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CORSO DI BIOFISICA
IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E’
AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L’UNIVERSITA’ DI
TERAMO
LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO
“FONDAMENTI DI FISICA” DI D. HALLIDAY, R. RESNICK, J.
WALKER, ED. CEA.
TRASMISSIONE DELL’ENERGIA - LAVORO
L'energia descrive lo stato di un sistema in relazione all'azione delle
quattro forze fondamentali.
È una proprietà di tutta la materia e si osserva indirettamente attraverso
variazioni della velocità, della massa, della posizione, ecc.
Non esiste uno strumento universale capace di misurare direttamente
l'energia.
La variazione dell'energia di un sistema, che è tutto ciò che si riesce a
determinare sperimentalmente, è una misura della variazione fisica di quel
sistema.
Si può compiere lavoro su un corpo per porlo in moto, per mantenerlo in
moto o per variare il modo in cui esso si muove.
TRASMISSIONE DELL’ENERGIA - LAVORO
 Il lavoro è l‘energia trasferita a un corpo da un corpo per mezzo di una
forza che agisce sul corpo stesso.
L’energia ceduta al corpo è un lavoro positivo, mentre quella ceduta dal
corpo è un lavoro negativo.
Il lavoro è la variazione di energia di un sistema dovuta all’applicazione di
una forza che fa subire uno spostamento.
La forza è l'agente della variazione; l'energia è una misura della variazione.
Poiché un sistema può variare attraverso l'azione di differenti forze in
differenti modi, esistono parecchie distinte manifestazioni dell'energia.
TRASMISSIONE DELL’ENERGIA - LAVORO
Lavoro = Forza x spostamento
Il lavoro compiuto su un corpo da una forza applicata è il prodotto della
componente della forza lungo la direzione dello spostamento per il
modulo dello spostamento.
Il lavoro compiuto dalla componente della forza perpendicolare allo
spostamento è nullo.
Una forza compie lavoro positivo quando la sua componente nella
direzione dello spostamento è di verso concorde con lo spostamento
stesso. Nel caso opposto il lavoro è negativo.
Il lavoro è nullo se questa componente è nulla.
Nel SI, il lavoro è espresso in joule (J) = 1 N · m
LAVORO
(forza cost. e parallela al moto, moto rettilineo)
– Corpo rigido,
– su esso agisce F:
• costante,
• parallela al moto,
• provoca uno spostamento s orizzontale rettilineo del
corpo.
>0, F e s paralleli e
concordi
W = ± Fl
<0, F e s paralleli e
discordi
W = lavoro
F = modulo della forza applicata F
l = cammino lungo il quale agisce la forza = valore scalare s
LAVORO
(forza cost. non parallela al moto, moto rettilineo)
F
q
F cosθ
s
F sinθ
– Corpo rigido
– su esso agisce F:
• costante,
• non parallela al moto,
• provoca uno spostamento s orizzontale rettilineo del
corpo.
F sinθ, no lavoro
F cosθ, sì lavoro
W = Fl cos θ
LAVORO
(forza costante e // traiettoria, moto curvilineo)
Pi
dl
Pf
F costante
l traiettoria curvilinea da Pi a
Pf.
P
W   F cos θ d l
F
f
Pi
F = costante e parallela alla traiettoria → θ = 0, cos θ = 1
Pf
W  F  d l  Fl
Pi
W, sempre positivo, è compiuto contro la forza d’attrito, l’unica che
si oppone al moto del blocco.
LAVORO
(forza variabile, moto curvilineo)
Pf
F variabile
Traiettoria curvilinea da Pi a Pf.
