I calculi degli antichi sumeri

Laboratori sui sistemi di numerazione
I calculi degli antichi sumeri
Note a cura di R. Petti
Il Giardino di Archimede.
Un Museo per la Matematica
I calculi degli antichi sumeri
Introduzione
Il nostro modo di contare è senz’altro uno dei più potenti e completi che siano mai stati
sviluppati. Ma è anche uno dei più complessi e più difficili da apprendere. Altre strategie,
preliminari o alternative, altri punti di vista, più primitivi ma in alcuni casi non meno
efficaci, aiutano a comprendere meglio alcuni aspetti del contare, a mettere a fuoco e superare
certe difficoltà, ad afferrare meglio le potenzialità del nostro modo di contare, oltre che a
scoprirne la sua storia affascinante.
In questa prospettiva sono nati i laboratori de Il Giardino di Archimede dedicati ai sistemi
di numerazione, pensati per le scuole di ogni ordine e grado e dedicati ad alcuni di questi
antichi modi di contare.
Scopo di questo opuscolo, dedicato al sistema di numerazione degli antichi Sumeri, è fornire
agli insegnanti che desiderino riproporre le attività nelle proprie classi alcune informazioni
teoriche necessarie per impadronirsi dell’argomento e una serie di suggerimenti pratici per
lo svolgimento dei laboratori stessi.
Indice
Note storiche
La tecnica dei calculi sumeri
Rappresentazione e cambi . .
Addizioni . . . . . . . . . . .
Sottrazioni . . . . . . . . . . .
Moltiplicazioni . . . . . . . .
Divisioni . . . . . . . . . . . .
3
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Il sistema posizionale babilonese
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5
5
6
6
7
8
9
Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori
2
12
Note storiche
Un antichissimo strumento utilizzato un
po’ ovunque per aiutarsi nei conteggi è costituito da semplici sassolini. Non a caso la
parola “calcolo” deriva dal latino calculus,
che significa appunto sassolino. Per contare con i sassolini le pecore di un gregge che
esce dall’ovile basterà prendere un piccolo
sasso per ogni pecora. Il mucchietto che
viene a formarsi esprime la quantità delle
pecore e serve anche a conservare il risultato del conteggio cosı̀ da poter, ad esempio,
controllare che la sera tutte le pecore siano
tornate.
Il contare con i sassi, anche nella forma
più semplice, mostra alcuni aspetti propri
del nostro modo usuale e più evoluto di contare. In entrambi i casi si ha un insieme
che serve da riferimento: l’insieme dei sassi nel primo caso, la sequenza astratta dei
numeri “uno, due, tre, ...” nel secondo; il
conteggio avviene con stesse modalità indipendentemente dalla natura di ciò che si
conta; nel processo del conteggio si istituisce una corrispondenza biunivoca fra gli oggetti da contare e l’insieme di riferimento;
si arriva all’espressione finale della quantità
in coincidenza della fine di questo processo.
La pratica rudimentale di contare ricorrendo ai sassolini subisce un primo notevole
raffinamento presso alcuni popoli del Medio
Oriente dove, a un certo punto, si iniziano
a confezionare in argilla piccoli oggetti da
usare al posto dei sassolini raccolti in natura. Diversamente dalle pietruzze indifferenziate, ai sassolini in argilla fatti dall’uomo
si potevano far assumere forme prestabilite.
Si trovano cosı̀, presso i vari popoli, coni o
bastoncini, biglie, dischi, coni più grandi,
sfere ed altro. La possibilità di distinguere
la forma permette di compiere un importante passo avanti: un sassolino non indica necessariamente una unità semplice, ma
può rappresentare, a seconda della forma,
unità di ordini diversi, o in altre parole, può
assumere valori diversi.
Gli Assiri e i Babilonesi diedero successivamente a questi piccoli oggetti per numerare il nome di abnu, cioè “pietra”. I Sumeri li avevano designati col nome di imna, “pietra d’argilla”. Per questo, e per
la coincidenza con l’etimologia latina, li
chiameremo calculi.
Nelle regioni della Mesopotamia, dell’Iran, della Siria e zone limitrofe alcuni di
questi piccoli oggetti di grandezze e forme
differenziate, a partire dalla seconda metà
del IV millennio a.C., risultano racchiusi all’interno di contenitori ovoidali cavi sempre
in argilla, detti bolle. Questi oggetti rappresentano il primo mezzo di registrazione
concreta di diverse operazioni di contabilità, nelle società allora in piena espansione dei Sumeri e degli Elamiti. Servivano
a quantificare ad esempio l’ammontare di
un debito o un pagamento effettuato o la
registrazione di una proprietà. La chiusura della bolla impediva una accidentale
dispersione dei sassolini stessi, garantendo
la conservazione della memoria del conteggio, e l’impressione sull’esterno di un sigillo
conferiva al tutto un valore giuridico.
Il sistema di registrazione di una quantità
tramite i sassolini inseriti nella bolla aveva
il grande svantaggio che per leggere il numero ogni volta la bolla doveva essere rotta
ed eventualmente poi ricomposta e sigillata
di nuovo.
Una ricostruzione delle vicende che portano da qui alla nascita di una vera e propria forma di scrittura è basata sulle testimonianze archeologiche, particolarmente ricche e significative ad esempio nel caso della città elamita di Susa, nell’attuale
Iran. A partire dal 3300 a.C., sulla parte esterna delle bolle qui rinvenute, oltre
al sigillo vengono impressi dei simboli corrispondenti ai diversi calculi racchiusi all’interno, come una sorta di riassunto o di
simbolizzazione grafica del contenuto di ciascun documento contabile. Le bolle però a
questo punto sono divenute inutili e poco
dopo vengono rimpiazzate da pani d’argilla pieni di forma tondeggiante o allungata
che si fa poi sempre più schiacciata e regolare: le prime tavolette. Su queste venivano
impresse le stesse informazioni che comparivano sull’esterno delle ultime bolle, ossia i
simboli dei calculi, all’inizio servendosi degli stessi calculi, poi riproducendo le loro
forme con degli appositi stili.
La prima forma di scrittura simbolica di
un numero appare cosı̀ essere il “disegno”
dell’oggetto materiale che lo rappresenta,
discendente diretto dell’insieme di sassolini.
