Volume I - Università delle Tre Età UNITRE Sede autonoma di Sesto

LA PIU’ BELLA FORMULA DELLA MATEMATICA
𝒆𝒊𝝅 + 𝟏 = 𝟎
VOLUME PRIMO
Rev. 07
Primo Lodi
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Sommario
PREMESSA .............................................................................................................................. 4
INTRODUZIONE ...................................................................................................................... 7
CAPITOLO PRIMO: LA NUMERAZIONE POSIZIONALE ...................................................... 10
1.1 Definizioni iniziali ........................................................................................................... 10
1.2 I simboli dei numeri ....................................................................................................... 11
1.3 I nomi dei numeri ........................................................................................................... 13
1.4 E allora, contiamo!......................................................................................................... 15
1.5 Leonardo Fibonacci e la numerazione posizionale........................................................ 20
1.6 Altre basi oltre il dieci .................................................................................................... 24
1.7 Gli insiemi ...................................................................................................................... 33
1.8 Le espressioni ............................................................................................................... 35
1.9 Conclusione del primo capitolo...................................................................................... 36
ESERCIZI DEL PRIMO CAPITOLO .................................................................................... 37
CAPITOLO SECONDO: LE OPERAZIONI DIRETTE E INVERSE. ........................................ 41
2.1 Addizione dei numeri naturali. ....................................................................................... 41
2.1.1 Definizione dell’addizione ....................................................................................... 41
2.1.2 Proprietà dell’addizione .......................................................................................... 42
2.1.3 Esecuzione dell’addizione ...................................................................................... 42
2.1.4 Esistenza del numero somma................................................................................. 45
2.1.5 Uguaglianza ............................................................................................................ 46
ESERCIZI SULL’ADDIZIONE DEI NUMERI ....................................................................... 47
2.2 Sottrazione dei numeri naturali: numeri negativi, numeri interi. ..................................... 49
2.2.1 Definizione della sottrazione ................................................................................... 49
2.2.2 Proprietà della sottrazione ...................................................................................... 50
2.2.3 Esecuzione della sottrazione .................................................................................. 51
2.2.4 Esistenza della sottrazione; i numeri interi .............................................................. 52
ESERCIZI SULLA SOTTRAZIONE DEI NUMERI ............................................................... 57
2.3 Moltiplicazione degli interi. ............................................................................................ 59
2.3.1 Definizione di moltiplicazione .................................................................................. 59
2.3.2 Proprietà della moltiplicazione ................................................................................ 59
2.3.3 Esecuzione della moltiplicazione ............................................................................ 61
2.3.4 Esistenza del prodotto ............................................................................................ 64
ESERCIZI SULLA MOLTIPLICAZIONE DEI NUMERI ........................................................ 65
2.4 Divisione degli interi: i numeri razionali. ........................................................................ 67
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2.4.1. Definizione di divisione .......................................................................................... 67
2.4.2 Proprietà della divisione .......................................................................................... 68
2.4.3 Esistenza del quoziente .......................................................................................... 69
2.4.4 Esecuzione della divisione ...................................................................................... 71
2.4.5 Somma, sottrazione, moltiplicazione di numeri razionali ........................................ 75
2.4.6 I numeri primi .......................................................................................................... 75
2.4.7 Le frazioni ............................................................................................................... 82
2.4.7.1 Moltiplicazione e divisione delle frazioni ........................................................... 82
2.4.7.2 Riduzione di una frazione ai minimi termini ...................................................... 84
2.4.7.3 Somma e sottrazione delle frazioni .................................................................. 86
ESERCIZI SULLA DIVISIONE DEI NUMERI ...................................................................... 91
CAPITOLO TRE: OPERAZIONI PARTICOLARI ..................................................................... 95
3.1 Caso particolare della moltiplicazione: elevazione a potenza. ...................................... 95
3.1.1 Definizione dell’elevazione a potenza ..................................................................... 95
3.1.2 Proprietà dell’elevazione a potenza ........................................................................ 96
3.1.3 Esistenza delle potenze dei numeri razionali ........................................................ 100
3.1.4 Un numero che non è una potenza, ma di più: n! ................................................. 100
ESERCIZI SULLA ELEVAZIONE A POTENZA ................................................................. 102
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PREMESSA
La formula eiπ + 1 = 0 è stata inventata (scoperta?) dal grande matematico e fisico svizzero
Leonardo Eulero.
Leonhard Euler
Basilea, 15/4/1707 – San Pietroburgo, 18/9/1783
La formula compare nel libro “Introductio”, pubblicato da Eulero a Losanna nel 1748.
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La definizione di “formula più bella della matematica” è stata data da Richard Feynman, premio
Nobel per la Fisica; il motivo è che essa include le costanti più importanti della matematica:






Il numero 0, l'elemento neutro per l'addizione (per ogni ,
).
Il numero 1, elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni ,
).
Il numero
è fondamentale nella trigonometria; è il rapporto fra la lunghezza della
circonferenza di un cerchio e il suo diametro. In modo alquanto sorprendente, appare
anche in statistica, nella formula della distribuzione casuale degli eventi.
Il numero è una costante fondamentale connessa allo studio dei logaritmi e all’analisi
matematica.
L'unità immaginaria (dove
) è la parte immaginaria nei numeri complessi.
L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le
equazioni polinomiali.
La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale , elevato ad un
esponente che collega numeri irrazionali reali ( ), irrazionali immaginari (
), e interi.
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Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione,
moltiplicazione ed elevazione a potenza.
Per capire la formula, scopriremo man mano tutta la matematica che permette di definire queste
costanti: questo viaggio ci consentirà di coprire quasi tutta la matematica insegnata al liceo. La
matematica che vedremo sarà solo quella pertinente allo scopo di arrivare alla sua
comprensione; però, qua e là, non ho saputo resistere a qualche digressione su argomenti
interessanti: spero mi perdonerete queste poche scivolate d’ala.
Questo lavoro è rivolto a tutti; per non esagerare con le difficoltà di chi parte da zero, ho pensato
bene di dividerlo in tre volumi.
Come ho detto, si parte da zero: quindi, nel primo volume si comincia con la numerazione,
paragonando quella degli antichi alla nostra numerazione posizionale, e discutendo delle
espressioni. Procediamo poi con lo studio delle quattro operazioni fondamentali: addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione, considerando le loro proprietà, e come l’insieme dei
numeri su cui si opera si estenda dai numeri naturali ai numeri razionali. Per ogni capitolo,
alcuni esercizi servono ad approfondire i concetti.
Nel secondo volume si procede con l’operazione di elevazione a potenza, e se ne studiano le
proprietà. La prima operazione inversa è l’estrazione di radice: vedremo come questa
operazione allarga l’insieme dei numeri, creando i numeri irrazionali ed i numeri reali, che li
includono.
La seconda operazione inversa è quella dei logaritmi: anche di loro studieremo le proprietà, e
vedremo come trasformano un prodotto in una somma, rendendo possibile la realizzazione del
regolo calcolatore.
Vedremo poi che il caso impossibile della estrazione della radice quadrata di -1 abbia dato
origine ad una fantastica estensione dei numeri: dai numeri reali a quelli complessi. Parleremo
quindi del piano complesso, e della unità complessa i: il primo mistero della formula di Eulero
sarà svelato.
Nel terzo volume cominceremo con introdurre il concetto di funzione, e di come sia possibile
diagrammarla. Accenneremo quindi ai due pilastri dell’analisi matematica: le derivate e gli
integrali.
Inventeremo poi la trigonometria elementare, come base per la comprensione della formula di
Eulero.
Parleremo poi delle serie numeriche: da quella di Fibonacci a quella per e, secondo mistero
svelato. Accenneremo poi alle serie di potenze, e vedremo la serie per ex, sen(x) e cos(x). Da
queste serie deriverà finalmente la formula di Eulero, in tutta la sua bellezza.
In conclusione, discuteremo brevemente del ruolo della matematica, e del suo rapporto con la
Fisica.
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INTRODUZIONE
C’è chi definisce la matematica come “La scienza che tratta di abili operazioni che utilizzano
concetti e regole inventati a questo scopo”. In altre parole, la matematica sarebbe una scienza
che opera su concetti fini a sé stessi.
Oggi non è più assolutamente così. Circa 400 anni or sono, Galileo Galilei ha fatto la sua più
grande scoperta, che è la seguente:
“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli
occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua,
e conoscer i caratteri, né quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son
triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.” (il
saggiatore)
Da allora, la fisica ha creato il mondo moderno, normalmente usando strumenti già noti della
matematica, e talvolta persino creando strumenti che le erano necessari, come quando Newton
creò il calcolo differenziale per descrivere il movimento dei corpi.
Ai tempi di Galileo, la Cultura era solo quella umanistica: filosofia, teologia, letteratura, storia.
La geometria era la sola branca della Scienza che fosse accettata come umanistica. Quando
la scienza ha iniziato la sua crescita impetuosa, occupando spazi una volta di pertinenza della
filosofia e della teologia, si è creata una frattura tra la Cultura classica e quella scientifica. Solo
in tempi recenti si è accettato il fatto che la profondità di pensiero delle scienze: matematica,
fisica, chimica, biologia, non siano da meno rispetto alla cultura classica. Ecco quindi che, nel
proporvi questo corso, ho l’ambizione di fare cultura, tout court.
L’altro motivo che mi ha spinto a questa impresa è la constatazione del fatto che c’è una
avversità diffusa verso la matematica, basata sul fatto che è una scienza difficile ed estranea,
calata dal cielo, che non si può discutere, ma che si deve solo imparare. La mia personale
esperienza è quella di un laureato in fisica, che, aprendo il suo primo libro, si è trovato davanti
ad una serie di equazioni matematiche, che sono continuate su tutte le pagine: tra tanta
matematica, è stato arduo ricostruire il senso fisico di quello che c’era scritto.
Solo parecchi anni dopo ho avuto il piacere di leggere il bellissimo libro di Carl Boyer “Storia
della matematica”, che, spiegando lo sviluppo di questa scienza, mi ha fatto capire il lavoro dei
tanti studiosi di questa materia, e come quelli che sono principi “calati dal cielo” siano invece il
frutto di tanti sforzi e tentativi. In altre parole, ho capito che, come per la fisica, anche la
matematica è il frutto di ricerche, inventiva, lavoro.
A rafforzare l’idea della matematica ostica e spiacevole è stata una esperienza di cosa è la
matematica che i nostri giovani devono studiare. Qualche estate fa, ero al mare in vacanza:
nello stesso albergo, ho notato una ragazzina dodicenne che faticava per risolvere degli
esercizi. Nell’aiutarla nel suo lavoro, ho diviso la sua avversità per quei compiti da svolgere,
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tutti simili tra di loro, e senza nessuno spazio per sfogare un poco di creatività: un modo odioso
di presentare la materia.
Ecco, ho riassunto lo scopo del corso. Il titolo dice: la più bella formula della matematica
𝒆𝒊𝝅 + 𝟏 = 𝟎
Non c’è nessuna utilità pratica immediata nel seguire questo corso e capire il significato della
formula: si tratta di un arricchimento culturale, che spero apprezzerete come tale. Il metodo,
però, credo che sia quello giusto per far gustare ai partecipanti il piacere d’imparare cose
nuove, e la gioia di fare matematica. Spero che l’obiettivo non sia troppo ambizioso: sarà il
vostro commento a farmi capire se lo ho centrato.
Due avvertenze, per precisare a cosa state per andare incontro. La prima è che io paragono la
matematica ad un dispositivo meccanico che, negli orologi, si chiama scappamento.
Lo scappamento consente alla ruota di girare soltanto verso destra: fatto un passo avanti, non
si torna indietro! Analogamente, in matematica, una volta acquisita una nozione, la si
incamera, e si procede usando quella nozione. La conseguenza è che, diversamente da altre
scienze, in matematica non si può dimenticare qualcosa che si è studiato in precedenza,
perché lo studio successivo utilizza tutto quello che si è acquisito.
Seconda avvertenza: per capire la matematica occorre applicarsi, e cioè fare un poco di fatica.
Inoltre, occorre avere ben capito una nozione, perché poi la utilizzeremo in tanti modi diversi:
questo implica meditare su ogni cosa che si è appresa prima di procedere. Mai dirsi: “Questo
è una banalità”: anche le cose più apparentemente semplici possono nascondere aspetti
inattesi.
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Un aneddoto racconta di Euclide, il grandissimo genio della geometria e della matematica, che,
circa nel 300 A.C., spiegava i suoi Elementi al faraone Tolomeo primo. Tolomeo, in altre
faccende affaccendato, faticava a seguirlo; quindi, chiese a Euclide se esisteva una via più
semplice degli Elementi per imparare la geometria. A ciò, Euclide rispose che in geometria non
esiste una via regia.
Se, malgrado ciò che vi ho detto, siete decisi a continuare, cominciamo! Il premio sarà la
soddisfazione di sapere.
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CAPITOLO PRIMO: LA NUMERAZIONE POSIZIONALE
1.1 Definizioni iniziali
Anzitutto, cerchiamo assieme di definire cos’è un numero!
Bravi, ottimo: un numero è un ente astratto che definisce la quantità di elementi di un
insieme, o la misura di una grandezza.
E allora, cosa significa contare? Significa mettere in relazione la quantità di elementi di un
insieme con il numero che la rappresenta.
La necessità di contare le cose si è certamente posta ai nostri antenati. Anche prima di
sviluppare l’agricoltura, i cacciatori – raccoglitori dovevano poter dire che avevano catturato
una o più prede. I pastori, che non sapevano contare, si preparavano un sacchetto con dentro
tanti sassi quanto erano le loro pecore. Quando il gregge tornava all’ovile, estraevano un sasso
per ogni pecora che entrava: alla fine, il sacchetto doveva essere vuoto; altrimenti, il pastore
sapeva quante pecore mancavano!
Separare il conteggio dagli oggetti da contare non è stata una cosa semplice: tre banane e tre
elefanti hanno un elemento in comune, il numero, che è stato certamente difficile astrarre.
Considerate anche che esiste un limite fisiologico al contare. Ad esempio, se contate quante X
ci sono qui di seguito:
XX
Vedrete subito che sono due. Ora, quante X ci sono qui di seguito?
XXXXX
Se analizzate bene quello che fate, scoprirete che, mentre sino a tre – quattro si apprezza il
numero con una sola occhiata, da cinque in poi bisogna separare le X per capire quante sono:
ecco perché, per scrivere cifre grandi, le separiamo con un punto.
Ad esempio, 1.000.000.000 è leggibile, mentre 1000000000 non lo è. Naturalmente, in Gran
Bretagna sostituiscono i nostri punti con le virgole, e la nostra virgola decimale con il punto.
Esiste anche una scrittura in cui, per evitare di confondere il punto separatore con una virgola,
questo punto viene scritto in alto: 1˙000 invece di 1.000. D’altra parte, nella tastiera italiana non
c’è il punto in alto (ho faticato a trovarlo nei caratteri speciali); inoltre, i calcolatori utilizzano il
punto in basso: ci atterremo a questo.
In alcune culture primitive, la numerazione è: uno, due, tre, tanti. Con questo sistema non si va
molto avanti!
Per fortuna, noi uomini sappiamo contare sin da tempi antichissimi. Le vicissitudini della storia
e delle guerre hanno fatto sì che venissero adottati sistemi diversi per le diverse aree culturali.
Diamo un’occhiata ai sistemi di numerazione usati in passato.
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1.2 I simboli dei numeri
Quando scriviamo i numeri, noi usiamo una convenzione, la numerazione posizionale, che si
basa su 10 cifre diverse, e sul fatto che il valore delle cifre dipende dalla loro posizione nel
numero. Parleremo nel prossimo paragrafo di questa enorme conquista; diamo ora soltanto
una occhiata a cosa c’era prima.
Nella più antica preistoria si numerava con dei punti, o con delle tacche su un bastone. Nei
calci delle Colt dei pistoleri del far West era usata questa numerazione su base cinque:
1
2
3
4
5
6
Naturalmente, mancava sempre l’ultima tacca: quella in cui lo avevano ammazzato.
Cominciando da oltre 5000 anni or sono, gli egizi avevano un semplice sistema di numerazione,
in base 10, con simboli diversi per le unità, decine, centinaia, migliaia, che venivano ripetuti.