Δlj = trattino in cui Fj è costante
Δln
n
W   Fj cos θ j l j
j 1
Δl7
Δl6 Δl
5 Δl
4
F7
Per Δlj → 0, n.ro trattini n → 
Δl3
Pf
Δl2
Δl1
W   F r cos θ d l
Pi
F1
Pi
Enunciato più generico possibile per il
lavoro di una forza
LAVORO
(prodotto scalare)
Pf
W   F r cos θ d l
Integrale di linea o curvilineo
Pi
Prodotto dei due moduli dei vettori F e dl, nonché per il coseno
dell’angolo tra essi compreso.
In generale si può affermare che, presi due vettori A e B si
definisce prodotto scalare o prodotto interno
A · B = A · B cos (θ)
Il risultato è uno scalare.
Pf
W   F  dl
Pi
dl modulo infinitesimo di dl,
direzione tangente alla traiettoria,
verso quello del moto
LAVORO NEL CAMPO GRAVITAZIONALE
Poiché Fg = mg, allora il lavoro compiuto
vf
vi
Fg
Fg
d
dalla
forza
gravitazionale
sulla
mia
particella sarà:
Lg= m g d cos φ
Per un corpo che sale, φ = 180° quindi
Lg= m g d cos (180°) = m g d (-1)= - m g d
Per un corpo che scende, φ = 0° quindi
Lg= m g d cos (0°) = m g d (+1)= m g d
Si dimostra che si compie lavoro unicamente durante la parte
ascendente del moto, perché si oppone a Fg diretta verso il basso.
LAVORO SVOLTO DA UNA FORZA ELASTICA
Poiché FK = - kx, allora il lavoro compiuto
da una forza elastica al muoversi del
blocco sarà:
Lm= Σ –Fj Δx
Cioè
xf
xf
xi
xi
Lm    kx d x  k  x  d x 
= (- ½ k) (x2f - x2i )
Il lavoro risulta di segno positivo se x2i > x2f, quando il blocco si
avvicina alla posizione di riposo.
Il lavoro risulta di segno negativo se x2i < x2f quando il blocco si
allontana dalla posizione di riposo.
POTENZA
La potenza è la rapidità con cui viene compiuto lavoro nel tempo:
[potenza] = [lavoro] / [intervallo di tempo impiegato]
Δt finito → potenza media:
Pmedia = ΔW / Δt
W dW

t 0 t
dt
P  lim
Per Δt → 0, si ottiene la potenza istantanea:
Nel SI: watt (W) → 1 W = 1 J/s = 1 N·m/s
1 kW = 1000 W
Cavallo vapore: CV
Nel 1789 l'ingegnere scozzese James Watt introdusse il termine "cavallo“
per indicare il numero di cavalli da tiro necessari per sostituire il proprio
motore a vapore.
All'epoca infatti la forza motrice comunemente utilizzata per estrarre il
carbone dalle miniere era data da pony.
Oggi si definisce convenzionalmente cavallo vapore la potenza necessaria a
sollevare 75 kg alla velocità di un metro al secondo.
Per misurare la potenza di un cavallo occorre servirsi di uno speciale
strumento che permette di rilevare la capacità di traino dell'animale.
Un cavallo da corsa ben allenato sviluppa una potenza di 10-12 cavalli,
praticamente quella di uno scooter 125.
1 cavallo-vapore = 1 CV= 735,5 W
POTENZA vs FORZA E VELOCITA’
Possiamo anche esprimere la rapidità con cui una forza sviluppa
lavoro su un corpo in funzione di questa forza e della velocità del
corpo
P
L
dx
 F cos θ  F cos θ v
t
dt
Per Δt → 0:
P = F v cos θ
In simboli vettoriali:
P = F∙v (potenza istantanea)
La potenza è uguale al prodotto della componente della forza nella
direzione del moto per la velocità.
ENERGIA CINETICA
L’energia cinetica è l’energia associata al moto di un corpo.
Quanto più veloce è l’oggetto considerato, tanto maggiore è la sua
energia cinetica.
