Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Sistemi Dinamici Caotici
Dal caos deterministico alla meccanica statistica
Alessio Mina, Liceo Locarno
29 gennaio 2015
Alessio Mina, Liceo Locarno
Sistemi Dinamici Caotici
Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Struttura della presentazione
1
2
3
4
Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
Un esempio di mappa caotica: la mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Alessio Mina, Liceo Locarno
Sistemi Dinamici Caotici
Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Determinismo
Tutti i fenomeni del mondo sono collegati e si vericano
secondo un ordine necessario e invariabile
Data una causa, può vericarsi soltanto un certo eetto
Termine introdotto nel XVII secolo ma già i Babilonesi
pensavano che il destino fosse scritto nelle stelle
Cristianesimo e Islam: volere di Dio
Rinascimento: non esistono interventi soprannaturali → ritorno
alla causa nale
Alessio Mina, Liceo Locarno
Sistemi Dinamici Caotici
Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Determinismo
Tutti i fenomeni del mondo sono collegati e si vericano
secondo un ordine necessario e invariabile
Data una causa, può vericarsi soltanto un certo eetto
Termine introdotto nel XVII secolo ma già i Babilonesi
pensavano che il destino fosse scritto nelle stelle
Cristianesimo e Islam: volere di Dio
Rinascimento: non esistono interventi soprannaturali → ritorno
alla causa nale
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Sistemi Dinamici Caotici
Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Determinismo
Tutti i fenomeni del mondo sono collegati e si vericano
secondo un ordine necessario e invariabile
Data una causa, può vericarsi soltanto un certo eetto
Termine introdotto nel XVII secolo ma già i Babilonesi
pensavano che il destino fosse scritto nelle stelle
Cristianesimo e Islam: volere di Dio
Rinascimento: non esistono interventi soprannaturali → ritorno
alla causa nale
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Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
La rivoluzione scientica
Newton: esistono delle precise equazioni matematiche che
regolano la meccanica
1
x(t) = gt + v0 t + x0
2
Soluzione dell'equazione unica
⇒ Conoscendo lo stato iniziale, si determina univocamente il suo
stato futuro
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
La rivoluzione scientica
Newton: esistono delle precise equazioni matematiche che
regolano la meccanica
1
x(t) = gt + v0 t + x0
2
Soluzione dell'equazione unica
⇒ Conoscendo lo stato iniziale, si determina univocamente il suo
stato futuro
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
La rivoluzione scientica
Newton: esistono delle precise equazioni matematiche che
regolano la meccanica
1
x(t) = gt + v0 t + x0
2
Soluzione dell'equazione unica
⇒ Conoscendo lo stato iniziale, si determina univocamente il suo
stato futuro
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Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Determinismo classico
Pierre-Simone Laplace dà questa denizione di determinismo:
Un'intelligenza che, per un istante dato,
conoscesse tutte le forze da cui la natura è
animata e la situazione rispettiva degli esseri
che la compongono, se fosse abbastanza vasta
da sottoporre questi dati ad analisi,
abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei
corpi più grandi dell'universo e quelli
dell'atomo più leggero: per essa non ci sarebbe
nulla d'incerto e il futuro come il passato
sarebbe presente ai suoi occhi.
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Armonia e dissonanza
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Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Caso e determinismo
Apparentemente il determinismo non lascia spazio al caso
(esempio del dado)
Sistema deterministico: da condizioni iniziali identiche si
ottengono risultati identici MA non è necessario essere in
grado di prevederli
Sistema aleatorio: stesse condizioni iniziali → risultati diversi
René Thom: la scienza deve essere deterministica. Anche leggi
di distribuzione delle probabilità sono deterministiche
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Caso e determinismo
Apparentemente il determinismo non lascia spazio al caso
(esempio del dado)
Sistema deterministico: da condizioni iniziali identiche si
ottengono risultati identici MA non è necessario essere in
grado di prevederli
Sistema aleatorio: stesse condizioni iniziali → risultati diversi
René Thom: la scienza deve essere deterministica. Anche leggi
di distribuzione delle probabilità sono deterministiche
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Caso e determinismo
Apparentemente il determinismo non lascia spazio al caso
(esempio del dado)
Sistema deterministico: da condizioni iniziali identiche si
ottengono risultati identici MA non è necessario essere in
grado di prevederli
Sistema aleatorio: stesse condizioni iniziali → risultati diversi
René Thom: la scienza deve essere deterministica. Anche leggi
di distribuzione delle probabilità sono deterministiche
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Determinismo
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Il caos
Caso e determinismo
Apparentemente il determinismo non lascia spazio al caso
(esempio del dado)
Sistema deterministico: da condizioni iniziali identiche si
ottengono risultati identici MA non è necessario essere in
grado di prevederli
Sistema aleatorio: stesse condizioni iniziali → risultati diversi
René Thom: la scienza deve essere deterministica. Anche leggi
di distribuzione delle probabilità sono deterministiche
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Il libero arbitrio
Passato → Presente → Futuro
? È già tutto determinato?
? Siamo in balia delle equazioni siche?
Non ci preoccupa il libero arbitrio degli altri, le loro decisioni
possono avere spiegazioni deterministiche MA noi ricorriamo
alla nostra coscienza!
Il ruolo del caso in sica quantistica ci può far sperare che non
sia tutto determinato
Caso: inutile. Una scelta a caso non è una scelta ponderata e il
libero arbitrio è un'illusione
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Il libero arbitrio
Passato → Presente → Futuro
? È già tutto determinato?
? Siamo in balia delle equazioni siche?
Non ci preoccupa il libero arbitrio degli altri, le loro decisioni
possono avere spiegazioni deterministiche MA noi ricorriamo
alla nostra coscienza!
Il ruolo del caso in sica quantistica ci può far sperare che non
sia tutto determinato
Caso: inutile. Una scelta a caso non è una scelta ponderata e il
libero arbitrio è un'illusione
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Il caos
Il libero arbitrio
Passato → Presente → Futuro
? È già tutto determinato?
? Siamo in balia delle equazioni siche?
Non ci preoccupa il libero arbitrio degli altri, le loro decisioni
possono avere spiegazioni deterministiche MA noi ricorriamo
alla nostra coscienza!
Il ruolo del caso in sica quantistica ci può far sperare che non
sia tutto determinato
Caso: inutile. Una scelta a caso non è una scelta ponderata e il
libero arbitrio è un'illusione
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Il libero arbitrio
Passato → Presente → Futuro
? È già tutto determinato?
? Siamo in balia delle equazioni siche?
Non ci preoccupa il libero arbitrio degli altri, le loro decisioni
possono avere spiegazioni deterministiche MA noi ricorriamo
alla nostra coscienza!
Il ruolo del caso in sica quantistica ci può far sperare che non
sia tutto determinato
Caso: inutile. Una scelta a caso non è una scelta ponderata e il
libero arbitrio è un'illusione
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Libero Arbitrio
Il caos
Il libero arbitrio
Passato → Presente → Futuro
? È già tutto determinato?
? Siamo in balia delle equazioni siche?
Non ci preoccupa il libero arbitrio degli altri, le loro decisioni
possono avere spiegazioni deterministiche MA noi ricorriamo
alla nostra coscienza!
Il ruolo del caso in sica quantistica ci può far sperare che non
sia tutto determinato
Caso: inutile. Una scelta a caso non è una scelta ponderata e il
libero arbitrio è un'illusione
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Il problema della predestinazione
? Dio ha già deciso quali anime saranno salvate?
Libero arbitrio ↔ onniscienza di Dio
No predestinazione → Dio limitato
Predestinazione → ogni sforzo morale è inutile
Sant'Agostino, San Tommaso d'Aquino, Calvino difendono la
predestinazione. La Chiesa oggi la esclude
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Il problema della predestinazione
? Dio ha già deciso quali anime saranno salvate?
Libero arbitrio ↔ onniscienza di Dio
No predestinazione → Dio limitato
Predestinazione → ogni sforzo morale è inutile
Sant'Agostino, San Tommaso d'Aquino, Calvino difendono la
predestinazione. La Chiesa oggi la esclude
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Il caos
Il problema della predestinazione
? Dio ha già deciso quali anime saranno salvate?
