Aritmetica - I blog di Unica

Aritmetica
I numeri naturali: N
I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
(Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal
presupposto che sono conosciuti.)
Aritmetica
Gennaio 2013
1 / 21
Aritmetica
I numeri naturali: N
I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
(Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal
presupposto che sono conosciuti.)
I numeri naturali servono, tra altro, per:
1. contare (la quantità di elementi di insiemi finiti);
2. enumerare (le voce di una lista);
3. ordinare linearmente;
4. codificare;
5. nominare.
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Aritmetica
I numeri naturali: N
I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .
(Non daremo una definizione formale dei numeri naturali, ma partiamo dal
presupposto che sono conosciuti.)
I numeri naturali servono, tra altro, per:
1. contare (la quantità di elementi di insiemi finiti);
2. enumerare (le voce di una lista);
3. ordinare linearmente;
4. codificare;
5. nominare.
Le principali operazioni tra numeri naturali sono: la somma (+), il prodotto (·),
la differenza (−), e la divisione (÷).
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Gennaio 2013
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La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
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Gennaio 2013
2 / 21
La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
I
Lo 0 è neutro: n + 0 = n.
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Gennaio 2013
2 / 21
La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
I
Lo 0 è neutro: n + 0 = n.
I
Commutatività: n + m = m + n.
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Gennaio 2013
2 / 21
La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
I
Lo 0 è neutro: n + 0 = n.
I
Commutatività: n + m = m + n.
I
Associatività: n + (m + r) = (n + m) + r.
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2 / 21
La somma
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora la somma di
due numeri naturali è il risultato di aggiungere queste quantità. Le proprietà
fondamentali della somma sono: per ogni naturali n, m, r,
I
Lo 0 è neutro: n + 0 = n.
I
Commutatività: n + m = m + n.
I
Associatività: n + (m + r) = (n + m) + r.
I
Cancellazione:
Se n + r = m + r, allora n = m.
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Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
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3 / 21
Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
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3 / 21
Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
I
Commutatività: n · m = m · n.
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Gennaio 2013
3 / 21
Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
I
Commutatività: n · m = m · n.
I
Associatività:
n · (m · r) = (n · m) · r.
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3 / 21
Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
I
Commutatività: n · m = m · n.
I
Associatività:
I
Cancellazione:
n · (m · r) = (n · m) · r.
Se r 6= 0 e
n · r = m · r,
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allora n = m.
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Il prodotto
Se consideriamo i numeri naturali come quantità (finite), allora il prodotto di
due numeri naturali è il risultato di sommare il primo dei due numeri con se
stesso tante volte come indica il secondo.
n · m = n + ··· + n
{z
}
|
m volte
Le proprietà fondamentali del prodotto sono: per ogni naturali n, m, r,
I
L’1 è neutro: n · 1 = n.
I
Commutatività: n · m = m · n.
I
Associatività:
I
Cancellazione:
n · (m · r) = (n · m) · r.
Se r 6= 0 e
n · r = m · r,
allora n = m.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributività
n · (m + r) = n · m + n · r,
per ogni naturali n, m, r.
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3 / 21
Differenza e divisione
La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che
c + m = n. Cioè,
n − m = c se n = c + m.
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4 / 21
Differenza e divisione
La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che
c + m = n. Cioè,
n − m = c se n = c + m.
La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m.
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4 / 21
Differenza e divisione
La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che
c + m = n. Cioè,
n − m = c se n = c + m.
La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m.
La divisione di un numero n per un numero m è quel numero q tale che
q · m = n. Cioè,
n÷m=q
se n = q · m.
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4 / 21
Differenza e divisione
La differenza di un numero n meno un numero m è quel numero c tale che
c + m = n. Cioè,
n − m = c se n = c + m.
La differenza n − m è definita nell’insieme dei naturali solo se n > m.
La divisione di un numero n per un numero m è quel numero q tale che
q · m = n. Cioè,
n÷m=q
se n = q · m.
La divisone non è sempre definita.
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4 / 21
Divisione Euclidea
Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri
naturali q e r tale che
n = q · m + r,
e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà.
A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione.
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Divisione Euclidea
Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri
naturali q e r tale che
n = q · m + r,
e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà.
A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione.
Esempi:
I
Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3.
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Divisione Euclidea
Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri
naturali q e r tale che
n = q · m + r,
e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà.
A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione.
Esempi:
I
Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3.
I
Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4.