Quando l’oggetto è a riposo, la sua energia cinetica è zero
Energia cinetica di traslazione
massa m, velocità v:
Ecin,tr = ½ mv2
Energia cinetica di rotazione
mom. inerzia I, velocità ang. ω:
Ecin,rot = ½ Iω2
v = rω
Nel SI: Ecin in joule (J)
Ecin → grandezza relativa (funzione di v)
TEOREMA DELL’ ENERGIA CINETICA
Grazie alla II legge di Newton, possiamo calcolare il lavoro di una
forza tra due punti nello spazio, come la variazione di energia
cinetica tra i due punti.
Sistema qualsiasi
sul sistema
Ecin aumenta
Sistema qualsiasi
Lavoro
dal sistema
Ecin diminuisce
Il lavoro totale compiuto nell’accelerare una particella è uguale alla
variazione della sua energia cinetica.
L= Ecin,f − Ecin,in = ΔEcin
FORZA CONSERVATIVA
Se spostiamo una particella dalla posizione
B
A alla posizione B su diversi percorsi,
troviamo che per alcuni campi di forza il
A
lavoro compiuto non dipende dal percorso
prescelto.
In questo caso, la forza è detta CONSERVATIVA
In altri termini, il lavoro svolto da una forza conservativa su una
particella che si muove su un percorso chiuso è zero.
Per essere conservativa la forza agente su un punto materiale in una
posizione arbitraria dello spazio deve essere costante,
indipendentemente da come e da quando il punto materiale giunge in
quella posizione.
ENERGIA POTENZIALE
E’ l’ energia immagazzinata all’interno di un sistema qualsiasi e
dipende dai soli punti di arrivo e partenza.
ΔU = -L
hb
h
ha
ENERGIA POTENZIALE GRAVITAZIONALE
y
yf
yf
U     mg  d y  mg  d y 
yi
yi
xyff
m g (yf – yi)
xyi
i
ΔU = m·g·Δy è l’energia potenziala indotta
nel sistema particella - Terra
Importante è la variazione di Epot gravitazionale.
Ha senso parlare solo di differenza di energia potenziale
gravitazionale tra due posizioni
 siamo liberi di scegliere un livello ed associare a quel livello lo
zero dell’energia potenziale.
hi = 0 l.d.m. → Epot,grav = mgh
ENERGIA POTENZIALE ELASTICA
La forza elastica è una forza conservativa
xf
xf
xi
xi
U     kx d x  k  x  d x  (½ k) (x2f - x2i )
Se poniamo Ui = 0 per la posizione di riposo della molla, allora
posso definire l’energia potenziale elastica come:
1 2
U el  kx
2
ENERGIA MECCANICA
Fp
Livello del mare
h
Fest
sistema
qualsiasi
Tipi di energie:
Effetto di Fest → Wtot
Effetto di Fp → ΔEpot,grav
Effetto del moto → ΔEcin
No attrito e deformazioni
Bilancio di energia
Wtot = ΔEpot,grav + ΔEcin
ΔE = variazione di
energia meccanica
Se ΣFest=0 (sistema isolato) → Wtot=0 → ΔE=0 →
L’ energia meccanica si conserva
ENERGIA MECCANICA
E’ la somma dell’ energia potenziale U e dell’energia cinetica K
relativa ai campi che compongono un sistema:
Emec = K + U
In un sistema isolato, avrò che:
ΔK = L,
ma anche
ΔU = - L
Combinando le due equazioni ottengo:
ΔK = -ΔU
K f  Ki  mg (hi  h f )  Ui  U f
Ki  U i  K f  U f
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
Principio di conservazione dell’energia meccanica:
Quando in un sistema isolato agiscono solo forze conservative,
l’energia cinetica e l’energia potenziale prese singolarmente possono
variare, ma la loro somma, l’energia meccanica del sistema, non
cambia.
Sistema isolato: al sistema non affluisce né defluisce energia.