Libero arbitrio ↔ onniscienza di Dio
No predestinazione → Dio limitato
Predestinazione → ogni sforzo morale è inutile
Sant'Agostino, San Tommaso d'Aquino, Calvino difendono la
predestinazione. La Chiesa oggi la esclude
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Il paradosso della vasta intelligenza
Paradosso: la vasta intelligenza di Laplace predice il futuro e
poi con il libero arbitrio contraddice la predizione
No libero arbitrio
No determinismo
Impossibile avere capacità di previsioni che creino un paradosso
Caos: per prevedere il futuro all'innito, occorre una precisione
innita sulla condizione iniziale
Devono essere elaborati dati innitamente lunghi → previsione
impossibile
⇒ Il libero arbitrio è dovuto alla complessità dell'universo o,
meglio, dalla nostra stessa complessità
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Il caos
Il paradosso della vasta intelligenza
Paradosso: la vasta intelligenza di Laplace predice il futuro e
poi con il libero arbitrio contraddice la predizione
No libero arbitrio
No determinismo
Impossibile avere capacità di previsioni che creino un paradosso
Caos: per prevedere il futuro all'innito, occorre una precisione
innita sulla condizione iniziale
Devono essere elaborati dati innitamente lunghi → previsione
impossibile
⇒ Il libero arbitrio è dovuto alla complessità dell'universo o,
meglio, dalla nostra stessa complessità
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Il caos
Il paradosso della vasta intelligenza
Paradosso: la vasta intelligenza di Laplace predice il futuro e
poi con il libero arbitrio contraddice la predizione
No libero arbitrio
No determinismo
Impossibile avere capacità di previsioni che creino un paradosso
Caos: per prevedere il futuro all'innito, occorre una precisione
innita sulla condizione iniziale
Devono essere elaborati dati innitamente lunghi → previsione
impossibile
⇒ Il libero arbitrio è dovuto alla complessità dell'universo o,
meglio, dalla nostra stessa complessità
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Libero Arbitrio
Il caos
Il paradosso della vasta intelligenza
Paradosso: la vasta intelligenza di Laplace predice il futuro e
poi con il libero arbitrio contraddice la predizione
No libero arbitrio
No determinismo
Impossibile avere capacità di previsioni che creino un paradosso
Caos: per prevedere il futuro all'innito, occorre una precisione
innita sulla condizione iniziale
Devono essere elaborati dati innitamente lunghi → previsione
impossibile
⇒ Il libero arbitrio è dovuto alla complessità dell'universo o,
meglio, dalla nostra stessa complessità
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Il paradosso della vasta intelligenza
Paradosso: la vasta intelligenza di Laplace predice il futuro e
poi con il libero arbitrio contraddice la predizione
No libero arbitrio
No determinismo
Impossibile avere capacità di previsioni che creino un paradosso
Caos: per prevedere il futuro all'innito, occorre una precisione
innita sulla condizione iniziale
Devono essere elaborati dati innitamente lunghi → previsione
impossibile
⇒ Il libero arbitrio è dovuto alla complessità dell'universo o,
meglio, dalla nostra stessa complessità
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Il caos
Caos: evoluzione temporale con dipendenza sensibile alle
condizioni iniziali
Sistema non caotico
Condizioni iniziali identiche → risultati identici
Condizioni iniziali simili → risultati simili
Sistema caotico
Condizioni iniziali identiche → risultati identici
Condizioni iniziali simili → risultati dierenti
Esempio del biliardo di Sinai
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Libero Arbitrio
Il caos
Il caos
Caos: evoluzione temporale con dipendenza sensibile alle
condizioni iniziali
Sistema non caotico
Condizioni iniziali identiche → risultati identici
Condizioni iniziali simili → risultati simili
Sistema caotico
Condizioni iniziali identiche → risultati identici
Condizioni iniziali simili → risultati dierenti
Esempio del biliardo di Sinai
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Il caos
Il caos
Caos: evoluzione temporale con dipendenza sensibile alle
condizioni iniziali
Sistema non caotico
Condizioni iniziali identiche → risultati identici
Condizioni iniziali simili → risultati simili
Sistema caotico
Condizioni iniziali identiche → risultati identici
Condizioni iniziali simili → risultati dierenti
Esempio del biliardo di Sinai
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Determinismo
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Il caos
Il caos
Caos: evoluzione temporale con dipendenza sensibile alle
condizioni iniziali
Sistema non caotico
Condizioni iniziali identiche → risultati identici
Condizioni iniziali simili → risultati simili
Sistema caotico
Condizioni iniziali identiche → risultati identici
Condizioni iniziali simili → risultati dierenti
Esempio del biliardo di Sinai
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Sensibilità alle condizioni iniziali
Graco della funzione
[0, 1] → [0, 1]
x 7−→ 2x mod 1
Rosso x0 = 0, 724, verde x0 = 0, 722.
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La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Implicazioni del caos
Come la relatività e la sica quantistica, il caos ha messo in
discussione le certezze della sica classica.
Semplice → complicato
2x 2 − 1
x2 − 1
Complicato → semplice
y
δxn
x̃0
x0
x
⇒ Non risponde a tutte le domande ma ne pone di più corrette
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Libero Arbitrio
Il caos
Implicazioni del caos
Come la relatività e la sica quantistica, il caos ha messo in
discussione le certezze della sica classica.
Semplice → complicato
2x 2 − 1
x2 − 1
Complicato → semplice
y
δxn
x̃0
x0
x
⇒ Non risponde a tutte le domande ma ne pone di più corrette
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Implicazioni del caos
Come la relatività e la sica quantistica, il caos ha messo in
discussione le certezze della sica classica.
Semplice → complicato
2x 2 − 1
x2 − 1
Complicato → semplice
y
δxn
x̃0
x0
x
⇒ Non risponde a tutte le domande ma ne pone di più corrette
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Meteorologia: la culla del caos
Edward Lorenz pubblica nel 1963 l'articolo che segna la
scoperta del caos deterministico (poco successo)
Convezione atmosferica ridotta a tre dimensioni
⇒ L'orbita nello spazio delle fasi disegna l'attrattore di Lorenz
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Determinismo
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Il caos
Meteorologia: la culla del caos
Edward Lorenz pubblica nel 1963 l'articolo che segna la
scoperta del caos deterministico (poco successo)
Convezione atmosferica ridotta a tre dimensioni
⇒ L'orbita nello spazio delle fasi disegna l'attrattore di Lorenz
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Determinismo
Libero Arbitrio
Il caos
Meteorologia: la culla del caos
Eetto farfalla
Dato reale ≈ dato misurato → previsioni adabili no a 4-5
giorni
Si può migliorare?
Precisione innita → previsioni innite
Oggi l'atmosfera è approssimata a cubetti di 15 kmx 15 km,
totale= 500 milioni di cubetti
Ogni cubetto, una decina di misure → approssimazione dato
Adabilità previsioni ∝ potenza di calcolo
⇒ Si può migliorare l'approssimazione, ma non si avrà mai la
misura reale
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Il caos
Meteorologia: la culla del caos
Eetto farfalla
Dato reale ≈ dato misurato → previsioni adabili no a 4-5
giorni
Si può migliorare?
Precisione innita → previsioni innite
Oggi l'atmosfera è approssimata a cubetti di 15 kmx 15 km,
totale= 500 milioni di cubetti
Ogni cubetto, una decina di misure → approssimazione dato
Adabilità previsioni ∝ potenza di calcolo
⇒ Si può migliorare l'approssimazione, ma non si avrà mai la
misura reale
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Il caos
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Eetto farfalla
Dato reale ≈ dato misurato → previsioni adabili no a 4-5
giorni
Si può migliorare?
Precisione innita → previsioni innite
Oggi l'atmosfera è approssimata a cubetti di 15 kmx 15 km,
totale= 500 milioni di cubetti
Ogni cubetto, una decina di misure → approssimazione dato
Adabilità previsioni ∝ potenza di calcolo
⇒ Si può migliorare l'approssimazione, ma non si avrà mai la
misura reale
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Il caos
Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Sistemi dinamici
Un sistema dinamico è una coppia (Γ, τ ) in cui:
Γ è l'insieme dei possibili stati del sistema, rappresentati da
una o più variabili reali;
τ è una legge deterministica (cioè non aleatoria) che determina
univocamente lo stato futuro, se si conosce lo stato iniziale.
Obiettivo: studiare il comportamento di una condizione iniziale che
subisce la mappa innite volte
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Il caos
Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Sistemi dinamici
Alcune soluzioni semplici sono:
xn tende a una soluzione costante: si parla di punto sso
xn tende a una soluzione periodica: si parla di orbita
periodica, ossia un insieme di punti periodici.
Spesso, però, ci sono soluzioni più complicate → sistemi dinamici
caotici
La rappresentazione geometrica può assumere caratteristiche della
geometria frattale
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Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Sistemi dinamici
Alcune soluzioni semplici sono:
xn tende a una soluzione costante: si parla di punto sso
xn tende a una soluzione periodica: si parla di orbita
periodica, ossia un insieme di punti periodici.
Spesso, però, ci sono soluzioni più complicate → sistemi dinamici
caotici
La rappresentazione geometrica può assumere caratteristiche della
geometria frattale
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Il caos
Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Sistemi dinamici
Alcune soluzioni semplici sono:
xn tende a una soluzione costante: si parla di punto sso
xn tende a una soluzione periodica: si parla di orbita
periodica, ossia un insieme di punti periodici.
