento è un vettore libero.
 '≠M

O '≠O⇔ M
O
O
Come varia il momento a seconda del polo scelto?
 '=P−O'× 
 v
 =P−O× v
 −O '−O× 
 ×O '−O
M
v =[P−O−O'−O]× v
v =M
O
O
 '=M
 
M
O
O v ×O '−O
✗
Sistemi di vettori applicati
S= {P1 , v1 ,P2 , v2 ,... ,P3 . v3  }
Il risultante è la somma dei vettori liberi
 v  v ... v ≡∑ v
R=
1
2
n
i
Il momento di S rispetto al polo O è dato da:
S =p −O× v P −O× v ...P −O× v = P −O× v
M
O
1
1
2
2
n
n ∑
i
i
S R×O'−O

MSO '=M
O
S =MS ⇔ R
 =0
M
O
O'
✗
Coppia di vettori applicati
 }
S= {P1 , 
v ,P2, −v

R=0


M=P
1 −P 2 × v
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Enrico Negossi
Momento assiale
 su r e un punto
Data una retta r, un versore u
assiale di S rispetto a r è dato come segue:
O∈r , il momento
 S= u
S
⋅M
M
r
O
La definizione è indipendente dalla scelta di O in r.
Proviamo a prendere un altro punto O' sempre appartenente ad r:
S R×O'−O]=
S  u


⋅MSO '= u
⋅[ M
⋅M
⋅[ R×O'−O]
u
u
O
O
dove l'ultimo addendo è nullo poichè
Quindi
 ∥ O'−O
u
S
⋅MSO'= u
⋅M
u
O
Il momento assiale rispeto ad un punto P al di fuori della retta r è
sempre nullo.
 S=u
S = u
⋅M
⋅[P−O× 
M
v ]=0 Poichè
r
O
✗

P−O ∥ v
Sistemi equivalenti
2 sistemi S e S' di vettori applicati si dicono equivalenti se:
 R '
1. R=
S =MS' ∀ polo O
2. M
O
O
Proprietà:
se due sistemi S e S' hanno lo stesso Risultante e se esiste un polo “O”
rispetto al quale essi hanno lo stesso Momento, allora S e S' sono
equivalenti.
Dimostrazione:
Ipotesi:
 R
'
R=
S =MS '
∃ O t.c. M
O
O
prendiamo un qualsiasi punto Q diverso da O.
S =M
S R
 ×Q−O=MS 'R
 '×Q−O=MS '
M
Q
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O
O
Q
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Invariante scalare
S
 M
I=R⋅
O
Proprietà:
L'invariante scalare non dipende dal polo
Dimostrazione:
S R×O'−O]=
S R⋅[
 MS =R⋅[
 M

 M
 R
 ×O'−O]
R⋅
R⋅
O'
O
O
ma l'ultimo addendo è nullo poichè
S
 MS =R⋅
 M
quindi R⋅
O'
 ∥R

R
O
S =MS∥ MS⊥
M
O
O
O
S =R⋅
 M
 M ∥ R⋅
 M ⊥
I=R⋅
O
O
O
ma l'ultimo addendo è nullo poichè i due vettori sono paralleli, quindi:
∥
I=±RMO
il segno va a seconda che R e
M ∥ siano concordi o discordi.
Proprietà:
Poichè I è indipendente dal polo, anche M ∥ è indipendente dal polo.
Ossia pur cambiando polo scelto, il Momento parallelo è sempre lo
stesso.
Il Momento minimo è rappresentato dal Momento parallelo.
Se
I=0 (e
 e
R
M ∥ non entrambi nulli) ci sono due casi:
 =0
a) R
 S'={una qualsiasi coppia con momento uguale al
momento di S}