I vari popoli utilizzavano calculi, e di conseguenza segni, con forme e valori diversi,
anche se in parte ricorrenti. Alla fine del
IV millennio ad esempio gli Elamiti disponevano di un sistema contabile basato su
unità di diverso ordine a forma di bastoncino, di biglia, di disco, di piccolo cono, di
grande cono perforato. Questi calculi e i
loro segni corrispondevano rispettivamente
a 1, 10, 100, 300 e 3000 unità semplici.
I Sumeri avevano invece come unità di
conto il piccolo cono, la biglia, il grande
cono, il grande cono perforato, la sfera e
la sfera perforata. I valori relativi corrispondevano rispettivamente a 1, 10, 60 (la
grande unità), 600, 3600 e 36000.
Nella forma di scrittura sumerica arcaica, o curviforme, i segni venivano impressi
sulle tavolette usando due stili di sezione
circolare e diametro diverso (circa 4 e 10
millimetri) che usati perpendicolarmente o
inclinati permettevano di riprodurre tutte
le forme dei calculi ; con la parte appuntita
si tracciavano poi gli altri segni pittografici. Nel periodo più antico, attorno al 3200
a. C., le forme avevano generalmente il seguente aspetto e orientazione:
Nel 2700-2600 a.C. circa lo stilo cambia
forma: l’estremità è tagliata in modo da
avere un tratto rettilineo con cui si imprimono segni a forma di cuneo. Il cambimento dà origine alla scrittura cuneiforme, con
la graduale stilizzazione dei segni. I simboli
dei numeri assumono allora un aspetto differente, e si aggiunge un simbolo con valore
pari a 36000×6, ossia 216000:
Vari secoli dopo, attorno al XIX secolo a.
C., a partire da questa antica numerazione
sumera, gli scienziati babilonesi creano un
sistema di scrittura basato sui soli simboli e . Il primo simbolo, oltre al valore
1, poteva rappresentare anche il 60. L’1 e
il 60 fin dalle origini presentano la stessa
forma, ma anticamente si distinguono per
la dimensione. Ora il simbolo diviene unico e per distinguere i valori ci si basa sul
contesto o sulla posizione. Il numero 62,
ad esempio, si rappresenta con la scrittura
, in cui il primo cuneo indica una sessantina, ossia una unità di ordine superiore
e gli altri due cunei le unità semplici. In
modo analogo si possono aggiungere gruppi
di segni da riferire a sessantine di sessantine e cosı̀ via per potenze del 60 sempre crescenti. Cosı̀ la scrittura
si
può leggere come un 3600, cioè 60×60, più
12 sessantine, più ventuno unità semplici,
cioè 3600+12×60+21=4341.
La tecnica dei calculi sumeri
La comparsa delle prime tavolette e delle prime forme di scrittura coincide con la
scomparsa delle bolle, ma non coincide con
quella dei calculi. Questi continuano a ritrovarsi, sciolti, nei vari siti archeologici insieme alle tavolette contabili scritte con cifre arcaiche, fino alla fine del III millennio quando le stesse cifre arcaiche si fanno
sempre più rare per essere definitivamente
soppiantate dalle cuneiformi.
La convivenza dei calculi con le cifre arcaiche indica con ogni verosimiglianza che,
sebbene non più usati per la memorizzazione dei valori, essi continuavano a svolgere il
proprio ruolo nell’esecuzione dei conti.
Rappresentazione e cambi
Nel sistema completo si utilizzano calculi di
sei forme diverse: il piccolo cono, la sferetta, il grande cono, il grande cono perforato,
la sfera e la sfera perforata.
I valori di questi calculi sono crescenti se-
condo una scala che procede per 10 e per 6
alternativamente. Ci vogliono cioè 10 sassolini del primo tipo per fare un sassolino
del secondo tipo, 6 sassolini del secondo tipo per fare un sassolino del terzo, 10 sassolini del terzo per un sassolino del quarto, 6
del quarto per uno del quinto, 10 del quinto
per uno del sesto.
−→
−→
−→
−→
−→
In altre parole i sassolini e i loro segni hanno valori corrispondenti a 1, 10, 60, 600,
3600 e 36000.
I valori dei calculi, o dei loro segni, si sommano. Cosı̀
, cioè tre conetti presi insieme, rappresentano il numero tre.
,
rappresenta invece complessivamente il numero ventuno, formato da due sassolini da
dieci e un sassolino da uno.
corrisponde al nostro 3683, dato da 1 × 3600 +
1 × 60 + 2 × 10 + 3 × 1.
, rappreDodici conetti,
sentano il numero dodici, ma lo stesso dodici si rappresenta meglio sostituendo dieci
conetti piccoli con una sola sferetta piccola,
ossia in totale con una sferetta e due conetti:
. Si è eseguito in questo caso un
“cambio”, ossia la sostituzione di un gruppo di calculi con un solo calculo di forma
diversa e di valore equivalente, secondo la
scala ricordata sopra. Attraverso i cambi
si riduce il numero di calculi impiegati per
rappresentare un dato valore, si rende la
sua rappresentazione più compatta e signi-
ficativa anche a colpo d’occhio. Nel verso
opposto si ha la “spicciolatura” di un sassolino in più sassolini di valore inferiore. I
cambi costituiscono la base fondamentale
nell’impiego dei calculi e intervengono nelle varie tecniche operatorie. Nel caso dei
calculi sumeri si deve ricordare l’alternanza dei raggruppamenti in insiemi ora di 10
ora di 6.
Addizioni
Il sistema di rappresentazione dei valori attraverso i calculi, o i loro segni, è un sistema additivo. Come in ogni sistema di rappresentazione additivo l’operazione di addizione risulta particolarmente semplice. Per
addizionare due o più valori basterà infatti
mettere insieme i simboli di ciascuno degli
addendi. Nel caso dei calculi, se dobbiamo addizionare due numeri, basterà unire
i due gruppi di sassolini che rappresentano
i due numeri. L’addizione è compiuta in
questo stesso gesto dell’unione dei sassolini. I sassolini messi insieme mi indicheranno complessivamente il valore risultato dall’addizione. Ad esempio volendo sommare
con
, si otterrà
.