Spesso, però, ci sono soluzioni più complicate → sistemi dinamici
caotici
La rappresentazione geometrica può assumere caratteristiche della
geometria frattale
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Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
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Il caos
Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Mappe bidimensionali
Una mappa bidimensionale è un'applicazione denita da
un'equazione ricorsiva del tipo
xn+1 = f(xn )
n = 0, 1, 2, ...
dove xn ∈ Γ con Γ ⊂ R2 e f : Γ → Γ Per convenzione notiamo
fn (x0 ) = f ◦ f ◦ · · · ◦ f(x0 )
|
{z
L'insieme
n volte
}
O(x0 ) = {x0 , f(x0 ), f2 (x0 ), ...}
è detto orbita di x0
Il punto x0 è chiamato condizione iniziale
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Sistemi Dinamici Caotici
Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Il caos
Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Mappe bidimensionali
Una mappa bidimensionale è un'applicazione denita da
un'equazione ricorsiva del tipo
xn+1 = f(xn )
n = 0, 1, 2, ...
dove xn ∈ Γ con Γ ⊂ R2 e f : Γ → Γ Per convenzione notiamo
fn (x0 ) = f ◦ f ◦ · · · ◦ f(x0 )
|
{z
L'insieme
n volte
}
O(x0 ) = {x0 , f(x0 ), f2 (x0 ), ...}
è detto orbita di x0
Il punto x0 è chiamato condizione iniziale
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Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Mappe bidimensionali
Una mappa bidimensionale è un'applicazione denita da
un'equazione ricorsiva del tipo
xn+1 = f(xn )
n = 0, 1, 2, ...
dove xn ∈ Γ con Γ ⊂ R2 e f : Γ → Γ Per convenzione notiamo
fn (x0 ) = f ◦ f ◦ · · · ◦ f(x0 )
|
{z
L'insieme
n volte
}
O(x0 ) = {x0 , f(x0 ), f2 (x0 ), ...}
è detto orbita di x0
Il punto x0 è chiamato condizione iniziale
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Il caos
Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Punti ssi
Punto sso: f(x∗ ) = x∗ . Due tipi
Punto sso attrattivo: punti vicini a x∗ , l'evoluzione
temporale converge su x∗
Punto sso repulsivo: punti vicini a x∗ , l'evoluzione temporale
diverge da x∗
Dedurre la natura dei punti ssi
Approssimazione lineare della mappa attorno al punto sso x∗ : si
pone xn = x∗ + yn
x∗ + yn+1 = f(x∗ + yn ) lin
= f(x∗ )+[D f(x∗ )]yn
|
{z
xn+1
}
⇔
| {z }
xn
⇒ yn = [D f(x∗ )]n y0
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Sistemi Dinamici Caotici
yn+1 = [D f(x∗ )]yn
Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Il caos
Descrizione delle mappe
Il caos nelle mappe
L'attrattore
Punti ssi
Punto sso: f(x∗ ) = x∗ . Due tipi
Punto sso attrattivo: punti vicini a x∗ , l'evoluzione
temporale converge su x∗
Punto sso repulsivo: punti vicini a x∗ , l'evoluzione temporale
diverge da x∗
Dedurre la natura dei punti ssi
Approssimazione lineare della mappa attorno al punto sso x∗ : si
pone xn = x∗ + yn
x∗ + yn+1 = f(x∗ + yn ) lin
= f(x∗ )+[D f(x∗ )]yn
|
{z
xn+1
}
⇔
| {z }
xn
⇒ yn = [D f(x∗ )]n y0
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yn+1 = [D f(x∗ )]yn
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L'attrattore
Punti ssi
Punto sso: f(x∗ ) = x∗ . Due tipi
Punto sso attrattivo: punti vicini a x∗ , l'evoluzione
temporale converge su x∗
Punto sso repulsivo: punti vicini a x∗ , l'evoluzione temporale
diverge da x∗
Dedurre la natura dei punti ssi
Approssimazione lineare della mappa attorno al punto sso x∗ : si
pone xn = x∗ + yn
x∗ + yn+1 = f(x∗ + yn ) lin
= f(x∗ )+[D f(x∗ )]yn
|
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}
⇔
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⇒ yn = [D f(x∗ )]n y0
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Punto sso attrattivo: punti vicini a x∗ , l'evoluzione
temporale converge su x∗
Punto sso repulsivo: punti vicini a x∗ , l'evoluzione temporale
diverge da x∗
Dedurre la natura dei punti ssi
Approssimazione lineare della mappa attorno al punto sso x∗ : si
pone xn = x∗ + yn
x∗ + yn+1 = f(x∗ + yn ) lin
= f(x∗ )+[D f(x∗ )]yn
|
{z
xn+1
}
⇔
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⇒ yn = [D f(x∗ )]n y0
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L'attrattore
Punti ssi
Matrice di Jacobi:
x
x
x
x
∂fx
∗
∂x ( )
∂fy
∗
∂x ( )
D f(x ) =
∗
∂fx
∗
∂y ( )
∂fy
∗
∂y ( )
!
Un sistema è conservativo se
| det D f(x)| = 1
è dissipativo nel caso
| det D f(x)| < 1.
y
fn
A0
An
x
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Matrice di Jacobi:
x
x
x
x
∂fx
∗
∂x ( )
∂fy
∗
∂x ( )
D f(x ) =
∗
∂fx
∗
∂y ( )
∂fy
∗
∂y ( )
!
Un sistema è conservativo se
| det D f(x)| = 1
è dissipativo nel caso
| det D f(x)| < 1.
y
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Il caos nelle mappe
L'attrattore
Punti ssi
D f(x∗ )u = λu
u è l'autovettore. λ1 e λ2 sono gli autovalori di D f(x∗ ). Si
ottengono risolvendo l'equazione
det(D f(x∗ ) − λI2 ) = 0
Classicazione dei punti ssi:
Se |λ1 | < 1 e |λ2 | < 1 allora x∗ è un punto sso attrattivo
Se |λ1 | > 1 e |λ2 | > 1 allora x∗ è un punto sso repulsivo
Se |λ1 | < 1 e |λ2 | > 1 (o viceversa) allora x∗ è un punto sso
repulsivo iperbolico
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u è l'autovettore. λ1 e λ2 sono gli autovalori di D f(x∗ ). Si
ottengono risolvendo l'equazione
det(D f(x∗ ) − λI2 ) = 0
Classicazione dei punti ssi:
Se |λ1 | < 1 e |λ2 | < 1 allora x∗ è un punto sso attrattivo
Se |λ1 | > 1 e |λ2 | > 1 allora x∗ è un punto sso repulsivo
Se |λ1 | < 1 e |λ2 | > 1 (o viceversa) allora x∗ è un punto sso
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Il caos nelle mappe
L'attrattore
Punti periodici
Punto periodico di periodo k : fk (p) = p. Orbita:
O(p) = {p, f(p), f2 (p), ..., fk−1 (p)}
Consideriamo i punti periodici come punti ssi di fk . Classicazione
dei punti periodici, con λ1 e λ2 autovalori di D fk (p):
Se |λ1 | < 1 e |λ2 | < 1, allora l'orbita periodica è attrattiva
Se |λ1 | > 1 e |λ2 | > 1, allora l'orbita periodica è repulsiva
Se |λ1 | < 1 e |λ2 | > 1 (o viceversa), allora l'orbita periodica è
repulsiva iperbolica
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O(p) = {p, f(p), f2 (p), ..., fk−1 (p)}
Consideriamo i punti periodici come punti ssi di fk . Classicazione
dei punti periodici, con λ1 e λ2 autovalori di D fk (p):
Se |λ1 | < 1 e |λ2 | < 1, allora l'orbita periodica è attrattiva
Se |λ1 | > 1 e |λ2 | > 1, allora l'orbita periodica è repulsiva
Se |λ1 | < 1 e |λ2 | > 1 (o viceversa), allora l'orbita periodica è
repulsiva iperbolica
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Il caos nelle mappe
L'attrattore
Le tre proprietà del caos
Una mappa f è caotica se esiste un sottoinsieme A dello spazio
delle fasi per il quale vale:
1. Sensibilità: f è sensibile alle condizioni iniziali, ossia un
esponente di Ljapunov è positivo
2. Transitività: f è topologicamente transitiva: sottoinsiemi U e
V di A, esiste n ∈ N tale che f n (U) ∩ V 6= ∅. L'orbita di x0
deve passare innitamente vicino a tutti i punti di A
U
V
fn
f n(U)
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Le tre proprietà del caos
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delle fasi per il quale vale:
1. Sensibilità: f è sensibile alle condizioni iniziali, ossia un
esponente di Ljapunov è positivo
2. Transitività: f è topologicamente transitiva: sottoinsiemi U e
V di A, esiste n ∈ N tale che f n (U) ∩ V 6= ∅. L'orbita di x0
deve passare innitamente vicino a tutti i punti di A
U
V
fn
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Le tre proprietà del caos
Una mappa f è caotica se esiste un sottoinsieme A dello spazio
delle fasi per il quale vale:
1. Sensibilità: f è sensibile alle condizioni iniziali, ossia un
esponente di Ljapunov è positivo
2. Transitività: f è topologicamente transitiva: sottoinsiemi U e
V di A, esiste n ∈ N tale che f n (U) ∩ V 6= ∅. L'orbita di x0
deve passare innitamente vicino a tutti i punti di A
U
V
fn
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Il caos nelle mappe
L'attrattore
Le tre proprietà del caos
3.
Densità
Ossia
: esiste un insieme di orbite periodiche denso in A.
Per ogni ε > 0 e per ogni x ∈ Γ esiste un punto p ∈ A tale che
|x − p| < ε.
I punti dell'insieme di orbite periodiche appartengono a Q ∩ A.
Per ogni x ∈ Γ esiste una successione an di elementi di A tale
che an → x .
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Densità
Ossia
: esiste un insieme di orbite periodiche denso in A.
Per ogni ε > 0 e per ogni x ∈ Γ esiste un punto p ∈ A tale che
|x − p| < ε.