Ad esempio, per scrivere 59, gli Egiziani scrivevano:
5 DECINE
9 UNITA’
Il papiro di Rhind, nome dello scopritore, del 1600 A.C., è un notevole testo di matematica
egizia, con delle semplificazioni nella scrittura, in seguito alla introduzione di altre cifre.
Oltre 4000 anni or sono, in Mesopotamia i Babilonesi avevano inventato una numerazione
posizionale con base 60. Le cifre, invece, erano simili a quelle egiziane, per cui:
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

I numeri da 1 a 60 erano simili a quelli egizi, anche se in scrittura cuneiforme;
Oltre il 60, si introduceva uno spazio; le cifre prima dello spazio venivano moltiplicate
per 60.
9 UNITA’
5 DECINE
Quando si superavano i 60, interveniva la scrittura posizionale: ad esempio, la seguente
scrittura:
2x60x60
1 UNITA’
1x60
Corrispondeva a 2x60x60 + 60 + 1. A questo modo potevano scrivere numeri molto grandi, ma
non avevano lo zero, e quindi la scrittura poteva essere fraintesa. Solo in epoca successiva
introdussero a questo scopo una tacca inclinata.
La traccia di questa numerazione è la nostra maniera di misurare le ore e gli angoli.
Naturalmente, non disponendo di 60 cifre diverse, è una maniera scomoda di fare i calcoli: per
fortuna, non dobbiamo moltiplicare le ore o gli angoli! Purtroppo, nei secoli seguenti questa
enorme conquista è stata persa, forse, appunto, per la difficoltà di avere ben 60 cifre diverse!
Gli antichi Greci avevano un sistema di numerazione, notazione ionica, che utilizzava tutto
l’alfabeto greco, in un modo apparentemente più furbo di quello dei Romani. Ecco il loro sistema
di numerazione.
α
1
β
2
ρ
100
γ
3
δ
4
ε
5
ς
6
ζ
7
η
8
θ
9
ι
κ
λ
μ ν
ξ
ο π ϙ
10 20 30 40 50 60 70 80 90
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
ϡ
200 300 400 500 600 700 800 900
Oltre al 999, mettevano un simbolo, una specie di virgola, che moltiplicava per mille l’unità;
quindi, ,α significava 1000. Oltre 10.000 (la miriade per i Greci), si utilizzava la lettera M, che
moltiplicava per 10.000 le cifre restanti; un punto separava le cifre oltre 10.000 dalle altre. Ad
esempio:
2016 si scriveva: ,βις , mentre 12615 era: Mα.,βχιε
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Non immediato, perché le cifre erano tante, però molto più compatto del sistema romano.
Purtroppo, non hanno capito che, estendendo il criterio della virgola davanti all’unità, avrebbero
potuto usare la posizione per individuare unità, decine eccetera: questo, oltre all’invenzione
dello zero.
Credo conosciate tutti il sistema di numerazione dei Romani, molto farraginoso ed arcaico.
Anzitutto, c’erano sette cifre (più una per la metà). In epoca medievale, un trattino sopra alle
cifre moltiplicava la cifra stessa per mille.
Cifra
romana
S
I
V
X
L
C
D
M
Valore
0,5
1
5
10
50
100
500
1000
Cifra
Valore
medievale
V
X
L
C
D
M
5.000
10.000
50.000
100.000
500.000
1.000.000
Per scrivere un numero, esisteva la regola per cui:
 Si potevano scrivere sino a tre cifre identiche di seguito;
 Con quatto cifre, si premetteva la cifra minore a quella successiva.
Quindi, per scrivere 30 si scriveva XXX; per quaranta, invece, si scriveva XL. Per ottanta si
scriveva LXXX; per novanta si scriveva XC. Attenzione: per 999 non si poteva scrivere IM; si
scriveva invece CMXCIX. Terribile!
1.3 I nomi dei numeri
Oggi, che nomi diamo ai numeri? Confrontiamo l’italiano con francese, spagnolo, inglese,
tedesco.
 I nomi delle cifre singole sono: zero, uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove.
In francese, inglese, tedesco, spagnolo la situazione è identica: una parola diversa per
ogni cifra.
 Dopo nove, in italiano usiamo: dieci, undici, dodici, tredici, quattordici, quindici, sedici,
diciassette, diciotto, diciannove. Le parole dopo il dieci sono separate in due. Da undici
a sedici posponiamo la decina alle unità; con diciassette, diciotto e diciannove,
anteponiamo la decina alle unità. In francese e spagnolo la situazione è identica. In
inglese, ci sono due parole dedicate, eleven e twelve, per indicare undici e dodici; dopo
ciò, gli altri numeri si compongono con le unità seguite dalle decine: thirteen, fourteen,
sino a nineteen. In tedesco la situazione è analoga: si usano elf e zwolf per undici e
dodici, e poi dreizehn sino a neunzehn, anteponendo l’unità alla decina. Forse è un
residuo di una numerazione duodecimale?
 Dopo il venti, in italiano, spagnolo e inglese continuiamo anteponendo le decine alle
unità: ventuno, ventidue eccetera. In tedesco, chissà perché, continuano anteponendo
le unità alle decine: ventuno è einundzwanzig, cioè, letteralmente, uno e venti.
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




Con il tedesco, la storia di anteporre le unità alle decine procede sino a novantanove.
La situazione più strana la troviamo in Francia. Anzitutto, per i francesi il settanta è
soixante-dix; sessantuno è soixante-onze, e così via a sessantanove, che è soixantedix-neuf; tutto ciò implica la necessità di eseguire una somma. Ancora più strana è la
traduzione di ottanta, che in francese è quatre-vingt, cioè quattro-venti, cosa che implica
una moltiplicazione! Dopo ciò, novanta è quatre-vingt-dix, e quindi quattro venti dieci; si
continua con quatre-vingt-onze, sino a quatre-vingt-dix-neuf! Per vostra informazione, in
Belgio si parla francese, ma, invece di questi numeri strani, usano septante, huitante e
nonante. Naturalmente, i francesi non lo faranno mai!
Dopo cento, mille, eccetera, in queste lingue, la composizione dei numeri è identica:
prima le centinaia, poi le decine ed unità. Ciò significa che, in francese, centonovantadue
diventa cent-quatre-vingt-douze; in tedesco, diventa hundertzweiundneunzig (tutto
attaccato: le parole tedesche possono essere chilometriche!). L’eccezione è l’inglese
dove, solo tra mille e duemila, invece di scrivere e dire mille e cento, scrivono undici
cento (eleven hundred) sino a diciannove cento (nineteen hundred).
Veniamo ora alle grandi cifre. Milione, dieci milioni e cento milioni vedono tutti d’accordo.
Quando si arriva al miliardo cominciano i dolori. Difatti, quando fu introdotto in Francia,
le cifre venivano separate con i punti a gruppi di sei. Quindi, dopo il milione, che
scrivevano 1.000000, viene naturalmente il trilione, che è 1.000000.000000. Poiché il
passo da milione a bilione è troppo lungo, venne introdotto il miliardo, che si scriveva
1000.000000. Stabilita questa regola, in Europa, tranne il Regno Unito (e gli USA) la
numerazione è la seguente: milione, miliardo, bilione, biliardo, trilione eccetera.
Purtroppo, una volta tanto, gli inglesi sono stati più furbi, e numerano a questo modo:
million, billion, trillion, quadrillion eccetera. Quindi: milione = million (OK); miliardo =
billion (ahi!); bilione = trillion (ahi, ahi!) biliardo = quadrillion (ci siamo persi). Sono nomi
che si usano di rado: chi ha mai sentito dire che il nostro disavanzo è di due milioni di
Euro? Si preferisce dire duemila miliardi (forse, nella speranza che sia più facile farli
calare!).
E il numero più grande di tutti? Naturalmente, non esiste: è il numero infinito, che si
indica con il simbolo ∞. L’infinito non è propriamente un numero, ma, una volta tolta la
connessione con la filosofia, è stato studiato, e si sono trovate le sue caratteristiche: ne
vedremo qualcuna.
E per i numeri minori di zero? La nomenclatura non cambia; quindi, per ciò che riguarda
i numeri piccolissimi, abbiamo lo stesso problema dei numeri grandissimi, perché
continuiamo a nominarli allo stesso modo. Quindi, dopo il milionesimo, abbiamo il
miliardesimo, poi il bilionesimo, poi il biliardesimo eccetera. In queste situazioni, è molto
meglio usare o le notazioni esponenziali o i simboli di moltiplicazione, che sono uguali
per tutti.
Dovete sapere che esiste un Sistema Interazionale delle Unità di Misura, che ha stabilito sia le
unità di misura fisiche (metro, secondo,..) che i nomi da dare ai moltiplicatori dei numeri. Ecco
la tabella, che include sia multipli che sottomultipli.
Attenzione: spesso questi moltiplicatori sono usati in modo scorretto; ad esempio, spesso si
scrive Kg, con la K maiuscola, mentre la scrittura corretta è kg, con la k minuscola.
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10−15
10−18
10−21
10−24
Prefissi del Sistema Internazionale
Prefisso Simbolo
Nome
Equivalente decimale
yotta
Y
Quadrilione
1 000 000 000 000 000 000 000 000
zetta
Z
Triliardo
1 000 000 000 000 000 000 000
exa
E
Trilione
1 000 000 000 000 000 000
peta
P
Biliardo
1 000 000 000 000 000
tera
T
Bilione
1 000 000 000 000
giga
G
Miliardo
1 000 000 000
mega M
Milione
1 000 000
chilo
k
Mille
1 000
hecto h
Cento
100
deca
da
Dieci
10
Uno
1
deci
d
Decimo
0,1
centi
c
Centesimo
0,01
milli
m
Millesimo
0,001
micro
µ
Milionesimo
0,000 001
nano
n
Miliardesimo
0,000 000 001
pico
p
Bilionesimo
0,000 000 000 001
femto f
Biliardesimo
0,000 000 000 000 001
atto
a
Trilionesimo
0,000 000 000 000 000 001
zepto
z
Triliardesimo
0,000 000 000 000 000 000 001
yocto
y
Quadrilionesimo 0,000 000 000 000 000 000 000 001
Per i grandi numeri, nel mondo dei PC c’è chi parla tranquillamente di terabyte di memoria; il
grande acceleratore LHC del CERN di Ginevra fa scontrare i protoni a 16 TeV (ter elettronvolt:
è una unità di energia).
Per i piccoli numeri, la luce visibile ha lunghezza d’onda di circa 1 μm; i valori della capacità di
un condensatore elettrico partono da 1 pF (pico Farad); si registrano eventi con risoluzione
temporale di 1 fs (femto secondo).
1.4 E allora, contiamo!
Ora che abbiamo inventato le cifre per indicare i numeri e che sappiamo come chiamarli,
contiamo! Tutta la matematica, passo dopo passo, si sviluppa da questa semplice
operazione. Se non capite, ad esempio, i logaritmi, procedendo a ritroso, scoprite che è
perché non sapete contare!
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Per contare, gli uomini hanno utilizzato qualcosa che potessero facilmente raggiungere, e
questo qualcosa sono state, quasi ovunque, le dita delle mani. Ecco perché la base del
conteggio universalmente utilizzata è la base dieci.
Cominciamo ad usare le dita delle mani, la nostra base più naturale: come si fa a contare? Voi
direte: ma è semplicissimo! Proviamo a farlo, e vedrete che è semplice, ma non proprio
semplicissimo. Cominciamo: indicate il numero 1 con la mano. Avete visto che non tutti noi
contiamo esattamente allo stesso modo? Continuiamo con altri numeri. Ecco, di seguito, un
esempio di conteggio con le mani.
Anche se non ce ne rendiamo conto, anche in questo contare applichiamo delle regole:
 I numeri da 1 a 5 si contano sulla mano sinistra; quelli successivi sulla destra, lasciando
la sinistra aperta;
 Nella figura, per indicare 1 usano l’indice; io, però, uso il pollice;
 Nella figura, per indicare 2 usano indice e medio; io, però, uso pollice e indice.
È questa la sola maniera di contare? Ecco un modo alternativo, con cui si può contare sino a
30.
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Ci sono altre basi semplici sul nostro corpo? Beh, anzitutto, se contiamo anche le dita dei piedi
(magari perché andiamo a piedi nudi), abbiamo la base 20: quella dei Maya. Poi, se contiamo
le flangi (o le nocche) di un pugno chiuso abbiamo la base 12; se contiamo anche il pollice
aperto, abbiamo 14. Con due mani, abbiamo 24 e 28.
Con le mani si arriva sino a dieci: e per i numeri più grandi? Riusciamo ad arrivare a 50 con le
mani? Ed a 100?
Bene: un aiuto può arrivare da un mucchio di sassolini, o di fagioli. Io ho portato un pallottoliere,
con 100 palline in totale: chi mi dice come usarle per contare sino a 100? Ripeto, è facile, ma
non facilissimo: come per le mani, occorrono delle regole.
Bravi: la prima cosa da fare è mettersi d’accordo su come indicare lo zero!
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Allora siamo d’accordo: zero si rappresenta con tutte le palline a destra di chi è davanti al
pallottoliere. Ciò implica il fatto che chi sta di fronte a chi conta, deve pensare rovesciato: lo
zero sono le palline a sinistra. E come indichiamo l’uno?
OK: prima pallina in basso spostata a sinistra. E poi, come si continua?
D’accordo: è semplice. Arrivati a 10 nella prima riga in basso, si procede con la riga subito
superiore: ecco il numero 11.
Perfetto: continuando a questo modo, arriviamo a 99, ed infine 100.
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Conclusione: con 100 palline si conta sino a 100. Vabbè, ma non è mica granché! E 1000,
10.000, un milione, un miliardo?
Vediamo un altro metodo per rappresentare i numeri. Considerando quanto i Greci avevano
sviluppato la geometria, dovrebbe essere stato naturale anche procedere come segue:
 Definire un segmento come unità di misura;
 Disegnare una semiretta;
 Incidere delle tacche sulla semiretta, di lunghezza pari alla unità di misura.
Ecco il risultato.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Notate bene la presenza dello zero, indispensabile per delimitare la prima lunghezza: per
definire N misure occorrono N+1 tacche. Poiché la semiretta ha una lunghezza infinita, con
questo sistema si può, in teoria, rappresentare un numero naturale qualsiasi. Inoltre, per avere
un numero maggiore di numeri è sufficiente ridurre la lunghezza del segmento campione.
D’altra parte, diventa poco pratico scendere al disotto di una certa lunghezza: in pratica, non si
va sotto al mezzo millimetro; quindi, con questo sistema è difficile raggiungere numeri elevati.
Però, con tacche da un millimetro, in un metro ci sono mille tacche: non male.
E poi, per contare? Ad ogni numero, ci si sposta di una tacca verso destra; alla fine, il segmento
raggiunto rappresenta il numero.
Quindi, una maniera per numerare è prendere delle stecche e farci un numero di tacche
corrispondente al numero desiderato: questa può essere la base per un sistema di contabilità.
A questo riguardo, ecco un incredibile aneddoto riportato da Piergiorgio Odifreddi nel suo libro
“Il museo dei numeri”, a sua volta citando Charles Dickens.
“Secoli fa fu adottata nella Corte dello Scacchiere una forma primordiale di contabilità,
consistente nel far tacche su bastoni di legno (!).
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Bisognò attendere il 1826 perché quei bastoni fossero aboliti! Nel 1834 ci si accorse che ne
erano rimaste cataste, e ci si chiese cosa fare di quei vecchi legni. Si presero appunti e si
scambiarono lettere su questo importante argomento. I bastoni furono ospitati a Westminster
(!), e qualunque persona con un po’ di sale in zucca si sarebbe accorta che la soluzione migliore
era di regalarli come legna da ardere ai poveri che vivevano nelle vicinanze.
Ma poiché non erano mai serviti a niente, la burocrazia decise che continuassero a non servire
a niente, e decretò che fossero bruciati in privato. Lo si fece in una stufa della Camera dei Lord,
che, ingolfata dagli stupidi bastoni, diede fuoco ai pannelli che rivestivano le pareti. I pannelli
diedero fuoco alla Camera dei Lord. La Camera dei Lord diede fuoco alla Camera dei Comuni.