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5 / 21
Divisione Euclidea
Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri
naturali q e r tale che
n = q · m + r,
e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà.
A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione.
Esempi:
I
Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3.
I
Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4.
I
Se n = 3, m = 32, allora q = 0 e r = 32, perché 3 = 0 · 32 + 3 e 3 < 32.
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5 / 21
Divisione Euclidea
Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri
naturali q e r tale che
n = q · m + r,
e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà.
A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione.
Esempi:
I
Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3.
I
Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4.
I
Se n = 3, m = 32, allora q = 0 e r = 32, perché 3 = 0 · 32 + 3 e 3 < 32.
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5 / 21
Divisione Euclidea
Se n e m sono due numeri naturali e m 6= 0, allora esistono due numeri
naturali q e r tale che
n = q · m + r,
e r < m. Questi numeri q e r sono gli unici con queste proprietà.
A q lo chiamammo il quoziente della divisione e a r il resto della divisione.
Esempi:
I
Se n = 25, m = 3, allora q = 8 e r = 1, perché 25 = 8 · 3 + 1 e 1 < 3.
I
Se n = 20, m = 4, allora q = 5 e r = 0, perché 20 = 5 · 4 + 0 e 0 < 4.
I
Se n = 3, m = 32, allora q = 0 e r = 32, perché 3 = 0 · 32 + 3 e 3 < 32.
Osservazione: Se q è il quoziente della divisione Euclidea di n per m, allora il
resto è
r = n − q · m.
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5 / 21
Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
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6 / 21
Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
Esempi:
I I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
I
I divisori di 23 sono 1, 23.
I
I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34.
I
L’unico divisore di 1 è 1.
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6 / 21
Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
Esempi:
I I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
I
I divisori di 23 sono 1, 23.
I
I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34.
I
L’unico divisore di 1 è 1.
Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n.
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6 / 21
Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
Esempi:
I I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
I
I divisori di 23 sono 1, 23.
I
I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34.
I
L’unico divisore di 1 è 1.
Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n.
Esempi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2038074743, . . .
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6 / 21
Numeri primi
Un numero m è un divisore di un numero n, e lo denotiamo per m | n, se il
resto di la divisone Euclidea di n per m è 0. Cioè, m e un divisore di n se
esiste un numero q tale che
n = q · m.
Esempi:
I I divisori di 6 sono 1, 2, 3, 6.
I
I divisori di 23 sono 1, 23.
I
I divisori di 34 sono 1, 2, 17, 34.
I
L’unico divisore di 1 è 1.
Un numero n è primo se è diverso di 1 e ha soltanto due divisori: 1 e n.
Esempi:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . , 2038074743, . . .
Domanda: Quanti numeri primi ci sono?
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6 / 21
Teorema fondamentale della aritmetica
Teorema
Ogni numero naturale n diverso di 0 e di 1 si può scomporre come un
prodotto di potenze di numeri primi
αk
1
n = pα
1 · · · · · pk
dove tutti gli esponenti sono positivi e tutti i primi sono diversi tra loro. Questa
scomposizione è unica, a meno di permutazioni dei fattori.
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7 / 21
MCD e mcm
Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n.
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MCD e mcm
Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n.
Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è
multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b).
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8 / 21
MCD e mcm
Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n.
Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è
multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b).
Esempio
I
mcm(3, 2) = 6
I
mcm(16, 8) = 16
I
I
mcm(52, 34) = 884
mcm(140, 88) = 3080
I
mcm(153, 270) = 4590
I
mcm(280, 980) = 1960
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8 / 21
MCD e mcm
Un numero n è un multiplo di un numero m se m è un divisore di n.
Il minimo comune multiplo di due numeri a, b, è il più piccolo numero che è
multiplo di a e di b. Lo denotiamo con mcm(a, b).
Esempio
I
mcm(3, 2) = 6
I
mcm(16, 8) = 16
I
I
mcm(52, 34) = 884
mcm(140, 88) = 3080
I
mcm(153, 270) = 4590
I
mcm(280, 980) = 1960
Domanda: Come calcolare il m.c.m. di due numeri?
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8 / 21
Metodo per calcolare il m.c.m.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
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9 / 21
Metodo per calcolare il m.c.m.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
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9 / 21
Metodo per calcolare il m.c.m.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
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9 / 21
Metodo per calcolare il m.c.m.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
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Metodo per calcolare il m.c.m.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
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9 / 21
Metodo per calcolare il m.c.m.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
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9 / 21
Metodo per calcolare il m.c.m.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
I
Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di
mcm(a, b).