I punti dell'insieme di orbite periodiche appartengono a Q ∩ A.
Per ogni x ∈ Γ esiste una successione an di elementi di A tale
che an → x .
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Il caos nelle mappe
L'attrattore
Sensibilità alle condizioni iniziali
Gli esponenti di Ljapunov quanticano la sensibilità alle condizioni
iniziali, misurano quanto velocemente le orbite divergono. Poniamo
Vn = D f(xn−1 ) · · · D f(x1 )D f(x0 ).
Gli esponenti di Ljapunov sono agli autovalori Λ1 e Λ2 della matrice
Λ = lim ln(Vnt Vn )1/2n
n→∞
Se x0 ≈ x̃0 ,
>
||δ xn−1 || ≈ ||δ x0 ||e Λn
⇒ la dierenza tra x0 e x̃0 cresce di un fattore e Λ a ogni iterazione
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iniziali, misurano quanto velocemente le orbite divergono. Poniamo
Vn = D f(xn−1 ) · · · D f(x1 )D f(x0 ).
Gli esponenti di Ljapunov sono agli autovalori Λ1 e Λ2 della matrice
Λ = lim ln(Vnt Vn )1/2n
n→∞
Se x0 ≈ x̃0 ,
>
||δ xn−1 || ≈ ||δ x0 ||e Λn
⇒ la dierenza tra x0 e x̃0 cresce di un fattore e Λ a ogni iterazione
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iniziali, misurano quanto velocemente le orbite divergono. Poniamo
Vn = D f(xn−1 ) · · · D f(x1 )D f(x0 ).
Gli esponenti di Ljapunov sono agli autovalori Λ1 e Λ2 della matrice
Λ = lim ln(Vnt Vn )1/2n
n→∞
Se x0 ≈ x̃0 ,
>
||δ xn−1 || ≈ ||δ x0 ||e Λn
⇒ la dierenza tra x0 e x̃0 cresce di un fattore e Λ a ogni iterazione
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Il caos nelle mappe
L'attrattore
Attrattore
Sottoinsieme A di Γ tale che:
Esiste un bacino di attrazione, notato BA , i cui punti nel limite
n → ∞ tendono ad A
È invariante rispetto alla dinamica, ossia se x ∈ A, allora
fn (x) ∈ A per ogni n
Non esistono sottoinsiemi A0 ( A che possiedono le prime due
proprietà
BA
A
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Esiste un bacino di attrazione, notato BA , i cui punti nel limite
n → ∞ tendono ad A
È invariante rispetto alla dinamica, ossia se x ∈ A, allora
fn (x) ∈ A per ogni n
Non esistono sottoinsiemi A0 ( A che possiedono le prime due
proprietà
BA
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Esiste un bacino di attrazione, notato BA , i cui punti nel limite
n → ∞ tendono ad A
È invariante rispetto alla dinamica, ossia se x ∈ A, allora
fn (x) ∈ A per ogni n
Non esistono sottoinsiemi A0 ( A che possiedono le prime due
proprietà
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Il caos nelle mappe
L'attrattore
L'attrattore
Gli esponenti di Ljapunov Λα (f, x0 ) sono indipendenti dalla
condizione iniziale per tutti gli x0 che appartengono allo stesso
bacino di attrazione.
Tipi di attrattori:
Punto sso attrattivo x∗ , l'attrattore è A = {x∗ }. Bacino di
attrazione: punti y tali che ||fn (y) − x∗ || → 0 per n → ∞
Orbita periodica attrattiva {p1 , p2 , ..., pk }, l'attrattore è
A = {p1 , p2 , ..., pk }. Bacino di attrazione: punti y tali che
fn (y) ∈ A per n → ∞
Attrattore strano o caotico, può essere un frattale se c'è
dissipazione
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L'attrattore
L'attrattore
Gli esponenti di Ljapunov Λα (f, x0 ) sono indipendenti dalla
condizione iniziale per tutti gli x0 che appartengono allo stesso
bacino di attrazione.
Tipi di attrattori:
Punto sso attrattivo x∗ , l'attrattore è A = {x∗ }. Bacino di
attrazione: punti y tali che ||fn (y) − x∗ || → 0 per n → ∞
Orbita periodica attrattiva {p1 , p2 , ..., pk }, l'attrattore è
A = {p1 , p2 , ..., pk }. Bacino di attrazione: punti y tali che
fn (y) ∈ A per n → ∞
Attrattore strano o caotico, può essere un frattale se c'è
dissipazione
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L'attrattore
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Gli esponenti di Ljapunov Λα (f, x0 ) sono indipendenti dalla
condizione iniziale per tutti gli x0 che appartengono allo stesso
bacino di attrazione.
Tipi di attrattori:
Punto sso attrattivo x∗ , l'attrattore è A = {x∗ }. Bacino di
attrazione: punti y tali che ||fn (y) − x∗ || → 0 per n → ∞
Orbita periodica attrattiva {p1 , p2 , ..., pk }, l'attrattore è
A = {p1 , p2 , ..., pk }. Bacino di attrazione: punti y tali che
fn (y) ∈ A per n → ∞
Attrattore strano o caotico, può essere un frattale se c'è
dissipazione
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condizione iniziale per tutti gli x0 che appartengono allo stesso
bacino di attrazione.
Tipi di attrattori:
Punto sso attrattivo x∗ , l'attrattore è A = {x∗ }. Bacino di
attrazione: punti y tali che ||fn (y) − x∗ || → 0 per n → ∞
Orbita periodica attrattiva {p1 , p2 , ..., pk }, l'attrattore è
A = {p1 , p2 , ..., pk }. Bacino di attrazione: punti y tali che
fn (y) ∈ A per n → ∞
Attrattore strano o caotico, può essere un frattale se c'è
dissipazione
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Denizione
Punti ssi
Punti periodici
Le tre proprietà del caos
La mappa del panettiere
f : [0, 1]2 → [0, 1]2
(2x, y /2)
(2x − 1, (y + 1)/2)
(x, y ) 7→
se
se
x<
x≥
1
2
1
2
2
A = Df =
0
0
1
2
per qualsiasi punto x ∈ [0, 1]2
Inoltre| det D f(x)| = 1 ⇒ sistema dinamico conservativo
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f : [0, 1]2 → [0, 1]2
(2x, y /2)
(2x − 1, (y + 1)/2)
(x, y ) 7→
se
se
x<
x≥
1
2
1
2
2
A = Df =
0
0
1
2
per qualsiasi punto x ∈ [0, 1]2
Inoltre| det D f(x)| = 1 ⇒ sistema dinamico conservativo
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f : [0, 1]2 → [0, 1]2
(2x, y /2)
(2x − 1, (y + 1)/2)
(x, y ) 7→
se
se
x<
x≥
1
2
1
2
2
A = Df =
0
0
1
2
per qualsiasi punto x ∈ [0, 1]2
Inoltre| det D f(x)| = 1 ⇒ sistema dinamico conservativo
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Punti ssi
Punti periodici
Le tre proprietà del caos
Punti ssi
Punti ssi (0, 0) e (1, 1)
Autovalori λ1 = 2, λ2 = 21
λ1 > 1 e λ2 < 1 ⇒ punti ssi repulsivi iperbolici
Autovettore dilatazione (1, 0) ⇒ dilatazione orizzontale
Autovalore restrizione (0, 1) ⇒ restrizione verticale
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Punti ssi
Punti ssi (0, 0) e (1, 1)
Autovalori λ1 = 2, λ2 = 21
λ1 > 1 e λ2 < 1 ⇒ punti ssi repulsivi iperbolici
Autovettore dilatazione (1, 0) ⇒ dilatazione orizzontale
Autovalore restrizione (0, 1) ⇒ restrizione verticale
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Punti ssi
Punti ssi (0, 0) e (1, 1)
Autovalori λ1 = 2, λ2 = 21
λ1 > 1 e λ2 < 1 ⇒ punti ssi repulsivi iperbolici
Autovettore dilatazione (1, 0) ⇒ dilatazione orizzontale
Autovalore restrizione (0, 1) ⇒ restrizione verticale
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Punti periodici
f(f(x)) = f2 : [0, 1]2 → [0, 1]2
se
x < 1 /4
4x; y4
2+y
se
1/4 ≤ x < 1/2
4x − 1; 4
x 7→ 4x − 2; 1+y
se
1/2 ≤ x < 3/4
4
4 x − 3 ; y +3
se
3 /4 < x
4
Punti ssi di f2 :
(0, 0), ( 31 , 23 ),
( 23 , 13 ), (1, 1)
1 2
1 2
2 1
1 2
2 1
,
=
,
;
,
;
,
;
,
; ...
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
2 1
2 1
1 2
2 1
1 2
O
,
=
,
;
,
;
,
;
,
; ...
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
O
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Punti periodici
f(f(x)) = f2 : [0, 1]2 → [0, 1]2
se
x < 1 /4
4x; y4
2+y
se
1/4 ≤ x < 1/2
4x − 1; 4
x 7→ 4x − 2; 1+y
se
1/2 ≤ x < 3/4
4
4 x − 3 ; y +3
se
3 /4 < x
4
Punti ssi di f2 :
(0, 0), ( 31 , 23 ),
( 23 , 13 ), (1, 1)
1 2
1 2
2 1
1 2
2 1
,
=
,
;
,
;
,
;
,
; ...