  O∈A ossia il sistema è composto dal solo R
b) M ∥  S'=O , R
c
Ci sono dei casi nei quali si può subito determinare che I=0
a) S = {sistema di vettori applicati giacenti tutti nello stesso
piano  }
(si chiama anche sistema piano di vettori applicati)
b) S ∥ = {sistema di vettori applicati tutti paralleli ad una stessa
direzione}
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✗
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L' Asse Centrale
L' Asse Centrale è il luogo geometrico dei punti rispetto ai quali il
momento è minimo (ossia rappresentato dalla sola componente
parallela).
S ∥ R

P∈Ac ⇔ M
P
Occorre imporre che il prodotto vettoriale tra
 S=0
 ×M
R
 e
R
 S sia nullo.
M
P
P
 S R
S R
 M
 ×P−O]=R
 ×M
 ×[ R
 ×P−O]=0
R×[
O
O
 c
 a
 c
poichè a
 × b×
 = a
⋅c
  b−
⋅b

S
2

 ×M [ R⋅P−O]

 −R P−O=0
R
R
O
P−O=
S
 M
R×
O
R
2


R⋅P−O
   R

R=
P
2
R
(P-O) è il vettore posizione del generico punto P appartenente all'
insieme Ac

 è indipendente da P, ed è un vettore posizione.
•
P Invece è uno scalare, quindi il secondo addendo identifica che
•

Ac è una retta che passa per 
 ed è parallela ad R
✗
Centro e Baricentro
Se ho un sistema di vettori paralleli e concordi posso individuare un
centro C:
N
∑ v i Pi−O
C−O= i=1
R
Proprietà:
• C è un punto di Ac
∥
•
MC =0
• Se ruoto tutti i vettori di uno stesso angolo, l' Asse Centrale
ruota attorno al Centro.
Se il sistema è continuo, allora il Centro prende il nome di Baricentro, e
si calcola come segue:
∫ P P−OdV
G−O= V
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m
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e le sue componenti sono:
•
•
•
1
∫  x dV
m V P
1
Y G = ∫ P y dV
mV
1
ZG= ∫ P z dV
mV
X G=
Un sistema continuo è detto omogeneo se la densità
 è contante.
Proprietà:
• se la figura è omogenea e possiede un asse di simmetria allora il
Baricentro sta su quell' asse;
• Se la figura omogenea ha 2 assi di simmetria, G sta nell' intersezione
degli assi.
✗
Momenti d'Inerzia
a) Sistema discreto
n
Ir =∑ m i 2i
i=1
dove mi è la massa del punto i-esimo e
stesso punto dalla retta r.
i è la distanza normale dello
b) Sistema continuo
2
Ir =∫ P P
dV
V
Dove P è la funzione che descrive il valore della densità di massa in
funzione del punto P scelto.
P invece è la funzione che descrive la distanza del punto P da r.
V è il dominio di integrazione, ossia l'area della figura se essa è
bidimensionale oppure il volume se essa è tridimensionale.
Naturalmente se la densità è costante, allora l'integrale prende la
seguente forma:
2
Ir =∫ P
dV
V
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✗
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Momento d'inerzia di un sistema rispetto a una qualsiasi retta passante per
l'origine
Prendiamo sulla retta r il versore
 = ,  , 
u
 espresso nella seguente forma:
u
La distanza  del generico punto P è esprimibile nella forma
 ×P−O∣
=∣u
2
 ×P−O∣2= zP− y P 2 x P− zP 2 y P − x P 2
 =∣u
Sviluppando i quadrati si ottiene:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 =  y z  z x  x y −2   xy−2   yz−2   zx
Infine, inserendo 2 nella definizione di momento d'inerzia, si ha:
Ir =∫  y 2z2 dV  2∫ x 2z2 dV  2∫ x 2y 2 dV  2
V
V
V
−2  ∫  xy dV−2  ∫  xzdV−2  ∫  yzdV
V
V
V
che con opportune sostituzioni diventa:
Ir =A 2B 2 C 2−2 A '  −2 B '  −2 C '  
Dove A,B,C sono rispettivamente i momenti d'inerzia rispetto ad x,y,z
e A',B',C' sono chiamati prodotti d'inerzia.
Alcune proprietà:
• se la figura giace su un piano, C=A+B e A'=B'=0
• se inoltre, oltre ad essere piana, l'origine degli assi sta nel
baricentro, allora anche C'=0
✗
Ellissoide centrale d'inerzia
uscente da O, si può trovare un punto Qn giacente
1
n
sulla stessa avente modulo ∣OQ ∣= n
 Ir
 di coseni direttori  ,  ,  su ogni n-esima
Prendendo il versore u
retta si possono trovare le componenti x,y,z.
per ogni retta
x=∣OQ∣=