L’addizione dunque in un certo senso “si
fa da sé”, grazie al modo di rappresentazione. Perché il risultato compaia nella forma migliore, ossia impiegando meno calculi
possibile, sarà a volte necessario aggiustare
la scrittura sostituendo gruppi di sassolini
con un solo sassolino di valore superiore,
ossia compiendo un cambio.
Nel sommare ad esempio
con
si otterrebbe in prima
battuta
. Sostituendo poi dieci coni con un solo cono
forato, il risultato si riscrive come
.
Sottrazioni
La sottrazione fra due numeri si può eseguire nel seguente modo. Si costruisce un
primo mucchio di sassolini che rappresenta il numero di partenza, ossia il minuendo. Si forma il numero da sottrarre, ossia il sottraendo, in un secondo mucchio di
sassolini attingendo, per fare ciò, ai sassolini del primo mucchio. Quando il secondo
mucchio è completato, i sassolini rimasti nel
mucchietto di partenza danno il risultato.
Se ad esempio vogliamo eseguire
meno
, si prepara il primo mucchietto
con una pallina e cinque conetti, poi si fa
un secondo mucchietto con quattro conetti,
prendendoli dal primo mucchietto. Si va
ora a vedere quali sassolini sono rimasti nel
primo mucchietto; questi danno il risultato:
.
Può capitare che nel mucchietto di partenza non vi siano tutti i sassolini necessari
ad esprimere il secondo. In questo caso occorrerà “spicciolare” un sassolino di ordine
superiore e procedere come sopra.
Ad esempio, se vogliamo sottrarre
da
, prepariamo
il mucchio di sei coni grandi. Da questo,
per formare il sottraendo, prendiamo quattro coni grandi. A questo punto abbiamo
allora che nel primo mucchio sono rimasti
due coni grandi:
, mentre nel secon-
do abbiamo
. Per completare il
sottraendo abbiamo bisogno ancora di aggiungere una pallina al secondo mucchio.
Questa però non è immediatamente disponibile nel primo mucchio. Dobbiamo allora
sostituire uno dei due coni grandi del primo mucchio con le sei palline che gli equivalgono. Abbiamo ora nel primo mucchio
e nel secondo
. Spostiamo una pallina dal primo al secondo
mucchio ed avremo completato il sottraendo. I sassolini rimasti nel primo mucchio
indicano il risultato:
.
to quando i numeri in gioco sono piuttosto
grandi, si possono impiegare vari accorgimenti. Facendo riferimento alle forme dei
sumeri, osserviamo ad esempio che per moltiplicare un cono grande per dieci basta sostituirlo con un cono forato, per moltiplicarlo per sessanta basta sostituirlo con una
sfera grande, per moltiplicarlo per seicento, cioè 10×6×10, basta sostituirlo con una
sfera grande forata. In altre parole alcuni
dei sassolini possono essere moltiplicati immediatamente per 10, e anche per 6×10,
10×6×10, 6×10×6×10, altri per 6 e anche
per 10×6, 6×10×6:
Moltiplicazioni
Un modo concettualmente molto semplice
di eseguire una moltiplicazione è quello di
ridurla ad addizione ripetuta. Si può allora
iniziare rappresentando il numero da moltiplicare e poi ripetendo ogni sassolino di
questo mucchietto tante volte quante il numero per cui si vuole moltiplicare; alla fine
si compiono gli eventuali cambi.
Ad esempio, se vogliamo moltiplicare
per quattro costruiremo un secondo
mucchietto in cui ogni sassolino del primo
è ripetuto quattro volte, metteremo cioè
quattro coni grandi, quattro palline e ancora quattro palline:
.
Avremo cosı̀ ottenuto il risultato.
Molto spesso sarà necessario operare dei
cambi per aggiustare la forma finale del risultato. Se ad esempio devo moltiplicare
per 2 ottengo
;
sostituendo sei sferette con un solo cono
grande, il risultato è dato da
.
Per sveltire il procedimento, soprattut-
−→
×10
−→
×6
−→
×10
−→
×6
−→
×10
Quando dobbiamo moltiplicare un dato
numero per un altro, converrà allora osservare come questo secondo numero si può
comporre in somme di 6, 10 o loro prodotti. La scomposizione più utile dipenderà
dai calculi del numero di partenza che sto
moltiplicando.
Ad esempio, se voglio moltiplicare per 12
, due coni grandi e una sfera piccola, posso procedere cosı̀. Iniziamo dai coni
grandi. Come già detto, questi si moltipli−→
cano facilmente per 10:
. Dunque
×10
mi conviene spezzare 12 in 10+2 ed eseguire
la moltiplicazione in due parti: moltiplico i
coni prima per 10, poi per 2. Per moltiplicare per 10 prendo un cono forato per ogni
cono di partenza; per moltiplicare per due
prendo due coni uguali a quelli di partenza
per ognuno dei coni di partenza.
−→
×10
−→
×2
Mettendo insieme i due risultati parziali ottengo il prodotto dei due coni per 12:
−→
×12
Le sfere piccole invece si moltiplicano facilmente per 6: −→
. Dunque mi conviene
×6
spezzare 12 in 6+6. Per ogni sfera di partenza prendo allora un cono grande (ed ho
moltiplicato per sei) e ancora un cono grande (ed ho moltiplicato di nuovo per sei):
nel caso della tavoletta con la distribuzione
delle misure d’orzo.
Vediamo con un esempio più semplice come procedere concretamente. Vogliamo dividere
in tre parti. Il
procedimento prescrive di formare tante file di tre sassolini uguali, iniziando da quelli
di valore più alto:
−→
×12
Il risultato si legge mettendo insieme tutti i calculi, eventualmente dopo aver fatto i
cambi. Nel nostro esempio otteniamo due
coni forati e sei coni grandi.
−→
×12
Andando a tradurre i valori abbiamo che
130 per 12 fa 2×600+6×60, ossia 1560.
Divisioni
La divisione è una operazione di grande importanza nella vita sociale e ricorre spesso
in antichissime tavolette. In una di queste (2650 a. C. circa) compare ad esempio
la divisione di 1152000 misure di orzo in 7
parti.