Le due Camere furono ridotte in cenere. Si arruolarono architetti per costruirne altre. E la cosa
ci è costata due milioni di sterline (di allora!)”
Mentre in occidente eravamo in queste ristrettezze, a partire dall’India si era finalmente risolto
il problema. Dall’India la soluzione è arrivata nei paesi arabi, loro confinanti; e dall’Arabia, infine,
è arrivata nel mondo occidentale.
1.5 Leonardo Fibonacci e la numerazione posizionale
Nella nostra cultura occidentale, la svolta nel sistema di numerazione è avvenuta quando
Leonardo Fibonacci (1180 – 1250), anche noto come Leonardo Pisano, ha introdotto, nel suo
Liber Abaci, il sistema di numerazione posizionale su base decimale, e ne ha dimostrato
l’efficacia per molti casi pratici.
“Ci sono nove figure degli indiani: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con queste nove figure, e con il simbolo 0, che gli arabi
chiamano zephiro [da cui poi il nome "zero"], qualsiasi numero può essere scritto, come dimostreremo.”
La paternità di questa invenzione è da fare risalire agli indiani, che inventarono le cifre da uno
a nove; poi, alcuni secoli dopo, finalmente, sul finire dell’800, aggiunsero lo zero. Diversamente
da noi, gli indiani raggruppano le cifre con due decimali, invece dei nostri tre: per inciso, in Cina
e Giappone il raggruppamento è a quattro cifre.
Dall’India l’invenzione passò agli Arabi; in particolare, il grande matematico al-Khuwarizmi
(donde il nostro termine algoritmo per indicare le regole di operazione), attorno all’850, pubblicò
il libro “Sul calcolo numerico indiano”. Quando questo libro fu tradotto in latino, la sua fama si
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sparse, e si generò la falsa convinzione che il sistema di numerazione posizionale fosse stato
inventato dagli Arabi. Ecco le cifre indo-arabe.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
Per fortuna, gli arabi, malgrado che scrivano da destra a sinistra, scrivono i numeri come noi,
con la cifra più significativa a sinistra. Vediamo se conoscete le regole di scrittura dei numeri.
Come si scrive un numero, ad esempio centoventitre?
Bravi: riassumiamo.
 Il numero è diviso in una serie di colonne.
 Il valore delle cifre nelle colonne dipende dalla loro posizione.
 La colonna delle cifre meno significative è quella più a destra, e corrisponde alle unità
del numero.
 La seconda colonna a sinistra è quella delle decine; seguono centinaia, migliaia
eccetera.
 I numeri unitari, da 0 a 9, hanno una sola colonna. Quando si arriva al dieci, si scrive
una decina e zero unità; quindi, 10. Analogamente si procede con 100, 1000 eccetera.
 Ad esempio: consideriamo il numero 1111. La cifra è sempre uno, ma il suo valore
cambia in funzione della sua posizione nel numero. Quindi, partendo da sinistra, il primo
uno è un migliaio; il secondo, un centinaio; il terzo, una decina, e l’ultimo una unità.
 In questa configurazione, la cifra zero ha il compito fondamentale di poter occupare i
posti vuoti.
 Mentre 0123 è uguale a 123, perché zero migliaia sono zero, 1230 non è affatto uguale
a 123, perché la presenza dello zero fa sì che il numero diventi un migliaio, due centinaia
e tre decine. Quindi, non è vero che lo zero non vale nulla: dipende dalla sua posizione
nel numero.
La numerazione posizionale sottintende una serie di operazioni di somma e moltiplicazione. Il
numero si ottiene moltiplicando le unità, decine eccetera per la cifra corrispondente, e poi
sommando questi prodotti.
Quindi, quando scriviamo 123, sottintendiamo una serie di moltiplicazioni e somme: 1x100 +
2x10 + 3x1. Se, invece, il numero è 1203, sottintendiamo 1x1000 + 2x100 + 0x10 + 3x1.
Questa struttura porta naturalmente a semplificare le operazioni di addizione e sottrazione, che
vedremo tra poco.
Ritornando a noi, il nostro sistema di numerazione offre, rispetto a quello romano, una serie
notevolissima di vantaggi. In particolare:
 Semplifica enormemente le operazioni di addizione e sottrazione;
 Rende possibile l’operazione di moltiplicazione, che era semplicemente impossibile;
 Lo stesso dicasi per la divisione;
 Non ha limiti nella lunghezza del numero.
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Malgrado questi vantaggi, occorsero alcuni secoli prima che questo sistema soppiantasse
definitivamente la numerazione romana: i conservatori sono sempre all’opera, e traggono
profitto dal complicare le cose semplici (vedasi il tristemente famoso sistema fiscale italiano).
Nel frattempo, le cifre cambiarono di forma, sino a raggiungere la forma attuale quando fu
inventata la stampa. Rispetto alla forma originale sono cambiati poco soltanto lo zero, l’uno e il
nove; gli altri sono diversi, e ci rendono difficile leggere i numeri arabi.
Ritorniamo ora al nostro pallottoliere, e modifichiamo le regole di conteggio, utilizzando il
concetto posizionale: in altre parole, assegniamo alle diverse righe del pallottoliere un valore
diverso, corrispondente al diverso valore della posizione delle cifre.
Manteniamo la regola per cui si ha uno zero quando tutte le palline sono a destra di chi conta.
Le righe di palline hanno ranghi diversi. La riga più in basso conta le unità; procedendo verso
l’alto, si contano decine, centinaia eccetera. Con 10 righe si conta sino a 9.999.999.
 Per contare uno, si sposta a sinistra la prima pallina a destra della
riga più in basso.
 Per contare da 2 a 9 si continua a spostare a sinistra le palline della
riga più in basso.
 Arrivati a 10, si spostano a destra tutte le palline della riga delle
unità (non si sposta la decima pallina!), e si sposta a sinistra la prima
pallina a destra della seconda riga a partire dal basso (le decine).
 Per leggere un numero sul pallottoliere, si parte dall’alto, e si
raggiunge la prima riga con una cifra diversa da zero. Dopo ciò, si
contano le palline, separatamente per ogni riga, e si attribuisce loro
rango, in ordine decrescente: migliaia, centina, decine, unità.
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Ecco: 100,
1111,
1.001.001,
1.001.001.001.
Invece di contare soltanto sino a 100, con lo stesso pallottoliere, grazie alla notazione
posizionale, arriviamo sino a dieci miliardi!
Notate bene che, per evitare la confusione della, decima pallina, alcuni pallottolieri ne hanno
nove.
Ed i cinesi? Per rendere il pallottoliere più compatto, e meno caro, invece di avere 10 (o 9)
palline, hanno diviso il pallottoliere con una barra: sotto quattro palline, e sopra una; con un
certo numero di colonne. La forma è più compatta dei nostri pallottolieri perché le pallottole
superiori valgono cinque. Il pallottoliere utilizza l’ordinamento posizionale dei numeri: le varie
asticelle corrispondono a unità, decine eccetera.
E allora, come si conta? Lo sapete? Lo inventate?
Giusto:
 Zero: tutte le palline a sopra;
 Si conta sino a quattro spostando in basso le quattro palline;
 Al cinque, le quattro palline ritornano sopra, mentre la quinta, separata, si sposta sotto;
 Al dieci, tutte le palline sopra, e sotto la prima pallina delle decine.
I romani usavano un sistema analogo: la differenza è che scavavano delle scanalature,
disposte in colonne, e divise in due: la superiore per sommare cinque. Nelle scanalature
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appoggiavano dei sassolini, calculus appunto. Ecco un abaco “da viaggio”, perché aveva dei
bottoni scorrevoli invece delle semplici scanalature.
Le unità corrispondevano alla colonna marcata I: a destra c’era spazio per le frazioni. Si
riconoscono: I, X, C; dopo C c’è un simbolo che sembra l’infinito, e corrisponde a M; dopo ciò,
altri simboli per 10.000, 100.000, 1.000.000.
Sembra incredibile che a nessuno sia venuto in mente d’inventare le dieci cifre, zero incluso, e
di scrivere i numeri così come appaiono nell’abaco!
A quanto pare, cinesi e giapponesi usano il loro abaco con una velocità prodigiosa. Un
aneddoto racconta di una gara tra Richard Feynman, con carta e matita, ed un giapponese con
abaco. Con somma e sottrazione il giapponese stravinse. Con la moltiplicazione il giapponese
era ancora in vantaggio. Con la divisione perse colpi. Con la radice quadrata non ci fu più gara:
Feynman stravinse.
1.6 Altre basi oltre il dieci
Per base di un sistema di numerazione posizionale s’intende il numero di cifre diverse del
sistema. Come ho già detto, i Babilonesi utilizzavano una numerazione su base 60, che,
mentre facilita la divisione, è enormemente più complessa della nostra, perché i numeri
crescono rapidamente. Oltre ai Babilonesi, i Maya usavano una numerazione posizionale con
base 20, quindi con 20 cifre diverse. Evidentemente, contavano anche le dita dei piedi.
Il mondo dell’informatica si basa invece sulla base minima, che è due. Le sue uniche cifre sono,
quindi, 0 e 1; e dopo 1? Come si deve ragionare?
Giusto: usando la stessa regola posizionale delle cifre decimali, occorre spostarsi di una
cifra: questo equivale a moltiplicare per 2 la cifra successiva. Quindi, si procede con 10 e 11;
e poi? E poi: 100, 101, 110, 111, 1000 eccetera.
Vediamo la numerazione binaria a confronto con la decimale
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BINARIA
DECIMALE
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
31
32
64
128
1024
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10.000
10.001
11.111
100.000
1.000.000
10.000.000
10.000.000.000
Ribadiamo il concetto e confrontiamo le situazioni.
NUMERAZIONE DECIMALE
……
MIGLIAIA
x 1000
x 103
DECINE
x 10
x 101
UNITA’
x1
x 100
2
4
QUADRUPLI
x 100
x 22
DOPPI
x 10
x 21
UNITA’
x1
x 20
0
1
1
CENTINAIA
x 100
x 102
1
3
1324 = 1 x 1000 + 3 x 100 + 2 x 10 + 4 x 1
NUMERAZIONE BINARIA
……
OTTUPLI
x 1000
x 23
1
1011 = 1 x 1000 + 0 x 100 + 1 x 10 + 1 x 1
Come si vede, le scritture sono identiche: cambia il valore del moltiplicatore! Con la
numerazione binaria, 100 non è cento, ma uno zero zero; quattro in decimale.
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Il motivo della scelta della numerazione binaria è che i circuiti logici utilizzati nei computer hanno
solo due valori: “basso” e “alto”, rispettivamente 0 e 1. Il circuito sommatore elementare dei
computer esegue appunto somme binarie.
Questa numerazione offre il vantaggio di avere solo due cifre; lo svantaggio è che i numeri
sono più lunghi di quelli espressi in base decimale. Ad esempio, il numero binario
10.000.000.000, con dieci zeri, corrisponde a 1024 nella scrittura decimale: è circa tre volte più
lungo. (Interessante: 10 bit corrispondono circa a 1000). A parte ciò, si possono tranquillamente
usare le stesse regole per eseguire le operazioni.
Domanda: come si passa da una base decimale ad una base binaria, e viceversa? Qual è la
regola?
Cominciamo dal più semplice: consideriamo il numero binario 1101; qual è la sua scrittura
decimale? Cosa devo fare?
Bravi: ricordiamoci sempre che stiamo usando una scrittura posizionale; quindi, le cifre del
numero hanno il seguente significato:
Potenze x
x
di due
16 8
Numero 0 1
binario
x
4
1
x
2
0
x
1
1
Ora, eseguiamo le moltiplicazioni:
Potenze
di due
Numero
binario
Numero
decimale
x
x
16 8
0 1
x
4
1
x
2
0
x
1
1
0
4
0
1
8
Infine, sommiamo: 8 + 4 + 0 + 1 = 13: ecco il numero decimale. Come vedete, questa
conversione è alquanto semplice.
Ora, però, problema inverso: come ritrasformiamo il nostro 13 nel numero binario
corrispondente? Pensateci!
OK: si tratta di fare l’operazione inversa; quindi, ecco un primo metodo:

Si considera il nostro numero, e lo si confronta con una tabella con tre righe. Nella prima
riga, la tabella contiene le potenze di due: nel nostro caso, sono sufficienti: 16, 8, 4, 2,
1; riempiremo man mano le altre due;
Pagina 27 di 102
Potenze x
x
di due
16 8
Numero
binario
Resti


x
1
x
x
16 8
0 1
0
x
4
x
2
x
1
5
Si confronta la differenza con la potenza successiva: nel nostro caso, 4. Se la potenza
successiva è maggiore della differenza, si scrive 0 nel numero binario, e si scrive la
differenza nella casella successiva; altrimenti, si sottrae alla differenza la seconda
potenza; si scrive 1 sotto alla potenza scelta, e si scrive la differenza di sotto;
Potenze
di due
Numero
binario
Resti

x
2
Si sceglie la prima potenza che sia minore del nostro numero. Nel nostro caso è 8: se
vogliamo, possiamo scrivere zero sotto alle potenze superiori;
Si sottrae la prima potenza al nostro numero; si scrive la prima cifra binaria 1 sotto alla
potenza scelta, e si scrive di sotto la differenza;
Potenze
di due
Numero
binario
Resti

x
4
x
x
16 8
0 1
x
4
1
0
1
5
x
2
x
1
Si procede a questo modo sino a quando si raggiunge l’unità: ecco il numero binario
cercato!
Potenze
di due
Numero
binario
Resti
x
x
16 8
0 1
x
4
1
x
2
0
x
1
1
0
1
1
0
5
Stanchi? Faticoso? Sarete contenti di sapere che tutto ciò non è essenziale allo scopo di capire
la formula di Eulero; però, è importantissimo per farvi capire i metodi della matematica, e per
farvi capire che con calma e nervi saldi si risolvono tutte le situazioni.
Attenzione: quello che abbiamo studiato ed applicato si chiama algoritmo. L’algoritmo è una
successione ordinata di operazioni che vi consente di ottenere il risultato desiderato. Noi non
ce ne rendiamo conto, ma quando eseguiamo delle operazioni non facciamo altro che applicare
degli algoritmi.
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Per darvi una (vaga) idea di cosa significa programmare, scrivo il diagramma di flusso
dell’algoritmo di trasformazione dai numeri decimali ai binari. Il diagramma di flusso è un
insieme di istruzioni che un computer accetta ed esegue nell’ordine indicato. Se il programma
è buono, avete il risultato desiderato; altrimenti, chissà cosa produce!
Per creare il diagramma di flusso, occorre:
 Analizzare il testo scritto di come si esegue il calcolo;
 Identificare le operazioni elementari;
 Scrivere queste operazioni dentro dei blocchi, uno dopo l’altro, sinché il risultato è
ottenuto.
Nel nostro caso, è evidente che eseguiamo delle operazioni che sono molto simili tra di loro. Il
numero di queste operazioni è, a priori, ignoto, perché non conosciamo il numero di cifre del
numero da convertire. La cosa importante è individuare la (o le) condizione per cui, quando la
conversione è completa, le operazioni devono cessare.
Esistono quindi due tipi di operazioni fondamentali: quelle senza condizione, rappresentate con
un rettangolo, e quelle con condizione, rappresentate con un rombo o un esagono: per le prime,
una volta eseguita l’operazione, si procede al passo successivo: hanno un ingresso ed una
uscita. Per le seconde, il passo successivo dipende dal risultato del confronto: un ingresso, due
uscite.
Veniamo quindi a noi. Se analizzate quanto abbiamo scritto, ci sono due condizioni:
 La cifra binaria è 1 se il numero (o la differenza) è maggiore della potenza di due
considerata, altrimenti, è zero;
 La conversione è completa se abbiamo eseguito il confronto con il numero 1 (potenza
zero di due).
Tutte le altre operazioni sono senza condizione. Vediamo un poco un diagramma di flusso (ci
possono essere diversi diagrammi di flusso; l’importante è che funzionino!).
Pagina 29 di 102
INPUT NUMERO DA TRASFORMARE
PREPARA TABELLA DELLE POTENZE DI 2
SINO A QUANDO LA POTENZA È < DEL NUMERO
POTENZA < NUMERO?
