I calculi degli antichi sumeri
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Laboratori sui sistemi di numerazione I calculi degli antichi sumeri Note a cura di R. Petti Il Giardino di Archimede. Un Museo per la Matematica I calculi degli antichi sumeri Introduzione Il nostro modo di contare è senz’altro uno dei più potenti e completi che siano mai stati sviluppati. Ma è anche uno dei più complessi e più difficili da apprendere. Altre strategie, preliminari o alternative, altri punti di vista, più primitivi ma in alcuni casi non meno efficaci, aiutano a comprendere meglio alcuni aspetti del contare, a mettere a fuoco e superare certe difficoltà, ad afferrare meglio le potenzialità del nostro modo di contare, oltre che a scoprirne la sua storia affascinante. In questa prospettiva sono nati i laboratori de Il Giardino di Archimede dedicati ai sistemi di numerazione, pensati per le scuole di ogni ordine e grado e dedicati ad alcuni di questi antichi modi di contare. Scopo di questo opuscolo, dedicato al sistema di numerazione degli antichi Sumeri, è fornire agli insegnanti che desiderino riproporre le attività nelle proprie classi alcune informazioni teoriche necessarie per impadronirsi dell’argomento e una serie di suggerimenti pratici per lo svolgimento dei laboratori stessi. Indice Note storiche La tecnica dei calculi sumeri Rappresentazione e cambi . . Addizioni . . . . . . . . . . . Sottrazioni . . . . . . . . . . . Moltiplicazioni . . . . . . . . Divisioni . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il sistema posizionale babilonese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 8 9 Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori 2 12 Note storiche Un antichissimo strumento utilizzato un po’ ovunque per aiutarsi nei conteggi è costituito da semplici sassolini. Non a caso la parola “calcolo” deriva dal latino calculus, che significa appunto sassolino. Per contare con i sassolini le pecore di un gregge che esce dall’ovile basterà prendere un piccolo sasso per ogni pecora. Il mucchietto che viene a formarsi esprime la quantità delle pecore e serve anche a conservare il risultato del conteggio cosı̀ da poter, ad esempio, controllare che la sera tutte le pecore siano tornate. Il contare con i sassi, anche nella forma più semplice, mostra alcuni aspetti propri del nostro modo usuale e più evoluto di contare. In entrambi i casi si ha un insieme che serve da riferimento: l’insieme dei sassi nel primo caso, la sequenza astratta dei numeri “uno, due, tre, ...” nel secondo; il conteggio avviene con stesse modalità indipendentemente dalla natura di ciò che si conta; nel processo del conteggio si istituisce una corrispondenza biunivoca fra gli oggetti da contare e l’insieme di riferimento; si arriva all’espressione finale della quantità in coincidenza della fine di questo processo. La pratica rudimentale di contare ricorrendo ai sassolini subisce un primo notevole raffinamento presso alcuni popoli del Medio Oriente dove, a un certo punto, si iniziano a confezionare in argilla piccoli oggetti da usare al posto dei sassolini raccolti in natura. Diversamente dalle pietruzze indifferenziate, ai sassolini in argilla fatti dall’uomo si potevano far assumere forme prestabilite. Si trovano cosı̀, presso i vari popoli, coni o bastoncini, biglie, dischi, coni più grandi, sfere ed altro. La possibilità di distinguere la forma permette di compiere un importante passo avanti: un sassolino non indica necessariamente una unità semplice, ma può rappresentare, a seconda della forma, unità di ordini diversi, o in altre parole, può assumere valori diversi. Gli Assiri e i Babilonesi diedero successivamente a questi piccoli oggetti per numerare il nome di abnu, cioè “pietra”. I Sumeri li avevano designati col nome di imna, “pietra d’argilla”. Per questo, e per la coincidenza con l’etimologia latina, li chiameremo calculi. Nelle regioni della Mesopotamia, dell’Iran, della Siria e zone limitrofe alcuni di questi piccoli oggetti di grandezze e forme differenziate, a partire dalla seconda metà del IV millennio a.C., risultano racchiusi all’interno di contenitori ovoidali cavi sempre in argilla, detti bolle. Questi oggetti rappresentano il primo mezzo di registrazione concreta di diverse operazioni di contabilità, nelle società allora in piena espansione dei Sumeri e degli Elamiti. Servivano a quantificare ad esempio l’ammontare di un debito o un pagamento effettuato o la registrazione di una proprietà. La chiusura della bolla impediva una accidentale dispersione dei sassolini stessi, garantendo la conservazione della memoria del conteggio, e l’impressione sull’esterno di un sigillo conferiva al tutto un valore giuridico. Il sistema di registrazione di una quantità tramite i sassolini inseriti nella bolla aveva il grande svantaggio che per leggere il numero ogni volta la bolla doveva essere rotta ed eventualmente poi ricomposta e sigillata di nuovo. Una ricostruzione delle vicende che portano da qui alla nascita di una vera e propria forma di scrittura è basata sulle testimonianze archeologiche, particolarmente ricche e significative ad esempio nel caso della città elamita di Susa, nell’attuale Iran. A partire dal 3300 a.C., sulla parte esterna delle bolle qui rinvenute, oltre al sigillo vengono impressi dei simboli corrispondenti ai diversi calculi racchiusi all’interno, come una sorta di riassunto o di simbolizzazione grafica del contenuto di ciascun documento contabile. Le bolle però a questo punto sono divenute inutili e poco dopo vengono rimpiazzate da pani d’argilla pieni di forma tondeggiante o allungata che si fa poi sempre più schiacciata e regolare: le prime tavolette. Su queste venivano impresse le stesse informazioni che comparivano sull’esterno delle ultime bolle, ossia i simboli dei calculi, all’inizio servendosi degli stessi calculi, poi riproducendo le loro forme con degli