Aritmetica I numeri naturali: N I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . (Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal presupposto che sono conosciuti.) Aritmetica Gennaio 2013 1 / 21 Aritmetica I numeri naturali: N I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . (Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal presupposto che sono conosciuti.) I numeri naturali servono, tra altro, per: 1. contare (la quantità di elementi di insiemi finiti); 2. enumerare (le voce di una lista); 3. ordinare linearmente; 4. codificare; 5. nominare. Aritmetica Gennaio 2013 1 / 21 Aritmetica I numeri naturali: N I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . (Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal presupposto che sono conosciuti.) I numeri naturali servono, tra altro, per: 1. contare (la quantità di elementi di insiemi finiti); 2. enumerare (le voce di una lista); 3. ordinare linearmente; 4. codificare; 5. nominare. Le principali operazioni tra numeri naturali sono: la somma (+), il prodotto (·), la differenza (−), e la divisione (÷). Aritmetica Gennaio 2013 1 / 21 La somma Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r, Aritmetica Gennaio 2013 2 / 21 La somma Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r, I Lo 0 è neutro: n + 0 = n. Aritmetica Gennaio 2013 2 / 21 La somma Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r, I Lo 0 è neutro: n + 0 = n. I Commutatività: n + m = m + n. Aritmetica Gennaio 2013 2 / 21 La somma Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r, I Lo 0 è neutro: n + 0 = n. I Commutatività: n + m = m + n. I Associatività: n + (m + r) = (n + m) + r. Aritmetica Gennaio 2013 2 / 21 La somma Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r, I Lo 0 è neutro: n + 0 = n. I Commutatività: n + m = m + n. I Associatività: n + (m + r) = (n + m) + r. I Cancellazione: Se n + r = m + r, allora n = m. Aritmetica Gennaio 2013 2 / 21 Il prodotto Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se stesso tante volte come indica il secondo. n · m = n + ··· + n {z } | m volte Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r, Aritmetica Gennaio 2013 3 / 21 Il prodotto Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se stesso tante volte come indica il secondo. n · m = n + ··· + n {z } | m volte Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r, I L’1 è neutro: n · 1 = n. Aritmetica Gennaio 2013 3 / 21 Il prodotto Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se stesso tante volte come indica il secondo. n · m = n + ··· + n {z } | m volte Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r, I L’1 è neutro: n · 1 = n. I Commutatività: n · m = m · n. Aritmetica Gennaio 2013 3 / 21 Il prodotto Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se stesso tante volte come indica il secondo. n · m = n + ··· + n {z } | m volte Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r, I L’1 è neutro: n · 1 = n. I Commutatività: n · m = m · n. I Associatività: n · (m · r) = (n · m) · r. Aritmetica Gennaio 2013 3 / 21 Il prodotto Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se stesso tante volte come indica il secondo. n · m = n + ··· + n {z } | m volte Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r, I L’1 è neutro: n · 1 = n. I Commutatività: n · m = m · n. I Associatività: I Cancellazione: n · (m · r) = (n · m) · r. Se r 6= 0 e n · r = m · r, Aritmetica allora n = m. Gennaio 2013 3 / 21 Il prodotto Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se stesso tante volte come indica il secondo. n · m = n + ··· + n {z } | m volte Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r, I L’1 è neutro: n · 1 = n. I Commutatività: n · m = m · n. I Associatività: I Cancellazione: n · (m · r) = (n · m) · r. Se r 6= 0 e n · r = m · r, allora n = m. Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributività n · (m + r) = n · m + n · r, per ogni naturali n, m, r. Aritmetica Gennaio 2013 3 / 21 Differenza e divisione La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che c + m = n. Cioè, n − m = c se n = c + m. Aritmetica Gennaio 2013 4 / 21 Differenza e divisione La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che c + m = n. Cioè, n − m = c se n = c + m. La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m. Aritmetica Gennaio 2013 4 / 21 Differenza e divisione La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che c + m = n. Cioè, n − m = c se n = c + m. La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m. La divisione di un numero n per un numero m è quel numero q tale che q · m = n. Cioè, n÷m=q se n = q · m. Aritmetica Gennaio 2013 4 / 21 Differenza e divisione La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che c + m = n. Cioè, n − m = c se n = c + m. La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m. La divisione di un numero n per un numero m è quel numero q tale che q · m = n. Cioè, n÷m=q se n = q · m. La divisone non è sempre definita. Aritmetica Gennaio 2013 4 / 21 Divisione Euclidea Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri naturali q e r tale che n = q · m + r, e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà. A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione. Aritmetica Gennaio 2013 5 / 21 Divisione Euclidea Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri naturali q e r tale che n = q · m + r, e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà. A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione. Esempi: I Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3. Aritmetica Gennaio 2013 5 / 21 Divisione Euclidea Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri naturali q e r tale che n = q · m + r, e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà. A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione. Esempi: I Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3. I Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4. Aritmetica Gennaio 2013 5 / 21 Divisione Euclidea Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri naturali q e r tale che n = q · m + r, e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà. A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione. Esempi: I Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3. I Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4. I Se n = 3, m = 32, allora q = 0 e r = 32, perché 3 = 0 · 32 + 3 e 3 < 32. Aritmetica Gennaio 2013 5 / 21 Divisione Euclidea Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri naturali q e r tale che n = q · m + r, e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà. A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione. Esempi: I Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3. I Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4. I Se n = 3, m = 32, allora q = 0 e r = 32, perché 3 = 0 · 32 + 3 e 3 < 32. Aritmetica Gennaio 2013 5 / 21 Divisione Euclidea Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri naturali q e r tale che n = q · m + r, e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà. A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione. Esempi: I Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3. I Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4. I Se n = 3, m = 32, allora q = 0 e r = 32, perché 3 = 0 · 32 + 3 e 3 < 32. Osservazione: Se q è il quoziente della divisione Euclidea di n per m, allora il resto è r = n − q · m. Aritmetica Gennaio 2013 5 / 21 Numeri primi Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se esiste un numero q tale che n = q · m. Aritmetica Gennaio 2013 6 / 21 Numeri primi Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se esiste un numero q tale che n = q · m. Esempi: I I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6. I I divisori di 23 sono 1, 23. I I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34. I L’unico divisore di 1 è 1. Aritmetica Gennaio 2013 6 / 21 Numeri primi Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se esiste un numero q tale che n = q · m. Esempi: I I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6. I I divisori di 23 sono 1, 23. I I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34. I L’unico divisore di 1 è 1. Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n. Aritmetica Gennaio 2013 6 / 21 Numeri primi Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se esiste un numero q tale che n = q · m. Esempi: I I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6. I I divisori di 23 sono 1, 23. I I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34. I L’unico divisore di 1 è 1. Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n. Esempi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2038074743, . . . Aritmetica Gennaio 2013 6 / 21 Numeri primi Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se esiste un numero q tale che n = q · m. Esempi: I I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6. I I divisori di 23 sono 1, 23. I I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34. I L’unico divisore di 1 è 1. Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n. Esempi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2038074743, . . . Domanda: Quanti numeri primi ci sono? Aritmetica Gennaio 2013 6 / 21 Teorema fondamentale della aritmetica Teorema Ogni numero naturale n diverso di 0 e di 1 si può scomporre come un prodotto di potenze di numeri primi αk 1 n = pα 1 · · · · · pk dove tutti gli esponenti sono positivi e tutti i primi sono diversi tra loro. Questa scomposizione è unica, a meno di permutazioni dei fattori. Aritmetica Gennaio 2013 7 / 21 MCD e mcm Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n. Aritmetica Gennaio 2013 8 / 21 MCD e mcm Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n. Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b). Aritmetica Gennaio 2013 8 / 21 MCD e mcm Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n. Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b). Esempio I mcm(3, 2) = 6 I mcm(16, 8) = 16 I I mcm(52, 34) = 884 mcm(140, 88) = 3080 I mcm(153, 270) = 4590 I mcm(280, 980) = 1960 Aritmetica Gennaio 2013 8 / 21 MCD e mcm Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n. Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b). Esempio I mcm(3, 2) = 6 I mcm(16, 8) = 16 I I mcm(52, 34) = 884 mcm(140, 88) = 3080 I mcm(153, 270) = 4590 I mcm(280, 980) = 1960 Domanda: Come calcolare il m.c.m. di due numeri? Aritmetica Gennaio 2013 8 / 21 Metodo per calcolare il m.c.m. Metodo per calcolare il m.c.m I Fattorizzare i numeri a e b. Aritmetica Gennaio 2013 9 / 21 Metodo per calcolare il m.c.m. Metodo per calcolare il m.c.m I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta. Aritmetica Gennaio 2013 9 / 21 Metodo per calcolare il m.c.m. Metodo per calcolare il m.c.m I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Aritmetica Gennaio 2013 9 / 21 Metodo per calcolare il m.c.m. Metodo per calcolare il m.c.m I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora: Aritmetica Gennaio 2013 9 / 21 Metodo per calcolare il m.c.m. Metodo per calcolare il m.c.m I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora: I Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b. Aritmetica Gennaio 2013 9 / 21 Metodo per calcolare il m.c.m. Metodo per calcolare il m.c.m I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora: I Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b. I Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo, allora il primo divide il terzo. Aritmetica Gennaio 2013 9 / 21 Metodo per calcolare il m.c.m. Metodo per calcolare il m.c.m I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora: I Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b. I Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo, allora il primo divide il terzo. I Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di mcm(a, b). Aritmetica Gennaio 2013 9 / 21 Metodo per calcolare il m.c.m. Metodo per calcolare il m.c.m I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora: I Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b. I Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo, allora il primo divide il terzo. I Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di mcm(a, b). I I divisori di un numero n sono sempre prodotti di potenze dei primi che occorrono nella fattorizzazione del numero n. Aritmetica Gennaio 2013 9 / 21 Esempi I 3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6. Aritmetica Gennaio 2013 10 / 21 Esempi I 3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6. I 16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16. Aritmetica Gennaio 2013 10 / 21 Esempi I 3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6. I 16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16. I 52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884. Aritmetica Gennaio 2013 10 / 21 Esempi I 3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6. I 16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16. I 52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884. I 140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080. Aritmetica Gennaio 2013 10 / 21 Esempi I 3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6. I 16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16. I 52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884. I 140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080. I 153 = 32 · 17 e 