 Ir
r
n
y=∣OQ∣=

 Ir
x=∣OQ∣=

 Ir
Di conseguenza si ha che:
2
2
2
2
2
2
 =Ir x
 =Ir y
 =Ir z
Pagina 7
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Sostituendo questi valori nell'equazione del momento d'inerzia vista nel
paragrafo precedente, si ottiene:
2
2
2
Ir =Ir  Ax By Cz −2 A ' yz−2 B ' xz−2 C ' xy
ossia, semplificando:
2
2
2
Ax By Cz −2 A ' yz−2B' xz−2C ' xy−1=0
Questa equazione esprime il luogo geometrico dei punti aventi distanza
1
dall'origine.
 Irn
La figura in questione è un ellissoide chiamato “Ellissoide d'inerzia di S
rispetto ad O”
L' ellissoide d'inerzia serve per poter calcolare graficamente i momenti
d'inerzia.
La forma canonica di una quadrica è quella nella quale i termini misti
scompaiono.
Se l' ellissoide è espresso nella sua forma canonica, allora il sistema di
rifermento Oxyz individua le direzioni principali d' inerzia.
L'unico modo perchè l' ellissoide sia simmetrico rispetto ai 3 piani
coordinati è che l' ellissoide sia espresso nella forma canonica.
✗
Teorema di trasposizione (o teorema di Huyghens)
Ir =Ig ma2
Tra tutte le rette parallere, quella passante per il baricentro ha il
momento d' inerzia minimo.
Come si comportano i prodotti d' inerzia?
 '=A 'm y z
A
G G

B'=B'm z x
G
G

C'=C'm
xG yG
✗
Tensore d' inerzia
Il momento d' inerzia Ir , essendo uno scalare, può essere trovato dal
prodotto scalare di due vettori.
⋅w

Ir =A 2B 2C 2−2 A '  −2 B'  −2 C'  = u
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Lo scopo dell' introduzione del calcolo tensoriale sta nel cercare un
 giacente sulla retta r, dia un
tensore I che, applicato al versore u

vettore w che renda possibile la determinazione del momento d'
inerzia.
w
 t.c.
I:u
⋅I u

Ir = u
Il tensore I esiste ed è rappresentato dalla seguente matrice:
A −C' −B '
I= −C ' B −A '
−B' −A ' C


 di coseni direttori
Il tensore I si applica al versore u
prodotto matriciale “riga per colonna”

 ,  ,  facendo il
 
A −C' −B' 

I u = −C ' B −A ' ⋅ 
−B ' −A ' C

Svolgendo il prodotto scalare
del momento d' inerzia:
⋅I u
 si ottiene infatti la stessa formula
u
Ir =A 2B 2 C 2−2 A '  −2 B'  −2 C'  
Qual' è il vantaggio di utilizzare il calcolo tensoriale per l' individuazione
dei momenti d' inerzia?
• Il vantaggio consiste nel fatto che essendo il tensore I simmetrico,
esso è diagonalizzabile. Gli elementi della forma diagonale sono infatti
gli autovalori  mentre gli autovettori rappresentano le direzioni
principali d'inerzia. Quindi, grazie al calcolo tensoriale, è sempre
possibile trovare le direzioni principali d'inerzia conoscendo i momenti
d'inerzia e i prodotti d'inerzia rispetto ad una qualsiasi base.
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