appositi stili. La prima forma di scrittura simbolica di un numero appare cosı̀ essere il “disegno” dell’oggetto materiale che lo rappresenta, discendente diretto dell’insieme di sassolini. I vari popoli utilizzavano calculi, e di conseguenza segni, con forme e valori diversi, anche se in parte ricorrenti. Alla fine del IV millennio ad esempio gli Elamiti disponevano di un sistema contabile basato su unità di diverso ordine a forma di bastoncino, di biglia, di disco, di piccolo cono, di grande cono perforato. Questi calculi e i loro segni corrispondevano rispettivamente a 1, 10, 100, 300 e 3000 unità semplici. I Sumeri avevano invece come unità di conto il piccolo cono, la biglia, il grande cono, il grande cono perforato, la sfera e la sfera perforata. I valori relativi corrispondevano rispettivamente a 1, 10, 60 (la grande unità), 600, 3600 e 36000. Nella forma di scrittura sumerica arcaica, o curviforme, i segni venivano impressi sulle tavolette usando due stili di sezione circolare e diametro diverso (circa 4 e 10 millimetri) che usati perpendicolarmente o inclinati permettevano di riprodurre tutte le forme dei calculi ; con la parte appuntita si tracciavano poi gli altri segni pittografici. Nel periodo più antico, attorno al 3200 a. C., le forme avevano generalmente il seguente aspetto e orientazione: Nel 2700-2600 a.C. circa lo stilo cambia forma: l’estremità è tagliata in modo da avere un tratto rettilineo con cui si imprimono segni a forma di cuneo. Il cambimento dà origine alla scrittura cuneiforme, con la graduale stilizzazione dei segni. I simboli dei numeri assumono allora un aspetto differente, e si aggiunge un simbolo con valore pari a 36000×6, ossia 216000: Vari secoli dopo, attorno al XIX secolo a. C., a partire da questa antica numerazione sumera, gli scienziati babilonesi creano un sistema di scrittura basato sui soli simboli e . Il primo simbolo, oltre al valore 1, poteva rappresentare anche il 60. L’1 e il 60 fin dalle origini presentano la stessa forma, ma anticamente si distinguono per la dimensione. Ora il simbolo diviene unico e per distinguere i valori ci si basa sul contesto o sulla posizione. Il numero 62, ad esempio, si rappresenta con la scrittura , in cui il primo cuneo indica una sessantina, ossia una unità di ordine superiore e gli altri due cunei le unità semplici. In modo analogo si possono aggiungere gruppi di segni da riferire a sessantine di sessantine e cosı̀ via per potenze del 60 sempre crescenti. Cosı̀ la scrittura si può leggere come un 3600, cioè 60×60, più 12 sessantine, più ventuno unità semplici, cioè 3600+12×60+21=4341. La tecnica dei calculi sumeri La comparsa delle prime tavolette e delle prime forme di scrittura coincide con la scomparsa delle bolle, ma non coincide con quella dei calculi. Questi continuano a ritrovarsi, sciolti, nei vari siti archeologici insieme alle tavolette contabili scritte con cifre arcaiche, fino alla fine del III millennio quando le stesse cifre arcaiche si fanno sempre più rare per essere definitivamente soppiantate dalle cuneiformi. La convivenza dei calculi con le cifre arcaiche indica con ogni verosimiglianza che, sebbene non più usati per la memorizzazione dei valori, essi continuavano a svolgere il proprio ruolo nell’esecuzione dei conti. Rappresentazione e cambi Nel sistema completo si utilizzano calculi di sei forme diverse: il piccolo cono, la sferetta, il grande cono, il grande cono perforato, la sfera e la sfera perforata. I valori di questi calculi sono crescenti se- condo una scala che procede per 10 e per 6 alternativamente. Ci vogliono cioè 10 sassolini del primo tipo per fare un sassolino del secondo tipo, 6 sassolini del secondo tipo per fare un sassolino del terzo, 10 sassolini del terzo per un sassolino del quarto, 6 del quarto per uno del quinto, 10 del quinto per uno del sesto. −→ −→ −→ −→ −→ In altre parole i sassolini e i loro segni hanno valori corrispondenti a 1, 10, 60, 600, 3600 e 36000. I valori dei calculi, o dei loro segni, si sommano. Cosı̀ , cioè tre conetti presi insieme, rappresentano il numero tre. , rappresenta invece complessivamente il numero ventuno, formato da due sassolini da dieci e un sassolino da uno. corrisponde al nostro 3683, dato da 1 × 3600 + 1 × 60 + 2 × 10 + 3 × 1. , rappreDodici conetti, sentano il numero dodici, ma lo stesso dodici si rappresenta meglio sostituendo dieci conetti piccoli con una sola sferetta piccola, ossia in totale con una sferetta e due conetti: . Si è eseguito in questo caso un “cambio”, ossia la sostituzione di un gruppo di calculi con un solo calculo di forma diversa e di valore equivalente, secondo la scala ricordata sopra. Attraverso i cambi si riduce il numero di calculi impiegati per rappresentare un dato valore, si rende la sua rappresentazione più compatta e signi- ficativa anche a colpo d’occhio. Nel verso opposto si ha la “spicciolatura” di un sassolino in più sassolini di valore inferiore. I cambi costituiscono la base fondamentale nell’impiego dei calculi e intervengono nelle varie tecniche operatorie. Nel caso dei calculi sumeri si deve ricordare l’alternanza dei raggruppamenti in insiemi ora di 10 ora di 6. Addizioni Il sistema di rappresentazione dei valori attraverso i calculi, o i loro segni, è un sistema additivo. Come in ogni sistema di rappresentazione additivo l’operazione di addizione risulta particolarmente semplice. Per addizionare due o più valori basterà infatti mettere insieme i simboli di ciascuno degli addendi. Nel caso dei calculi, se dobbiamo addizionare due numeri, basterà unire i due gruppi di sassolini che rappresentano i due numeri. L’addizione è compiuta in questo stesso gesto dell’unione dei sassolini. I sassolini messi insieme mi indicheranno complessivamente il valore risultato dall’addizione. Ad esempio volendo sommare con , si otterrà . L’addizione dunque in un certo senso “si fa da sé”, grazie al modo di