Utilizzando i calculi la divisione si può
effettuare suddividendo il mucchio di calculi che rappresenta il numero di partenza in tanti mucchi uguali, ossia riproducendo quell’operazione di distribuzione delle risorse che rappresenta una delle motivazioni
primarie della divisione. Finché il divisore
è abbastanza piccolo, dell’ordine della decina, la divisione si esegue piuttosto facilmente anche con dividendi molto grandi, come
Otteniamo due file complete; avanza poi un
cono grande. Prendiamo un rappresentante per ogni fila completa e lo mettiamo da
una parte: è un primo pezzo del risultato:
−→
−→
I calculi rimasti nelle file complete non entrano più nel procedimento e si possono eliminare. Per proseguire la divisione si prendono invece i calculi avanzati dalla disposizione in file, cioè tutti quelli con cui non
è stato possibile completare una fila, e si
cambiano con opportuni calculi di valore
inferiore. Nel nostro caso sostituiamo il co−→
no grande avanzato con sei palline:
. Se nel mucchio di partenza vi erano alcune palline le uniamo a queste ottenute dallo spicciolamento. Nel nostro caso
abbiamo in tutto otto palline. Su queste ripetiamo il procedimento della disposizione
in file da tre:
Di nuovo prendiamo un rappresentante per
ogni fila completa e lo aggiungiamo al risultato parziale, scartando gli altri sassolini.
−→
−→
Proseguiamo ora la divisione prendendo i
calculi avanzati dalla disposizione in file,
ossia le due palline che non formavano una
fila completa. Le cambiamo in sassolini di
valore inferiore, cioè sostituiamo ciascuna
pallina con dieci coni piccoli. Nel mucchio
di partenza non c’erano altri coni piccoli e
dunque abbiamo ora venti coni piccoli da
disporre in file di tre:
Dalle file complete prendiamo un rappresentante e lo uniamo al risultato.
−→
−→
−→
−→
−→
−→
Essendo arrivati al sassolino di valore minimo, la divisione si ferma. Il mucchietto di
calculi composto dai risultati parziali dà il
quoziente. Nel nostro caso questo è formato da due coni grandi, due palline e sei coni
piccoli:
. I due coni piccoli
avanzati all’ultimo passo mi danno il resto.
Traducendo i valori, abbiamo diviso 440 per
tre, ottenendo 146 con il resto di 2.
Il sistema posizionale babilonese
Scrittura e ambiguità
Il sistema sessagesimale posizionale sviluppato dagli scienziati babilonesi si serve, coe
me già accennato, di soli due simboli,
. All’interno di ciascun ordine di grandezza i valori da 1 a 59 vengono costruiti
in modo additivo. Cosı̀ i numeri 3, 13 e
,
32 si scrivono rispettivamente come
,
Simboli uguali ripetuti non
venivano disposti in fila, ma raggruppati in
modo da facilitare la lettura. Cosı̀, i numeri
dal 4 al 9 si scrivevano nel seguente modo:
I numeri 40 e 50 invece compaiono invece
rispettivamente come
e
.
Gli stessi simboli si usano per indicare
le unità degli ordini superiori: sessantine,
tremilaseicentine, e cosı̀ via per le altre
potenze del sessanta.
Questo sistema di scrittura permette facilmente di scrivere numeri grandi a piacere
e, poiché con lo stesso principio posizionale
si scrivevano anche le frazioni, anche numeri piccoli a piacere. A destra delle unità si
scrivono infatti i sessantesimi, poi i tremilaseicentesimi, e cosı̀ via per le altre potenze
negative del sessanta. Cosı̀ 12 , cioè 30
, si
60
scrive
, mentre la frazione
cor30
1
7
risponde a 60 + 602 , cioè 8 . Solitamente è il
contesto che indica se la rappresentazione
si riferisce a numeri interi o a frazioni.
Laddove il contesto non aiuta rimangono possibili ambiguità nell’interpretazione
delle scritture, anche solo limitandosi ai
numeri interi, dovute anche alla mancanza di uno zero e al fatto che all’interno
di ciascun ordine di grandezza i cinquantanove simboli non sono distinti ma sono
costruiti additivamente per ripetizione di
e . La scrittura
può essere ad esempio interpretata come il numero 23, cioè 10+10+1+1+1, ma anche come 613, cioè 10×60+10+3, oppure come
1203, cioè 20×60+3, oppure come 36721,
cioè 10×3600+12×60+1, e cosı̀ via.
Piccole differenze di spaziatura permettono a volte di riconoscere l’interpretazione
corretta. A un certo punto, presumibilmente attorno alla fine del IV secolo a. C., compare, anche se non sistematicamente, l’uso
di un segno spaziatore speciale con cui si
indica l’assenza di unità di un certo ordine
sessagesimale. Questo segno si presenta come due cunei vicini e inclinati, , con piccole varianti grafiche. Il numero 25 e il numero 1205 avrebbero allora rappresentazioni ben distinguibili, rispettivamente
e
.
Le operazioni
Con il sistema posizionale babilonese le
operazioni si possono eseguire con tecniche
simili a quelle del nostro sistema di rappresentazione. Il fatto che ogni simbolo sia
costruito additivamente fa sı̀ che la scrittura stessa rappresenti anche in qualche caso
un aiuto al calcolo.
Nell’addizione ad esempio, dopo aver posizionato gruppi di simboli che si riferiscono
allo stesso ordine di grandezza in una stessa colonna, il risultato sarà dato dal totale dei simboli opportunamente riordinati in
ciascuna colonna, eventualmente operando
dei cambi che riducano il numero di simboli
ripetuti troppe volte: dieci danno un e
sei danno un nella colonna dell’ordine
subito superiore.
Nella sottrazione il risultato è dato dai
simboli del primo numero che restano dopo
aver eliminato tutti i simboli che compaiono nel secondo, ovviamente rispettando gli
ordini di grandezza. Per completare l’eliminazione può essere necessario sostituire
qualche simbolo con gli opportuni simboli
di ordine inferiore.