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
2 1
2 1
1 2
2 1
1 2
O
,
=
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;
,
;
,
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; ...
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
O
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Punti periodici
f(f(x)) = f2 : [0, 1]2 → [0, 1]2
se
x < 1 /4
4x; y4
2+y
se
1/4 ≤ x < 1/2
4x − 1; 4
x 7→ 4x − 2; 1+y
se
1/2 ≤ x < 3/4
4
4 x − 3 ; y +3
se
3 /4 < x
4
Punti ssi di f2 :
(0, 0), ( 31 , 23 ),
( 23 , 13 ), (1, 1)
1 2
1 2
2 1
1 2
2 1
,
=
,
;
,
;
,
;
,
; ...
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
2 1
2 1
1 2
2 1
1 2
O
,
=
,
;
,
;
,
;
,
; ...
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
O
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Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
Denizione
Punti ssi
Punti periodici
Le tre proprietà del caos
Una sola orbita periodica
2 1
1 2
,
,
3 3
3 3
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Denizione
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Le tre proprietà del caos
La mappa in base binaria
x=
y=
∞
X
an
n=1
∞
X
n=1
x<
2n
bn
2n
1
2
f(x) =
con
ai ∈ {0, 1}
con
bi ∈ {0, 1}
∞
∞
X
ak+1 X ak−1
;
k
k
k=1
x≥
1
2
f(x) =
2
k=2
!
2
∞
∞
X
ak+1 X ak−1 1
;
+
k
k
k=1
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k=2
2
2
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x=
y=
∞
X
an
n=1
∞
X
n=1
x<
2n
bn
2n
1
2
f(x) =
con
ai ∈ {0, 1}
con
bi ∈ {0, 1}
∞
∞
X
ak+1 X ak−1
;
k
k
k=1
x≥
1
2
f(x) =
2
k=2
!
2
∞
∞
X
ak+1 X ak−1 1
;
+
k
k
k=1
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x=
y=
∞
X
an
n=1
∞
X
n=1
x<
2n
bn
2n
1
2
f(x) =
con
ai ∈ {0, 1}
con
bi ∈ {0, 1}
∞
∞
X
ak+1 X ak−1
;
k
k
k=1
x≥
1
2
f(x) =
2
k=2
!
2
∞
∞
X
ak+1 X ak−1 1
;
+
k
k
k=1
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La mappa in base binaria
Se x = 0, a1 a2 ...an e fx (x) = 0, a10 a20 ...an0 , otteniamo
ai0 = ai+1 e bi0 = bi−1
⇒ la mappa è uno shift verso sinistra.
Tramite confronto: b10 = a1 . Rappresentazione come una
successione bi-innita
(x, y ) = (...a−3 a−2 a−1 ; a1 a2 a3 ...)
{z
} | {z }
|
x
y
Un punto di periodo p deve quindi apparire
(x, y ) = (0, a1 a2 ...ap ; 0, b1 b2 ...bp )
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La mappa in base binaria
Se x = 0, a1 a2 ...an e fx (x) = 0, a10 a20 ...an0 , otteniamo
ai0 = ai+1 e bi0 = bi−1
⇒ la mappa è uno shift verso sinistra.
Tramite confronto: b10 = a1 . Rappresentazione come una
successione bi-innita
(x, y ) = (...a−3 a−2 a−1 ; a1 a2 a3 ...)
|
{z
} | {z }
x
y
Un punto di periodo p deve quindi apparire
(x, y ) = (0, a1 a2 ...ap ; 0, b1 b2 ...bp )
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La mappa in base binaria
Se x = 0, a1 a2 ...an e fx (x) = 0, a10 a20 ...an0 , otteniamo
ai0 = ai+1 e bi0 = bi−1
⇒ la mappa è uno shift verso sinistra.
Tramite confronto: b10 = a1 . Rappresentazione come una
successione bi-innita
(x, y ) = (...a−3 a−2 a−1 ; a1 a2 a3 ...)
|
{z
} | {z }
x
y
Un punto di periodo p deve quindi apparire
(x, y ) = (0, a1 a2 ...ap ; 0, b1 b2 ...bp )
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La mappa in base binaria
Se x = 0, a1 a2 ...an e fx (x) = 0, a10 a20 ...an0 , otteniamo
ai0 = ai+1 e bi0 = bi−1
⇒ la mappa è uno shift verso sinistra.
Tramite confronto: b10 = a1 . Rappresentazione come una
successione bi-innita
(x, y ) = (...a−3 a−2 a−1 ; a1 a2 a3 ...)
|
{z
} | {z }
x
y
Un punto di periodo p deve quindi apparire
(x, y ) = (0, a1 a2 ...ap ; 0, b1 b2 ...bp )
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Le tre proprietà del caos
La mappa in base binaria
Infatti
0, 012 =
0
P∞
k=1 22k−1
n+1
1−( 14 )
n→∞
1− 14
lim
e
0, 102 =
∞
X
k=1
2
+
P∞
−1=
1
k=1 22k
=
k=1
k=0
1
4k
−1=
1
3 10
∞
∞
X
X
0
+
=
2k−1
2k
1
P∞
2
k=0
1
42k+1
n+1
1 1 − 41
= lim
n→∞ 2
1 − 14
Conclusioni
Tutte le orbite periodiche sono repulsive, poiché |λ1 | > 1 e
|λ2 | < 1, per tutti i punti x ∈ [0, 1]2 .
Tutti i numeri che rappresentano p sono periodici, quindi ∈ Q
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2
3
=
10
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Infatti
0, 012 =
0
P∞
k=1 22k−1
n+1
1−( 14 )
n→∞
1− 14
lim
e
0, 102 =
∞
X
k=1
+
P∞
−1=
1
k=1 22k
=
2
k=1
k=0
1
4k
−1=
1
3 10
∞
∞
X
X
0
+
=
2k−1
2k
1
P∞
2
k=0
1
42k+1
n+1
1 1 − 41
= lim
n→∞ 2
1 − 14
Conclusioni
Tutte le orbite periodiche sono repulsive, poiché |λ1 | > 1 e
|λ2 | < 1, per tutti i punti x ∈ [0, 1]2 .
Tutti i numeri che rappresentano p sono periodici, quindi ∈ Q
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=
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Infatti
0, 012 =
0
P∞
k=1 22k−1
n+1
1−( 14 )
n→∞
1− 14
lim
e
0, 102 =
∞
X
k=1
+
P∞
−1=
1
k=1 22k
=
2
k=1
k=0
1
4k
−1=
1
3 10
∞
∞
X
X
0
+
=
2k−1
2k
1
P∞
2
k=0
1
42k+1
n+1
1 1 − 41
= lim
n→∞ 2
1 − 14
Conclusioni
Tutte le orbite periodiche sono repulsive, poiché |λ1 | > 1 e
|λ2 | < 1, per tutti i punti x ∈ [0, 1]2 .
Tutti i numeri che rappresentano p sono periodici, quindi ∈ Q
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=
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Le tre proprietà del caos
Le tre proprietà del caos
Insieme di orbite periodiche denso
Tutti i numeri, che rappresentano xp e yp di un punto periodico
sono periodici
⇒ xp , yp ∈ Q
Poiché l'insieme Q2 ∩ [0, 1]2 è denso in [0, 1]2
⇒ L'insieme di tutte le orbite periodiche è denso in [0, 1]2
√
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Insieme di orbite periodiche denso
Tutti i numeri, che rappresentano xp e yp di un punto periodico
sono periodici
⇒ xp , yp ∈ Q
Poiché l'insieme Q2 ∩ [0, 1]2 è denso in [0, 1]2
⇒ L'insieme di tutte le orbite periodiche è denso in [0, 1]2
√
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Insieme di orbite periodiche denso
Tutti i numeri, che rappresentano xp e yp di un punto periodico
sono periodici
⇒ xp , yp ∈ Q
Poiché l'insieme Q2 ∩ [0, 1]2 è denso in [0, 1]2
⇒ L'insieme di tutte le orbite periodiche è denso in [0, 1]2
√
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Le tre proprietà del caos
Sensibilità alle condizioni iniziali
Calcoliamo gli esponenti di Ljapunov
!
n
22n
0
2
0
n
t
Vn = (D f(x)) =
⇒ Vn Vn =
⇒
1n
1 2n
0
0
2
2
1
2
0
t
e quindi
(Vn Vn ) 2n =
1
0
2
ln 2
0
t
1
/
2
n
Λ = limn→∞ ln (Vn Vn )
=
0
ln 12
Gli autovalori di Λ : Λ1 = ln 2 e Λ2 = ln 12 sono gli esponenti di
Ljapunov.
Poiché Λ1 > 0, la mappa è sensibile alle condizioni iniziali
√
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Sensibilità alle condizioni iniziali
Calcoliamo gli esponenti di Ljapunov
!
n
22n
0
2
0
t
n
⇒ Vn Vn =
⇒
Vn = (D f(x)) =
1n
1 2n
0
0
2
2
1
2
0
t
(Vn Vn ) 2n =
e quindi
1
0
2
ln 2
0
t
1
/
2
n
Λ = limn→∞ ln (Vn Vn )
=
0
ln 12
Gli autovalori di Λ : Λ1 = ln 2 e Λ2 = ln 12 sono gli esponenti di
Ljapunov.
