Quattro cariche q, positive, puntiformi ed uguali, sono mantenute

Problema N°. 25
Quattro cariche, positive, puntiformi ed uguali (di valore q = 1 µC) , sono mantenute ferme nei
vertici (A, B, C, D) di un quadrato di lato l = 1 m che giace nel piano yz di figura.
a) Qual è l’energia potenziale (elettrica) associata a tale disposizione di cariche ?
Una quinta carica negativa q5 = 10 nC, puntiforme ed avente massa m = 2 g, è mantenuta ferma nel
punto P dell’asse x, perpendicolare al piano yz e passante per il punto O di incontro delle due
diagonali del quadrato. La distanza di P da O è di 2 / 2 m.
b) Qual’è l’energia potenziale (elettrica) associata a tale nuova disposizione di cariche ?
(Motivare la differenza rispetto alla configurazione di cui al punto a) precedente).
c) Quanto vale il campo elettrico nel punto P ?
d) Qual’è l’energia potenziale posseduta dalla carica q5 ?
Si supponga ora di spostare la carica q5 in un punto P1 dell’asse x che dista 1 mm da O.
e) Qual’è il lavoro del campo elettrico sulla carica q5 durante tale spostamento ?
A questo punto la carica q5 viene lasciata libera di muoversi.
f) Si determini il periodo delle piccole oscillazioni che essa compie attorno al punto O.
y
B
A
l
P
O
C
z
l
D
x
Soluzioni
a) Per il sistema formato dalle quattro cariche (K ≈ 9 * 109 N m2 C-2) l’energia potenziale totale Up
vale
U ptotale
qi q j
= ∑i ∑ j ≠ i K
ri , j
=
⎛ 1
1 ⎞
1
⎟ = 4.87 * 10-2 J
q Vi = Kq 2 ⎜⎜ 4 + 2
∑
i i
A
2
2 A ⎟⎠
⎝
b) Per il sistema formato dalle cinque cariche si avrà:
⎛
q q ⎞
*
U ptotale = U ptotale + K ⎜⎜ 4 * 1r 5 ⎟⎟ = 4.83 * 10-2 J
1, 5
⎝
⎠
essendo r 1,5 = r 2,5 = r 3,5 = r 4,5 = r = 1 m
Si ha U *p
perché la carica q5 aggiunta è negativa
totale <U ptotale
c) Il campo elettrico in P, dovuto alle quattro cariche positive, ha la direzione (ed il verso) dell’asse
x (per la simmetria della disposizione delle cariche).
Si ha PO=OA=OB=OC=OD= 2 ;
2
pertanto l’angolo OAP (=OBP=OCP=ODP= β) vale β = π/4 e:
E Ptotale
= 4K
q
sinβ = 2.55 * 104 V/m, con direzione e verso dell’asse x.
2
r
d) L’energia potenziale della carica q5, nella posizione P vale:
U p5
= q 5 V P = q5
q
= 3.6 * 10-4 J
r
4 K
e) Posto d=OA, il campo elettrico nel punto P* generico dell’asse x, vale, in modulo:
E ( x) = 4 K
q
x +d2
(
2
) (x
x
)
1
+d2 2
e la forza che esso esercita su q5 vale: F(x) = q5 E(x), ed ha direzione x e verso -x.
qq
Quando x<<d (piccole oscillazioni) si ha F ( x) = 4 K 35 x
d
Scrivendo il secondo principio della dinamica, con riferimento alla direzione x del moto :
2
qq 5
x
d3
Si ottiene quindi l’equazione del moto armonico che fornisce il periodo delle piccole
oscillazioni:
Fx = m ax = − 4 K
T = 2π
md 3
= 8.8 s
4 Kqq5