La moltiplcazione si può eseguire, come
nel nostro procedimento, moltiplicando separatamente i valori dei vari ordini di grandezza e poi sommando il tutto. La tavola pitagorica per la moltiplicazione in base
sessanta comprenderebbe prodotti da 1 × 1
a 59 × 59. In realtà il fatto che ognuno di
questi valori sia costruito come somme di
unità e decine permette di riferirsi soltanto ad alcuni prodotti e di costruire gli altri
applicando ancora la proprietà distributiva. Cosı̀ sarà utile memorizzare che
per
fa
e riferirsi a questo valore per il
calcolo di prodotti di valori composti.
La divisione si può ricondurre alla moltiplicazione calcolando il reciproco del di-
visore. A questo scopo chi doveva compiere calcoli aveva a disposizione tavole dei
reciproci.
Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori
Altri materiali: sassolini di terracotta che riproducono i calculi sumeri, presentazioni,
libro “Uri, il piccolo sumero”.
Le presentazioni sono contenute nel CD-rom allegato, nella cartella “Sumeri”. Si tratta
di diapositive in formato PowerPoint da proiettare durante lo svolgimento delle attività.
Contengono immagini e brevi commenti da usare per le spiegazioni e per gli esercizi da
proporre.
Le presentazioni sono differenziate in diversi livelli di complessità crescente. Il livello 0,
pre-calcolo, è pensato per i piccolissimi, corrispondentemente alla sezione dei cinque anni
della Scuola dell’Infanzia. I livelli 1 e 2 sono pensati per il primo e il secondo ciclo della Scuola
Primaria. Il livello 3 è pensato per la Secondaria Inferiore e il 4 per la Secondaria Superiore.
I riferimenti alle età costituiscono però un’indicazione di massima: ogni insegnante potrà
valutare se appoggiarsi al materiale di un altro livello, a seconda della classe, o se limitarsi
ad alcune parti degli argomenti svolti.
Alcune presentazioni comprendono anche schede di lavoro da stampare e utilizzare in sede
di laboratorio.
Per le attività di calcolo ci si può servire degli appositi sassolini di terracotta in dotazione
che riproducono i calculi sumeri, secondo i valori 1, 10, 60, 600, 3600, 36000. Nelle attività
previste al livello 0 e livello 1 ci si limita all’uso di due soli sassolini: il cono e la pallina.
Invece di usare il formato piccolo, si consiglia in questo caso di usare cono e sfera grandi,
più maneggevoli per i bambini di questa età. Solo quando si usa anche il 60 sarà necessario
usare i piccoli per l’1 e il 10.
La storia “Uri, il piccolo sumero”, i cui personaggi compaiono nelle presentazioni, opportunamente rivista e commentata a seconda dell’età dei partecipanti, può servire da filo
conduttore per le attività dei più piccoli (Infanzia e inizio Primaria).
Livello 0
Età indicativa: 5 anni.
Premessa sul laboratorio
Le attività del laboratorio contribuiscono a lavorare su molteplici aspetti del pre-calcolo. L’aspetto fondamentale è quello della determinazione e della rappresentazione della quantità di
un certo insieme di oggetti. Il percorso che porta a una rappresentazione simbolica e astratta
viene compiuto in modo graduale. Un altro aspetto importante è quello dell’introduzione
della scrittura.
Tutta la presentazione e le attività suggerite fanno riferimento alla storia di Uri che ripropone in forma narrativa alcuni passaggi dello sviluppo storico del sistema sumero: in
un’epoca in cui “ancora non si sapeva bene come contare”, Uri si costruisce tante piccole
dita di argilla, per non dover contare con le mani e ogni volta che la mamma gli chiede di
andare a procurarsi un certo numero di oggetti, lui mette i sassolini nella sua bolla. Quando
i sassolini sono tanti nella bolla non entrano più e diventa sempre più difficile tenerli insieme
senza perderli. Ma un giorno, in sogno, gli appare il genio delle dita, U (il nome sumero della
decina). Anche la scrittura su tavoletta può essere inclusa nella storia: a un certo punto
il nostro bambino pensa a come fare per non doversi portare dietro i sassolini, rischiando
comunque di perderne qualcuno o dovendo ogni volta chiudere e poi rompere la bolla, e cosı̀
inventa la tavoletta. La scrittura diviene il mezzo per non affidarsi più alla memoria e per
registrare permanentemente quello che si desidera ricordare.
Il conteggio attraverso le dita delle mani viene utilizzato ripetutamente. Sarà un punto di
partenza e di riferimento per quei bambini che già ne hanno una completa padronanza, sarà
invece un obiettivo da rafforzare per gli altri. Dagli oggetti concreti e dalle dita si compie
un primo passo verso l’astrazione introducendo i sassolini a forma di cono, oggetti indistinti
e simbolici con cui si può contare.
A differenza delle dita, per forza di cose limitate a dieci, i sassolini si possono ripetere a
piacere. In altre parole si possono mettere in corrispondenza biunivoca con insiemi di oggetti
anche numerosi. Si osservi che anche quando si lavora con quantità che vanno oltre il dieci
non si pretende che i bambini le padroneggino in modo completo né che sappiano associarvi
un nome; si procede un sassolino alla volta, come Uri, trasformando dita (o oggetti) in
sassolini. L’uso della ciotolina di terracotta (in riferimento alla bolla sumera) dove mettere
i risultati serve ad evidenziare che il numero finale che esprime una quantità è il risultato di
un procedimento
Un punto nodale e delicato è l’introduzione della decina. Qui un solo oggetto simbolico
viene a rappresentare tanti oggetti. La difficoltà di questo passaggio si può affrontare aiutandosi con i richiami ai “geni delle dita” della storia di Uri che i nuovi oggetti permettono
di fare. Il simbolo della decina è allora rappresentazione di una testa, e là dove c’è una testa
ci sono dieci dita (ogni bambino potrà mostrarlo); ma se nei bambini testa e dita possono
vedersi contemporaneamente, nei geni delle dita o si vede la testa o si vedono le dieci dita,
mai contemporaneamente. Cosı̀ una pallina si potrà far apparire al posto di dieci conetti, e
viceversa.
Le attività con la plastilina propongono un modo per avvicinarsi alla scrittura, ripercorrendo quello che è stato l’effettivo sviluppo storico. Inizialmente dunque si tratterà di imprimere
impronte con i sassolini e solo successivamente di riprodurre la loro forma con gli stili.
