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Don Bosco, A.S. 2013/14
Compiti per le vacanze - 1C
1. Rappresenta per elencazione ciascuno dei seguenti insiemi:
A = { x | x è una lettera della parola cattedra } =
B={x∈N|x<7}=
C = { x ∈ N | x è pari ∧ x ≤ 10 } =
D = { x ∈ N | x = 2n + 1, n ∈ N } =
2. Rappresenta mediante proprietà caratteristica ciascuno dei seguenti insiemi:
A = { 0; 1; 2; 3; 4 } =
B = { 9; 12; 15; 18 } =
3. Dati gli insiemi A, B e C, rappresenta per elencazione gli insiemi richiesti:
A = { 0; 3; 8; 10 }
A∪B =
B = { 3; 5; 7 }
C = { 2; 5 }
(A ∩ B) ∪ (C−B) =
A∩B =
B ×C =
A∩C =
C ×C =
A−B =
P(B) =
(A ∪ B)−C =
4. Facendo riferimento agli insiemi dell’esercizio precedente, correggi le seguenti proposizioni:
2∈A
5⊆B
{5} ∈ B
7 ∈ B ∩C
{5; 7} ∈ B
A−C = C
{3; 8} ⊆ P(A)
2 ∈ P(C)
∅ ⊆ P(C)
5. Da un’intervista si è appurato che: 20 persone parlano il francese, 20 parlano il tedesco, e 20 lo spagnolo. Inoltre, 10
parlano sia tedesco che spagnolo, 10 sia spagnolo che francese, e 10 sia francese che tedesco. Si sa che 5 persone parlano
tutte e tre le lingue, e che 5 non ne parlano nessuna. Quante persone sono state intervistate? Risolvi il problema
facendo uso di una rappresentazione graﬁca degli insiemi coinvolti.
6. Scrivi l’enunciato della proprietà indicata, come nell’esempio (siano a, b e c ∈ N).
Proprietà commutativa dell’addizione:
a+b = b+a
Proprietà invariantiva della divisione:
Proprietà invariantiva della sottrazione:
Prodotto di potenze di uguale base:
7. Il numero 10800 è divisibile per 360? E per 1296? Se sı̀, indicare il risultato della divisione.
8. Scomponi in fattori primi il numero 1764. Dalla scomposizione puoi dire se 1764 è un quadrato? Di che numero?
9. Qual è l’ultima cifra del risultato della moltiplicazione 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9?
10. Vero o falso? Se falso, correggi l’errore (siano a, b e c ∈ N, diversi da 0).
57 − 54 = 53
910 : 99 = 9
54 : 5 = 13
(2 · 3) · 5 = (2 · 5) · (3 · 5)
(5 · 4)3 = 53 · 26
(2 + 9)3 = 23 · 93
23 · 93 = 183
(23 + 24 ) : 22 = 2 + 22
23 · 57 = 1021
2 · 25 = 26
(33 · 25 ) : 33 = 25
(33 + 35 ) : 33 = 35
(19 · 3) − (11 · 3) = 19 − 11
29 : 23 = 23
(65 · 3) : 64 = 6 : 3
a · (b · c) = a · b · c
(a + b) : c = a + b : c
a : b : c = (a : b) : c
a:0=0
0:a=0
a + (b · c) = (a + b) · (b + c)
(a · c) · a = c
a · (b − c) = a · b − a · c
(a · c) : a = c
11. Scrivi, se esistono, quali operazioni possono essere inserite al posto di * per rendere vera l’uguaglianza.
35 ∗ 32 = 37
(23 )8 = 23∗8
(4 ∗ 2)5 = 45 ∗ 25
(12 ∗ 20) : 4 = 12 : 4 ∗ 20 : 4
(98 − 2) ∗ (49 − 2) = 98 ∗ 49
5∗0=0
(14 · 2) ∗ (7 · 2) = 14 ∗ 7
(14 ∗ 2) : (7 ∗ 2) = 14 : 7
35 ∗ 35 = 0
12. Dove possibile, sempliﬁca le seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle operazioni o delle potenze, e indica il
nome delle proprietà utilizzate (scrivi semplicemente commutativa, distributiva, invariantiva, associativa, stessa base,
stesso esponente, o potenza di potenza).
(500 · 37) : (5 · 37) =
24 · (23 + 22 ) =
33 − 32 =
(53 · 52 )4
812 : 235 =
64 : 33 =
(34 + 36 ) : 34 =
(37 · 57 ) : 156 =
(36 · 55 ) : 154 =
104 : 53 =
2
205 : 42 =
65 : (23 · 34 ) =
(36 + 42 )5 =
66 · 43 =
(a + b) · c =
(a · c) : (b · c) =
13. Completa al posto dei puntini.
421 = 2...