rappresentazione. Perché il risultato compaia nella forma migliore, ossia impiegando meno calculi possibile, sarà a volte necessario aggiustare la scrittura sostituendo gruppi di sassolini con un solo sassolino di valore superiore, ossia compiendo un cambio. Nel sommare ad esempio con si otterrebbe in prima battuta . Sostituendo poi dieci coni con un solo cono forato, il risultato si riscrive come . Sottrazioni La sottrazione fra due numeri si può eseguire nel seguente modo. Si costruisce un primo mucchio di sassolini che rappresenta il numero di partenza, ossia il minuendo. Si forma il numero da sottrarre, ossia il sottraendo, in un secondo mucchio di sassolini attingendo, per fare ciò, ai sassolini del primo mucchio. Quando il secondo mucchio è completato, i sassolini rimasti nel mucchietto di partenza danno il risultato. Se ad esempio vogliamo eseguire meno , si prepara il primo mucchietto con una pallina e cinque conetti, poi si fa un secondo mucchietto con quattro conetti, prendendoli dal primo mucchietto. Si va ora a vedere quali sassolini sono rimasti nel primo mucchietto; questi danno il risultato: . Può capitare che nel mucchietto di partenza non vi siano tutti i sassolini necessari ad esprimere il secondo. In questo caso occorrerà “spicciolare” un sassolino di ordine superiore e procedere come sopra. Ad esempio, se vogliamo sottrarre da , prepariamo il mucchio di sei coni grandi. Da questo, per formare il sottraendo, prendiamo quattro coni grandi. A questo punto abbiamo allora che nel primo mucchio sono rimasti due coni grandi: , mentre nel secon- do abbiamo . Per completare il sottraendo abbiamo bisogno ancora di aggiungere una pallina al secondo mucchio. Questa però non è immediatamente disponibile nel primo mucchio. Dobbiamo allora sostituire uno dei due coni grandi del primo mucchio con le sei palline che gli equivalgono. Abbiamo ora nel primo mucchio e nel secondo . Spostiamo una pallina dal primo al secondo mucchio ed avremo completato il sottraendo. I sassolini rimasti nel primo mucchio indicano il risultato: . to quando i numeri in gioco sono piuttosto grandi, si possono impiegare vari accorgimenti. Facendo riferimento alle forme dei sumeri, osserviamo ad esempio che per moltiplicare un cono grande per dieci basta sostituirlo con un cono forato, per moltiplicarlo per sessanta basta sostituirlo con una sfera grande, per moltiplicarlo per seicento, cioè 10×6×10, basta sostituirlo con una sfera grande forata. In altre parole alcuni dei sassolini possono essere moltiplicati immediatamente per 10, e anche per 6×10, 10×6×10, 6×10×6×10, altri per 6 e anche per 10×6, 6×10×6: Moltiplicazioni Un modo concettualmente molto semplice di eseguire una moltiplicazione è quello di ridurla ad addizione ripetuta. Si può allora iniziare rappresentando il numero da moltiplicare e poi ripetendo ogni sassolino di questo mucchietto tante volte quante il numero per cui si vuole moltiplicare; alla fine si compiono gli eventuali cambi. Ad esempio, se vogliamo moltiplicare per quattro costruiremo un secondo mucchietto in cui ogni sassolino del primo è ripetuto quattro volte, metteremo cioè quattro coni grandi, quattro palline e ancora quattro palline: . Avremo cosı̀ ottenuto il risultato. Molto spesso sarà necessario operare dei cambi per aggiustare la forma finale del risultato. Se ad esempio devo moltiplicare per 2 ottengo ; sostituendo sei sferette con un solo cono grande, il risultato è dato da . Per sveltire il procedimento, soprattut- −→ ×10 −→ ×6 −→ ×10 −→ ×6 −→ ×10 Quando dobbiamo moltiplicare un dato numero per un altro, converrà allora osservare come questo secondo numero si può comporre in somme di 6, 10 o loro prodotti. La scomposizione più utile dipenderà dai calculi del numero di partenza che sto moltiplicando. Ad esempio, se voglio moltiplicare per 12 , due coni grandi e una sfera piccola, posso procedere cosı̀. Iniziamo dai coni grandi. Come già detto, questi si moltipli−→ cano facilmente per 10: . Dunque ×10 mi conviene spezzare 12 in 10+2 ed eseguire la moltiplicazione in due parti: moltiplico i coni prima per 10, poi per 2. Per moltiplicare per 10 prendo un cono forato per ogni cono di partenza; per moltiplicare per due prendo due coni uguali a quelli di partenza per ognuno dei coni di partenza. −→ ×10 −→ ×2 Mettendo insieme i due risultati parziali ottengo il prodotto dei due coni per 12: −→ ×12 Le sfere piccole invece si moltiplicano facilmente per 6: −→ . Dunque mi conviene ×6 spezzare 12 in 6+6. Per ogni sfera di partenza prendo allora un cono grande (ed ho moltiplicato per sei) e ancora un cono grande (ed ho moltiplicato di nuovo per sei): nel caso della tavoletta con la distribuzione delle misure d’orzo. Vediamo con un esempio più semplice come procedere concretamente. Vogliamo dividere in tre parti. Il procedimento prescrive di formare tante file di tre sassolini uguali, iniziando da quelli di valore più alto: −→ ×12 Il risultato si legge mettendo insieme tutti i calculi, eventualmente dopo aver fatto i cambi. Nel nostro esempio otteniamo due coni forati e sei coni grandi. −→ ×12 Andando a tradurre i valori abbiamo che 130 per 12 fa 2×600+6×60, ossia 1560. Divisioni La divisione è una operazione di grande importanza nella vita sociale e ricorre spesso in antichissime tavolette. In una di queste (2650 a. C. circa) compare ad esempio la divisione di 1152000 misure di orzo in 7 parti. Utilizzando i calculi la divisione si può effettuare suddividendo il mucchio di calculi che rappresenta il numero di partenza in tanti mucchi uguali, ossia riproducendo quell’operazione di distribuzione delle risorse che rappresenta una delle motivazioni primarie della divisione. Finché il divisore è abbastanza piccolo, dell’ordine della decina, la divisione si esegue piuttosto facilmente anche con dividendi molto grandi, come Otteniamo due file complete; avanza poi un cono grande. Prendiamo un