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9 / 21
Metodo per calcolare il m.c.m.
Metodo per calcolare il m.c.m
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere tutte le potenze dei primi che occorrono nelle fattorizzazioni di a
e di b. Se hanno alcun primo in comune, prendere la potenza più alta.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Sempre a e b sono divisori di mcm(a, b), perché, per la propria
definizione, mcm(a, b) è un multiplo di a e di b.
I
Ricordiamo che, se un numero divide un altro, e queste divide un terzo,
allora il primo divide il terzo.
I
Quindi, ogni divisore di a e ogni divisore di b sera anche un divisore di
mcm(a, b).
I
I divisori di un numero n sono sempre prodotti di potenze dei primi che
occorrono nella fattorizzazione del numero n.
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9 / 21
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
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10 / 21
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
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10 / 21
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
I
52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884.
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Gennaio 2013
10 / 21
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
I
52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884.
I
140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080.
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10 / 21
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
I
52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884.
I
140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080.
I
153 = 32 · 17 e 270 = 2 · 33 · 5, quindi mcm(153, 270) = 2 · 33 · 5 · 17 = 4590.
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10 / 21
Esempi
I
3 = 31 e 2 = 21 , quindi mcm(2, 3) = 21 · 31 = 6.
I
16 = 24 e 8 = 23 , quindi mcm(16, 8) = 24 = 16.
I
52 = 22 · 13 e 34 = 2 · 17, quindi mcm(52, 34) = 22 · 13 · 17 = 884.
I
140 = 22 · 5 · 7 e 88 = 23 · 11, quindi mcm(140, 88) = 23 · 5 · 7 · 11 = 3080.
I
153 = 32 · 17 e 270 = 2 · 33 · 5, quindi mcm(153, 270) = 2 · 33 · 5 · 17 = 4590.
I
280 = 23 · 5 · 7 e 980 = 22 · 5 · 72 , quindi mcm(280, 980) = 23 · 5 · 72 = 1960.
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Gennaio 2013
10 / 21
MCD
Il massimo comune divisore di due numeri a e b è il più grande numero che
divide a e divide b.
Esempio
I
MCD(3, 2) = 1
I
MCD(16, 8) = 8
I
MCD(52, 34) = 2
I
MCD(140, 88) = 4
I
MCD(153, 270) = 9
I
MCD(280, 980) = 140
Aritmetica
Gennaio 2013
11 / 21
MCD
Il massimo comune divisore di due numeri a e b è il più grande numero che
divide a e divide b.
Esempio
I
MCD(3, 2) = 1
I
MCD(16, 8) = 8
I
MCD(52, 34) = 2
I
MCD(140, 88) = 4
I
MCD(153, 270) = 9
I
MCD(280, 980) = 140
Domanda: Come calcolarlo?
Aritmetica
Gennaio 2013
11 / 21
Metodo per calcolare il M.C.D
Metodo per calcolare il M.C.D
I
Fattorizzare i numeri a e b.
Aritmetica
Gennaio 2013
12 / 21
Metodo per calcolare il M.C.D
Metodo per calcolare il M.C.D
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b.
Aritmetica
Gennaio 2013
12 / 21
Metodo per calcolare il M.C.D
Metodo per calcolare il M.C.D
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Aritmetica
Gennaio 2013
12 / 21
Metodo per calcolare il M.C.D
Metodo per calcolare il M.C.D
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b.
Aritmetica
Gennaio 2013
12 / 21
Metodo per calcolare il M.C.D
Metodo per calcolare il M.C.D
I
Fattorizzare i numeri a e b.
I
Prendere le potenze più piccole dei primi comuni ad a e b.
I
Moltiplicare quelle potenze scelte.
Giustificazione: Prendiamo due numeri a, b. Allora:
I
Per la propria definizione, MCD(a, b) divide a e divide b.
I
Allora, i fattori primi di MCD(a, b) devono essere fattori di a e fattori di b.
Aritmetica
Gennaio 2013
12 / 21
Esempi
I
3 = 31
e 2 = 21 ,
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
Aritmetica
Gennaio 2013
13 / 21
Esempi
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
e
3
8=2 ,
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
Aritmetica
Gennaio 2013
13 / 21
Esempi
I
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
2
e
52 = 2 · 13
3
8=2 ,
e
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
34 = 2 · 17,
quindi MCD(52, 34) = 2.