...0 = 1
615 = 2... · ......
68 : ...... = 64
68 : ...... = 28
(77 · ...) : 7 = 33
245 = 2... · 3...
(... : 3) : (2 : 3) = 5
...2 = 24 · 32
14. Risolvi le seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle potenze dove possibile:
a)
b)
c)
[ 34 · 32 : (310 : 39 · 33 )]8 : {[(315 : 30 · 32 : 312 )2 ]2 : (312 : 35 · 34 )} =
[(
2) (
1 )]2 ( 5 )2 [( 3 )4 ( 3 )2 ] 9
5+
: 9−
·
−
:
+ =
3
2
2
2
2
4
[( 3 )2 ]3 ( 3 )5 [( 3 )5 ]2
[( 1 )−2 ]2
−
· −
:
−
+ [ 25 : (2−3 · (−2)6 )]−2 ·
−
=
4
4
4
3
e)
(−2)4 · 23 =
g)
(−2)8 : 22 · 25 · (−2)4 : (−2)3 =
( 6 )3 ( 4 )3 ( 5 )3
: −
· −
=
35
7
3
h)
i)
− (−2)−1 =
[−24 ]3 =
( 5 )3 ( 3 )2
m)
·
=
3
5
( 5 )3 ( 2 )2 ( 3 )4
n)
·
·
=
3
5
2
( 2 )−3 ( 2 )4 ( 3 )2
o)
−
·
: −
=
3
5
5
( 10 )5 ( 3 )4
p)
−
· −
=
3
5
( 2 )3 ( 1 )7
q) 64 ·
·
=
3
2
k)
r)
s)
f ) 34 · 33 : 39 · 3−2 : 3−5 =
j) [−23 ]2 =
l) [(−2)3 ]5 =
{−[−(−2)−1 ]−2 }−3 =
( 16 )10 ( 4 )19
:
=
9
3
3
15. Risolvi le seguenti espressioni, usando le proprietà delle potenze dove possibile:
a)
( 10 )4 ( 6 )3
· −
=
3
5
b) [−(−2)3 ]−3 ·
c)
− ( − 1, 1̄ )2 · ( 0, 16̄ )−4 : 26 =
d)
(
1 )−6
=
2
[ 2
( 4
)]3
− x5 y 3 z 2 : − x5 y
=
3
3
−
e) 4ab : (−4ab) + (−2a2 b)3 : (−2ab)2 + 1 =
f ) (a3 b2 )2 · (−ab3 )3 : [(−2a2 b3 )2 ]2 + (2a2 b3 )2 : (−2ab)3 : (−b)2 =
( a 2 b )2
( 3
)3
− 2ab −
: (−6a3 b) − {−[−a2 (−b)2 ]2 }2 : − a2 b2 =
3
2
[
( 1 )2 ]2
h)
− 0, 2̄a2 : − a
(−b)3 + [−0, 1b2 (−5a3 )2 : (−5a2 )3 ](−5)2 b =
3
g)
16. Sviluppa le seguenti espressioni utilizzando i prodotti notevoli:
b) (2a − b2 )2
a) (a + 1)2
(
d) (3a + b − c)2
e)
c) (x − 2xy)(x + 2xy)
)(
1
1 )
− x2 − 2 2 − x2
2
2
f ) (2 − a2 )3
17. Risolvi le seguenti espressioni letterali, utilizzando i prodotti notevoli dove possibile:
a)
(x − 3y)(x + 3y)(x2 + 9y 2 ) − 9(x4 − 9y 4 ) =
b)
(4a2 + b2 )2 − [(−2a + b)(2a + b)]2 − (−4ab − 1)(−4ab + 1) =
)( 1
)
(1
a + b − b2 (21a − 8b) =
(a − 2b)3 − 9a a − b
3
3
c)
d)
a2 (1 + 6b2 ) − (a2 + 1)(a2 − 2b2 ) − 16b4 + (a − 2b)2 (a + 2b)2 =
18. Enuncia il Teorema del Resto.
19. Esegui le seguenti divisioni tra polinomi. Riconosci tra esse quelle alle quali si può applicare il Teorema del Resto e
calcolane il resto, prima di eseguire la divisione con l’algoritmo alternativo.