270 = 2 · 33 · 5, quindi mcm(153, 270) = 2 · 33 · 5 · 17 = 4590. Aritmetica Gennaio 2013 10 / 21 Esempi I 3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6. I 16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16. I 52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884. I 140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080. I 153 = 32 · 17 e 270 = 2 · 33 · 5, quindi mcm(153, 270) = 2 · 33 · 5 · 17 = 4590. I 280 = 23 · 5 · 7 e 980 = 22 · 5 · 72 , quindi mcm(280, 980) = 23 · 5 · 72 = 1960. Aritmetica Gennaio 2013 10 / 21 MCD Il massimo comune divisore di due numeri a e b è il più grande numero che divide a e divide b. Esempio I MCD(3, 2) = 1 I MCD(16, 8) = 8 I MCD(52, 34) = 2 I MCD(140, 88) = 4 I MCD(153, 270) = 9 I MCD(280, 980) = 140 Aritmetica Gennaio 2013 11 / 21 MCD Il massimo comune divisore di due numeri a e b è il più grande numero che divide a e divide b. Esempio I MCD(3, 2) = 1 I MCD(16, 8) = 8 I MCD(52, 34) = 2 I MCD(140, 88) = 4 I MCD(153, 270) = 9 I MCD(280, 980) = 140 Domanda: Come calcolarlo? Aritmetica Gennaio 2013 11 / 21 Metodo per calcolare il M.C.D Metodo per calcolare il M.C.D I Fattorizzare i numeri a e b. Aritmetica Gennaio 2013 12 / 21 Metodo per calcolare il M.C.D Metodo per calcolare il M.C.D I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b. Aritmetica Gennaio 2013 12 / 21 Metodo per calcolare il M.C.D Metodo per calcolare il M.C.D I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Aritmetica Gennaio 2013 12 / 21 Metodo per calcolare il M.C.D Metodo per calcolare il M.C.D I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora: I Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b. Aritmetica Gennaio 2013 12 / 21 Metodo per calcolare il M.C.D Metodo per calcolare il M.C.D I Fattorizzare i numeri a e b. I Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b. I Moltiplicare quelle potenze scelte. Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora: I Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b. I Allora, i fattori primi di MCD(a, b) devono essere fattori di a e fattori di b. Aritmetica Gennaio 2013 12 / 21 Esempi I 3 = 31 e 2 = 21 , quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni). Aritmetica Gennaio 2013 13 / 21 Esempi I I 3 = 31 16 = 2 e 2 = 21 , 4 e 3 8=2 , quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni). quindi MCD(16, 8) = 23 = 8. Aritmetica Gennaio 2013 13 / 21 Esempi I I I 3 = 31 16 = 2 e 2 = 21 , 4 2 e 52 = 2 · 13 3 8=2 , e quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni). quindi MCD(16, 8) = 23 = 8. 34 = 2 · 17, quindi MCD(52, 34) = 2. Aritmetica Gennaio 2013 13 / 21 Esempi I I I I 3 = 31 16 = 2 e 2 = 21 , 4 e 2 52 = 2 · 13 2 3 quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni). 8=2 , e 140 = 2 · 5 · 7 quindi MCD(16, 8) = 23 = 8. 34 = 2 · 17, e 3 quindi MCD(52, 34) = 2. 88 = 2 · 11, quindi MCD(140, 88) = 22 = 4. Aritmetica Gennaio 2013 13 / 21 Esempi I I I 3 = 31 16 = 2 e 2 = 21 , 4 e 2 52 = 2 · 13 3 quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni). 8=2 , e 2 I 140 = 2 · 5 · 7 I 153 = 32 · 17 e quindi MCD(16, 8) = 23 = 8. 34 = 2 · 17, e quindi MCD(52, 34) = 2. 3 quindi MCD(140, 88) = 22 = 4. 88 = 2 · 11, 270 = 2 · 33 · 5, quindi MCD(153, 270) = 32 = 9. Aritmetica Gennaio 2013 13 / 21 Esempi I I I 3 = 31 16 = 2 e 2 = 21 , 4 e 2 52 = 2 · 13 3 quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni). 8=2 , e 2 quindi MCD(16, 8) = 23 = 8. 34 = 2 · 17, quindi MCD(52, 34) = 2. 3 quindi MCD(140, 88) = 22 = 4. I 140 = 2 · 5 · 7 I 153 = 32 · 17 e I 280 = 23 · 5 · 7 e 980 = 22 · 5 · 72 , quindi MCD(280, 980) = 22 · 5 · 7 = 140. e 88 = 2 · 11, 270 = 2 · 33 · 5, quindi MCD(153, 270) = 32 = 9. Aritmetica Gennaio 2013 13 / 21 MCD(a, b) · mcm(a, b) versus a · b Osservazione: a 3 16 52 140 153 280 b 2 8 34 88 270 980 MCD(a, b) 1 8 2 4 9 140 mcm(a, b) 6 16 884 3080 4590 1960 Aritmetica MCD(a, b) · mcm(a, b) 6 128 1768 12320 41310 274400 a·b 6 128 1768 12320 41310 274400 Gennaio 2013 14 / 21 MCD(a, b) · mcm(a, b) versus a · b Osservazione: a 3 16 52 140 153 280 b 2 8 34 88 270 980 MCD(a, b) 1 8 2 4 9 140 Otteniamo sempre che: mcm(a, b) 6 16 884 3080 4590 1960 MCD(a, b) · mcm(a, b) 6 128 1768 12320 41310 274400 a·b 6 128 1768 12320 41310 274400 MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b Aritmetica Gennaio 2013 14 / 21 MCD(a, b) · mcm(a, b) versus a · b Osservazione: a 3 16 52 140 153 280 b 2 8 34 88 270 980 MCD(a, b) 1 8 2 4 9 140 Otteniamo sempre che: mcm(a, b) 6 