rappresentante per ogni fila completa e lo mettiamo da una parte: è un primo pezzo del risultato: −→ −→ I calculi rimasti nelle file complete non entrano più nel procedimento e si possono eliminare. Per proseguire la divisione si prendono invece i calculi avanzati dalla disposizione in file, cioè tutti quelli con cui non è stato possibile completare una fila, e si cambiano con opportuni calculi di valore inferiore. Nel nostro caso sostituiamo il co−→ no grande avanzato con sei palline: . Se nel mucchio di partenza vi erano alcune palline le uniamo a queste ottenute dallo spicciolamento. Nel nostro caso abbiamo in tutto otto palline. Su queste ripetiamo il procedimento della disposizione in file da tre: Di nuovo prendiamo un rappresentante per ogni fila completa e lo aggiungiamo al risultato parziale, scartando gli altri sassolini. −→ −→ Proseguiamo ora la divisione prendendo i calculi avanzati dalla disposizione in file, ossia le due palline che non formavano una fila completa. Le cambiamo in sassolini di valore inferiore, cioè sostituiamo ciascuna pallina con dieci coni piccoli. Nel mucchio di partenza non c’erano altri coni piccoli e dunque abbiamo ora venti coni piccoli da disporre in file di tre: Dalle file complete prendiamo un rappresentante e lo uniamo al risultato. −→ −→ −→ −→ −→ −→ Essendo arrivati al sassolino di valore minimo, la divisione si ferma. Il mucchietto di calculi composto dai risultati parziali dà il quoziente. Nel nostro caso questo è formato da due coni grandi, due palline e sei coni piccoli: . I due coni piccoli avanzati all’ultimo passo mi danno il resto. Traducendo i valori, abbiamo diviso 440 per tre, ottenendo 146 con il resto di 2. Il sistema posizionale babilonese Scrittura e ambiguità Il sistema sessagesimale posizionale sviluppato dagli scienziati babilonesi si serve, coe me già accennato, di soli due simboli, . All’interno di ciascun ordine di grandezza i valori da 1 a 59 vengono costruiti in modo additivo. Cosı̀ i numeri 3, 13 e , 32 si scrivono rispettivamente come , Simboli uguali ripetuti non venivano disposti in fila, ma raggruppati in modo da facilitare la lettura. Cosı̀, i numeri dal 4 al 9 si scrivevano nel seguente modo: I numeri 40 e 50 invece compaiono invece rispettivamente come e . Gli stessi simboli si usano per indicare le unità degli ordini superiori: sessantine, tremilaseicentine, e cosı̀ via per le altre potenze del sessanta. Questo sistema di scrittura permette facilmente di scrivere numeri grandi a piacere e, poiché con lo stesso principio posizionale si scrivevano anche le frazioni, anche numeri piccoli a piacere. A destra delle unità si scrivono infatti i sessantesimi, poi i tremilaseicentesimi, e cosı̀ via per le altre potenze negative del sessanta. Cosı̀ 12 , cioè 30 , si 60 scrive , mentre la frazione cor30 1 7 risponde a 60 + 602 , cioè 8 . Solitamente è il contesto che indica se la rappresentazione si riferisce a numeri interi o a frazioni. Laddove il contesto non aiuta rimangono possibili ambiguità nell’interpretazione delle scritture, anche solo limitandosi ai numeri interi, dovute anche alla mancanza di uno zero e al fatto che all’interno di ciascun ordine di grandezza i cinquantanove simboli non sono distinti ma sono costruiti additivamente per ripetizione di e . La scrittura può essere ad esempio interpretata come il numero 23, cioè 10+10+1+1+1, ma anche come 613, cioè 10×60+10+3, oppure come 1203, cioè 20×60+3, oppure come 36721, cioè 10×3600+12×60+1, e cosı̀ via. Piccole differenze di spaziatura permettono a volte di riconoscere l’interpretazione corretta. A un certo punto, presumibilmente attorno alla fine del IV secolo a. C., compare, anche se non sistematicamente, l’uso di un segno spaziatore speciale con cui si indica l’assenza di unità di un certo ordine sessagesimale. Questo segno si presenta come due cunei vicini e inclinati, , con piccole varianti grafiche. Il numero 25 e il numero 1205 avrebbero allora rappresentazioni ben distinguibili, rispettivamente e . Le operazioni Con il sistema posizionale babilonese le operazioni si possono eseguire con tecniche simili a quelle del nostro sistema di rappresentazione. Il fatto che ogni simbolo sia costruito additivamente fa sı̀ che la scrittura stessa rappresenti anche in qualche caso un aiuto al calcolo. Nell’addizione ad esempio, dopo aver posizionato gruppi di simboli che si riferiscono allo stesso ordine di grandezza in una stessa colonna, il risultato sarà dato dal totale dei simboli opportunamente riordinati in ciascuna colonna, eventualmente operando dei cambi che riducano il numero di simboli ripetuti troppe volte: dieci danno un e sei danno un nella colonna dell’ordine subito superiore. Nella sottrazione il risultato è dato dai simboli del primo numero che restano dopo aver eliminato tutti i simboli che compaiono nel secondo, ovviamente rispettando gli ordini di grandezza. Per completare l’eliminazione può essere necessario sostituire qualche simbolo con gli opportuni simboli di ordine inferiore. La moltiplcazione si può eseguire, come nel nostro procedimento, moltiplicando separatamente i valori dei vari ordini di grandezza e poi sommando il tutto. La tavola pitagorica per la moltiplicazione in base sessanta comprenderebbe prodotti da 1 × 1 a 59 × 59. In realtà il fatto che ognuno di questi valori sia costruito come somme di unità e decine permette di riferirsi soltanto ad alcuni prodotti e di costruire gli altri applicando ancora la proprietà distributiva. Cosı̀ sarà utile memorizzare che per fa e riferirsi a questo valore per il calcolo di prodotti di valori composti. La divisione si può ricondurre alla moltiplicazione calcolando il reciproco del di- visore. A questo scopo chi doveva compiere calcoli aveva a disposizione tavole dei reciproci. Indicazioni sullo svolgimento dei laboratori Altri materiali: sassolini di terracotta che riproducono i calculi