A discrezione dell’insegnante questo laboratorio può essere semplificato limitando le
attività al solo uso dei sassolini conici, senza introdurre la decina, e proseguendo con la
scrittura su tavoletta (che in questo caso si limitarà ad esempi che non comprendono
l’impronta circolare).
Contenuto della presentazione per il laboratorio
Con le prime diapositive si introduce la storia di Uri. I primo aspetto su cui lavorare è la
rappresentazione dei numeri con le dita delle mani. Ci si limita inizialmente ad una mano
sola. Contare con le dita significa associare ad ogni mucca un dito e poi esprimere con il
gesto della mano il risultato di questo procedimento. Pian piano al gesto verrà associato il
nome del numero corrispondente. La diapositiva che segue si intitola “La nostra scheda per
contare”. Si suggerisce a questo punto di far iniziare ad ogni bambino la costruizione di una
scheda che servirà di appoggio per le attività successive. Questa scheda alla fine conterrà le
immagini delle due mani, con le dieci dita aperte. Le mani possono essere disegnate da ogni
bambino seguendo il contorno delle proprie mani. In alternativa si può fornire una stampa
già pronta lasciando verificare con la sovrapposizione della mano vera che il numero delle
dita è sempre lo stesso. Se si preferisce si può rimandare la costruzione dell’intera scheda a
quando si è introdotta anche l’altra mano.
Con la diapositiva che segue si chiede ancora di contare con la mano. Gli oggetti da contare
questa volta sono sei. Una mano dunque non basta più e si dovrà introdurre anche l’altra
mano. Si prova poi a contare con le due mani da uno a dieci, aggiungendo un dito alla volta.
Si prova poi a esprimere con le mani il numero degli oggetti che erano stati mostrati. Si
completa poi la scheda con il disegno delle due mani o, se non si era iniziata, si fa a questo
punto.
Si introduce ora il problema della labilità della registrazione per mezzo delle dita e l’idea
di sostituire le dita con dei piccoli oggetti creati apposta per contare: le dita finte di Uri.
Si propone poi ai bambini di contare sostituendo ogni dito vero con un “dito finto”, cioè
un conetto di terracotta. Questo può essere fatto aiutandosi con la scheda delle mani: ogni
conetto andrà sopra un dito della mano disegnata.
Si lavora poi mettendo i conetti richiesti dentro la bolla, direttamente o se necessario
passando ancora attraverso la scheda. La bolla sottolinea la compiutezza del risultato come
punto di arrivo di un processo.
L’ultimo esempio proposto mostra come con le dita finte si possono rappresentare anche
numeri che richiedono più dita di quelle che un solo bambino ha a disposizione.
Si affronta poi il problema della ingestibilità dei conetti quando questi divengono troppo
numerosi. Si introduce allora il nuovo sassolino, la sferetta, che sostituisce dieci conetti. Le
diapositive che seguono mostrano alcune quantità con le dita chiedendo che i bambini le
trasformino in sassolini da mettere dentro la bolla. Un modo per aiutare questo passaggio,
come suggerito dalle diapositive, è raccontare che ogni volta che vi sono dieci dita, cioè due
mani tutte aperte, compare un genio delle dieci dita; le dita scompaiono e si vede solo la
sua testa; nella bolla si mettono solo le teste dei geni, non le dita. Ancor apiù efficace sarà
far riprodurre ad alcuni bambini (due, tre o quattro, a seconda di quanti sono necessari) i
numeri mostrati con le dita; i bambini che hanno tutte le dita aperte si trasformeranno in
geni delle dita.
Altre diapositive propongono poi il lavoro inverso: si mostrano dei sassolini e si chiede ai
bambini di rappresentarli con le dita. Se c’è una sferetta si fanno vedere tutte le dita del
genio.
Si passa poi ad affrontare la scrittura su tavoletta.
La parte finale delle diapositive riguarda la scrittura su tavoletta. Ogni bambino o ogni
gruppo realizzerà la sua tavoletta. Rimodellando la plastilina si potranno via via eseguire
diverse scritture. Si inizia dalla forma di scrittura più primitiva, in cui le forme si “stampano”
direttamente con i sassolini. I numeri proposti si rappresenteranno prima con i sassolini;
l’intero gruppo di sassolini si metterà sopra la tavoletta di plastina; premendo si realizzeranno
le impronte. Il cono andrà adagiato in modo che lasci un’impronta a punta, ben distinguibile
da quella della sfera. Oltre cha a scrivere si imparerà a leggere, cioè a riconoscere numeri
impressi su tavolette.
Si mostra poi come impronte molto simili si possono ottenere scrivendo con dei bastoncini.
Seguono semplici esercizi di scrittura su tavoletta: mucchi, sacchi e bambini sono proposti nelle diapositive; se ne potranno aggiungere altri eventualmente inventando un segno
pittografico per indicare di quali oggetti si sta esprimendo la quantità.
Livello 1
Età indicativa: 6-7 anni.
Premessa sul laboratorio
Nelle attività di questo livello si utilizza il sistema dei calculi sumeri in una forma incompleta,
limitandosi ai valori 1, 10. Un nodo fondamentale è quello dell’introduzione della decina.
I sassolini danno modo di realizzare concretamente i raggruppamenti per dieci e i cambi,
un’operazione fondamentale per comprendere la rappresentazione dei numeri. Diventano
anche un utilissimo strumento per l’esecuzione dei calcoli. Le addizioni mostrano la loro
natura nell’unire in effetti in sassolini e le sottrazioni nel toglierli. Operando con i sassolini
si tocca con mano anche il meccanismo del riporto e del prestito.
Contenuto della presentazione per il laboratorio
Con le prime diapositive si spiega come contare fino a dieci ripetendo il sassolino conico e
come far intervenire il sassolino sferico per rappresentare i numeri da dieci in poi.
Si propongono poi esercizi in cui si mostrano gruppi di sassolini e si chiede di che numero
si tratta. Seguono esercizi in cui viceversa si chiede di realizzare alcuni numeri con conetti
e sferette.
Si può a questo punto spiegare che cosa era la bolla. La bolla servirà nel seguito del
laboratorio come contenitore per le risposte agli esercizi proposti.