Aritmetica
Gennaio 2013
13 / 21
Esempi
I
I
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
e
2
52 = 2 · 13
2
3
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
8=2 ,
e
140 = 2 · 5 · 7
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
34 = 2 · 17,
e
3
quindi MCD(52, 34) = 2.
88 = 2 · 11,
quindi MCD(140, 88) = 22 = 4.
Aritmetica
Gennaio 2013
13 / 21
Esempi
I
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
e
2
52 = 2 · 13
3
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
8=2 ,
e
2
I
140 = 2 · 5 · 7
I
153 = 32 · 17 e
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
34 = 2 · 17,
e
quindi MCD(52, 34) = 2.
3
quindi MCD(140, 88) = 22 = 4.
88 = 2 · 11,
270 = 2 · 33 · 5,
quindi MCD(153, 270) = 32 = 9.
Aritmetica
Gennaio 2013
13 / 21
Esempi
I
I
I
3 = 31
16 = 2
e 2 = 21 ,
4
e
2
52 = 2 · 13
3
quindi MCD(2, 3) = 1, (non hanno primi comuni).
8=2 ,
e
2
quindi MCD(16, 8) = 23 = 8.
34 = 2 · 17,
quindi MCD(52, 34) = 2.
3
quindi MCD(140, 88) = 22 = 4.
I
140 = 2 · 5 · 7
I
153 = 32 · 17 e
I
280 = 23 · 5 · 7 e 980 = 22 · 5 · 72 , quindi MCD(280, 980) = 22 · 5 · 7 = 140.
e
88 = 2 · 11,
270 = 2 · 33 · 5,
quindi MCD(153, 270) = 32 = 9.
Aritmetica
Gennaio 2013
13 / 21
MCD(a, b) · mcm(a, b) versus a · b
Osservazione:
a
3
16
52
140
153
280
b
2
8
34
88
270
980
MCD(a, b)
1
8
2
4
9
140
mcm(a, b)
6
16
884
3080
4590
1960
Aritmetica
MCD(a, b) · mcm(a, b)
6
128
1768
12320
41310
274400
a·b
6
128
1768
12320
41310
274400
Gennaio 2013
14 / 21
MCD(a, b) · mcm(a, b) versus a · b
Osservazione:
a
3
16
52
140
153
280
b
2
8
34
88
270
980
MCD(a, b)
1
8
2
4
9
140
Otteniamo sempre che:
mcm(a, b)
6
16
884
3080
4590
1960
MCD(a, b) · mcm(a, b)
6
128
1768
12320
41310
274400
a·b
6
128
1768
12320
41310
274400
MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b
Aritmetica
Gennaio 2013
14 / 21
MCD(a, b) · mcm(a, b) versus a · b
Osservazione:
a
3
16
52
140
153
280
b
2
8
34
88
270
980
MCD(a, b)
1
8
2
4
9
140
Otteniamo sempre che:
mcm(a, b)
6
16
884
3080
4590
1960
MCD(a, b) · mcm(a, b)
6
128
1768
12320
41310
274400
a·b
6
128
1768
12320
41310
274400
MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b
Domanda: è sempre vero? Perché?
Aritmetica
Gennaio 2013
14 / 21
MCD(a, b) · mcm(a, b) versus a · b
Osservazione:
a
3
16
52
140
153
280
b
2
8
34
88
270
980
MCD(a, b)
1
8
2
4
9
140
Otteniamo sempre che:
mcm(a, b)
6
16
884
3080
4590
1960
MCD(a, b) · mcm(a, b)
6
128
1768
12320
41310
274400
a·b
6
128
1768
12320
41310
274400
MCD(a, b) · mcm(a, b) = a · b
Domanda: è sempre vero? Perché?
Risposta: Sì, è sempre vero, perché fra le potenze delle fattorizzazioni di a e
di b che scegliamo per calcolare il m.c.m. e quelle che scegliamo per
calcolare il M.C.D., le scegliamo tutte esattamente una volta.
Aritmetica
Gennaio 2013
14 / 21
Ancora MCD e mcm
I
Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri.
Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in
pratica impossibile, si sono troppo grandi.
Aritmetica
Gennaio 2013
15 / 21
Ancora MCD e mcm
I
I
Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri.
Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in
pratica impossibile, si sono troppo grandi.
Possiamo trovare un altro metodo più semplice?
Aritmetica
Gennaio 2013
15 / 21
Ancora MCD e mcm
I
Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri.
Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in
pratica impossibile, si sono troppo grandi.
Possiamo trovare un altro metodo più semplice?
I
Osserviamo cosa succede con le seguenti divisioni:
I
Aritmetica
Gennaio 2013
15 / 21
Ancora MCD e mcm
I
Con questi metodi, siamo costretti di fare la fattorizzazioni dei numeri.
Quando i numeri sono un po’ grandi, questo si fa molto difficile, anche in
pratica impossibile, si sono troppo grandi.
Possiamo trovare un altro metodo più semplice?
I
Osserviamo cosa succede con le seguenti divisioni:
I
3
1
16
0
2
1
MCD(3, 2) = 1
140
52
88
1
MCD(140, 88) = 4
52
18
8
2
MCD(16, 8) = 8
270
117
153
1
MCD(270, 153) = 9
Aritmetica
34
1
MCD(52, 34) = 2
980
140
280
3
MCD(980, 280) = 140
Gennaio 2013
15 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
I
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
I
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: è questo sempre vero?
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
I
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: è questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
I
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: è questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
Se d | a e
d | b,
allora d | q · b,
e quindi d | (a − q · b).
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
I
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: è questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
Se d | a e
d | b,
allora d | q · b,
e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r.
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
I
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: è questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
Se d | a e
d | b,
allora d | q · b,
e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r.
I
Se d | b e
d | r,
allora d | q · b,
e quindi d | (q · b + r).
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
I
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: è questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
Se d | a e
d | b,
allora d | q · b,
e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r.
I
Se d | b e
d | r,
allora d | q · b,
e quindi d | (q · b + r). Cioè, d | a.
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Ancora MCD e mcm
Notiamo che:
I
Se il MCD(a, b) è il più piccolo tra a e b, allora il resto della divisione
Euclidea è 0.
I
Altrimenti, il MCD(a, b) sempre divide il resto della divisone Euclidea.
Domanda: è questo sempre vero?
Prendiamo a, b, e la sua divisione Euclidea: a = q · b + r. Allora:
r =a−q·b
I
Se d | a e
d | b,
allora d | q · b,
e quindi d | (a − q · b). Cioè, d | r.
I
Se d | b e
d | r,
allora d | q · b,
e quindi d | (q · b + r). Cioè, d | a.
Quindi:
MCD(a, b) = MCD(b, r)
dove r è il resto della divisione Euclidea di a per b.
Aritmetica
Gennaio 2013
16 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e
52.
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e
52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e
52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
I
52 = 1 · 36 + 16. Siccome r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16.
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e
52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
I
52 = 1 · 36 + 16. Siccome r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16.
36 = 2 · 16 + 4. Siccome r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4.
I
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e
52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
I
I
52 = 1 · 36 + 16. Siccome r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16.
36 = 2 · 16 + 4. Siccome r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4.
I
16 = 4 · 4 + 0. Finito!!
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Algoritmo di Euclide per calcolare MCD
Supponiamo che a > b.
I
Fare la divisione Euclidea di a per b.
I
Prendere il resto r.
I
Se r = 0, allora MCD(a, b) = b.
I
Altrimenti, calcolare MCD(b, r) con questo steso procedimento.
Esempio
Calcolo di MCD(140, 88):
I
140 = 1 · 88 + 52. Siccome r = 52 6= 0, allora facciamo i calcoli con 88 e
52.
I
88 = 1 · 52 + 36. Siccome r = 36 6= 0, allora facciamo i calcoli con 52 e 36.
I
I
52 = 1 · 36 + 16. Siccome r = 16 6= 0, allora facciamo i calcoli con 36 e 16.
36 = 2 · 16 + 4. Siccome r = 4 6= 0, allora facciamo i calcoli con 16 e 4.
I
16 = 4 · 4 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(140, 88) = 4. E mcm(140, 88) = 140 · 88 ÷ 4 = 3080.
Aritmetica
Gennaio 2013
17 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
Aritmetica
Gennaio 2013
18 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
Aritmetica
Gennaio 2013
18 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
Aritmetica
Gennaio 2013
18 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Aritmetica
Gennaio 2013
18 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590.
I
Aritmetica
Gennaio 2013
18 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590.
I
Calcolo di MCD(980, 280):
I
980 = 3 · 280 + 140.
Aritmetica
Gennaio 2013
18 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590.
I
Calcolo di MCD(980, 280):
I
980 = 3 · 280 + 140.