sumeri, presentazioni, libro “Uri, il piccolo sumero”. Le presentazioni sono contenute nel CD-rom allegato, nella cartella “Sumeri”. Si tratta di diapositive in formato PowerPoint da proiettare durante lo svolgimento delle attività. Contengono immagini e brevi commenti da usare per le spiegazioni e per gli esercizi da proporre. Le presentazioni sono differenziate in diversi livelli di complessità crescente. Il livello 0, pre-calcolo, è pensato per i piccolissimi, corrispondentemente alla sezione dei cinque anni della Scuola dell’Infanzia. I livelli 1 e 2 sono pensati per il primo e il secondo ciclo della Scuola Primaria. Il livello 3 è pensato per la Secondaria Inferiore e il 4 per la Secondaria Superiore. I riferimenti alle età costituiscono però un’indicazione di massima: ogni insegnante potrà valutare se appoggiarsi al materiale di un altro livello, a seconda della classe, o se limitarsi ad alcune parti degli argomenti svolti. Alcune presentazioni comprendono anche schede di lavoro da stampare e utilizzare in sede di laboratorio. Per le attività di calcolo ci si può servire degli appositi sassolini di terracotta in dotazione che riproducono i calculi sumeri, secondo i valori 1, 10, 60, 600, 3600, 36000. Nelle attività previste al livello 0 e livello 1 ci si limita all’uso di due soli sassolini: il cono e la pallina. Invece di usare il formato piccolo, si consiglia in questo caso di usare cono e sfera grandi, più maneggevoli per i bambini di questa età. Solo quando si usa anche il 60 sarà necessario usare i piccoli per l’1 e il 10. La storia “Uri, il piccolo sumero”, i cui personaggi compaiono nelle presentazioni, opportunamente rivista e commentata a seconda dell’età dei partecipanti, può servire da filo conduttore per le attività dei più piccoli (Infanzia e inizio Primaria). Livello 0 Età indicativa: 5 anni. Premessa sul laboratorio Le attività del laboratorio contribuiscono a lavorare su molteplici aspetti del pre-calcolo. L’aspetto fondamentale è quello della determinazione e della rappresentazione della quantità di un certo insieme di oggetti. Il percorso che porta a una rappresentazione simbolica e astratta viene compiuto in modo graduale. Un altro aspetto importante è quello dell’introduzione della scrittura. Tutta la presentazione e le attività suggerite fanno riferimento alla storia di Uri che ripropone in forma narrativa alcuni passaggi dello sviluppo storico del sistema sumero: in un’epoca in cui “ancora non si sapeva bene come contare”, Uri si costruisce tante piccole dita di argilla, per non dover contare con le mani e ogni volta che la mamma gli chiede di andare a procurarsi un certo numero di oggetti, lui mette i sassolini nella sua bolla. Quando i sassolini sono tanti nella bolla non entrano più e diventa sempre più difficile tenerli insieme senza perderli. Ma un giorno, in sogno, gli appare il genio delle dita, U (il nome sumero della decina). Anche la scrittura su tavoletta può essere inclusa nella storia: a un certo punto il nostro bambino pensa a come fare per non doversi portare dietro i sassolini, rischiando comunque di perderne qualcuno o dovendo ogni volta chiudere e poi rompere la bolla, e cosı̀ inventa la tavoletta. La scrittura diviene il mezzo per non affidarsi più alla memoria e per registrare permanentemente quello che si desidera ricordare. Il conteggio attraverso le dita delle mani viene utilizzato ripetutamente. Sarà un punto di partenza e di riferimento per quei bambini che già ne hanno una completa padronanza, sarà invece un obiettivo da rafforzare per gli altri. Dagli oggetti concreti e dalle dita si compie un primo passo verso l’astrazione introducendo i sassolini a forma di cono, oggetti indistinti e simbolici con cui si può contare. A differenza delle dita, per forza di cose limitate a dieci, i sassolini si possono ripetere a piacere. In altre parole si possono mettere in corrispondenza biunivoca con insiemi di oggetti anche numerosi. Si osservi che anche quando si lavora con quantità che vanno oltre il dieci non si pretende che i bambini le padroneggino in modo completo né che sappiano associarvi un nome; si procede un sassolino alla volta, come Uri, trasformando dita (o oggetti) in sassolini. L’uso della ciotolina di terracotta (in riferimento alla bolla sumera) dove mettere i risultati serve ad evidenziare che il numero finale che esprime una quantità è il risultato di un procedimento Un punto nodale e delicato è l’introduzione della decina. Qui un solo oggetto simbolico viene a rappresentare tanti oggetti. La difficoltà di questo passaggio si può affrontare aiutandosi con i richiami ai “geni delle dita” della storia di Uri che i nuovi oggetti permettono di fare. Il simbolo della decina è allora rappresentazione di una testa, e là dove c’è una testa ci sono dieci dita (ogni bambino potrà mostrarlo); ma se nei bambini testa e dita possono vedersi contemporaneamente, nei geni delle dita o si vede la testa o si vedono le dieci dita, mai contemporaneamente. Cosı̀ una pallina si potrà far apparire al posto di dieci conetti, e viceversa. Le attività con la plastilina propongono un modo per avvicinarsi alla scrittura, ripercorrendo quello che è stato l’effettivo sviluppo storico. Inizialmente dunque si tratterà di imprimere impronte con i sassolini e solo successivamente di riprodurre la loro forma con gli stili. A discrezione dell’insegnante questo laboratorio può essere semplificato limitando le attività al solo uso dei sassolini conici, senza introdurre la decina, e proseguendo con la scrittura su tavoletta (che in questo caso si limitarà ad esempi che non comprendono l’impronta circolare). Contenuto della presentazione per il laboratorio Con le prime diapositive si introduce la storia di Uri. I primo aspetto su cui lavorare è la rappresentazione dei numeri con le dita delle mani. Ci si limita inizialmente ad una mano sola. Contare con le dita significa