SI
NO
SCRIVI 0 NELLA POSIZIONE MENO
SIGNIFICATIVA DEL RISULTATO
SCRIVI 1 NELLA POSIZIONE MENO
SIGNIFICATIVA DEL RISULTATO
SOTTRAI NUMERO - POTENZA
SCRIVI DIFFERENZA NEL NUMERO
POTENZA = 1?
SI
LEGGI RISULTATO
FINE
NO
SPOSTATI ALLA POTENZA SUCCESSIVA
Avete criticato abbastanza il flusso qui sopra? Avete verificato che funziona? Orbene ed or
dunque, per vostro sommo diletto e gaudio, vediamo un altro modo per eseguire la
conversione. Voi direte: noooo! Abbiamo appena capito questo! E io vi dico: siiii! Tutto ciò vi
serve a muovere le rotelline del cervello! Guardate un poco di cosa si tratta.
Partiamo dal nostro numero da convertire: ancora il nostro 13. Invece di preparare la tabellina
con le potenze di due, applichiamo un algoritmo diverso.




Prendiamo il nostro numero, e dividiamolo per 2;
Se l’operazione ha un resto, scriviamo 1 nella posizione meno significativa del
risultato; altrimenti, scriviamo 0;
Se il quoziente è zero, abbiamo finito; altrimenti, procediamo;
Prendiamo il quoziente, e scriviamolo al posto del numero originale; dopo ciò, ripartiamo
daccapo.
Esempio: conversione di 13.
Pagina 30 di 102
NUMERO
O
QUOZIENTE
13
6
3
1
QUOZIENTE RESTO
6
3
1
0
1
0
1
1
ATTENZIONE: con questa conversione si parte dalla cifra meno significativa; quindi, il risultato
della conversione è 1101.
Facile? Più facile dell’algoritmo precedente? Si, perché l’algoritmo è più breve. Però,
attenzione: è facile sbagliarsi, e leggere 1011. Ora, due domande:
 Perché funziona? Siete sicuri che sia giusto? Dimostratemelo: cosa abbiamo fatto, con
quella progressiva ricerca di resti?
 Chi mi scrive il diagramma di flusso di questo algoritmo?
Allora, ecco perché funziona.
Cominciamo a vedere la prima riga della tabellina: ci dice che:
13 = 6 x 2 + 1
NOTA: poiché il numero è dispari, in numerazione binaria ci deve essere un 1 nelle unità: è il
primo resto.
Ora, passiamo alla seconda riga; ci dice che 6 = 3 x 2 + 1. Sostituiamo nella espressione di
sopra, e abbiamo:
13 = (3 x 2) x 2 + 1; quindi:
13 = 3 x 4 + 1
Passiamo alla terza riga della tabellina; ci dice che 3 = 2 x 1 + 1. Sostituiamo nella espressione
di sopra, e abbiamo:
13 = (2 + 1) x 4 + 1; quindi:
13 = 2 x 4 x 1 + 1 x 4 + 1
13 = 8 x 1 + 4 + 1
Passiamo alla quarta riga della tabellina; ci dice che 1 = 2 x 0 + 1. Sostituiamo nella espressione
di sopra, e abbiamo:
13 = 8 x (0 + 1) + 4 + 1
13 = 8 + 4 + 1
Come vedete, continuando a dividere per due, i resti sono moltiplicati per le varie potenze di
due: ecco giustificato l’algoritmo!
E il diagramma di flusso? Vediamolo.
Pagina 31 di 102
INPUT NUMERO DA TRASFORMARE
DIVIDI IL NUMERO PER 2
SI
RESTO = 0?
NO
SCRIVI 0 NELLA POSIZIONE PIU’
SIGNIFICATIVA DEL RISULTATO
SCRIVI 1 NELLA POSIZIONE PIU’
SIGNIFICATIVA DEL RISULTATO
SCRIVI QUOZIENTE NEL NUMERO
SI
NUMERO = 0 ?
LEGGI RISULTATO
FINE
NO
Rispetto al loop precedente, in questo ci sono meno operazioni: quindi, la conversione è più
semplice.
Ritorniamo un attimo alle basi non decimali. Sempre in informatica, l’unità base di
memorizzazione è il byte, composto di otto bit. Poiché otto bit corrispondono al numero 256,
ed è troppo scomodo avere 256 cifre diverse, si è sviluppata la notazione esadecimale, basata
su quattro bit, con le seguenti sedici cifre (e quindi, un byte si compone di due cifre
esadecimali). Oggi l’unità base è di 16, 32, 64 byte: sempre multipli di otto. n informatica, si usa
anche la numerazione ottale, con le cifre da 0 a 7.
Domanda cruciale: in esadecimale, come si continua a numerare dopo F? E in ottale dopo il 7?
Pensateci bene! Cosa facciamo con la numerazione decimale dopo il 9? E con la numerazione
binaria dopo 1?
Giusto: dobbiamo spostarci di una posizione a sinistra, per entrare nella colonna delle
“sedicine”, e scrivere 0 per l’unità; quindi, dopo F abbiamo 10 (non è dieci! È uno zero!).
Decimale
Esadecimale
Ottale
Binario
0 1 2
0 1 2
0 1 2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
10
9
9
11
10
A
12
11
B
13
12
C
14
13
D
15
14
E
16
15
F
17
0
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
1
10
Pagina 32 di 102
Vediamo i valori delle cifre nelle numerazioni ottale e esadecimale.
NUMERAZIONE OTTALE
……
512
x 1000
x 103
1
64
x 100
x 102
8
x 10
x 101
UNITA’
x1
x 100
3
2
4
256
x 100
x 102
16
x 10
x 101
UNITA’
x1
x 100
F
3
A
1324 = 1 x 1000 + 3 x 100 + 2 x 10 + 4 x 1
NUMERAZIONE ESADECIMALE
……
4096
x 1000
x 103
1
1F3A = 1 x 1000 + F x 100 + 3 x 10 + A x 1
Come si vede, le scritture sono identiche: cambia il valore del moltiplicatore! Con la
numerazione ottale, 100 non è cento, ma uno zero zero, e sessantaquattro in decimale; con la
esadecimale, 100 vale 256 in esadecimale.
Vediamo la numerazione.
DECIMALE
BINARIA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
31
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10.000
10.001
11.111
OTTALE
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
37
ESADECIMALE
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
1F
Pagina 33 di 102
32
64
128
1024
100.000
1.000.000
10.000.000
10.000.000.000
40
100
200
2000
20
40
80
400
Come si trasforma un numero decimale in esadecimale? E, al contrario, da esadecimale a
decimale? Applicando le stesse procedure viste per il numero binario?
Quasi: bisogna considerare che, trasformando da esadecimale a decimale, la trasformazione
delle cifre A, B, C, D, E, F esadecimali corrispondono a numeri decimali di due cifre. Chi si offre
volontario per qualche trasformazione? A vostro sollievo e ristoro sappiate che questa
trasformazione è disponibile sulle calcolatrici scientifiche!
Ultimissima: un vecchio sistema di numerazione è quello in base dodici. Questo sistema è
basato sul contare, con il pollice, le falangi delle altre dita, che sono, appunto, dodici. Questo
sistema è (quasi) adottato in Inghilterra ed USA, dove il piede è 12 pollici, il pollice è 12 linee,
e la linea è 12 punti. Un tempo, la sterlina era divisa in 20 scellini, a loro volta divisi in 12 pence!
Dico che il sistema è quasi adottato in Inghilterra perché, per avere un sistema duodecimale,
occorrerebbero 12 diverse cifre, ciò che non è vero. E allora? Solo una assurdità, in odio a
Napoleone!
1.7 Gli insiemi
In questo breve corso non ho resistito alla tentazione d’inserire l’interessante concetto degli
insiemi, e di discutere brevemente delle loro caratteristiche. Vedremo solo pochissimi concetti.
Anzitutto, un insieme è una collezione di oggetti, e viene normalmente indicato con una
lettera maiuscola. L’insieme è definito quando è definita la regola di appartenenza
all’insieme. Ad esempio, possiamo stabilire che i numeri interi da 0 a 5 formano l’insieme A.
Gli oggetti che compongono un insieme si chiamano elementi dell’insieme, e vengono
individuati con una lettera minuscola. Nell’esempio di sopra, 3 è un elemento dell’insieme A,
mentre 6 non lo è. In generale, gli elementi dell’insieme si dice che appartengono all’insieme:
se a è un elemento dell’insieme A, si scrive: a ∈ A, e si legge a appartiene ad A. Un insieme A
è un sottoinsieme di B quando tutti gli elementi di A appartengono anche a B; si scrive: A ∈ B.
Ad esempio, se B è l’insieme dei numeri naturali da 0 a 10, allora A ∈ B.
Le proprietà fondamentali degli insiemi sono:
 Un elemento (numero, pere, automobili..) può appartenere o non appartenere ad un
insieme;
 In ogni insieme c’è solo un elemento di un certo tipo;
 Gli elementi di un insieme non sono necessariamente ordinati: l’insieme formato da 0,
2, 4, 5, 3, 1 è uguale ad A;
 Due insieme sono identici se, e solo se, hanno gli stessi elementi.
Pagina 34 di 102
Una classe particolarmente importante degli insiemi è quella degli insiemi infiniti: ad esempio,
la classe dei numeri di cui abbiamo parlato sinora, e che, per la precisione, si chiamano numeri
naturali. Giuseppe Peano (1858 – 1932) ha definito l’insieme dei numeri naturali mediante
cinque assiomi.
1.
2.
3.
4.
5.
Esiste un numero naturale, 0.
Ogni numero naturale ha un numero naturale successore.
Numeri diversi hanno successori diversi.
0 non è il successore di alcun numero naturale.
Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio
elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione).
Come confrontare gli insiemi con infiniti elementi? L’infinito non è un numero, ma, esistono
infiniti diversi?
Georg Cantor (San Pietroburgo, 3-3-1845 – Halle, 6-11918) è stato il matematico che ha studiato le proprietà
degli insiemi infiniti e li ha classificati in funzione della loro
grandezza. Nel suo studio, Cantor ha dimostrato che
esistono categorie di insiemi infiniti. Il livello più basso è
occupato dai numeri naturali, che sono infiniti; altri insiemi,
pure infiniti, possono avere la stessa categoria, oppure
categorie superiori.
Cantor ha definito cardinalità (cioè, numerabilità: i
cardinali non c’entrano!) il numero di elementi dell’insieme:
ad esempio, l’insieme A sopra definito ha cardinalità 6
(non dimenticate lo zero!). Per gli infiniti, Cantor ha definito
(scoperto?) che l’insieme dei numeri naturali, indicato con
N, ha il livello più basso di cardinalità infinita, e la ha
chiamata ‫א‬0 (è una lettera ebraica, si legge aleph; quindi,
aleph zero).
Il criterio di confronto degli altri insiemi è la loro numerabilità: se si possono mettere in fila come
i numeri naturali (meglio: se si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri
naturali) allora hanno la stessa cardinalità.
Per inciso, prendendo a riferimento la rappresentazione dei punti su una retta, è chiaro che
l’insieme dei numeri naturali, pur essendo infinito, è molto minore del numero dei punti della
retta! I punti della retta sono infiniti con una cardinalità superiore a quella dei numeri naturali?
Vedremo.
Tutto ciò è solo fatica sprecata? Vi prometto un giochino che vi ripagherà un poco dello sforzo:
lo vedremo in seguito. Però, ragionare un poco sull’infinito è un esercizio utile a far capire quali
immensi confini ci sono nella teoria dei numeri.
Pagina 35 di 102
1.8 Le espressioni
Prima di procedere, devo premettere che, nei prossimi capitoli, utilizzerò delle espressioni (e
voi penserete: oh, Dio! Quanto le ho odiate!).
Nessuna paura: le espressioni sono semplicemente il linguaggio comune della matematica.
Un’espressione è un insieme di numeri o di lettere legati tra di loro da operazioni di addizione,
sottrazione eccetera.
L’utilizzo delle lettere invece dei numeri consente di passare dl caso particolare a quello
generale. Ad esempio: 2 = 2 è una espressione (abbastanza incontrovertibile); se, invece,
scrivo a = a, vuol dire che l’uguaglianza è vera per ogni valore di a (incluso 2). Si dice che la
prima è una espressione numerica, e la seconda è letterale.
Perché sono utilissime le espressioni? Per il semplice motivo che, quando si trova una relazione
tra due insiemi (ad esempio: le patate sono il doppio delle mele), invece di scrivere 2 patate
per una mela, quattro patate per due mele eccetera, si scrive: (patate) = 2 x (mele), oppure p
= 2 x m; e questo vale per ogni numero di patate e di mele.
Le espressioni algebriche includono spesso delle parentesi: questo segue per evidenziare
l’ordine con cui si eseguono le operazioni. Ci sono tre tipi di parentesi; in ordine gerarchico: le
parentesi graffe { } includono le parentesi quadre [ ] che includono le parentesi tonde ( ).
Nelle espressioni, esiste un ordine definito con cui si eseguono le operazioni descritte; quindi:
 Si eseguono prima i calcoli tra parentesi tonde, poi quadre, poi graffe; infine, quelli fuori
dalle parentesi;
 All’interno di una parentesi, le prime operazioni da eseguire sono le elevazioni a
potenza; poi le moltiplicazioni e le divisioni; ultime sono le addizioni e le sottrazioni.
2 x {3 + [ 2 x (3 + 2)]} si esegue come segue:
Tonda: 3 + 2 = 5;
Quadra: 5 x 2 = 10;
Graffa: 3 + 10 = 13;
Esterna: 2 x 13 = 26.
Inoltre, nell’espressione 7 x 4 + 3 x 2, si calcolano: 7 x 4 = 28; 3 x 4 = 6, e poi si somma: 28 +
6 = 34.
Pagina 36 di 102
1.9 Conclusione del primo capitolo
In questo capitolo abbiamo fatto un breve excursus di quello che è successo prima di noi, e di
come si è arrivati a contare con la notazione che ci è familiare. Abbiamo anche discusso
brevemente su insiemi e espressioni.
In sintesi, le cose che abbiamo imparato sono le seguenti.
 Le cifre. Le cifre che utilizziamo dipendono dal tipo di base utilizzata:
o Decimale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
o Binaria: 0, 1;
o Ottale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
o Esadecimale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
o Per tutte le basi, la cifra successiva all’ultima è 10.



I nomi dei numeri. Abbiamo visto che, nella numerazione decimale, i nomi sono: zero
… nove, dieci … conto, mille, milione eccetera; abbiamo anche visto i simboli che li
rappresentano. Nelle altre numerazioni, per non confondere i nomi con quelle delle cifre
decimali, si leggono le cifre: 100 si legge uno zero zero sia in binario che in ottale che in
esadecimale. D’altra parte, mentre si potrebbe leggere “cento” per 100, non si potrebbe
leggere A3F in esadecimale.
La numerazione posizionale. Per tutte le basi vale la legge posizionale, per cui la
posizione della cifra ne definisce il valore. Quindi, ogni numero è la somma delle cifre
che lo compongono moltiplicate per il valore della loro posizione.
Contare. Contare significa associare un numero ad un insieme di oggetti. Abbiamo visto
che l’insieme N dei numeri naturali è infinito; quindi, si potrà sempre associare un
numero ad ogni insieme finito di oggetti.
Ed ecco uno schema di quanto abbiamo appreso.
CIFRE
NOMI DELLE CIFRE E DEI NUMERI
NUMERAZIONE POSIZIONALE
CONTARE
Armati di queste nozioni, iniziamo a studiare le operazioni elementari: così facendo,
cominciamo a costruire le fondamenta dell’edificio della Matematica.
Pagina 37 di 102
ESERCIZI DEL PRIMO CAPITOLO
Tanto per tenere allenata la mente, e per vedere se si è ben capito (come disse Leibnitz:
calculemus!), aggiungo alcuni esercizi, di cui cercherete inutilmente la soluzione. In effetti, la
cosa preferibile è che vi creiate il problema, e poi ne troviate la soluzione!
Paragrafo 1.1; contare.