I
280 = 2 · 140 + 0. Finito!!
Aritmetica
Gennaio 2013
18 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(270, 153):
I
270 = 1 · 153 + 117
153 = 1 · 117 + 36
I
117 = 1 · 36 + 9
I
36 = 4 · 9 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(270, 153) = 9. E mcm(270, 153) = 270 · 153 ÷ 9 = 4590.
I
Calcolo di MCD(980, 280):
I
980 = 3 · 280 + 140.
I
280 = 2 · 140 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(980, 280) = 140. E mcm(980, 280) = 980 · 280 ÷ 140 = 1960.
Aritmetica
Gennaio 2013
18 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
I
Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16.
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
I
Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16.
Calcolo di MCD(103565, 12945):
I
103565 = 8 · 12945 + 5
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
I
Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16.
Calcolo di MCD(103565, 12945):
I
I
103565 = 8 · 12945 + 5
12945 = 2589 · 5 + 0. Finito!!
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Esempi
Calcolo di MCD(52, 34):
I
52 = 1 · 34 + 18
I
34 = 1 · 18 + 16
I
18 = 1 · 16 + 2
I
16 = 8 · 2 + 0. Finito!!
I
Quindi, MCD(52, 34) = 2. E mcm(52, 34) = 52 · 34 ÷ 2 = 884.
Calcolo di MCD(16, 8):
I
16 = 2 · 8 + 0. Finito!!
I
Quindi MCD(16, 8) = 8). E mcm(16, 8) = 16 · 8 ÷ 8 = 16.
Calcolo di MCD(103565, 12945):
I
I
I
103565 = 8 · 12945 + 5
12945 = 2589 · 5 + 0. Finito!!
Quindi MCD(103565, 12945) = 5. E
mcm(103565, 12945) = 103565 · 12945 ÷ 5 = 268129785.
Aritmetica
Gennaio 2013
19 / 21
Le due navi
La nave da Talcahuano in Cile verso Isola di Pasqua parte ogni 12 giorni e si
impiega 23 giorni per arrivare. Dalla Isola di Pasqua parte una altra nave
verso Gisborne in Nuova Zelanda ogni 10 giorni, e impiega 35 gironi per
arrivare. Giovanna e Paola che si trovano a Talcahuano sono in ritardo per
prendere la nave, e Paola innervosita li dice a Giovanna:
“Sbrigati! Se prendiamo la nave di oggi, quando arriveremmo nella Isola di
Pasqua potremmo prendere la nave a Gisborne nello stesso giorno.
Altrimenti, chissà quanto dovremo aspettare affinché si becchi la giusta
coincidenza?”
Aritmetica
Gennaio 2013
20 / 21
La Conggettura di Collatz
I
Prendiamo un numero n:
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 21
La Conggettura di Collatz
I
Prendiamo un numero n:
I
Se n è pari, si divide per due;
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 21
La Conggettura di Collatz
I
Prendiamo un numero n:
I
Se n è pari, si divide per due;
I
Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1;
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 21
La Conggettura di Collatz
I
Prendiamo un numero n:
I
Se n è pari, si divide per due;
I
Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1;
I
Si ripete la procedura con il nuovo numero ottenuto.
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 21
La Conggettura di Collatz
I
Prendiamo un numero n:
I
Se n è pari, si divide per due;
I
Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1;
I
Si ripete la procedura con il nuovo numero ottenuto.
Domanda: Come sono le sequenze di numeri generati in questa maniera?
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 21
La Conggettura di Collatz
I
Prendiamo un numero n:
I
Se n è pari, si divide per due;
I
Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1;
I
Si ripete la procedura con il nuovo numero ottenuto.
Domanda: Come sono le sequenze di numeri generati in questa maniera?
Conggettura: Tutte le sequenze generate in questa maniera finiranno
sempre in cicli della forma: 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . .
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 21
La Conggettura di Collatz
I
Prendiamo un numero n:
I
Se n è pari, si divide per due;
I
Se n è dispari, si multiplica per 3 e si somma 1;
I
Si ripete la procedura con il nuovo numero ottenuto.
Domanda: Come sono le sequenze di numeri generati in questa maniera?
Conggettura: Tutte le sequenze generate in questa maniera finiranno
sempre in cicli della forma: 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . . .
Se vuoi, puoi provare a dimostrare questa congettura. Nessuno non ha
ancora riuscito e tu puoi essere il primo o la prima a farlo!
Aritmetica
Gennaio 2013
21 / 21