associare ad ogni mucca un dito e poi esprimere con il gesto della mano il risultato di questo procedimento. Pian piano al gesto verrà associato il nome del numero corrispondente. La diapositiva che segue si intitola “La nostra scheda per contare”. Si suggerisce a questo punto di far iniziare ad ogni bambino la costruizione di una scheda che servirà di appoggio per le attività successive. Questa scheda alla fine conterrà le immagini delle due mani, con le dieci dita aperte. Le mani possono essere disegnate da ogni bambino seguendo il contorno delle proprie mani. In alternativa si può fornire una stampa già pronta lasciando verificare con la sovrapposizione della mano vera che il numero delle dita è sempre lo stesso. Se si preferisce si può rimandare la costruzione dell’intera scheda a quando si è introdotta anche l’altra mano. Con la diapositiva che segue si chiede ancora di contare con la mano. Gli oggetti da contare questa volta sono sei. Una mano dunque non basta più e si dovrà introdurre anche l’altra mano. Si prova poi a contare con le due mani da uno a dieci, aggiungendo un dito alla volta. Si prova poi a esprimere con le mani il numero degli oggetti che erano stati mostrati. Si completa poi la scheda con il disegno delle due mani o, se non si era iniziata, si fa a questo punto. Si introduce ora il problema della labilità della registrazione per mezzo delle dita e l’idea di sostituire le dita con dei piccoli oggetti creati apposta per contare: le dita finte di Uri. Si propone poi ai bambini di contare sostituendo ogni dito vero con un “dito finto”, cioè un conetto di terracotta. Questo può essere fatto aiutandosi con la scheda delle mani: ogni conetto andrà sopra un dito della mano disegnata. Si lavora poi mettendo i conetti richiesti dentro la bolla, direttamente o se necessario passando ancora attraverso la scheda. La bolla sottolinea la compiutezza del risultato come punto di arrivo di un processo. L’ultimo esempio proposto mostra come con le dita finte si possono rappresentare anche numeri che richiedono più dita di quelle che un solo bambino ha a disposizione. Si affronta poi il problema della ingestibilità dei conetti quando questi divengono troppo numerosi. Si introduce allora il nuovo sassolino, la sferetta, che sostituisce dieci conetti. Le diapositive che seguono mostrano alcune quantità con le dita chiedendo che i bambini le trasformino in sassolini da mettere dentro la bolla. Un modo per aiutare questo passaggio, come suggerito dalle diapositive, è raccontare che ogni volta che vi sono dieci dita, cioè due mani tutte aperte, compare un genio delle dieci dita; le dita scompaiono e si vede solo la sua testa; nella bolla si mettono solo le teste dei geni, non le dita. Ancor apiù efficace sarà far riprodurre ad alcuni bambini (due, tre o quattro, a seconda di quanti sono necessari) i numeri mostrati con le dita; i bambini che hanno tutte le dita aperte si trasformeranno in geni delle dita. Altre diapositive propongono poi il lavoro inverso: si mostrano dei sassolini e si chiede ai bambini di rappresentarli con le dita. Se c’è una sferetta si fanno vedere tutte le dita del genio. Si passa poi ad affrontare la scrittura su tavoletta. La parte finale delle diapositive riguarda la scrittura su tavoletta. Ogni bambino o ogni gruppo realizzerà la sua tavoletta. Rimodellando la plastilina si potranno via via eseguire diverse scritture. Si inizia dalla forma di scrittura più primitiva, in cui le forme si “stampano” direttamente con i sassolini. I numeri proposti si rappresenteranno prima con i sassolini; l’intero gruppo di sassolini si metterà sopra la tavoletta di plastina; premendo si realizzeranno le impronte. Il cono andrà adagiato in modo che lasci un’impronta a punta, ben distinguibile da quella della sfera. Oltre cha a scrivere si imparerà a leggere, cioè a riconoscere numeri impressi su tavolette. Si mostra poi come impronte molto simili si possono ottenere scrivendo con dei bastoncini. Seguono semplici esercizi di scrittura su tavoletta: mucchi, sacchi e bambini sono proposti nelle diapositive; se ne potranno aggiungere altri eventualmente inventando un segno pittografico per indicare di quali oggetti si sta esprimendo la quantità. Livello 1 Età indicativa: 6-7 anni. Premessa sul laboratorio Nelle attività di questo livello si utilizza il sistema dei calculi sumeri in una forma incompleta, limitandosi ai valori 1, 10. Un nodo fondamentale è quello dell’introduzione della decina. I sassolini danno modo di realizzare concretamente i raggruppamenti per dieci e i cambi, un’operazione fondamentale per comprendere la rappresentazione dei numeri. Diventano anche un utilissimo strumento per l’esecuzione dei calcoli. Le addizioni mostrano la loro natura nell’unire in effetti in sassolini e le sottrazioni nel toglierli. Operando con i sassolini si tocca con mano anche il meccanismo del riporto e del prestito. Contenuto della presentazione per il laboratorio Con le prime diapositive si spiega come contare fino a dieci ripetendo il sassolino conico e come far intervenire il sassolino sferico per rappresentare i numeri da dieci in poi. Si propongono poi esercizi in cui si mostrano gruppi di sassolini e si chiede di che numero si tratta. Seguono esercizi in cui viceversa si chiede di realizzare alcuni numeri con conetti e sferette. Si può a questo punto spiegare che cosa era la bolla. La bolla servirà nel seguito del laboratorio come contenitore per le risposte agli esercizi proposti. Con le diapositive successive si spiega il “cambio”: un gruppo di dieci conetti si sostituisce con una sola sferetta. Seguono alcuni esercizi in cui si mostra un gruppo di sassolini e si chiede di mettere nella bolla lo stesso valore impiegando meno sassolini possibile; ad esempio invece dei tredici conetti mostrati dalla diapositiva, si mettono nella bolla tre conetti e una sferetta, per un valore pari ancora