Provate a contare a mente, partendo da una cifra qualunque, procedendo in avanti o in indietro
di un’altra cifra qualsiasi. Ad esempio, se da quarantotto contate avanti ventuno volte, dovete
fermarvi a sessantanove. Viceversa, da sessantanove, contando indietro sedici volte, dovete
fermarvi a cinquantatré.
Paragrafo 1.2; numerazione romana.
Quando si gira per l’Italia, spesso su chiese o monumenti si trovano le date scritte con la
numerazione romana. Un poco di esercizio serve a riuscire a leggere cosa c’è scritto.
Trascrivete nel nostro sistema i seguenti numeri romani.
MCCLIII
MDCCLV DCXLIX
XCLXIII
MMCCII
MCMXXVI CDXLIV
CI
Inventatene degli altri!
Viceversa, scrivete in cifre romane i numeri seguenti.
Quattrocento
tredici.
Cento
cinquantuno.
Seicento
diciannove
Milletrecento
quarantotto
Millequattrocento Millesettecento
novantasei
novantanove
Novecento
sette.
Millecento undici
Millenovecento
novantanove
Duemila
diciannove
Inventatene degli altri!
Paragrafo 1.3; numerazione posizionale.
Facciamo due tipi di esercizi. Nel primo, occorre scrivere in cifre il numero indicato in lettere;
nel secondo, indicare le migliaia, centinaia, decine unità che formano il numero.
Primo tipo di esercizio.
Pagina 38 di 102
Millenovecento
ventitré
Diecimila
centosedici
Ottomila uno
Duemila
sedici
Due
milioni Trentatré milioni Settemila
trecento
trecentotrenta
seicento
ventiseimila
tre
ventotto
quattordici
cento Un miliardo
mille
e Tremila trecento Settemila
trentatré
ventisei
Occhio agli zeri!
Secondo tipo di esercizio.
6.204.130
337.408
7.003.100
341.212
8066
312
106.909
1.033.048
Milioni
Centinaia di
migliaia
Decine di
migliaia
Migliaia
Centinaia
Decine
Unità
Milioni
Centinaia di
migliaia
Decine di
migliaia
Migliaia
Centinaia
Decine
Unità
Paragrafo 1.4; altre basi oltre dieci.
Le basi più importanti sono il sistema binario e l’esadecimale. Alcuni piccoli esercizi.
Potenze di due.
Potenze x
x
x
x
x
x
x
x
x
di due
2048 1024 512 256 128 64 32 16 8
Colonna 12
11
10 9
8
7 6 5 4
binaria
x
4
3
x
2
2
x
1
1
Pagina 39 di 102
La colonna binaria è il numero della colonna del numero binario; quindi, la colonna 6
corrisponde al numero binario 100.000
Da binario a decimale:
1
10
11
1001
1010
1011
100
10.000
101
100.000
110
111
1000
1.000.000 1.000.111 1.010.101
Da decimale a binario:
0
1
5
8
16
32
64
128
256
512
1024
10
50
100
500
1000
Paragrafo 1.5: gli insiemi.
Alcuni semplici esercizi.
Mio figlio ha moglie e tre figli. Qual è la cardinalità dell’insieme “Famiglia di mio figlio”?
Consideriamo l’insieme A formato dai numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Qual è la cardinalità di A?
L’insieme 5, 4, 3, 2, 1, 0 è identico ad A?
L’insieme B formato da 1, 2, 3, 4, 5 è identico ad A?
L’insieme B è tale per cui B ∈ A?
L’insieme C formato da 10, 20, 30, 40, 50, 60 ha la stessa cardinalità di A?
L’insieme D formato dai numeri da 1 a 100 è tale per cui:
A ∈ D?
B ∈ D?
C ∈ D?
Consideriamo l’insieme formato dai numeri naturali, tranne lo zero: ha la stessa cardinalità di
N? Perché?
Consideriamo l’insieme formato dai numeri pari: ha la stessa cardinalità di N? Perché?
Paragrafo 1.6: le espressioni.
Ecco la croce e delizia di tanti bambini (e di tanti nonni che devono aiutare i loro nipoti)!
Pagina 40 di 102
Di seguito, alcuni esercizi: nello svolgimento, scrivete tutti i passaggi!
Siete autorizzati a sottopormene degli altri!
NOTA. I segni di operazione sono: + per la somma; - per la differenza; * per la moltiplicazione;
/ per la divisione; 2 per l’elevazione alla seconda potenza: 22 = 2 x 2 = 4.
1. 28 + [10 + (3 + 5) ∗ (6 − 2)]
2. 18 + [9 + (5 + 7)/(6 − 2)]
3. 8 − [32 − (3 + 4) ∗ (7 − 2)] ∗ (22 − 16)
4. 200 − [22 − (6 + 4)/(9 − 4)] ∗ (20 − 14)
5. 8 − [40 − (4 + 4) ∗ (8 − 3)] ∗ (33 − 18)
6. 10 − [33 − (6 + 6)/(6 − 2)]/(23 − 8)
7. 66 + {[4 + (2 ∗ 6 + 5)] ∗ [(3 − 2) − (5 + 2)]}
8. 3 − {[7 − 5 + (2 ∗ 3 − 7)] ∗ [(3 + 5) − (4 + 2)]}
9. 22 ∗ {[32 + 8 + (22 − 9)] ∗ [(3 + 5) ∗ (4 + 2) − 18]}
10. 80 + {[4 + (3 ∗ 3 + 7)] ∗ [(8 − 2) − (5 + 2)]} ∗ {(4 + 4) ∗ [(4 + 2) ∗ (4 − 2)]}
11. 1 − {[26 + (9/3 + 7)]/[(16 − 3) − (1 + 3)]}/ {(4 + 4)/[(5 + 3)/(10 − 6)]}
12. 22 ∗ {[4 + (22 − 18)^2] ∗ [(2 + 3) ∗ (3 + 3) − 10]}
Buon lavoro!
Pagina 41 di 102
CAPITOLO SECONDO: LE OPERAZIONI DIRETTE E INVERSE.
In questo capitolo vedremo come, partendo dai numeri naturali, l’introduzione delle operazioni
matematiche inverse abbia portato, come sviluppo logico, l’ampliamento del campo dei numeri.
In altre parole, definite le proprietà delle operazioni, abbiamo lasciato i numeri naturali, per
crearne degli altri.
2.1 Addizione dei numeri naturali.
2.1.1 Definizione dell’addizione
L’addizione è la prima operazione fondamentale dell’aritmetica. Si definisce somma di due
numeri naturali il numero che si ottiene continuando a contare dopo il primo numero
tante cifre quante sono quelle del secondo numero.
Ad esempio, se abbiamo un insieme di tre mele e un altro di tre mele, l’insieme unione include
sei mele.
+
=
Attenzione a sommare solo mele con mele, e non mele con patate! Nel campo dei numeri
naturali questo problema non sussiste.
Come vedete, si ritorna alla operazione elementare del contare. D’ora in poi, definita
l’addizione, per definire le altre operazioni ci si riferirà alle nuove operazioni che man mano
definiamo; ma, procedendo all’incontrario, si ritorna al contare!
Le proprietà che individuano l’addizione sono le seguenti. Di seguito, a e b sono due numeri
naturali qualsiasi, che si chiamano addendi; s è la somma dei numeri. Si scrive:
s=a+b
Pagina 42 di 102
E si legge: esse uguale ad a più bi.
2.1.2 Proprietà dell’addizione
L’addizione gode di due proprietà: commutativa e associativa.
Proprietà commutativa: s = a + b = b + a
Esempio: 22 + 19 = 41 = 19 + 22
Perché? Pensate alla definizione di addizione, e datemi una spiegazione.
Proprietà associativa: s = a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b
Esempio: 13 + 5 + 16 = 34 = (13 + 5) + 16 = 18 + 16
Perché? Pensate alla definizione di addizione, e datemi una spiegazione.
Per ciò che riguarda lo zero, vale la regola: a + 0 = 0 + a = a
Non sottovalutate queste proprietà: sono semplici, ma non sono banali! Ad esempio, nella
sottrazione non vale la proprietà commutativa!
2.1.3 Esecuzione dell’addizione
Noi che viviamo nel mondo dell’informatica abbiamo a disposizione le calcolatrici, che ci
consentono di addizionare tanti numeri senza sbagliare. Se disponiamo solo di carta e penna,
ringraziamo la nostra numerazione posizionale, che ci consente di sommare facilmente.
Naturalmente, ricordate bene come si fa:
 Si allineano sulla destra i numeri da sommare;
 Si sommano le unità;
 Il riporto delle unità si somma alle decine;
 Si procede a questo modo sino a quando le colonne sono esaurite.
La somma dei numeri di una cifra avviene secondo la tabella seguente, dove lo zero è omesso.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Pagina 43 di 102
Quando la somma supera il 9, il riporto va aggiunto alla colonna successiva.
Esempio:
Riporti
Prima cifra: unità a destra
Seconda cifra
Terza cifra
1
Totale
1
1
1
8
1
3
6
2
1
1
1
9
4
8
6
0
2
2
8
Ora facciamo un’altra cosa: siamo nell’età della pietra, e vogliamo costruirci una macchina per
sommare! Come possiamo fare?
La risposta è: realizziamo due bastoni diritti con delle tacche, come quello visto qui sopra. Le
tacche devono essere spaziate della stessa lunghezza.
Ora, mettiamo i due bastoni uno sull’altro, e portiamo lo zero del secondo bastone a coincidere
con il primo addendo. Infine, sempre sul secondo bastone, raggiungiamo il secondo addendo:
sotto alla tacca corrispondente, leggiamo nel primo bastone la somma dei due.
Ad esempio, abbiamo sommato 9 + 15: il risultato è 24. Naturalmente, è un sistema mai usato
da nessuno, perché, se si devono sommare numeri con tante cifre, o si aumenta il numero di
tacche, con possibilità di sbagliare facilmente, o si allungano troppo i bastoni, cosa
scomodissima.
In realtà, sin dall’antichità, e ancora oggi, si utilizzavano i pallottolieri, che abbiamo già usato
per contare. Come si fa? Ad esempio, vogliamo calcolare 13 + 26: inventatelo!
Giusto: occorre disporre anzitutto in basso le pallottole corrispondenti ad un addendo; ciò fatto,
si aggiungono le unità del secondo addendo.
Pagina 44 di 102
13
19
39
Questa operazione non ha riporto: ma se sommo 87 + 43?
Quando si sommano le unità, partendo dal 7 del primo addendo, si sommano le prime due cifre
del 3, secondo addendo. Ora, nella riga delle unità sono arrivato a 9: per sommare la terza cifra
del 3, aggiungo una pallina alle decine, e sposto a destra tutte le palline dell’unità: il risultato è
difatti zero unità. Se, invece di 3, le unità fossero state 6, potrei continuare a contare 4, 5, 6: le
unità del risultato sarebbero tre.
Procedendo, sulle decine partiamo da 8 + riporto = 9; quindi, appena iniziamo a sommare il 4
delle decine, devo sommare uno alle centinaia, e spostare tutte le palline a destra. Dopo ciò,
continuo a contare: 2, 3, 4: in tutto sposto tre palline. Ed ecco infine il risultato: 130.
87
89
90
100
130
Con l’abaco cinese l’operazione è la stessa; però, ci spostano le palline quando si arriva al
cinque.
Notate però la differenza rispetto al sistema con le righe: l’operazione di somma nel pallottoliere
non è automatizzabile.
Per fare le somme, i Romani utilizzavano il “calculus”, cioè il sassolino, seguendo un metodo
analogo. Quando trascrivevano il risultato, scrivevano soltanto le colonne in cui c’era qualcosa:
ad esempio, se il risultato era il seguente:
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M C X
O
O
O
O
O
O
I
O
O
O
O
Il nostro amico Romano scriverebbe:
MLXV
Prima di concludere, ritorniamo un attimo ai numeri binari. Ebbene, come si sommano due
numeri binari? Si sommano applicando la seguente tabella.
0
1
0
0
1
1
1
10
Semplicissimo! Proviamo a calcolare:
11.010 + 100.111
Qual è il risultato?
Sin qui tutto troppo banale? Ricordatevi dello scappamento!
2.1.4 Esistenza del numero somma
Una volta inventata una operazione, un matematico serio si chiede: esiste sempre un numero
naturale che è la somma di due numeri naturali?
La risposta è sì: se non esistesse, questo equivarrebbe a dire che nei numeri naturali esiste un
numero massimo, cosa che contraddice il fatto che l’insieme N è infinito. Quindi, la somma
opera sull’insieme dei numeri naturali.
Ecco lo schema di quanto abbiamo appreso.
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CIFRE
NOMI DELLE CIFRE E DEI NUMERI
NUMERAZIONE POSIZIONALE
CONTARE
ADDIZIONE
2.1.5 Uguaglianza
In matematica, l’uguaglianza è una relazione di equivalenza tra due membri, detti appunto
membri dell’uguaglianza.
Nella relazione di uguaglianza valgono sue assiomi, che si applicano anche, ma non solo, ai
numeri naturali che sinora abbiamo studiato. Per assiomi si indicano verità non dimostrabili. Gli
assiomi sono i seguenti.
1) Dato x, allora è sempre vero che x = x (proprietà riflessiva).
2) Dati x e y, se x = y, allora, data una qualunque espressione P (o, più in generale, per
qualunque predicato P), è sempre vero che P(x) = P(y).
Mentre il primo assioma è chiaro, diamo un esempio del secondo assioma. L’esempio è:
supponiamo che P sia “somma un numero c qualunque”. Allora, se x = y, è anche vero che:
x+c=y+c
Questa è una proprietà molto importante, che utilizzeremo nella semplificazione delle
uguaglianze. In generale, P può essere ogni espressione algebrica; quindi, può essere anche:
sottrai c, moltiplica per c, dividi per c eccetera.
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ESERCIZI SULL’ADDIZIONE DEI NUMERI
Paragrafo 2.1.2: proprietà dell’addizione
Proprietà commutativa.
Commutate: 13 + 24; 23 + 18; 66 + 29
Come vedete, c’è una sola risposta per ogni somma.
Commutate: 14 + 22 + 18
Quante commutazioni si possono ottenere? E se dovessimo commutare una addizione con
quattro cifre? E con cinque cifre? Questo è un piccolo esercizio su una operazione che si
chiama permutazione di elementi.
Proprietà associativa.
Associate: 33 + 12 + 27
Quante diverse associazioni potete ottenere?
Associate: 16 + 28 + 30 + 34
Quante diverse associazioni potete ottenere?
Esercizi di addizione
1628 + 3886 + 7191
Riporti
Prima cifra
Seconda cifra
Terza cifra
Totale
9336 + 5888 + 6232 + 23114
Riporti
Prima cifra
Seconda cifra
Terza cifra
Quarta cifra
Totale
Pagina 48 di 102
339614 + 44345 + 6005 + 2 + 321
Riporti
Prima cifra
Seconda cifra
Terza cifra
Quarta cifra
Quinta cifra
Totale
Inventate altre somme!
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2.2 Sottrazione dei numeri naturali: numeri negativi, numeri interi.
2.2.1 Definizione della sottrazione
La sottrazione è la seconda operazione fondamentale dell’aritmetica. La sottrazione è una
operazione inversa rispetto all’addizione. Dati due numeri, a e b, con a ≥ b, si dice differenza
d tra i due numeri:
d=a–b
(≥ si legge maggiore uguale: nel caso di uguale, la differenza è zero. Esiste anche ≤, che si
legge minore uguale).
dove: a è il minuendo; b è il sottraendo, d è la differenza, il numero d tale per cui:
b+d=a
Dal punto di vista operativo, la sottrazione consiste nel sommare a b delle cifre sino a quando
si ottiene a; il numero sommato, d, è appunto la differenza tra a e b.
Quindi, la sottrazione è una operazione inversa rispetto alla somma; per contrasto, si dice che
la somma è una operazione diretta. Vedremo altre operazioni dirette ed inverse.