Wtot = 0 → ΔE = 0
Ef = Ei
½ mvf2 + mghf = ½ mvi2 + mghi
Sistema non isolato:
Wtot = (½ mvf2 − ½ mvi2) + (mghf − mghi)
IL CENTRO DI MASSA
Il centro di massa di un corpo o di un sistema di corpi è il punto
che si muove come se tutta la massa fosse ivi concentrata e
come se tutte le forze esterne ivi agissero.
y
xc.d.m.
m1
m2
x1
d
x2
X
cdm
= (m1x1 + m2x2) / m1 + m2
IL CENTRO DI MASSA
SISTEMA DI PUNTI MATERIALI
La seconda legge di Newton per un sistema di punti materiali è
espressa dall’equazione: Fnet = Macdm, dove:
1) Fnet è la somma vettoriale di tutte le forze esterne che agiscono
sul sistema, escluse le forze interne interagenti nel sistema;
2) M è la massa totale del sistema. Si suppone che nessuna massa
entri o lasci il sistema durante il moto, in modo che M rimanga
costante (sistema chiuso);
3) acdm è l’accelerazione del centro di massa del sistema.
QUANTITA’ DI MOTO
Quanto varia il moto di un corpo, se gli si applica una forza?
p = quantità di moto (momentum)
p = m∙v
p è un vettore:
– modulo: p = m v
– direzione: la stessa di v
– verso: lo stesso di v.
Nel SI è espressa in kg m/s.
La seconda legge di Newton in termini di quantità di moto viene
enunciata come: La rapidità di variazione del momento di una
particella è proporzionale alla forza netta che agisce sulla
particella ed ha la stessa direzione di quella forza.
QUANTITA’ DI MOTO
•Sotto forma di equazione, ciò diventa:
Fmedia 
p
t
Δp = pf − pi = mfvf − mivi
Δp = m(vf − vi) = m Δv
Fmedia  m
v
t
Fmedia  ma
Seconda legge di Newton in termini di massa e
accelerazione
QUANTITA’ DI MOTO
Fmedia 
p mv 

t
t
Definizione di Newton (N): 1 N è la forza che produce una
variazione della quantità di moto di un corpo qualsiasi pari a 1
kg m/s in 1 s.
1 N = 1 kg ∙ m/s2
QUANTITA’ DI MOTO
La forza applicata ad un corpo è proporzionale alla variazione di
quantità di moto che produce:
F  Δp
Δp (non dipende dall’osservatore) è legata a due grandezze:
– sistema di forze applicate ad un corpo;
– tempo durante il quale esse sono applicate.
Esempio
F
Δp aumenta se:
– aumenta il numero di persone che spingono l’auto (aumenta F)
– esse spingono per più tempo più rapidamente.
F  1/Δt
A parità di Δp, se si applica una forza grande, essa deve essere
applicata solo per un breve tempo.
QUANTITA’ DI MOTO
ESEMPIO DEL LANCIATORE
La mano applica una F
sulla palla.
La F produce una Δp.
Più ampio è il movimento
più ampio è il Δt durante il
quale agisce F
Fmedia Δt =
Δp
maggiore è Δp.
IMPULSO E VARIAZIONE DELLA
QUANTITA’ DI MOTO
Una forza applicata a un corpo già in moto può:
– aumentare la sua Δp, se Fmedia agisce nella direzione parallela
e concorde rispetto alla velocità iniziale;
– diminuire la sua Δp, se Fmedia agisce nella direzione parallela e
discorde (antiparallela) rispetto alla velocità iniziale.
In ogni caso, a parità di Δp, più lungo è Δt, durante il quale la forza
agisce, minore dovrà essere Fmedia
(Fmedia Δt = Δp).