a tredici. Si spiega poi come eseguire un’addizione, unendo e poi mettendo nella bolla i sassolini dei due numeri da sommare. Il primo esempio, molto semplice, non prevede il cambio. Nel secondo esempio invece i conetti complessivi sono più di dieci e dunque, prima di mettere il risultato nella bolla, occorre eseguire un cambio, sostituendo dieci conetti con una sfera. Si propongono alcune addizioni, le prime senza cambio, le successive con cambio. Segue la spiegazione di come eseguire la sottrazione, componendo il primo numero e formando il secondo servendosi dei sassolini del primo; il risultato va dentro la bolla. La sottrazione illustrata non richiede il cambio, e cosı̀ gli esercizi che seguono. Segue la spiegazione di una sottrazione che richiede un cambio per essere portata a termine, e di seguito i relativi esercizi. Le ultime diapositive illustrano come passare alla scrittura su tavoletta. Si consiglia anche qui di procedere in due fasi, seguendo quello che è stato lo sviluppo storico. Nella prima fase la scrittura sulla plastilina si fa premendo direttamente con i calculi sulla plastilina, in modo che lascino la loro forma riconoscibile (il cono dovrà essere sdraiato). Nella seconda fase si scrive servendosi degli stili. La scrittura su tavoletta può essere introdotta nel momento del laboratorio che si ritiene più opportuno, anticipandola ad esempio all’addizione o alla sottrazione. Una volta introdotta si potrà chiedere di fornire le risposte ad esercizi già fatti servendosi della tavoletta invece che dei sassolini. Si potranno ad esempio riproporre gli esercizi sulla scrittura di numeri, oppure, se si è introdotta la scrittura su tavoletta prima dell’addizione o della sottrazione, si potrà chidere di scrivere i risultati dei relativi esercizi sulla tavoletta, invece che riporre il gruppo finale di sassolini nella bolla. Livello 2 Età indicativa: 8-10 anni. Premessa sul laboratorio Nelle attività rivolte a questa fascia di età si usa il sistema dei calculi sumeri limitandosi ai valori 1, 10, 60 e 600, cioè il cono e la sfera piccoli, il cono grande e il cono forato. Questo dà modo già di lavorare con basi diverse dal dieci. L’uso della sessantina e della seicentina e la scomposizione delle quantità utilizzando questi valori contribuisce all’allenamento del calcolo mentale. Sui cambi e sull’addizione e sottrazione vale quanto detto per il livello precedente. Si presenta qui anche qualche semplice moltiplicazione che attraverso i calculi viene ricondotta a un’addizione ripetuta. Le divisioni si eseguono tramite i raggruppamenti. Contenuto della presentazione per il laboratorio Attraverso le prime diapositive si illustra il funzionamento della rappresentazione proponendo inizialmente esercizi sul riconoscimento di alcuni valori e, viceversa, sulla composizione mediante i sassolini. Si passa poi al funzionamento del cambio, con esercizi relativi che coinvolgono sia i conetti che le sfere che i coni grandi. Si suggerisce di servirsi della bolla per riporre i risultati via via elaborati. Con le diapositive successive si spiega come eseguire un’addizione con un esempio molto semplice e poi con uno che prevede l’esecuzione di un cambio per arrivare alla forma finale del risultato. Anche negli esercizi proposti, ad eccezione del primo, è necessario eseguire il cambio per arrivare alla forma finale del risultato. Si suggerisce anche qui di far riporre il risultato finale nella bolla. Si spiega poi come eseguire una sottrazione componendo il primo numero e formando il secondo servendosi dei sassolini del primo. Anche qui si propone un primo semplice esempio e poi uno in cui, per poter portare a termine il secondo numero, è necessario eseguire un cambio. Seguono gli esercizi relativi alla sottrazione. Si spiega poi come eseguire una moltiplicazione, trasformandola in addizione ripetuta. Si spiega infine la divisione, con la tecnica del raggruppamento. Seguono alcuni esercizi relativi. Una diapositiva illustra la scrittura su tavoletta con gli stili, che può essere introdotta in qualunque momento del laboratorio. Per riprodurre le forme dei quattro sassolini occorrono due stili di sezione diversa, da usare da soli o combinati nelle varie inclinazioni. Una volta introdotta la scrittura su tavoletta, si può chiedere di trascrivere su questa il risultato finale degli esercizi che seguono. Nota: le operazioni si eseguono sempre comunque con i sassolini; è solo il risultato finale che eventualmente si può scrivere sulla tavoletta, invece che esprimere mettendo i sassolini nella bolla. Livello 3 Età indicativa: 10-14 anni. Premessa sul laboratorio Nelle attività rivolte a questa fascia di età si usa il sistema completo dei calculi sumeri, con i valori 1, 10, 60, 600, 3600, 36000. Rappresentazioni e operazioni appaiono nella loro forma più complessa. Il sistema sessagesimale appare ora in modo più compiuto e si richiede una maggiore abilità di calcolo mentale. Contenuto della presentazione per il laboratorio Con le prime diapositive si introducono i sei valori e si propongono gruppi di sassolini di cui si chiede di tradurre il valore. Dopo gli esercizi sulla rappresentazione si introduce il cambio, a gruppi di 10 o di 6 a seconda dei sassolini. Seguono diapositive in cui si mostrano mucchi di sassolini che vanno ridotti mediante un cambio. Si suggerisce almeno inizialmente di riprodurre effettivamente i mucchi con i sassolini, di fare le sostituzioni e di mettere la forma finale del numero dentro la bolla. Si spiega poi come fare un’addizione, unendo i sassolini dei due numeri da sommare e eseguendo eventualmente un cambio per arrivare alla forma finale del risultato. Si propongono alcune addizioni da eseguire, in cui intervengono cambi su tipi diversi di calculi. Si spiega poi come eseguire una sottrazione. Anche qui si propone un primo semplice esempio e poi uno in cui, per poter portare a