NOTATE BENE che abbiamo applicato il secondo assioma dell’uguaglianza. Difatti, se:
d = a – b,
allora, sommando b ad entrambi i termini dell’uguaglianza abbiamo:
d+b=a–b+b
Per la proprietà associativa della somma, possiamo scrivere:
d + b = a + (- b + b) = a + 0 = a
NOTATE ANCHE che si potrebbe pensare di definire la sottrazione come segue: dati il
minuendo ed il sottraendo, si dice differenza il numero che si ottiene partendo dal minuendo e
contando all’incontrario tante volte quante sono indicate dal sottraendo. Così facendo, però,
occorrerebbe introdurre un ulteriore assioma a quelli di Peano: oltre allo zero ed all’elemento
successivo, occorrerebbe definire un elemento precedente. Ecco perché la definizione utilizza
soltanto quello che abbiamo già definito, cioè l’operazione di addizione.
NOTATE INFINE che siamo partiti dall’uguaglianza:
d=a–b
ed abbiamo ottenuto l’uguaglianza:
b+d=a
Come vedete, abbiamo “spostato” da destra a sinistra un termine dell’uguaglianza, e cioè b;
nel far ciò, lo abbiamo cambiato di segno. Vi deve essere ben chiaro che questo è il risultato
dell’aver applicato il secondo assioma dell’uguaglianza.
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Ecco lo schema della definizione di sottrazione, che non utilizza l’operazione di contare.
CIFRE
NOMI DELLE CIFRE E DEI NUMERI
NUMERAZIONE POSIZIONALE
CONTARE
ADDIZIONE
SOTTRAZIONE
2.2.2 Proprietà della sottrazione
Come abbiamo già detto, per la sottrazione non valgono le proprietà commutativa e associativa,
ma vale la proprietà invariantiva.
Proprietà invariantiva della sottrazione. Se d = a – b, dato un numero qualunque, c, la
differenza non cambia se lo si somma sia ad a che a b:
d = (a + c) – (b + c)
Supponiamo di dover calcolare 53 – 37. Se sommo 3 al minuendo e al sottraendo, ottengo:
(53 + 3) – (37 + 3) = 56 – 40 = 16
Come si vede, il fatto di avere modificato il minuendo così che sia un multiplo di 10 semplifica
la sottrazione.
Inoltre, se a ≥ c, se sottraggo c ad a e b ottengo:
d = (a – c) – (b – c)
Esempio: devo calcolare 47 – 34. Se sottraggo 4 a minuendo e sottraendo ottengo:
(47 – 4) – (34 – 4) = 43 – 30 = 13
Anche in questo caso, il fatto di avere modificato il minuendo così che sia un multiplo di 10
semplifica la sottrazione.
Infine, a – 0 = a
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2.2.3 Esecuzione della sottrazione
L’operazione elementare di sottrazione di due cifre si esegue sottraendo al minuendo tante
unità quante sono quelle del sottraendo; quindi:
8 – 4 = 4; 9 – 9 = 0 eccetera.
Le cifre possono essere unità, decine, centinaia: grazie alla notazione posizionale, nei numeri
si trovano incolonnate.
Bene; ora, facciamo una sottrazione usando carta e penna. Naturalmente, ricordate bene come
si fa:
 Si allinea sulla destra il minuendo;
 Si mette sotto il sottraendo;
 Prima di sottrarre le unità, ci si chiede: le unità del minuendo sono maggiori o uguali al
sottraendo?
o Risposta si: si sottrae dal minuendo il numero del sottraendo, e si passa alle
decine;
o Risposta no: sul minuendo si aggiunge una decina alle unità, e la si toglie dalle
decine. A questo punto si esegue la sottrazione, e si passa alle decine;
 Si procede a questo modo sino a quando le colonne sono esaurite.
Esempio: devo sottrarre 618 da 1314. Ecco il procedimento.
Minuendo
Sottraendo
1
3
6
1
1
4
8
Primo passo: unità; 4 < 8
Sottraendo
Prima differenza: unità
1
3
6
0
1
14
8
6
Secondo passo: decine; 0 < 1
Sottraendo
Seconda differenza: decine
1
2
6
10
1
9
14
8
6
Terzo passo: centinaia; 2 < 6
Sottraendo
Terza differenza: centinaia
0
12
6
6
10
1
9
14
8
6
6
9
6
Differenza
Come vedete, con la sottrazione occorre stare un poco più attenti rispetto alla somma, perché
i prestiti vanno decisi man mano che si procede.
Vediamo ora di usare la nostra macchina calcolatrice per calcolare la differenza. A questo
scopo, lo zero del bastone superiore deve essere portato sul minuendo, ma il bastone deve
essere messo nella direzione opposta rispetto alla somma. Ora, sul secondo bastone,
raggiungiamo il sottraendo: sotto alla tacca corrispondente, leggiamo nel primo bastone la
differenza dei due. Ad esempio, calcoliamo 21 – 14 = 7
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Forse è un poco più utile rispetto alla somma, ma rimangono gli stessi problemi per i numeri
più grandi.
E con il pallottoliere come si eseguono le sottrazioni? Si opera come con le somme, ma
andando al contrario. Esempio: 123 - 74.
 Imposto il minuendo sul pallottoliere;
 Inizio a sottrarre le unità, spostando le palline a destra. Poiché 3 < 4, dopo aver sottratto
3 palline arrivo allo zero: per sottrarre la quarta pallina, sposto a destra una pallina delle
decine, e sposto a sinistra 9 palline;
 Ora vado alle decine. Poiché devo calcolare 1 - 7, sposto a destra una pallina, poi sposto
a destra la pallina delle centinaia e a sinistra 9 palline delle decine, e poi sottraggo altre
cinque palline;
 Finite le cifre, leggo il risultato: è 49.
123
123 - 4 = 119
119 - 10 = 109
109 - 10 = 99
99 - 50 = 49
2.2.4 Esistenza della sottrazione; i numeri interi
Domanda: siamo sicuri che esista sempre la differenza tra a e b, e che sia un numero naturale?
In effetti, esiste sempre un numero naturale che sia la differenza d tra a e b, purché valga la
relazione:
a≥b
Esempio: 30 – 14 = 16
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Abbiamo finito? Sono certo che vorreste estendere l’operazione di sottrazione, rimuovendo la
condizione a ≥ b. Noi tutti sappiamo che, se preleviamo troppi soldi dal conto corrente, andiamo
in rosso: cosa sono questi numeri rossi? Come si opera con numeri neri e numeri rossi?
Ebbene, è ora di salutare i numeri naturali, ed inventare i numeri negativi. Cosa sono? Beh, se
allunghiamo la nostra semiretta alla sinistra dello zero, entriamo naturalmente nel loro regno.
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ecco i numeri negativi: anche loro sono infiniti, e procedono ordinatamente verso sinistra. Lo
zero è il discriminante tra i due mondi positivi e negativi. Guardate che l’introduzione dei numeri
negativi è stata una invenzione colossale, che ha consentito ai banchieri dell’antichità di non
sbagliarsi più nei calcoli. E come? Attraverso l’introduzione della partita doppia, che si è
cominciata ad usare verso la fine del 1200, si sono separati su due colonne diverse i numeri
positivi, in entrata, da quelli negativi, in uscita.
Poiché abbiamo tolto la condizione a ≥ b, possiamo eseguire la sottrazione anche se a < b.
Cosa succede? Vediamo l’esempio.
Se voglio calcolare:
5–7
Posso pensare a questo modo: cinque li ho; quindi, resto in debito di due.
5–7=0–2
Questo risultato si ottiene, per la proprietà invariantiva della sottrazione, sottraendo 5 ad
entrambi i membri: 5 – 7 = (5 – 5) – (7 – 5) = 0 - 2
Ecco: il risultato è proprio – 2; cioè il mio debito residuo. Quindi, quando a < b, devo
semplicemente calcolare b – a, e poi cambiare segno al risultato. L’operazione che faccio è la
seguente:
a - b = - (b - a)
Pensateci bene! Riscrivo l’uguaglianza.
a - b = - (b - a)
Poiché, però, per la proprietà commutativa dell’addizione, è anche:
a–b=-b+a
Allora:
- b + a = - (b – a) = - b – (-a)
E quindi:
+ a = - (-a)
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Nello scrivere l’uguaglianza ho trasformato il credito (+ a) in un debito negativo: + a = - (- a).
Vi torna? Ripetiamolo:
debito negativo = credito
Questo è uno dei passaggi tipici della matematica, che trasforma cose ovvie (quello che vi ho
spiegato) in cose meno ovvie: possiamo pensare anche che una doppia negazione è una
affermazione. Difatti, se dico: nessuno ha nemmeno una mela, dico che tutti hanno almeno una
mela.
Ritorniamo alla nostra definizione: d = a – b significa che d + b = a; ma se b > a, la definizione
vale ancora?
Ad esempio, consideriamo d = 10 – 17 = -7. In effetti, - 7 + 17 = 10; non dobbiamo preoccuparci,
la definizione resta valida.
Dopo aver introdotto i numeri negativi, possiamo scrivere anche:
a - b = a + (- b)
La sottrazione diventa una somma di due numeri interi; uno positivo; l’altro negativo.
Ora, facciamo una cosa strana, e chiediamoci: e se partissi a fare una sottrazione, ignorando
il fatto che, in effetti, a è minore di b? Guardiamo un poco, e facciamo un esempio: voglio
calcolare 156 – 3214. Se parto normalmente, ottengo:
Unità: 6 – 4 = 2;
Decine. 5 – 1 = 4;
Centinaia: 1 – 2 = 9, col riporto di 1;
Migliaia: 0 – 3 - 1 (riporto) = - 4
Quindi, abbiamo: - 4.000 + 942. Se ora calcoliamo la differenza abbiamo – 3058, che è il
risultato corretto. Questo non è proprio un giochino: nei calcolatori è una tecnica usata.
L’insieme dei numeri positivi e negativi costituisce il nuovo insieme dei numeri interi. Questo
insieme è indicato con Z, e include quello N dei numeri naturali: in insiemistica si scrive:
Cioè, N è contenuto in Z.
A proposito della cardinalità di Z, cosa dite: è cambiata rispetto a quella di N?
Potreste dire: certo, sono il doppio! Ebbene, poiché la cardinalità è la numerabilità di un
insieme, la risposta è no: hanno la stessa cardinalità! Difatti, ad ogni intero positivo corrisponde
un intero negativo: Z ha anche lui la cardinalità infinita ‫א‬0 dei numeri naturali. Sorpresi?
L’infinito è una strana bestia.
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Bene, ora facciamo alcuni esempi: calcoliamo, ad esempio, z = a + b + c + d – e – f – g. Come
si procede? A questo modo:
 Si sommano i minuendi: m = a +b +c +d;
 Si sommano i sottraendi: s = e + f + g;
 Si sottrae la somma dei sottraendi alla somma dei minuendi: z = m – s
 In formule: z = (a + b + c + d) – (e + f + g)
Questa è la maniera più semplice per ottenere il risultato; in alternativa, si possono sommare
e sottrarre i numeri così come sono scritti nell’espressione. Ad esempio, se dobbiamo calcolare:
z = - 15 + 22 + 14 – 12
Potete calcolare:
z = (22 + 14) – (15 + 12) = 36 – 27 = 9;
Ma anche:
- 15 + 22 = 7; 7 + 14 = 21; 21 – 12 = 9
Non spaventatevi se il primo numero è negativo: eravate in debito con la banca!
Una interessante questione coinvolge il modo in cui è stata definita la numerazione degli anni
rispetto alla nascita di Cristo. Se disegniamo su una retta questa definizione, abbiamo quanto
segue.
Anno - 1
1 a.C.
(-1)
Anno 1
0
1 d.C.
(1)
Il giorno della nascita di Gesù è indicato con zero. Non so se vi salta all’occhio il fatto che
questa non è una rappresentazione matematicamente corretta: quelli che sono stati definiti
anno -1 e anno 1 avrebbero dovuto essere anni zero! La conseguenza è che il giorno prima
della nascita di Gesù eravamo un anno avanti Cristo, e che Gesù ed i suoi contemporanei,
appena nati, erano già nell’anno uno! L’Anno Domini non esiste!
La situazione ridicola è stata causata dal fatto che nel periodo in cui il sistema venne definito
ed adottato (pensate Carlo Magno lo introdusse in Europa), ahimè ed ahinoi, lo zero non
sapevano cosa fosse.
Lo stesso discorso vale per i secoli: prima della nascita di Cristo siamo nel primo secolo a.C.;
subito dopo, siamo nel primo secolo d.C. Questo è il motivo per cui noi, oggi, siamo nel duemila,
ma anche nel ventunesimo secolo: questo fatto è spesso causa di confusione. Bah: non c’è più
rimedio!
Bene: abbiamo introdotto la prima operazione inversa, la sottrazione; di conseguenza, abbiamo
molto naturalmente introdotto i numeri negativi, e raddoppiato i numeri su cui possiamo
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operare. Siamo sulla buona strada per ingrandire la famiglia dei numeri: ne scopriremo delle
belle!
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ESERCIZI SULLA SOTTRAZIONE DEI NUMERI
Paragrafo 2.2.1: definizione di sottrazione
Trasformate le eguaglianze su somme e sottrazioni seguenti in altre eguaglianze, sommando
e sottraendo lo stesso numero ai due termini dell’uguaglianza.
10 = 17 – 7
15 = 20 – 5
a=b-7
a=b–c
a–b=c-d
23 = 15 + 8
a = b + 17
a + b + c = d + 13
Notate bene che è possibile scrivere un numero infinito di uguaglianze, usando numeri diversi.
Ora, invece, “spostiamo” una cifra da una parte all’altra delle uguaglianze scritte sopra.
“Spostare” una cifra tra i due membri dell’uguaglianza implica il cambiamento del segno della
cifra stessa:
da 10 = 17 – 7 ottengo 10 + 7 = 17
Paragrafo 2.2.2: proprietà della sottrazione
Proprietà invariantiva.
Verificate che le seguenti sottrazioni non cambiano se sommate un numero a minuendo e
sottraendo.
697 = 711 – 14; 805 = 823 – 18; 16 = 33 – 17; 56 = 75 – 19; 57 = 66 – 19; 38 = 77 – 39
Verificate che le seguenti sottrazioni non cambiano se sottraete un numero a minuendo e
sottraendo.
43 = 67 – 24; 433 = 677 – 244; 74 = 89 – 15; 35 = 47 – 12; 666 = 787 – 121; 483 = 668 – 185;
45 = 79 – 34
Sottrazione di due numeri. Calcolate le seguenti sottrazioni.
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7.824 – 5.331; 13.914 – 9.887; 234.567 – 45.887; 3.467.234 – 2.412.644
Espressioni con somma e sottrazione: prima raggruppate, poi calcolate.
21 – 45 + 33 – 12
- 28 – 27 + 13 + 98 – 67
89 + 32 – 161 + 79 + 13 – 56 – 49
- 33 – 47 – 78 + 12 – 27 – 63 + 89 + 14 – 92
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2.3 Moltiplicazione degli interi.
2.3.1 Definizione di moltiplicazione
La moltiplicazione è la terza operazione fondamentale dell’aritmetica. Poiché deriva
dall’addizione, è una operazione diretta. La sua definizione è la seguente.
Si dice prodotto di due numeri, detti moltiplicando e moltiplicatore, la somma di tante
volte il moltiplicando quante volte indicato dal moltiplicatore. Quindi, p = a x b si ottiene
dalla somma:
p = a + a + a +…… + a
dove le a sono ripetute b volte. Una maniera più “matematica” per indicare la moltiplicazione è
scrivere:
p = ∑𝒃𝑵=𝟏 𝒎𝑵 ; mN = a
dove la Σ è il sigma greco maiuscolo. La formula si legge: p uguale alla sommatoria di mN, con
mN = a, ripetuta da 1 a b (cioè, b volte). Vedremo in futuro altre sommatorie; è solo una
presentazione.
Vista la definizione, si tratta di una operazione diretta; lo schema della definizione è il seguente.
CIFRE
NOMI DELLE CIFRE E DEI NUMERI
NUMERAZIONE POSIZIONALE
CONTARE
ADDIZIONE
SOTTRAZIONE
MOLTIPLICAZIONE
2.3.2 Proprietà della moltiplicazione
Le proprietà fondamentali della moltiplicazione sono:
Proprietà commutativa (come per la somma): a x b = b x a
Esempio: 3 x 4 = 4 x 3 = 12
Pagina 60 di 102
NOTA: in matematica, invece del simbolo per “x”, si usa spesso un punto, “∙”, al centro tra i due
numeri. Quando non ci sono possibilità di equivoco, si omette il tutto; ad esempio, 2π significa
2 x π; 2πr significa 2 x π x r. Poiché il punto è piccolo, in EXCEL si utilizza il simbolo “*”: a*b
significa a x b.