Poiché Λ1 > 0, la mappa è sensibile alle condizioni iniziali
√
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Sensibilità alle condizioni iniziali
Calcoliamo gli esponenti di Ljapunov
!
n
22n
0
2
0
t
n
⇒ Vn Vn =
⇒
Vn = (D f(x)) =
1n
1 2n
0
0
2
2
1
2
0
t
(Vn Vn ) 2n =
e quindi
1
0
2
ln 2
0
t
1
/
2
n
Λ = limn→∞ ln (Vn Vn )
=
0
ln 21
Gli autovalori di Λ : Λ1 = ln 2 e Λ2 = ln 12 sono gli esponenti di
Ljapunov.
Poiché Λ1 > 0, la mappa è sensibile alle condizioni iniziali
√
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Sensibilità alle condizioni iniziali
Calcoliamo gli esponenti di Ljapunov
!
n
22n
0
2
0
t
n
⇒ Vn Vn =
⇒
Vn = (D f(x)) =
1n
1 2n
0
0
2
2
1
2
0
t
(Vn Vn ) 2n =
e quindi
1
0
2
ln 2
0
t
1
/
2
n
Λ = limn→∞ ln (Vn Vn )
=
0
ln 21
Gli autovalori di Λ : Λ1 = ln 2 e Λ2 = ln 12 sono gli esponenti di
Ljapunov.
Poiché Λ1 > 0, la mappa è sensibile alle condizioni iniziali
√
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Sensibilità alle condizioni iniziali
Calcoliamo gli esponenti di Ljapunov
!
n
22n
0
2
0
t
n
⇒ Vn Vn =
⇒
Vn = (D f(x)) =
1n
1 2n
0
0
2
2
1
2
0
t
(Vn Vn ) 2n =
e quindi
1
0
2
ln 2
0
t
1
/
2
n
Λ = limn→∞ ln (Vn Vn )
=
0
ln 21
Gli autovalori di Λ : Λ1 = ln 2 e Λ2 = ln 12 sono gli esponenti di
Ljapunov.
Poiché Λ1 > 0, la mappa è sensibile alle condizioni iniziali
√
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Transitività
d n (x) = 2n x mod 1, K un sottoinsieme di [0, 1] della forma
1
n
[ 2kn , k+
2n ], con k = 0, 1, ..., 2 − 1
f una funzione continua in [a, b]. Allora f assume tutti i valori
compresi tra f (a) e f (b).
⇒ d n assumerà tutti i valori compresi tra
k
k n
k +1 n
n k +1
n
2 mod 1 = 1
d
= n 2 mod 1 = 0 e d
=
n
n
n
2
2
2
2
I , J ⊂ [0, 1] due intervalli con I ∩ J = ∅. Per un n ∈ N
sucientemente grande esiste un K ⊂ J . Poiché
d n (K ) = [0, 1], si ha d n (J) = [0, 1] e quindi d n (J) ∩ I 6= ∅
√
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Denizione
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Transitività
d n (x) = 2n x mod 1, K un sottoinsieme di [0, 1] della forma
1
n
[ 2kn , k+
2n ], con k = 0, 1, ..., 2 − 1
f una funzione continua in [a, b]. Allora f assume tutti i valori
compresi tra f (a) e f (b).
⇒ d n assumerà tutti i valori compresi tra
k n
k +1 n
k
n k +1
n
2 mod 1 = 1
d
= n 2 mod 1 = 0 e d
=
n
n
n
2
2
2
2
I , J ⊂ [0, 1] due intervalli con I ∩ J = ∅. Per un n ∈ N
sucientemente grande esiste un K ⊂ J . Poiché
d n (K ) = [0, 1], si ha d n (J) = [0, 1] e quindi d n (J) ∩ I 6= ∅
√
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Transitività
d n (x) = 2n x mod 1, K un sottoinsieme di [0, 1] della forma
1
n
[ 2kn , k+
2n ], con k = 0, 1, ..., 2 − 1
f una funzione continua in [a, b]. Allora f assume tutti i valori
compresi tra f (a) e f (b).
⇒ d n assumerà tutti i valori compresi tra
k n
k +1 n
k
n k +1
n
2 mod 1 = 1
d
= n 2 mod 1 = 0 e d
=
n
n
n
2
2
2
2
I , J ⊂ [0, 1] due intervalli con I ∩ J = ∅. Per un n ∈ N
sucientemente grande esiste un K ⊂ J . Poiché
d n (K ) = [0, 1], si ha d n (J) = [0, 1] e quindi d n (J) ∩ I 6= ∅
√
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Le tre proprietà del caos
Transitività
d n (x) = 2n x mod 1, K un sottoinsieme di [0, 1] della forma
1
n
[ 2kn , k+
2n ], con k = 0, 1, ..., 2 − 1
f una funzione continua in [a, b]. Allora f assume tutti i valori
compresi tra f (a) e f (b).
⇒ d n assumerà tutti i valori compresi tra
k n
k +1 n
k
n k +1
n
2 mod 1 = 1
d
= n 2 mod 1 = 0 e d
=
n
n
n
2
2
2
2
I , J ⊂ [0, 1] due intervalli con I ∩ J = ∅. Per un n ∈ N
sucientemente grande esiste un K ⊂ J . Poiché
d n (K ) = [0, 1], si ha d n (J) = [0, 1] e quindi d n (J) ∩ I 6= ∅
√
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Le tre proprietà del caos
La transitività
[0, 1]
J
I
K
I ∩J =∅→
d n (J) ∩ I 6= ∅
dn (K)
I
Conclusioni
Vericate le 3 proprietà
⇒ La mappa del panettiere è caotica e l'attrattore è tutto il
quadrato [0, 1]2
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La transitività
[0, 1]
J
I
K
I ∩J =∅→
d n (J) ∩ I 6= ∅
dn (K)
I
Conclusioni
Vericate le 3 proprietà
⇒ La mappa del panettiere è caotica e l'attrattore è tutto il
quadrato [0, 1]2
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L'ergodicità
L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
Problema dell'irreversibilità
Immaginiamo di mischiare 1L di acqua fredda e 1L di acqua
calda
Livello macroscopico (termodinamica): aumento di entropia →
processo irreversibile
Livello microscopico (meccanica): collisioni reversibili →
processo reversibile
⇒ Incoerenza!!!
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L'ergodicità
L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
Problema dell'irreversibilità
Immaginiamo di mischiare 1L di acqua fredda e 1L di acqua
calda
Livello macroscopico (termodinamica): aumento di entropia →
processo irreversibile
Livello microscopico (meccanica): collisioni reversibili →
processo reversibile
⇒ Incoerenza!!!
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L'ergodicità
L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
Problema dell'irreversibilità
Immaginiamo di mischiare 1L di acqua fredda e 1L di acqua
calda
Livello macroscopico (termodinamica): aumento di entropia →
processo irreversibile
Livello microscopico (meccanica): collisioni reversibili →
processo reversibile
⇒ Incoerenza!!!
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L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
L'ipotesi ergodica
Partendo da quasi ogni condizione iniziale, l'orbita trascorrerà in
ogni regione della supercie di energia costante una frazione di
tempo proporzionale al volume di tale regione.
τA (x) = µ(A)
Le regioni in cui le variabili del sistema assumono il valore
dell'equilibrio occupano la maggior parte dello spazio delle fasi
⇒ Il sistema passerà la maggior parte del tempo in queste regioni
e quindi nello stato di equilibrio
La media temporale corrisponde alla media statistica
a(x) = lim
n→∞
n−1
1X
n
k
a(f (x)).
hai =
R
Γ a(x)
dµ(x)
k=0
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Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
L'ergodicità
L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
L'ipotesi ergodica
Partendo da quasi ogni condizione iniziale, l'orbita trascorrerà in
ogni regione della supercie di energia costante una frazione di
tempo proporzionale al volume di tale regione.
τA (x) = µ(A)
Le regioni in cui le variabili del sistema assumono il valore
dell'equilibrio occupano la maggior parte dello spazio delle fasi
⇒ Il sistema passerà la maggior parte del tempo in queste regioni
e quindi nello stato di equilibrio
La media temporale corrisponde alla media statistica
a(x) = lim
n→∞
n−1
1X
n
k
a(f (x)).
hai =
R
Γ a(x)
dµ(x)
k=0
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L'ipotesi ergodica
Partendo da quasi ogni condizione iniziale, l'orbita trascorrerà in
ogni regione della supercie di energia costante una frazione di
tempo proporzionale al volume di tale regione.
τA (x) = µ(A)
Le regioni in cui le variabili del sistema assumono il valore
dell'equilibrio occupano la maggior parte dello spazio delle fasi
⇒ Il sistema passerà la maggior parte del tempo in queste regioni
e quindi nello stato di equilibrio
La media temporale corrisponde alla media statistica
a(x) = lim
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n
k
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hai =
R
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Partendo da quasi ogni condizione iniziale, l'orbita trascorrerà in
ogni regione della supercie di energia costante una frazione di
tempo proporzionale al volume di tale regione.