Con le diapositive successive si spiega il “cambio”: un gruppo di dieci conetti si sostituisce
con una sola sferetta. Seguono alcuni esercizi in cui si mostra un gruppo di sassolini e si
chiede di mettere nella bolla lo stesso valore impiegando meno sassolini possibile; ad esempio
invece dei tredici conetti mostrati dalla diapositiva, si mettono nella bolla tre conetti e una
sferetta, per un valore pari ancora a tredici.
Si spiega poi come eseguire un’addizione, unendo e poi mettendo nella bolla i sassolini
dei due numeri da sommare. Il primo esempio, molto semplice, non prevede il cambio. Nel
secondo esempio invece i conetti complessivi sono più di dieci e dunque, prima di mettere il
risultato nella bolla, occorre eseguire un cambio, sostituendo dieci conetti con una sfera. Si
propongono alcune addizioni, le prime senza cambio, le successive con cambio.
Segue la spiegazione di come eseguire la sottrazione, componendo il primo numero e formando il secondo servendosi dei sassolini del primo; il risultato va dentro la bolla. La
sottrazione illustrata non richiede il cambio, e cosı̀ gli esercizi che seguono. Segue la spiegazione di una sottrazione che richiede un cambio per essere portata a termine, e di seguito i
relativi esercizi.
Le ultime diapositive illustrano come passare alla scrittura su tavoletta. Si consiglia anche
qui di procedere in due fasi, seguendo quello che è stato lo sviluppo storico. Nella prima fase
la scrittura sulla plastilina si fa premendo direttamente con i calculi sulla plastilina, in modo
che lascino la loro forma riconoscibile (il cono dovrà essere sdraiato). Nella seconda fase
si scrive servendosi degli stili. La scrittura su tavoletta può essere introdotta nel momento
del laboratorio che si ritiene più opportuno, anticipandola ad esempio all’addizione o alla
sottrazione. Una volta introdotta si potrà chiedere di fornire le risposte ad esercizi già fatti
servendosi della tavoletta invece che dei sassolini. Si potranno ad esempio riproporre gli
esercizi sulla scrittura di numeri, oppure, se si è introdotta la scrittura su tavoletta prima
dell’addizione o della sottrazione, si potrà chidere di scrivere i risultati dei relativi esercizi
sulla tavoletta, invece che riporre il gruppo finale di sassolini nella bolla.
Livello 2
Età indicativa: 8-10 anni.
Premessa sul laboratorio
Nelle attività rivolte a questa fascia di età si usa il sistema dei calculi sumeri limitandosi ai
valori 1, 10, 60 e 600, cioè il cono e la sfera piccoli, il cono grande e il cono forato. Questo
dà modo già di lavorare con basi diverse dal dieci. L’uso della sessantina e della seicentina
e la scomposizione delle quantità utilizzando questi valori contribuisce all’allenamento del
calcolo mentale. Sui cambi e sull’addizione e sottrazione vale quanto detto per il livello
precedente. Si presenta qui anche qualche semplice moltiplicazione che attraverso i calculi
viene ricondotta a un’addizione ripetuta. Le divisioni si eseguono tramite i raggruppamenti.
Contenuto della presentazione per il laboratorio
Attraverso le prime diapositive si illustra il funzionamento della rappresentazione proponendo inizialmente esercizi sul riconoscimento di alcuni valori e, viceversa, sulla composizione
mediante i sassolini. Si passa poi al funzionamento del cambio, con esercizi relativi che coinvolgono sia i conetti che le sfere che i coni grandi. Si suggerisce di servirsi della bolla per
riporre i risultati via via elaborati.
Con le diapositive successive si spiega come eseguire un’addizione con un esempio molto
semplice e poi con uno che prevede l’esecuzione di un cambio per arrivare alla forma finale
del risultato. Anche negli esercizi proposti, ad eccezione del primo, è necessario eseguire il
cambio per arrivare alla forma finale del risultato. Si suggerisce anche qui di far riporre il
risultato finale nella bolla.
Si spiega poi come eseguire una sottrazione componendo il primo numero e formando il
secondo servendosi dei sassolini del primo. Anche qui si propone un primo semplice esempio
e poi uno in cui, per poter portare a termine il secondo numero, è necessario eseguire un
cambio. Seguono gli esercizi relativi alla sottrazione.
Si spiega poi come eseguire una moltiplicazione, trasformandola in addizione ripetuta.
Si spiega infine la divisione, con la tecnica del raggruppamento. Seguono alcuni esercizi
relativi.
Una diapositiva illustra la scrittura su tavoletta con gli stili, che può essere introdotta in
qualunque momento del laboratorio. Per riprodurre le forme dei quattro sassolini occorrono
due stili di sezione diversa, da usare da soli o combinati nelle varie inclinazioni. Una volta
introdotta la scrittura su tavoletta, si può chiedere di trascrivere su questa il risultato finale
degli esercizi che seguono. Nota: le operazioni si eseguono sempre comunque con i sassolini;
è solo il risultato finale che eventualmente si può scrivere sulla tavoletta, invece che esprimere
mettendo i sassolini nella bolla.
Livello 3
Età indicativa: 10-14 anni.
Premessa sul laboratorio
Nelle attività rivolte a questa fascia di età si usa il sistema completo dei calculi sumeri, con
i valori 1, 10, 60, 600, 3600, 36000. Rappresentazioni e operazioni appaiono nella loro forma
più complessa. Il sistema sessagesimale appare ora in modo più compiuto e si richiede una
maggiore abilità di calcolo mentale.
Contenuto della presentazione per il laboratorio
Con le prime diapositive si introducono i sei valori e si propongono gruppi di sassolini di cui
si chiede di tradurre il valore.
Dopo gli esercizi sulla rappresentazione si introduce il cambio, a gruppi di 10 o di 6 a
seconda dei sassolini. Seguono diapositive in cui si mostrano mucchi di sassolini che vanno
ridotti mediante un cambio. Si suggerisce almeno inizialmente di riprodurre effettivamente
i mucchi con i sassolini, di fare le sostituzioni e di mettere la forma finale del numero dentro
la bolla.
Si spiega poi come fare un’addizione, unendo i sassolini dei due numeri da sommare e eseguendo eventualmente un cambio per arrivare alla forma finale del risultato. Si propongono
alcune addizioni da eseguire, in cui intervengono cambi su tipi diversi di calculi.