Proprietà associativa (come per la somma): a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c)
Esempio: 2 x 3 x 5 = 6 x 5 = 2 x 15 = 3 x 10 = 30
Oltre a queste, simili alle equivalenti della somma, esistono altre proprietà fondamentali.
Proprietà distributiva rispetto all’addizione: a x (b + c) = a x b + a x c
Esempio: 2 x (3 + 5) = 6 + 10 = 16
Vale anche il viceversa: a x b + a x c = a x (b + c)
Elemento neutro: 1 x a = a x 1 = a
(Nella somma, a + 0 = 0 + a = 0)
Elemento zero: 0 x a = a x 0 = 0, qualunque sia a. In particolare, 0 x 0 = 0.
(non ha corrispondente nella somma)
Queste, che sembrano formule ovvie, possono servirci per sbrogliarcela quando dobbiamo fare
dei calcoli a memoria.
Ora bisogna fare attenzione, perché stiamo parlando dei numeri interi, e non solo dei numeri
naturali. Come ce la caviamo con la moltiplicazione di numeri positivi e negativi? E se sono
entrambi negativi, cosa succede?
Cominciamo dal caso in cui uno solo dei due numeri sia negativo: vogliamo calcolare p = a x
b, dove a o b sono negativi. Mettiamo in evidenza il segno: p = - a x b.
La risposta è che il prodotto è negativo. Avevate un debito a, e lo avete ripetuto b volte: siete
andati in profondo rosso! Quindi: p = - (a x b)
Vediamo subito una eguaglianza importante:
- a = (-1) x a
Quindi, tutti i numeri negativi sono il prodotto di -1 per un numero positivo!
Ora, il caso in cui entrambi i numeri sono negativi: come possiamo ragionare? Cosa significano
il moltiplicando e il moltiplicatore? Ebbene, abbiamo già visto con la sottrazione che sottrarre
un numero negativo significa sommare un numero positivo. Scriviamo la situazione a questo
modo:
a - (- b) = a + (-1) x (-1) x b = a + b
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Quindi: (-1) x (-1) = 1
In generale:
(-a) x (-b) = [(-1) x a] x [(-1) x b] = [(-1) x (-1)] x a x b = a x b
Ecco una formula non completamente ovvia; grazie a questa, la proprietà distributiva vale
anche per la sottrazione.
a x (b – c) = a x b – a x c
Conclusione: per la moltiplicazione vale la seguente regola:
 Il prodotto di due numeri con lo stesso segno è positivo: (-1) x (-1) = 1 = 1 x 1;
 Il prodotto di numeri di segno opposto è negativo: 1 x (-1) = - 1 = (-1) x 1.
Ed ecco la tabella di sintesi di quanto sopra.
+
+
-
+
-
+
Prodotto di due segni
2.3.3 Esecuzione della moltiplicazione
Bene, ora siamo pronti per fare una moltiplicazione usando carta e penna. Prima di farlo,
dobbiamo alzare un inno di ringraziamento agli indiani (e poi a al-Khuwarizmi, e poi a Leonardo
Fibonacci) per avere inventato la numerazione posizionale, e a Pitagora per la sua tavola
pitagorica! Eccola di seguito.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
La conoscete bene? Ripasso!
Ora, ecco come procediamo.
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
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





Scriviamo il moltiplicando nella prima riga, allineato a destra;
Scriviamo sotto il moltiplicatore, anche lui allineato a destra;
Ora, con la tavola pitagorica in mano, iniziamo a moltiplicare le unità del moltiplicatore
per tutte le cifre del moltiplicando, segnando a parte i riporti (oppure sommandoli man
mano);
Terminati i prodotti con l’unità, iniziamo a moltiplicare le decine, ma il risultato sarà scritto
spostato di una cifra a sinistra: a questo modo viene moltiplicato per 10;
Si procede a questo modo sino a quando sono esaurite le cifre del moltiplicatore;
Si sommano i prodotti parziali: questo è il prodotto.
Esempio: dobbiamo moltiplicare 328 x 436
Moltiplicando
Moltiplicatore
Riporto unità
Risultato unità
Riporto decine
Risultato decine
Riporto centinaia
Risultato centinaia
Riporti somma finale
Totale
Cent Dec
Migliaia Centinaia Decine Unità
migl migliaia
3
2
8
4
3
6
1
0
1
0
1
0
2
2
4
0
9
3
8
2
3
1
8
2
6
4
2
8
4
0
2
1
0
0
0
0
0
8
NOTA. Nel fare le moltiplicazioni si può sbagliare il calcolo. La cosa importante per molti fini
pratici è non sbagliare l’ordine di grandezza, e le prime due cifre! Per una volta,
dimenticatevi la calcolatrice, e date un’occhiata a cosa state facendo!
Ad esempio, nel prodotto di sopra abbiamo circa 300 x 400; quindi, di primo acchito, il risultato
sarà 3 x 4 x 100 x 100 = 12 x 10.000 = 120.000, e non 12.000 o 1.200.000! Alla seconda cifra
si sommano, circa, decine per centinaia (2 x 4 = 8) più centinaia per decine (3 x 3 = 9); quindi,
circa, la seconda cifra è 2 + (8 + 9 uguale circa a 20); quindi, circa, 140.000. Per questo calcolo
vi basta un secondo, e poi non vi potete più sbagliare pesantemente! In Fisica, questo si chiama
valutare l’ordine di grandezza. È una saggia regola.
Bene; ora, chi inventa una macchina capace di fare le moltiplicazioni? Vediamo se qualcuno
mi spiega come si può eseguire la moltiplicazione usando il pallottoliere. Esempio: vogliamo
calcolare 48 x 67; come fare?
Soluzione: si spezza il prodotto in una serie di moltiplicazioni di cifre singole. Poiché 48 = 40 +
8 = 4 x 10 + 8 e 67 = 60 + 7 = 6 x 10 + 7, abbiamo:
48 x 67 = (40 + 8) x (60 + 7) = 7 x 8 (!) + (7 x 40 + 60 x 8) + 60 x 40
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La moltiplicazione si esegue nell’ordine indicato: prima le unità, con gli eventuali riporti; poi le
decine, poi le centinaia, lavorando prima sulle righe delle unità (ed eventualmente delle decine,
se ci sono riporti); poi su quella delle decine (DUE VOLTE) (ed eventualmente delle centinaia,
se ci sono riporti); e poi su quella delle centinaia (ed eventualmente delle migliaia, se ci sono
riporti).
7 x 8 = 56
7x40 (+ 56) = 336
60x8 (+336) = 816
60x40 (+816) = 3216
In occidente, il problema di eseguire rapidamente le moltiplicazioni, anche perdendo in
precisione, è rimasto irrisolto a lungo, sino a quando furono inventati i logaritmi. Il concetto di
base è che i logaritmi consentono di passare dal prodotto ad una somma (dei logaritmi,
appunto); e poi, ottenuto il logaritmo del prodotto, di ritornare ai numeri. Questo è un modo di
operare molto fecondo, utilizzato in analisi per risolvere problemi complessi: ne riparleremo.
Solo un piccolo ritorno alla numerazione binaria: come si esegue la moltiplicazione? Ebbene,
si esegue esattamente come per i numeri decimali; però, con la numerazione binaria, la tavola
pitagorica è estremamente semplificata: eccola.
0
1
0
0
0
1
0
1
Proviamo ad applicarla, e moltiplichiamo due numeri binari; ad esempio: 1101 x 1110 (13 x 14).
Vediamo cosa succede.
MOLTIPLICANDO
MOLTIPLICATORE
1
1
1
1
1
0
RIPORTO
1
1
1
1
PRODOTTO
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Pagina 64 di 102
Quindi, il risultato è 10110110: è uguale a 182; provare per credere. Semplicissimo? Proviamo
a moltiplicare 1111 x 1111 (15 x 15).
COLONNA
8
MOLTIPLICANDO
MOLTIPLICATORE
7
1
RIPORTO 2
RIPORTO 1
1
1
1
PRODOTTO
1
1
6
5
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
Avete visto cosa capita mentre si eseguono le somme? Nella prima colonna non c’è riporto.
Nella seconda. 1 + 1 = 0 con riporto di 1; lo ho scritto in RIPORTO 1. Nella terza colonna
abbiamo: 1 + 1 + 1 + 1 (il riporto): la soma è 100; quindi, ho scritto questo riporto in RIPORTO
2, spostato di due colonne! La stessa cosa succede nelle colonne 4 e 5. Nelle colonne 6 e 7
c’è un riporto spostato di una sola colonna. Il risultato è 11100001, cioè 255.
La cosa non deve sorprendere: anche con i numeri decimali, se sommiamo molte cifre, può
capitare che, su una colonna, il riporto sia di centinaia; quindi, dobbiamo incolonnarlo spostato
di due colonne.
2.3.4 Esistenza del prodotto
Noterete che la moltiplicazione non altera l’insieme dei numeri interi Z su cui stiamo operando:
è una operazione diretta, come la somma. Quindi, una volta chiarita la questione dei segni, non
ci sono altri problemi.
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ESERCIZI SULLA MOLTIPLICAZIONE DEI NUMERI
Paragrafo 2.3.2: proprietà della moltiplicazione
Proprietà associativa.
Applicate la proprietà alle seguenti moltiplicazioni
15 x 9 x 4 =
5 x 47 x 2 =
11 x 11 x 4 =
3x9x3=
7x2x7=
Proprietà distributiva.
22 x (12 + 10) =
33 x (10 + 15) =
15 x (16 – 4) =
La proprietà distributiva può essere usata per trasformare un prodotto in una somma o in una
sottrazione. Quindi, trasformate i seguenti prodotti scomponendo il moltiplicatore in una somma
o in una differenza:
78 x 65 =
49 x 22 =
33 x 98 =
Paragrafo 2.3.3: esecuzione della moltiplicazione
23 x 12 =
76 x 89 =
106 x 68 =
333 x 444 =
9876 x 8765 =
Pagina 66 di 102
45.078 x 98.302 =
745.096 x 304.611 =
5.920.356 x 4.007.564 =
Per finire, un piccolo gioco che richiede abilità e attenzione.
Per una strada che andava a Camogli,
incontrai un uomo con sette mogli;
ciascuna moglie aveva sette sacchi,
ciascun sacco conteneva sette gatti,
ciascun gatto aveva sette gattini.
Tra mogli, sacchi, gatte e gattini,
in quanti andavano dunque a Camogli?
Questo quesito (o uno simile) è stato scoperto nel già citato papiro di Rhind, ed è stato portato
in occidente da Fibonacci: al lavoro, vediamo chi lo risolve! ATTENZIONE: PRIMA scrivete la
formula che risolve il problema, e POI eseguite il calcolo. A volte ci si sbaglia nel calcolare, ma,
se la formula è giusta, il problema è risolto!
Pagina 67 di 102
2.4 Divisione degli interi: i numeri razionali.
2.4.1. Definizione di divisione
Eccoci alla quarta e ultima delle operazioni fondamentali dell’aritmetica: la divisione. Si tratta di
una operazione inversa, che deriva dalla moltiplicazione. La sua definizione è la seguente. Si
dice quoziente q di due numeri a e b, detti dividendo e divisore, il numero q tale per cui:
bxq=a
e si scrive:
q = a : b oppure q = a / b (simbolo usato in EXCEL)
e si legge: q uguale ad a diviso b; oppure: q uguale ad a fratto b.
La parola “fratto” ricorda l’operazione di frazionare, cioè tagliuzzare il numeratore. L’esempio
classico è quello della torta: se la taglio in sei pezzi e ne prendo un terzo, ottengo: 6 / 3 = 2
pezzi.
NOTA: nelle calcolatrici si utilizza il simbolo ÷, che si chiama obelo.
Come potrete aspettarvi, la divisione, come operazione inversa, apre un vaso di Pandora di
conseguenze. Per amore della completezza, vedremo parecchie di queste conseguenze;
sempre, però, tenendo di mira il nostro traguardo finale; e cioè, la comprensione della formula
di Eulero.
Ecco la sintesi delle definizioni che abbiamo visto sinora.
CIFRE
NOMI DELLE CIFRE E DEI NUMERI
NUMERAZIONE POSIZIONALE
CONTARE
ADDIZIONE
SOTTRAZIONE
MOLTIPLICAZIONE
DIVISIONE
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2.4.2 Proprietà della divisione
Le proprietà fondamentali della divisione sono:
Proprietà invariantiva: se q = a / b, allora q = (a x n) / (b x n), ed anche: q = (a/n) / (b/n)
Per ogni numero n, escluso lo zero.
Esempio: 6 / 4 = (6 x 2) / (4 x 2) = 12 / 8
Elemento neutro: a / 1 = a
Elemento zero: 0 / a = 0, qualunque sia a (tranne lo zero). Infatti, possiamo dividere il niente
quanto ci pare: non otteniamo niente!
L’espressione a / 0, incluso 0 / 0, non ha significato matematico: è una grossa eccezione,
che non abbiamo incontrato nelle operazioni precedenti.
La divisione si pone davanti ad una notevole serie di conseguenze: vediamole un poco per
volta.
Poiché parliamo di numeri interi, cominciamo a studiare come dobbiamo considerare i segni.
 Se numeratore e denominatore sono positivi, il quoziente è positivo.
 E se numeratore e denominatore sono negativi? Quando vale (-6) / (-2)? Possiamo
risolvere la questione pensando che:
(-6) / (-2) = [(-1) x 6] / [(-1) x 2] = [(-1) / (-1)] x 6 / 2 = 6 / 2 = 3
Difatti, la divisione di due numeri identici, positivi o negativi, è 1: -1 = 1 x (-1)
In conclusione, la risposta è: se dividendo e divisore sono negativi, il quoziente è
positivo.

E se il numeratore e il quoziente hanno segni diversi? Abbiamo due casi: (-a) / b e a / (b). Però, dalla proprietà invariantiva sappiamo che a / b = (a x n) / (b x n). Se usiamo n
= -1, abbiamo a / (-b) = (a x -1) / (-b x -1). Poiché sappiamo che -b x -1 = b, otteniamo:
a / (-b) = (-a) / b
Quindi, abbiamo un solo caso da studiare. A questo punto, la soluzione è semplice: se
ho un debito di sei Euro, la terza parte del debito è ancora un debito, di due Euro. Quindi:
-6 / 2 = -3
Conclusione: per la divisione vale la stessa regola della moltiplicazione, per cui:
 Il quoziente di due numeri con lo stesso segno è positivo;
 Il quoziente di numeri di segno opposto è negativo.
È abbastanza semplice, non è vero? E allora, procediamo.
Pagina 69 di 102
2.4.3 Esistenza del quoziente
Quando si calcola una divisione, ci troviamo davanti a due casi.
 Primo caso: a è un multiplo di b. In questo caso, il quoziente è un numero intero. Ad
esempio, 6 / 2 = 3, e tutto finisce qui.
 Secondo caso, molto più interessante: a non è un multiplo di b. Ad esempio, vogliamo
calcolare 5 / 2: come ce la caviamo?
Siamo davanti al caso, più generale, per cui dobbiamo scrivere:
a=bxq+r
dove “r” è il resto della divisione.
Nel nostro caso: 5 = 2 x 2 +1; quindi, 2 è il quoziente, ed 1 il resto.
Però voi non siete soddisfatti, perché se, con la vostra calcolatrice, calcolate 5 / 2, ottenete 2,5:
di cosa si tratta?
Si tratta di una ulteriore grande invenzione, e cioè dell’estensione dell’insieme dei numeri
interi. Riprendiamo la nostra retta dei numeri interi, e vediamo cosa succede.
5/2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
La geometria di Euclide, da 2300 anni circa, ci ha insegnato che, dato un segmento (ad
esempio, quello tra 0 e 5), lo si può sempre dividere in due. Quindi, sulla nostra retta esiste un
punto, quello indicato, che vale 5/2, ma che, sulla retta, è uguale a 2 più la metà del segmento
unitario. Però, come si può ben vedere, questo punto non è un intero! La divisione ci obbliga
ad ampliare il nostro dominio dei numeri, estendendolo ad un altro insieme, quello dei
numeri razionali, indicato con Q. Nota bene: si chiamano numeri razionali non perché pensano
razionalmente, ma perché sono il risultato di un rapporto (dal latino ratio)!