IMPULSO
Forza, N
Fmedia
p mv 


t
t
F(t)
 p  dp
F(t )  lim   
t 0 t
  dt
dp  F(t ) d t
tf
tf
ti
ti
 dp   F(t )dt
tf
p f  p i   F(t )dt
ti
Tempo, ms
tf
Impulso: area sottesa dalla
curva
Teorema dell’impulso
Δp = J
J   F(t )dt
ti
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’
DI MOTO
Principio di conservazione della quantità di moto
Quando è nullo il risultante delle forze esterne agenti su un
sistema, la sua quantità di moto rimane invariata.
P = costante (sistema chiuso ed isolato) cioè Pi = Pf
Sistema
isolato
Δp =
0
Sistema isolato.
Le masse interagiscono tra loro.
La Δp di ciascuna massa varia.
La Δp di tutte le masse = 0, se ΣFesterne
= 0
QUANTITA’ DI MOTO ED
ENERGIA CINETICA NEGLI URTI
Urto = trasmissione della quantità di moto tra corpi in moto relativo
In tutti i casi in cui non agiscono forze esterne, la quantità di moto
totale dei corpi collidenti si conserva.
Se nella collisione tra due corpi l’energia cinetica totale del sistema
non cambia, si dice che l’energia cinetica si conserva e l’urto è
definito ELASTICO.
Se nella collisione tra due corpi l’energia cinetica totale del sistema
non si conserva,l’urto è definito ANELASTICO.
Quando due corpi si incollano a seguito dell’urto, si ha la massima
perdita
di
energia
cinetica
e
l’urto
viene
definito
COMPLETAMENTE ANELASTICO.
URTI ANELASTICI
Urto anelastico: Ecin,f ≠ Ecin,i
L’urto è anelastico se dopo l’evento uno dei due corpi:
– subisce un aumento di temperatura o
– rimane deformato.
Se Fe=0, la quantità di moto si conserva:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
Se i due corpi collidenti si muovono inizialmente lungo una retta
congiungente i loro centri di massa (allineati), anche dopo l’urto la
direzione del moto si svolgerà lungo questa retta (urto frontale).
Se le velocità dei due corpi prima dell’urto non sono allineate, anche
dopo l’urto le masse si allontaneranno lungo direzioni che formano
un certo angolo con la direzione iniziale.
URTI ELASTICI
Urto elastico: Ecin,f = Ecin,i
m1 = massa in movimento (proiettile)
m2 = massa in quiete (bersaglio)
Per l’equazione della conservazione della quantità di moto, ho:
m1v1i + 0 = m1v1f + m2v2f
Per l’equazione dell’energia cinetica in un urto elastico, ho:
½ m1v1i2 + 0 = ½ m1v1f2 + ½ m2v2f2
URTI ELASTICI
Se m1 = m2, allora avrò v1f = 0 e v2f = v1i.
La massa 1 si arresta di colpo, mentre la seconda si allontana con la
stessa velocità che aveva la 1 inizialmente.
Le due masse si scambiano la velocità.
m1
m2
Prima dell’urto
v2i=0
v1i
m1
m1
v1f=0
Urto
m2
Dopo l’urto
m2
v2f=v1i
Ciò è valido anche se il bersaglio non è inizialmente fermo!
URTI ELASTICI
Se m2 >> m1, allora avròv1f = - v1f e v2f = (2 m1 / m2) v1i
La massa 1 rimbalza nella direzione orientata opposta, mentre la
massa 2, inizialmente in quiete, si allontana nella direzione
positiva.
m1
m2
v2i=0
Prima dell’urto
v1i
m1
m1
v1f
m2
Urto
m2
Dopo l’urto
v2f
URTI ELASTICI
Se m1 >>m2, allora avrò v1f = v1i e v2f = 2v1i
Entrambe le masse si allontanano dopo l’urto nella direzione
orientata del moto. La velocità di m1 sarà indisturbata, mentre
m2 scatterà in avanti con una velocità doppia di quella della m1
m1
m2
v2i=0
Prima dell’urto
v1i
m1
m2
Urto
m1
m2
v1f
Dopo l’urto
v2f