τA (x) = µ(A)
Le regioni in cui le variabili del sistema assumono il valore
dell'equilibrio occupano la maggior parte dello spazio delle fasi
⇒ Il sistema passerà la maggior parte del tempo in queste regioni
e quindi nello stato di equilibrio
La media temporale corrisponde alla media statistica
a(x) = lim
n→∞
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n
k
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hai =
R
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L'equazione di Boltzmann
L'entropia di Kolmogorov-Sinai
Caratteristica dei sistemi dinamici caotici
Sistema dinamico (Γ, f), distinguiamo due punti distanti δ
(risoluzione)
Se A ⊂ Γ è nell'ordine di δ , non distinguiamo i punti
n iterazioni di f, A è allungato di un fattore e Λn
⇒ I punti di A si allontano e diventano distinguibili
Sempre più precisione della conoscenza di A
⇒ Crescita esponenziale dell'informazione, misurata dell'entropia
di Kolmogorov-Sinai
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Caratteristica dei sistemi dinamici caotici
Sistema dinamico (Γ, f), distinguiamo due punti distanti δ
(risoluzione)
Se A ⊂ Γ è nell'ordine di δ , non distinguiamo i punti
n iterazioni di f, A è allungato di un fattore e Λn
⇒ I punti di A si allontano e diventano distinguibili
Sempre più precisione della conoscenza di A
⇒ Crescita esponenziale dell'informazione, misurata dell'entropia
di Kolmogorov-Sinai
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Sistema dinamico (Γ, f), distinguiamo due punti distanti δ
(risoluzione)
Se A ⊂ Γ è nell'ordine di δ , non distinguiamo i punti
n iterazioni di f, A è allungato di un fattore e Λn
⇒ I punti di A si allontano e diventano distinguibili
Sempre più precisione della conoscenza di A
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(risoluzione)
Se A ⊂ Γ è nell'ordine di δ , non distinguiamo i punti
n iterazioni di f, A è allungato di un fattore e Λn
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Sempre più precisione della conoscenza di A
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L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
Partizione
Partizione di un insieme Γ è una scomposizione di Γ in sottoinsiemi
Wi tali che
[
Γ=
Wi e Wi ∩ Wj 6= ∅ ∀ i 6= j
i
Mappa del panettiere: la partizione originale divide lo spazio
delle fasi in due sottoinsiemi Wi con i = 0, 1
La trasformazione inversa mappa questi due insiemi su
f−1 (Wi ). Se x ∈ f−1 (Wi ) allora f(x) ∈ Wi
L'intersezione di Wi con f−1 (Wj ) porta a una nuova partizione
su quattro insiemi
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Partizione
Partizione di un insieme Γ è una scomposizione di Γ in sottoinsiemi
Wi tali che
[
Γ=
Wi e Wi ∩ Wj 6= ∅ ∀ i 6= j
i
Mappa del panettiere: la partizione originale divide lo spazio
delle fasi in due sottoinsiemi Wi con i = 0, 1
La trasformazione inversa mappa questi due insiemi su
f−1 (Wi ). Se x ∈ f−1 (Wi ) allora f(x) ∈ Wi
L'intersezione di Wi con f−1 (Wj ) porta a una nuova partizione
su quattro insiemi
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Partizione
Partizione di un insieme Γ è una scomposizione di Γ in sottoinsiemi
Wi tali che
[
Γ=
Wi e Wi ∩ Wj 6= ∅ ∀ i 6= j
i
Mappa del panettiere: la partizione originale divide lo spazio
delle fasi in due sottoinsiemi Wi con i = 0, 1
La trasformazione inversa mappa questi due insiemi su
f−1 (Wi ). Se x ∈ f−1 (Wi ) allora f(x) ∈ Wi
L'intersezione di Wi con f−1 (Wj ) porta a una nuova partizione
su quattro insiemi
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Partizione
Partizione di un insieme Γ è una scomposizione di Γ in sottoinsiemi
Wi tali che
[
Γ=
Wi e Wi ∩ Wj 6= ∅ ∀ i 6= j
i
Mappa del panettiere: la partizione originale divide lo spazio
delle fasi in due sottoinsiemi Wi con i = 0, 1
La trasformazione inversa mappa questi due insiemi su
f−1 (Wi ). Se x ∈ f−1 (Wi ) allora f(x) ∈ Wi
L'intersezione di Wi con f−1 (Wj ) porta a una nuova partizione
su quattro insiemi
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L'equazione di Boltzmann
Partizione dell'intersezione di W e
W0
0
f−1
W1
1/2
−1
f (W )
1
W00
0
W01
1/4
W10
1/2
W00 = {x|x ∈ W0 e f(x) ∈ W0 },
W01 = {x|x ∈ W0 e f(x) ∈ W1 },
W10 = {x|x ∈ W1 e f(x) ∈ W0 },
W11 = {x|x ∈ W1 e f(x) ∈ W1 }.
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3/4
W11
1
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L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
Funzione informazione
Con le iterazioni di f, le partizioni diventano sempre più ni
⇒ x0 sarà di volta in volta maggiormente localizzato
Funzione informazione
I (W ; x) = −
n
X
ln[µ(Wi )]χWi (x)
i=1
dove χWi (x) è la funzione caratteristica
I (W ; x) = −ln[µ(Wi )] se
I (W ; x) = 0 se x 6∈ Wi
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x ∈ Wi
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Funzione informazione
Con le iterazioni di f, le partizioni diventano sempre più ni
⇒ x0 sarà di volta in volta maggiormente localizzato
Funzione informazione
I (W ; x) = −
n
X
ln[µ(Wi )]χWi (x)
i=1
dove χWi (x) è la funzione caratteristica
I (W ; x) = −ln[µ(Wi )] se
I (W ; x) = 0 se x 6∈ Wi
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x ∈ Wi
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Funzione informazione
Con le iterazioni di f, le partizioni diventano sempre più ni
⇒ x0 sarà di volta in volta maggiormente localizzato
Funzione informazione
I (W ; x) = −
n
X
ln[µ(Wi )]χWi (x)
i=1
dove χWi (x) è la funzione caratteristica
I (W ; x) = −ln[µ(Wi )] se
I (W ; x) = 0 se x 6∈ Wi
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x ∈ Wi
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L'equazione di Boltzmann
Entropia della partizione
Valore medio di I (W ; x) rispetto alla misura µ
Z
H(W ) =
Γ
I (W ; x)dµ(x) = −
n
X
µ(Wi )ln[µ(Wi )]
i=1
Mappa del panettiere
1 1 1 1
− ln = ln 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
H2 ≡ H(W ∨ f−1 W ) = − ln − ln − ln − ln = ln 4
|4 {z 4} |4 {z 4} |4 {z 4} |4 {z 4}
H1 ≡ H(W ) = − ln
W00
W01
W10
W11
Hn+1 ≡ H(W ∨ f−1 W ∨ ... ∨ f−n W ) = ln 2n+1
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Entropia della partizione
Valore medio di I (W ; x) rispetto alla misura µ
Z
H(W ) =
Γ
I (W ; x)dµ(x) = −
n
X
µ(Wi )ln[µ(Wi )]
i=1
Mappa del panettiere
1 1 1 1
− ln = ln 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
H2 ≡ H(W ∨ f−1 W ) = − ln − ln − ln − ln = ln 4
|4 {z 4} |4 {z 4} |4 {z 4} |4 {z 4}
H1 ≡ H(W ) = − ln
W00
W01
W10
W11
Hn+1 ≡ H(W ∨ f−1 W ∨ ... ∨ f−n W ) = ln 2n+1
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Valore medio di I (W ; x) rispetto alla misura µ
Z
H(W ) =
Γ
I (W ; x)dµ(x) = −
n
X
µ(Wi )ln[µ(Wi )]
i=1
Mappa del panettiere
1 1 1 1
− ln = ln 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
H2 ≡ H(W ∨ f−1 W ) = − ln − ln − ln − ln = ln 4
|4 {z 4} |4 {z 4} |4 {z 4} |4 {z 4}
H1 ≡ H(W ) = − ln
W00
W01
W10
W11
Hn+1 ≡ H(W ∨ f−1 W ∨ ... ∨ f−n W ) = ln 2n+1
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L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
L'entropia di Kolmogorov-Sinai
Quantità media di informazione acquisita a ogni iterazione
1
h = lim Hn = lim [Hn+1 − Hn ]
n→∞
n
n→∞
L'entropia di KS è il supremum su tutte le partizioni
hKS = sup h
Wi
Teorema di Pesin
hKS =
X
λi con λi > 0
i
Panettiere (partizione di Markov):
hKS = h = lim [Hn+1 −Hn ] = lim [(n + 1)ln 2 −n ln 2] = ln 2
n→∞
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n→∞
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L'entropia di Kolmogorov-Sinai
Quantità media di informazione acquisita a ogni iterazione
1
h = lim Hn = lim [Hn+1 − Hn ]
n→∞
n
n→∞
L'entropia di KS è il supremum su tutte le partizioni
hKS = sup h
Wi
Teorema di Pesin
hKS =
X
λi con λi > 0
i
Panettiere (partizione di Markov):
hKS = h = lim [Hn+1 −Hn ] = lim [(n + 1)ln 2 −n ln 2] = ln 2
n→∞
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Quantità media di informazione acquisita a ogni iterazione
1
h = lim Hn = lim [Hn+1 − Hn ]
n→∞
n
n→∞
L'entropia di KS è il supremum su tutte le partizioni
hKS = sup h
Wi
Teorema di Pesin
hKS =
X
λi con λi > 0
i
Panettiere (partizione di Markov):