16 884 3080 4590 1960 MCD(a, b) · mcm(a, b) 6 128 1768 12320 41310 274400 a·b 6 128 1768 12320 41310 274400 MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b Domanda: è sempre vero? Perché? Aritmetica Gennaio 2013 14 / 21 MCD(a, b) · mcm(a, b) versus a · b Osservazione: a 3 16 52 140 153 280 b 2 8 34 88 270 980 MCD(a, b) 1 8 2 4 9 140 Otteniamo sempre che: mcm(a, b) 6 16 884 3080 4590 1960 MCD(a, b) · mcm(a, b) 6 128 1768 12320 41310 274400 a·b 6 128 1768 12320 41310 274400 MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b Domanda: è sempre vero? Perché? Risposta: Sì, è sempre vero, perché fra le potenze delle fattorizzazioni di a e di b che scegliamo per calcolare il m.c.m. e quelle che scegliamo per calcolare il M.C.D., le scegliamo tutte esattamente una volta. Aritmetica Gennaio 2013 14 / 21 Ancora MCD e mcm I Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri. Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in pratica impossibile, si sono troppo grandi. Aritmetica Gennaio 2013 15 / 21 Ancora MCD e mcm I I Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri. Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in pratica impossibile, si sono troppo grandi. Possiamo trovare un altro metodo più semplice? Aritmetica Gennaio 2013 15 / 21 Ancora MCD e mcm I Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri. Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in pratica impossibile, si sono troppo grandi. Possiamo trovare un altro metodo più semplice? I Osserviamo cosa succede con le seguenti divisioni: I Aritmetica Gennaio 2013 15 / 21 Ancora MCD e mcm I Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri. Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in pratica impossibile, si sono troppo grandi. Possiamo trovare un altro metodo più semplice? I Osserviamo cosa succede con le seguenti divisioni: I 3 1 16 0 2 1 MCD(3, 2) = 1 140 52 88 1 MCD(140, 88) = 4 52 18 8 2 MCD(16, 8) = 8 270 117 153 1 MCD(270, 153) = 9 Aritmetica 34 1 MCD(52, 34) = 2 980 140 280 3 MCD(980, 280) = 140 Gennaio 2013 15 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. I Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea. Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. I Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea. Domanda: è questo sempre vero? Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. I Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea. Domanda: è questo sempre vero? Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora: r =a−q·b Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. I Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea. Domanda: è questo sempre vero? Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora: r =a−q·b I Se d | a e d | b, allora d | q · b, e quindi d | (a − q · b). Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. I Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea. Domanda: è questo sempre vero? Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora: r =a−q·b I Se d | a e d | b, allora d | q · b, e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r. Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. I Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea. Domanda: è questo sempre vero? Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora: r =a−q·b I Se d | a e d | b, allora d | q · b, e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r. I Se d | b e d | r, allora d | q · b, e quindi d | (q · b + r). Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. I Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea. Domanda: è questo sempre vero? Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora: r =a−q·b I Se d | a e d | b, allora d | q · b, e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r. I Se d | b e d | r, allora d | q · b, e quindi d | (q · b + r). Cioè, d | a. Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Ancora MCD e mcm Notiamo che: I Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione Euclidea è 0. I Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea. Domanda: è questo sempre vero? Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora: r =a−q·b I Se d | a e d | b, allora d | q · b, e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r. I Se d | b e d | r, allora d | q · b, e quindi d | (q · b + r). Cioè, d | a. Quindi: MCD(a, b) = MCD(b, r) dove r è il resto della divisione Euclidea di a per b. Aritmetica Gennaio 2013 16 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. I Se r = 0, allora MCD(a, b) = b. Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. I Se r = 0, allora MCD(a, b) = b. I Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento. Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. I Se r = 0, allora MCD(a, b) = b. I Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento. Esempio Calcolo di MCD(140, 88): I 140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52. Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. I Se r = 0, allora MCD(a, b) = b. I Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento. Esempio Calcolo di MCD(140, 88): I 140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52. I 88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36. Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. I Se r = 0, allora MCD(a, b) = b. I Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento. Esempio Calcolo di MCD(140, 88): I 140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52. I 88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36. I 52 = 1 · 36 + 16. Siccome r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16. Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. I Se r = 0, allora MCD(a, b) = b. I Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento. Esempio Calcolo di MCD(140, 88): I 140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52. I 88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36. I 52 = 1 · 36 + 16. Siccome r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16. 36 = 2 · 16 + 4. Siccome r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4. I Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. I Se r = 0, allora MCD(a, b) = b. I Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento. Esempio Calcolo di MCD(140, 88): I 140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52. I 88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36. I I 52 = 1 · 36 + 16. Siccome r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16. 36 = 2 · 16 + 4. Siccome r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4. I 16 = 4 · 4 + 0. Finito!! Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Algoritmo di Euclide per calcolare MCD Supponiamo che a > b. I Fare la divisione Euclidea di a per b. I Prendere il resto r. I Se r = 0, allora MCD(a, b) = b. I Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento. Esempio Calcolo di MCD(140, 88): I 140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e 52. I 88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36. I I 52 = 1 · 36 + 16. Siccome r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16. 36 = 2 · 16 + 4. Siccome r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4. I 16 = 4 · 4 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(140, 88) = 4. E mcm(140, 88) = 140 · 88 ÷ 4 = 3080. Aritmetica Gennaio 2013 17 / 21 Esempi Calcolo di MCD(270, 153): I 270 = 1 · 153 + 117 Aritmetica Gennaio 2013 18 / 21 Esempi Calcolo di MCD(270, 153): I I 270 = 1 · 153 + 117 153 = 1 · 117 + 36 Aritmetica Gennaio 2013 18 / 21 Esempi Calcolo di MCD(270, 153): I 270 = 1 · 153 + 117 153 = 1 · 117 + 36 I 117 = 1 · 36 + 9 I Aritmetica Gennaio 2013 18 / 21 Esempi Calcolo di MCD(270, 153): I 270 = 1 · 153 + 117 153 = 1 · 117 + 36 I 117 = 1 · 36 + 9 I 36 = 4 · 9 + 0. Finito!! I Aritmetica Gennaio 2013 18 / 21 Esempi Calcolo di MCD(270, 153): I 270 = 1 · 153 + 117 153 = 1 · 117 + 36 I 117 = 1 · 36 + 9 I 36 = 4 · 9 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590. I Aritmetica Gennaio 2013 18 / 21 Esempi Calcolo di MCD(270, 153): I 270 = 1 · 153 + 117 153 = 1 · 117 + 36 I 117 = 1 · 36 + 9 I 36 = 4 · 9 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590. I Calcolo di MCD(980, 280): I 980 = 3 · 280 + 140. Aritmetica Gennaio 2013 18 / 21 Esempi Calcolo di MCD(270, 153): I 270 = 1 · 153 + 117 153 = 1 · 117 + 36 I 117 = 1 · 36 + 9 I 36 = 4 · 9 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590. I Calcolo di MCD(980, 280): I 980 = 3 · 280 + 140. I 280 = 2 · 140 + 0. Finito!! Aritmetica Gennaio 2013 18 / 21 Esempi Calcolo di MCD(270, 153): I 270 = 1 · 153 + 117 153 = 1 · 117 + 36 I 117 = 1 · 36 + 9 I 36 = 4 · 9 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590. I Calcolo di MCD(980, 280): I 980 = 3 · 280 + 140. I 280 = 2 · 140 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(980, 280) = 140. E mcm(980, 280) = 980 · 280 ÷ 140 = 1960. Aritmetica Gennaio 2013 18 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 I 18 = 1 · 16 + 2 Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 I 18 = 1 · 16 + 2 I 16 = 8 · 2 + 0. Finito!! Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 I 18 = 1 · 16 + 2 I 16 = 8 · 2 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884. Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 I 18 = 1 · 16 + 2 I 16 = 8 · 2 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884. Calcolo di MCD(16, 8): I 16 = 2 · 8 + 0. Finito!! Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 I 18 = 1 · 16 + 2 I 16 = 8 · 2 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884. Calcolo di MCD(16, 8): I 16 = 2 · 8 + 0. Finito!! I Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16. Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 I 18 = 1 · 16 + 2 I 16 = 8 · 2 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884. Calcolo di MCD(16, 8): I 16 = 2 · 8 + 0. Finito!! I Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16. Calcolo di MCD(103565, 12945): I 103565 = 8 · 12945 + 5 Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 I 18 = 1 · 16 + 2 I 16 = 8 · 2 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884. Calcolo di MCD(16, 8): I 16 = 2 · 8 + 0. Finito!! I Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16. Calcolo di MCD(103565, 12945): I I 103565 = 8 · 12945 + 5 12945 = 2589 · 5 + 0. Finito!! Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Esempi Calcolo di MCD(52, 34): I 52 = 1 · 34 + 18 I 34 = 1 · 18 + 16 I 18 = 1 · 16 + 2 I 16 = 8 · 2 + 0. Finito!! I Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884. Calcolo di MCD(16, 8): I 16 = 2 · 8 + 0. Finito!! I Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16. Calcolo di MCD(103565, 12945): I I I 103565 = 8 · 12945 + 5 12945 = 2589 · 5 + 0. Finito!! Quindi MCD(103565, 12945) = 5. E mcm(103565, 12945) = 103565 · 12945 ÷ 5 = 268129785. Aritmetica Gennaio 2013 19 / 21 Le due navi La nave da Talcahuano in Cile verso Isola di Pasqua parte ogni 12 giorni e si impiega 23 giorni per arrivare. Dalla Isola di Pasqua parte una altra nave verso Gisborne in Nuova Zelanda ogni 10 giorni, e impiega 35 gironi per arrivare. Giovanna e Paola che si trovano a Talcahuano sono in ritardo per prendere la nave, e Paola innervosita li dice a Giovanna: “Sbrigati! Se prendiamo la nave di oggi, quando arriveremmo nella Isola di Pasqua potremmo prendere la nave a Gisborne nello stesso giorno. Altrimenti, chissà quanto dovremo aspettare affinché si becchi la giusta coincidenza?” Aritmetica Gennaio 2013 20 / 21 La Conggettura di Collatz I Prendiamo un numero n: Aritmetica Gennaio 2013 21 / 21 La Conggettura di Collatz I Prendiamo un numero n: I Se n è pari, si divide per due; Aritmetica Gennaio 2013 21 / 21 La Conggettura di Collatz I Prendiamo un numero n: I Se n è pari, si divide per due; I Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1; Aritmetica Gennaio 2013 21 / 21 La Conggettura di Collatz I Prendiamo un numero n: I Se n è pari, si divide per due; I Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1; I Si ripete la procedura con il nuovo numero ottenuto. Aritmetica Gennaio 2013 21 / 21 La Conggettura di Collatz I Prendiamo un numero n: I Se n è pari, si divide per due; I Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1; I Si ripete la procedura con il nuovo numero ottenuto. Domanda: Come sono le sequenze di numeri generati in questa maniera? Aritmetica Gennaio 2013 21 / 21 La Conggettura di Collatz I Prendiamo un numero n: I Se n è pari, si divide per due; I Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1; I Si ripete la procedura con il nuovo numero ottenuto. Domanda: Come sono le sequenze di numeri generati in questa maniera? Conggettura: Tutte le sequenze generate in questa maniera finiranno sempre in cicli della forma: 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . . Aritmetica Gennaio 2013 21 / 21 La Conggettura di Collatz I Prendiamo un numero n: I Se n è pari, si divide per due; I Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1; I Si ripete la procedura con il nuovo numero ottenuto. Domanda: Come sono le sequenze di numeri generati in questa maniera? Conggettura: Tutte le sequenze generate in questa maniera finiranno sempre in cicli della forma: 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . . Se vuoi, puoi provare a dimostrare questa congettura. Nessuno non ha ancora riuscito e tu puoi essere il primo o la prima a farlo! Aritmetica Gennaio 2013 21 / 21