(
3)
a) (6x3 + 12x2 − x − 1) : (3x2 − 1)
b)
2x5 − 9x3 + x2 + 5x −
: (2x2 − 1)
2
(
) (
1
1)
c) (x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1) : (x − 2)
d) (x5 − 3x3 ) : (x + 1)
e)
x3 − x2 + 2x − 1 : x −
2
2
20. Scomponi i seguenti polinomi.
3 5 1 3
x − x
4
2
a)
3xy 4 − 6x4 y 3 + 21x4 y 5
b)
d)
a3 + a2 + 2a + 2
e) 6x2 y + 3x − 4xy 2 − 2y
2(a − b)2 + 2x(a − b) − 2(b − a)
c)
f ) a5 + a4 + a3 + a2
21. Che valore deve avere k in modo che il polinomio p(x) = x2 + x − k sia divisibile per il binomio (x − 2)?
22. Scomponi i seguenti polinomi:
a) x2 − 2x + 1
b) 8 + a3
f ) a2 + 6a + 8
j) x3 − x
c) 4a2 − 9b2
g) 8x3 − 12x2 + 6x − 1
k) a6 x + b3 − a6 − b3 x
d) a2 + 4b2 + x2 + 2ax − 4ab − 4bx
h) a6 − 2a3 b5 + b10
l) b5 − 7b4 + 10b3
23. Calcola il risultato dell’espressione: 4444442 − 4444432 .
4
e) x2 + 4ax − ax − 4a2
i) (a + b)2 + 5(a + b) − (a + b)
m) y 4 − 16
n) a2 x2 − a2 y 2 + abx2 − aby 2
24. Completa l’assioma: Tra due punti di una retta ...
25. Scrivi la deﬁnizione di angolo, e quella di bisettrice di un angolo.
26. Enuncia le proprietà della congruenza.
27. Disegna due segmenti consecutivi ma non adiacenti AB e BC e congiungi i loro punti medi M e N; sulla retta di MN,
dalla parte di M, prendi poi un punto P tale che PM ∼
= MN.
28. Scrivi la deﬁnizione di angoli consecutivi e angoli adiacenti, poi rispondi alle seguenti domande.
Disegna un segmento AB e considera un punto C al suo interno. Traccia due diverse semirette r ed s aventi entrambe
origine in C, e considera su ciascuna di esse un punto, rispettivamente D ed E.
\ e BCE
\ sono consecutivi? E adiacenti? Motiva la risposta.
a) Gli angoli ACD
\ e DCE
\ sono consecutivi? E adiacenti?
b) Gli angoli ACD
c) Quante coppie di angoli adiacenti vedi in ﬁgura? Elencale.
c) E’ vero che i segmenti CD e CE sono consecutivi? Motiva la risposta.
d) Come bisogna tracciare le due semirette r ed s se si vuole che CD e CE siano adiacenti?
29. Scrivi le deﬁnizioni di a) angolo, b) angoli consecutivi, c) angoli adiacenti, d) angolo retto, e) angolo acuto, f) angolo
ottuso, g) angoli complementari, h) angoli supplementari, i) angoli esplementari e j) angoli opposti al vertice. Per ogni
deﬁnizione fornisci un disegno illustrativo.
30. a) Dimostra che angoli consecutivi di uno stesso angolo sono congruenti.
b) Dimostra che angoli opposti al vertice sono congruenti.
31. Vero o falso? Correggi le aﬀermazioni false.
a) Due angoli acuti possono essere supplementari.
b) Un angolo maggiore di un angolo acuto è sempre un angolo ottuso.
c) Due angoli adiacenti sono sempre supplementari.
d) La somma di due angoli acuti è sempre un angolo ottuso.
32. Dimostra che se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.
33. Considera due rette r ed s che si intersecano nel punto P. Considera i punti A e B su r, tali che AP ∼
= BP , e i punti
C e D su s, tali che CP ∼
= DP . Dimostra che i triangoli ACP e BDP sono congruenti.
34. Dimostra che, in un triangolo isoscele, le due mediane relative ai lati obliqui sono congruenti.
35. Considera il triangolo isoscele ABC di base AB. Considera i punti D ed E sulla base AB, tali che AD ∼
= BE. Dimostra
che il triangolo DEC è anch’esso isoscele. (Suggerimento: considera i triangoli DAC e BEC...)
36. In riferimento alla seguente ﬁgura:
Sono angoli alterni esterni le coppie
e
2 e 7 si dicono
e sono
3 e 7 si dicono
e sono
2 e 8 si dicono
e sono
37. Mostra con un esempio che due triangoli aventi ordinatamente congruenti due lati e un angolo NON compreso tra essi,
NON sono necessariamente congruenti.
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