termine il secondo numero, è necessario eseguire un cambio. Seguono gli esercizi relativi alla sottrazione. In alcuni è necessario eseguire più cambi. La moltiplicazione viene anche qui presentata nella forma che la riconduce a un’addizione ripetuta. Sarà l’insegnante a valutare l’opportunità di proporre anche la semplificazione descritta nelle note di approfondimento che sfrutta i valori speciali 6 e 1. Si spiega infine la divisione, con la tecnica del raggruppamento. Seguono alcuni esercizi relativi. Fra le attività di questo livello non è previsto il lavoro di scrittura su tavoletta. L’insegnante che giudichi opportuno introdurre anche questo tipo di attività potrà appoggiarsi alle diapositive del livello precedente. Un’alternativa è quella di introdurre la scrittura cuneiforme sumera (vedi Note storiche) e chiedere di trascrivere i risultati su carta con quei simboli. Livello 4 Età indicativa: dai 14 anni. Premessa sul laboratorio In questo livello si presenta il passaggio dal sistema dei calculi sumeri all’utilizzo del sistema posizionale babilonese. Il sistema dei calculi viene presentato come nel livello precedente, eliminando però alcuni degli esempio più semplici. Si passa poi al sistema posizionale. Il passaggio dal sistema dei calculi a quest’ultimo permetterà di evidenziare i vantaggi di un sistema di rappresentazione posizionale. Le difficoltà del sistema babilonese permetteranno poi di riflettere sulle caratteristiche che un sistema posizionale completo deve avere. In particolare si protrà riflettere sul ruolo dello zero nel nostro sistema di rappresentazione e sulla differenza rispetto al segno separatore introdotto a un certo punto nel sistema babilonese. Il fatto di usare una base diversa dal dieci permetterà, oltre che a sviluppare il calcolo mentale, di distinguere i diversi aspetti di una rappresentazione numerica: scelta della ba- se della numerazione, scelta del sistema di rappresentazione (additivo, posizionale, misto), scelta dei simboli. Molte diapositive contengono una traduzione delle scritture sessagesimali secondo convezioni più moderne. Sono scritture del tipo [2; 5; 28], in cui ogni numero indica le unità dei crescenti ordini; in altre parole la scrittura [2; 5; 28] significa ventotto unità semplici, cinque sessantine e due tremilaseicentine; in notazione decimale diviene 28 + 5 × 60 + 2 × 602. L’insegnante valuterà come servirsi di tali scritture per riferirsi all’argomento della rappresentazione in una diversa base di numerazione in modo più generale, o se, eventualmente, ignorarle. La riflessione sulla rappresentazione posizionale viene approfondita dalla parte dedicata alle frazioni. Questa offre interessanti spunti per complementi sulla rappresentazione con la virgola dei numeri razionali. Si potrà ad esempio osservare quali frazioni hanno comportamenti uguali o diversi se rappresentate nel sistema decimale o in quello sessagesimale; si potranno fare riflessioni sulla lunghezza del periodo. Più in generale risulterà evidente che il possedere una rappresentazione con la virgola limitata o periodica dipende solo dalla scelta della base numerica. La parte delle operazioni eseguite nel sistema cuneiforme babilonese, se presentate a confronto con le tecniche dei calculi, permetterà di evidenziare come il diverso modo di rappresentare i numeri diventi in qualche modo uno strumento per eseguire in modo diverso i conteggi. In particolare un sistema posizionale scritto come quello dei babilonesi si colloca in qualche modo in un punto intermedio tra l’uso dei calculi di cui conservano memoria e i nostri algoritmi di calcolo. Contenuto della presentazione per il laboratorio Con le prime diapositive si introducono i sei calculi. Si propongono alcuni esercizi sul riconoscimento e sulla rappresentazione di numeri per mezzo di gruppi di sassolini. Si introduce poi il cambio, a gruppi di 10 o di 6 a seconda dei sassolini. Seguono alcuni esercizi. Si spiega poi come poter eseguire l’addizione servendosi dei calculi. Seguono un paio di addizioni da eseguire. Si spiega poi come eseguire una sottrazione e si propongono i relativi esercizi. Sempre attraverso esempi illustrati e proposti si mostra come eseguire una moltiplicazione e una divisione. Si passa poi alla parte dedicata alla rappresentazione cuneiforme usato dagli scienziati babilonesi. Con le prime diapositive si ricordano i passaggi attraverso la curviforme e la cuneiforme sumera per arrivare infine al sistema di rappresentazione posizionale. Seguono degli esercizi proposti sulla scrittura e sulla lettura di espressioni in cuneiforme. Con le diapositive successive si accenna alle difficoltà del sistema babilonese e all’introduzione di un segno separatore che elimini alcune ambiguità. Segue la parte dedicata alle frazioni sessagesimali. Si mostra dapprima come si scrivono le frazioni estendendo ai sessantesimi la scrittura posizionale. Si propone poi come rap- presentare alcune frazioni riducendole a frazioni sessagesimali. I primi esempi si limitano al denominatore sessanta mentre per i successivi sono necessarie anche frazioni che hanno come denominatore le successive potenze del sessanta. L’ultimo esempio mostra una frazione che dà luogo a una scrittura periodica. Inizia poi la parte dedicata alle operazioni. Per prima cosa si mostra come si traducono i cambi nella scrittura cuneiforme posizionale. Si illustra poi l’addizione e si propongono i relativi esercizi. Si passa poi alla sottrazione, sempre seguita da esempi da eseguire. La moltiplicazione differisce in maniera più evidente dalle precedenti operazioni rispetto al procedimento con i calculi. Le diapositive illustrano passaggio per passaggio il procedimento attraverso un esempio. Si propongono poi alcuni esercizi. Si conclude con la divisione, mostrando come si riduca a una moltiplicazione calcolando il reciproco del divisore. Seguono gli esercizi relativi.