Si spiega poi come eseguire una sottrazione. Anche qui si propone un primo semplice
esempio e poi uno in cui, per poter portare a termine il secondo numero, è necessario eseguire
un cambio. Seguono gli esercizi relativi alla sottrazione. In alcuni è necessario eseguire più
cambi.
La moltiplicazione viene anche qui presentata nella forma che la riconduce a un’addizione
ripetuta. Sarà l’insegnante a valutare l’opportunità di proporre anche la semplificazione
descritta nelle note di approfondimento che sfrutta i valori speciali 6 e 1.
Si spiega infine la divisione, con la tecnica del raggruppamento. Seguono alcuni esercizi
relativi.
Fra le attività di questo livello non è previsto il lavoro di scrittura su tavoletta. L’insegnante che giudichi opportuno introdurre anche questo tipo di attività potrà appoggiarsi
alle diapositive del livello precedente. Un’alternativa è quella di introdurre la scrittura cuneiforme sumera (vedi Note storiche) e chiedere di trascrivere i risultati su carta con quei
simboli.
Livello 4
Età indicativa: dai 14 anni.
Premessa sul laboratorio
In questo livello si presenta il passaggio dal sistema dei calculi sumeri all’utilizzo del sistema
posizionale babilonese. Il sistema dei calculi viene presentato come nel livello precedente,
eliminando però alcuni degli esempio più semplici.
Si passa poi al sistema posizionale. Il passaggio dal sistema dei calculi a quest’ultimo permetterà di evidenziare i vantaggi di un sistema di rappresentazione posizionale. Le difficoltà
del sistema babilonese permetteranno poi di riflettere sulle caratteristiche che un sistema
posizionale completo deve avere. In particolare si protrà riflettere sul ruolo dello zero nel
nostro sistema di rappresentazione e sulla differenza rispetto al segno separatore introdotto
a un certo punto nel sistema babilonese.
Il fatto di usare una base diversa dal dieci permetterà, oltre che a sviluppare il calcolo
mentale, di distinguere i diversi aspetti di una rappresentazione numerica: scelta della ba-
se della numerazione, scelta del sistema di rappresentazione (additivo, posizionale, misto),
scelta dei simboli.
Molte diapositive contengono una traduzione delle scritture sessagesimali secondo convezioni più moderne. Sono scritture del tipo [2; 5; 28], in cui ogni numero indica le unità
dei crescenti ordini; in altre parole la scrittura [2; 5; 28] significa ventotto unità semplici,
cinque sessantine e due tremilaseicentine; in notazione decimale diviene 28 + 5 × 60 + 2 × 602.
L’insegnante valuterà come servirsi di tali scritture per riferirsi all’argomento della rappresentazione in una diversa base di numerazione in modo più generale, o se, eventualmente,
ignorarle.
La riflessione sulla rappresentazione posizionale viene approfondita dalla parte dedicata
alle frazioni. Questa offre interessanti spunti per complementi sulla rappresentazione con
la virgola dei numeri razionali. Si potrà ad esempio osservare quali frazioni hanno comportamenti uguali o diversi se rappresentate nel sistema decimale o in quello sessagesimale; si
potranno fare riflessioni sulla lunghezza del periodo. Più in generale risulterà evidente che il
possedere una rappresentazione con la virgola limitata o periodica dipende solo dalla scelta
della base numerica.
La parte delle operazioni eseguite nel sistema cuneiforme babilonese, se presentate a
confronto con le tecniche dei calculi, permetterà di evidenziare come il diverso modo di
rappresentare i numeri diventi in qualche modo uno strumento per eseguire in modo diverso
i conteggi. In particolare un sistema posizionale scritto come quello dei babilonesi si colloca
in qualche modo in un punto intermedio tra l’uso dei calculi di cui conservano memoria e i
nostri algoritmi di calcolo.
Contenuto della presentazione per il laboratorio
Con le prime diapositive si introducono i sei calculi. Si propongono alcuni esercizi sul riconoscimento e sulla rappresentazione di numeri per mezzo di gruppi di sassolini. Si introduce
poi il cambio, a gruppi di 10 o di 6 a seconda dei sassolini. Seguono alcuni esercizi.
Si spiega poi come poter eseguire l’addizione servendosi dei calculi. Seguono un paio
di addizioni da eseguire. Si spiega poi come eseguire una sottrazione e si propongono i
relativi esercizi. Sempre attraverso esempi illustrati e proposti si mostra come eseguire una
moltiplicazione e una divisione.
Si passa poi alla parte dedicata alla rappresentazione cuneiforme usato dagli scienziati
babilonesi. Con le prime diapositive si ricordano i passaggi attraverso la curviforme e la
cuneiforme sumera per arrivare infine al sistema di rappresentazione posizionale. Seguono
degli esercizi proposti sulla scrittura e sulla lettura di espressioni in cuneiforme.
Con le diapositive successive si accenna alle difficoltà del sistema babilonese e
all’introduzione di un segno separatore che elimini alcune ambiguità.
Segue la parte dedicata alle frazioni sessagesimali. Si mostra dapprima come si scrivono
le frazioni estendendo ai sessantesimi la scrittura posizionale. Si propone poi come rap-
presentare alcune frazioni riducendole a frazioni sessagesimali. I primi esempi si limitano al
denominatore sessanta mentre per i successivi sono necessarie anche frazioni che hanno come
denominatore le successive potenze del sessanta. L’ultimo esempio mostra una frazione che
dà luogo a una scrittura periodica.
Inizia poi la parte dedicata alle operazioni. Per prima cosa si mostra come si traducono
i cambi nella scrittura cuneiforme posizionale. Si illustra poi l’addizione e si propongono i
relativi esercizi. Si passa poi alla sottrazione, sempre seguita da esempi da eseguire.
La moltiplicazione differisce in maniera più evidente dalle precedenti operazioni rispetto al
procedimento con i calculi. Le diapositive illustrano passaggio per passaggio il procedimento
attraverso un esempio. Si propongono poi alcuni esercizi.
Si conclude con la divisione, mostrando come si riduca a una moltiplicazione calcolando il
reciproco del divisore. Seguono gli esercizi relativi.