hKS = h = lim [Hn+1 −Hn ] = lim [(n + 1)ln 2 −n ln 2] = ln 2
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1
h = lim Hn = lim [Hn+1 − Hn ]
n→∞
n
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L'entropia di KS è il supremum su tutte le partizioni
hKS = sup h
Wi
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hKS =
X
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i
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hKS = h = lim [Hn+1 −Hn ] = lim [(n + 1)ln 2 −n ln 2] = ln 2
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L'ergodicità
L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
L'equazione di Boltzmann
Funzione di ripartizione F (x, v, t), denita sullo spazio delle
fasi a una particella
F (x, v, t)dxdv rappresenti il numero medio di particelle che si
trovano nel volume dxdv localizzato attorno al punto (x, v)
Dividendo F (x, v, t)dxdv per il numero N di particelle, si
ottiene una densità di probabilità f (x, v, t)
Poi, equazione cinetica che descrive l'evoluzione temporale
della funzione F (x, v, t)
Basata sullo studio delle collisioni, le quali modicano la
velocità e la posizione delle particelle → entrata e uscita da un
dato volume nello spazio delle fasi
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L'equazione di Boltzmann
L'equazione di Boltzmann
Funzione di ripartizione F (x, v, t), denita sullo spazio delle
fasi a una particella
F (x, v, t)dxdv rappresenti il numero medio di particelle che si
trovano nel volume dxdv localizzato attorno al punto (x, v)
Dividendo F (x, v, t)dxdv per il numero N di particelle, si
ottiene una densità di probabilità f (x, v, t)
Poi, equazione cinetica che descrive l'evoluzione temporale
della funzione F (x, v, t)
Basata sullo studio delle collisioni, le quali modicano la
velocità e la posizione delle particelle → entrata e uscita da un
dato volume nello spazio delle fasi
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Funzione di ripartizione F (x, v, t), denita sullo spazio delle
fasi a una particella
F (x, v, t)dxdv rappresenti il numero medio di particelle che si
trovano nel volume dxdv localizzato attorno al punto (x, v)
Dividendo F (x, v, t)dxdv per il numero N di particelle, si
ottiene una densità di probabilità f (x, v, t)
Poi, equazione cinetica che descrive l'evoluzione temporale
della funzione F (x, v, t)
Basata sullo studio delle collisioni, le quali modicano la
velocità e la posizione delle particelle → entrata e uscita da un
dato volume nello spazio delle fasi
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fasi a una particella
F (x, v, t)dxdv rappresenti il numero medio di particelle che si
trovano nel volume dxdv localizzato attorno al punto (x, v)
Dividendo F (x, v, t)dxdv per il numero N di particelle, si
ottiene una densità di probabilità f (x, v, t)
Poi, equazione cinetica che descrive l'evoluzione temporale
della funzione F (x, v, t)
Basata sullo studio delle collisioni, le quali modicano la
velocità e la posizione delle particelle → entrata e uscita da un
dato volume nello spazio delle fasi
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L'equazione di Boltzmann
Funzione di ripartizione F (x, v, t), denita sullo spazio delle
fasi a una particella
F (x, v, t)dxdv rappresenti il numero medio di particelle che si
trovano nel volume dxdv localizzato attorno al punto (x, v)
Dividendo F (x, v, t)dxdv per il numero N di particelle, si
ottiene una densità di probabilità f (x, v, t)
Poi, equazione cinetica che descrive l'evoluzione temporale
della funzione F (x, v, t)
Basata sullo studio delle collisioni, le quali modicano la
velocità e la posizione delle particelle → entrata e uscita da un
dato volume nello spazio delle fasi
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L'ergodicità
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L'equazione di Boltzmann
Teorema H
Associare a F (x, v, t) un'appropriata funzione
Z Z
H(t) =
F (r, v, t) ln[F (r, v, t)]drdv
Funzione decrescente
dH(t)
d = 0 nel caso in cui F (x, v, t) è data dalla funzione di
ripartizione di Maxwell-Boltzmann → equilibrio
Bilancio nullo tra le collisioni che provocano l'entrata delle
particelle nel volume dello spazio delle fasi dxdv e quelle che
ne provocano l'uscita
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Teorema H
Associare a F (x, v, t) un'appropriata funzione
Z Z
H(t) =
F (r, v, t) ln[F (r, v, t)]drdv
Funzione decrescente
dH(t)
d = 0 nel caso in cui F (x, v, t) è data dalla funzione di
ripartizione di Maxwell-Boltzmann → equilibrio
Bilancio nullo tra le collisioni che provocano l'entrata delle
particelle nel volume dello spazio delle fasi dxdv e quelle che
ne provocano l'uscita
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Teorema H
Associare a F (x, v, t) un'appropriata funzione
Z Z
H(t) =
F (r, v, t) ln[F (r, v, t)]drdv
Funzione decrescente
dH(t)
d = 0 nel caso in cui F (x, v, t) è data dalla funzione di
ripartizione di Maxwell-Boltzmann → equilibrio
Bilancio nullo tra le collisioni che provocano l'entrata delle
particelle nel volume dello spazio delle fasi dxdv e quelle che
ne provocano l'uscita
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Mappa del panettiere
L'equazione di Perron-Frobenius (dinamica della densità di
numero di punti su area dello spazio delle fasi)
ρn (x/2, 2y )
ρn ((x + 1)/2, 2y − 1)
se
se
ρn+1 (x, y ) =
y<
y≥
1
2
1
2
Integrando rispetto a y , otteniamo l'equazione di Boltzmann
x 1
x +1
Wn (x) =
Wn−1
+ Wn−1
2
2
2
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numero di punti su area dello spazio delle fasi)
ρn (x/2, 2y )
ρn ((x + 1)/2, 2y − 1)
se
se
ρn+1 (x, y ) =
y<
y≥
1
2
1
2
Integrando rispetto a y , otteniamo l'equazione di Boltzmann
x 1
x +1
Wn (x) =
Wn−1
+ Wn−1
2
2
2
Alessio Mina, Liceo Locarno
Sistemi Dinamici Caotici
Armonia e dissonanza
Mappe caotiche
La mappa del panettiere
Meccanica statistica dei sistemi dinamici
L'ergodicità
L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
Mappa del panettiere
Espressa in serie di Fourier
Wn+1 (x) =
∞
X
a2` (n)e 2πi`x
`=0
Dopo un'iterazione, perdita di ak con k dispari; dopo due,
perdita di ak con k due volte un numero dispari, ecc.
⇒ Per n → ∞, W∞ (x) = a0 costante
Z
Hn =
0
1
Wn (x) ln Wn (x)dx
Teorema H
Hn+1 ≤ Hn
Se W è costante → H anche costante ⇒ stato di equilibrio
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L'entropia di Kolmogorov-Sinai
L'equazione di Boltzmann
Mappa del panettiere
Espressa in serie di Fourier
Wn+1 (x) =
∞
X
a2` (n)e 2πi`x
`=0
Dopo un'iterazione, perdita di ak con k dispari; dopo due,
perdita di ak con k due volte un numero dispari, ecc.
⇒ Per n → ∞, W∞ (x) = a0 costante
Z
Hn =
0
1
Wn (x) ln Wn (x)dx
Teorema H
Hn+1 ≤ Hn
Se W è costante → H anche costante ⇒ stato di equilibrio
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L'equazione di Boltzmann
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Espressa in serie di Fourier
Wn+1 (x) =
∞
X
a2` (n)e 2πi`x
`=0
Dopo un'iterazione, perdita di ak con k dispari; dopo due,
perdita di ak con k due volte un numero dispari, ecc.
⇒ Per n → ∞, W∞ (x) = a0 costante
Z
Hn =
0
1
Wn (x) ln Wn (x)dx
Teorema H
Hn+1 ≤ Hn
Se W è costante → H anche costante ⇒ stato di equilibrio
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∞
X
a2` (n)e 2πi`x
`=0
Dopo un'iterazione, perdita di ak con k dispari; dopo due,
perdita di ak con k due volte un numero dispari, ecc.
⇒ Per n → ∞, W∞ (x) = a0 costante
Z
Hn =
0
1
Wn (x) ln Wn (x)dx
Teorema H
Hn+1 ≤ Hn
Se W è costante → H anche costante ⇒ stato di equilibrio
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`=0
Dopo un'iterazione, perdita di ak con k dispari; dopo due,
perdita di ak con k due volte un numero dispari, ecc.
⇒ Per n → ∞, W∞ (x) = a0 costante
Z
Hn =
0
1
Wn (x) ln Wn (x)dx
Teorema H
Hn+1 ≤ Hn
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L'ergodicità
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In ogni caos c'è un cosmo, in ogni disordine un ordine segreto
Carl Gustav Jung
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FI N E
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