È evidente che Q include i numeri interi Z, che includono i numeri naturali N:
In generale, i numeri razionali si scrivono estendendo sulla destra il numero che corrisponde al
quoziente; il separatore è una virgola (un punto per gli inglesi). Ecco quindi che noi scriviamo
5 / 2 = 2,5; e cioè, 2 + 1 / 2.
Dopo la virgola si possono scrivere un numero a piacere di decimali. Il bello della scrittura
posizionale è che ci consente di non sbagliare.
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Quanti sono i numeri razionali Q? È evidente che sono infiniti; ecco una dimostrazione classica
di questo fatto. Si tratta di una dimostrazione per assurdo, nel senso che si parte dalla ipotesi
opposta, e cioè che siano in numero finito, per dimostrare che è contraddittoria, e, siccome non
esiste una terza possibilità (tertium non datur), l’ipotesi iniziale è falsa, e la dimostrazione è
confermata.
Supponiamo che esistano due numeri razionali distinti, a e b, e che tra di loro non esista un
altro numero razionale. Dimostriamo ora che questo è impossibile. Difatti, consideriamo il
numero (a + b) / 2: è evidente che è maggiore di a, minore di b, e che è pure lui un numero
razionale: quindi l’ipotesi iniziale non è valida. In effetti, tra due numeri razionali qualunque ne
esistono infiniti altri.
Ciò detto, chiediamoci: ma questi infiniti numeri razionali Q sono più numerosi dei numeri interi
Z?
Per l’insieme dei numeri razionali Q, Cantor ha dimostrato che, poiché esiste la possibilità di
numerarli, e quindi di metterli in relazione biunivoca con i numeri interi, la loro cardinalità è la
stessa, ‫א‬0 , dei numeri interi! Incredibile e assolutamente contro-intuitivo, non è vero? Eppure,
è così! Vogliamo dare un’occhiata a cosa ha combinato Cantor?
Quello che ha fatto è stato di tabulare tutti i numeri razionali esistenti, come segue.
N/D
1
2
3
4
5
6
7
…
1
1/1
2/1
3/1
4/1
5/1
6/1
7/1
…
2
1/2
2/2
3/2
4/2
5/2
6/2
7/2
3
1/3
2/3
3/3
4/3
5/3
6/3
7/3
4
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
6/4
7/4
5
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
6/5
7/5
6
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
7/6
7
1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7
7/7
8
1/8
2/8
3/8
4/8
5/8
6/8
7/8
9
1/9
2/9
3/9
4/9
5/9
6/9
7/9
…
…
…
…
…
…
…
Però, voi dite: soltanto per numerare le frazioni tipo 1/n devo partire da 1 ed arrivare all’infinito;
quindi, è impossibile numerare tutte le altre frazioni! Ed invece no: Cantor ha inventato una
numerazione diagonale. Se seguite le frecce, a partire da 1/1 andate a 2/1, e poi a ½. Poi
andate avanti a 1/3, e poi scendete a 2/2, e così via. Il risultato è che:
 Tutte le frazioni appaiono nella tabella;
 Non si arriva mai all’infinito;
 Ogni frazione è individuata in modo biunivoco. Ad esempio, 7/5 è individuato dalla riga
7 e dalla colonna 5;
 Osservazione acuta: ma a questo modo contiamo infinite volte lo stesso numero! Infatti,
1/1 = 2/2 e così via! Risposta: l’infinito ha, giustappunto, uno spazio infinito a
disposizione: può ospitare tutti quanti!
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Conclusione, quasi incredibile: l’insieme Q dei numeri razionali è davvero numerabile!
L’avreste mai pensato? Se si, iscrivetevi immediatamente all’università di matematica: siete un
genio!
Soddisfatti di questa infinita aggiunta di numeri ai numeri interi, procediamo.
2.4.4 Esecuzione della divisione
Le regole per l’esecuzione della divisione sono alquanto più laboriose rispetto a quelle della
moltiplicazione; vediamo.
Prima di iniziare la divisione, è bene calcolare quante saranno le cifre del quoziente.
Supponiamo che il dividendo abbia M cifre, ed il divisore N cifre: quante saranno le cifre del
quoziente?
Cominciamo con il caso del dividendo > divisore (il caso dividendo = divisore dà come
quoziente 1 e resto 0!). In questo caso, aggiungiamo X zeri al divisore, sino a quando:
Dividendo ≥ Divisore. Il numero di cifre prima della virgola è X.
Ad esempio, supponiamo di dover dividere 1.513 / 271. Se aggiungo uno zero al divisore,
ottengo 2710, che è maggiore del dividendo: quindi, X = 1; il quoziente ha 1 cifra: le unità. Se
avessi dovuto calcolare 3513 / 271, avrei dovuto aggiungere due zeri: X = 2; il quoziente
avrebbe anche le decine. Questo stabilito, possiamo procedere con la divisione.
Cominciamo a disegnare una linea verticale, a sinistra della quale scriviamo il dividendo, ed a
destra il divisore. Ora, si tratta sostanzialmente di sottrarre il dividendo al divisore, sino a
quando il resto è minore del dividendo. Come allineiamo dividendo e divisore per la prima
sottrazione?
Giusto: confrontiamo le prime cifre del dividendo con quelle del divisore. Se dividendo ≥
divisore, l’allineamento è sulla prima cifra del dividendo; altrimenti, è sulla seconda cifra. Ad
esempio, nel nostro caso: 151 < 271; quindi, mi sposto di una posizione a destra, e procedo.
1 x 271 = 271 < 1513
…
5 x 271 = 1355 < 1513
6 x 271 = 1626 > 1513
Prendiamo quindi 5: sono le unità del quoziente. Moltiplichiamo 5 per il divisore, poi
sottraiamolo dal dividendo: abbiamo il primo resto, che è 158; potremmo scrivere: 1513 = 5 x
271 + 158: 5 è il quoziente, 158 è il resto.
Se vogliamo procedere con i decimali, dobbiamo aggiungere uno zero sulla destra del resto, e
considerare quindi i decimi del quoziente, e poi procedere con la divisione, come abbiamo fatto
prima.
Se continuiamo con la divisione, possiamo trovarci davanti a due situazioni.
Pagina 72 di 102


Oltre ad un certo decimale, il resto è zero: possiamo scrivere il quoziente, con tutti i
decimali: il numero decimale è limitato.
Oltre ad un certo decimale, le cifre del quoziente si ripetono all’infinito: si tratta di un
numero decimale periodico, che non si può riprodurre esattamente, ma solo tramite una
approssimazione, che si chiama troncamento.
In pratica, se il divisore contiene solo dei 2 o dei 5 il risultato sarà un numero decimale limitato;
altrimenti, sarà un numero periodico.
Procediamo con il nostro esempio. Nella tabella, in alto, sono indicati: M = migliaia; C =
centinaia; U = unità; d = decimi; c = centesimi; m = millesimi; dm = decimillesimi; cm =
centomillesimi.
M C D U d c m dm cm
Dividendo 1 5 1 3
1
Resto 1
Resto 2
Resto 3
Resto 4
3
1
1
5
5
3
2
2
5
8
5
2
1
C D U d c m dm cm
2 7 1
Divisore
5
0
5
5
6
8
8
0
8
2 0
1 3
0 7
0
7
5
1
0
4
5
Resto 5
Resto 6
0
2
8
Quoziente 1
5
5
Quoziente 2
5
5 8
Quoziente 3
5
5 8 3
Quoziente 4
5
5 8 3
0
5
5 8 3
0
Quoziente 5
2
Quoziente 6
Quindi, il risultato del nostro esempio è 5,58302, con il resto di 158. Se osservate che il resto
n. 6 è uguale, come cifre, al resto n. 1, è evidente che le successive cifre del quoziente saranno
identiche alle prime. In questo caso, il quoziente si dice periodico, e si scrive:
1513 / 271 = 5,58302
In alternativa, si scrive 5,(58302)
Il trattino sulle cifre decimali (o le parentesi) indica le cifre che si ripetono periodicamente
all’infinito. In alcuni casi, la periodicità delle cifre può essere preceduta da altre cifre che non si
ripetono: si chiamano antiperiodo.
Osservate anche che il resto n. 4, 70, è minore del divisore: al quoziente (e al resto) si aggiunge
uno zero, e si procede.
Bene: e come si procede se il divisore è maggiore del dividendo? Vediamo.
In questo caso otterremo sempre un numero del tipo 0,XXX: si tratta di stabilire qual è la prima
cifra decimale significativa (cioè, non zero) dopo la virgola. In questo caso, aggiungiamo
Pagina 73 di 102
X zeri al dividendo, sino a quando il dividendo diventa più grande del divisore. La risposta è: la
prima cifra significativa del quoziente è X.
Ad esempio, supponiamo di dover dividere 3 / 2100. Se aggiungo 3 zeri al dividendo ottengo
3000, che è maggiore del dividendo: quindi, la prima cifra significativa del quoziente è il
millesimo: 3 / 2100 = 0,001…. Se, invece, devo dividere 1 / 2100, aggiungendo 4 zeri al
dividendo ottengo 10.000; la prima cifra significativa del quoziente è il decimillesimo: 1 / 2100
= 0,0004….
NOTA: X indica la posizione della prima cifra non zero dopo la virgola; quindi, il numero di zeri
dopo la virgola è X - 1.
NOTA: dato un numero periodico, si può calcolare la frazione che lo ha generato. Se volete
sapere come si fa, d’accordo: ecco qua. Supponiamo un risultato del tipo 3,2(7), con 7
periodico. Qual è la frazione generatrice?
 Scrivete il numero senza la virgola, e con un solo periodo (nel nostro esempio è 7): 327;
 Sottraete da questo numero la parte prima di quella periodica, nel nostro caso 32: 327
– 32 = 295;
 Dividete questo numero per tanti 9 quante sono le cifre del periodo (una nel nostro caso)
e da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo (una nel nostro caso): in totale,
dobbiamo dividere per 90; otteniamo 295/90: questa è la frazione generatrice.
 Provare per credere:
C
Dividendo 2
D
9
U
5
2
7
2
1
0
5
8
7
7
Resto 1
Resto 2
Resto 3
d c
D
9
U
0
d
c
Divisore
3
0
0
0 0
3 0
7 0
Quoziente 1
3
2
3
2
Quoziente 2
7
Quoziente 3
I resti successivi al terzo saranno sempre 7; quindi la divisione è 3, 2(7). Funziona!
Conclusione: i numeri razionali sono sempre periodici; in particolare, se la divisione dà 3,27,
la cifra periodica è lo zero dopo il sette; 3,27(0). Vediamo se mi avete seguito: qual è la frazione
generatrice di 3,27? E quella generatrice di 5,(58302)?
NOTA: non esistono numeri periodici con la cifra 9. Ad esempio, se applicate la regola al
numero 0,(9), ottenete 9/9 = 1, ed è proprio così! Noi possiamo scrivere 0,(9), ma è un numero
che non esiste; meglio, che non ha significato. Incredibile, vero?
Abbiamo detto che quando si esegue una divisione si trova spesso che il quoziente è un
numero periodico: quindi, oltre ad un certo numero di cifre occorre arrotondarlo. Se il resto delle
cifre è minore di 5, l’arrotondamento è per difetto: esempio, 42,367453 si può arrotondare a
42,36745 (dimenticando il 3 che segue il 5). Se il resto delle cifre è maggiore o uguale a 5,
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l’arrotondamento è per eccesso: esempio, 42,367453 si può arrotondare a 42,3675 (perché il
4 è seguito da 5).
E con il nostro pallottoliere, come si esegue una divisione?
Il procedimento è simmetrico rispetto alla moltiplicazione: con quest’ultima, si parte dalle unità
e si sale; con la seconda, si parte dalle cifre più alte, e si scende. Inoltre, nella moltiplicazione
si somma; nella divisione, si sottrae.
Vediamo un esempio.
Supponiamo di dover calcolare 131.130 / 628; come si procede?
 Impostiamo il dividendo sul pallottoliere;
 Il dividendo ha sei cifre, il divisore ha tre cifre: quindi, aggiungiamo tre zeri al divisore;
(nell’esempio, otteniamo N’ = 628.000);
o M ≥ N’, il quoziente avrà 4 cifre; altrimenti, ne avrà tre, e devo considerare zero il
la prima cifra del quoziente (nel nostro caso, 131.130 < 628.000; quindi, il
quoziente ha tre cifre);
 Comincio con il sottrarre il divisore alle prime tre o quattro cifre del dividendo, e prendo
nota di questa sottrazione: ad esempio, aggiungo un 1 alla riga più alta del pallottoliere
(quindi, calcolo 1311 – 628 = 683; se preferite, calcolo 131130 - 68300): questo è il primo
resto;
o Ora, confronto le cifre più importanti del resto con quelle del divisore: se sono più
grandi, eseguo una seconda sottrazione, e la segno in alto; altrimenti, vado al
passo seguente. Nel nostro caso, 683 > 628; quindi, sottraggo ancora, ed ottengo
un resto di 55. La prima cifra del quoziente è 2. Il massimo numero di sottrazioni
è 9;
 Con i passi precedenti, abbiamo trovato la cifra più significativa del quoziente. Ora si
aggiunge al resto una cifra del dividendo (nel nostro caso, si arriva a 551), e si ripete la
sequenza. Nel nostro caso, si ottiene 551. Poiché 551 < 628, la seconda cifra
significativa del quoziente è zero, e si aggiunge l’ultima cifra del dividendo, ottenendo
5511;
 Quando, avendo esaurito tutte le cifre del dividendo, l’ultimo resto è minore del divisore,
abbiamo finito: le palline in alto indicano il quoziente; quelle in basso indicano il resto.
Nel nostro caso, partendo da 5511, sottraggo otto volte il divisore, ed ottengo 8 unità,
ed il resto di 506.
Non credo che, malgrado i miei sforzi, quello che ho spiegato sia chiaro: quindi, vediamolo sul
pallottoliere.
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131130
Dividendo
131330 – 62800 68330 – 62800
= 68330
= 5530
5530 – 628
= 4902
131130 / 628
= 208; Resto 506
2.4.5 Somma, sottrazione, moltiplicazione di numeri razionali
Un momento, un momento: ora che abbiamo definito i numeri frazionari, e sappiamo come
scriverli, come ce la caviamo con la somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione di questi
numeri?
Per la somma e la sottrazione, si tratta di incolonnare i numeri a partire dalla virgola, e poi
eseguire l’operazione normalmente. ATTENZIONE! Il riferimento è la virgola, e non l’ultima
cifra di un numero!
Esempio: calcolare 33,14 + 2,233. La somma è la seguente.
3
3
3
2
5
,
,
,
1
2
3
4
3
7
3
3
Capito? E se una cifra ha i decimali e l’altra no, cosa facciamo? Bravi!
Per la moltiplicazione, attenzione! Cominciamo a ragionare: se moltiplico 1 x 0,1 cosa ottengo?
Ovviamente, 0,1. E se moltiplico 0,1 x 0,1, cosa ottengo? 0,01.
Allora, regola generale: il prodotto di due numeri frazionario è un numero frazionario che ha un
numero di cifre decimali pari alla somma di quelle dei due fattori.
Quindi, se moltiplico 3,22 x 2,36, che hanno entrambi due decimali, una volta eseguito il
prodotto, devo considerare che i decimali saranno diventati quattro: 3,22 x 2,36 = 7,5992.
È chiaro?
E per la divisione? Come ci si allinea? Il problema con la divisione è che il quoziente può avere
un numero di decimali indipendente da quelli del dividendo e del divisore; e allora?
Allora, si applicano le regole già viste, che valgono anche con i numeri razionali.
2.4.6 I numeri primi
Se consideriamo la divisione che abbiamo appena calcolato, possiamo chiederci: quando
dividendo e divisore sono grossi numeri, esiste un sistema per ridurne la lunghezza e
semplificare il calcolo?
Partendo dall’ultima domanda, è evidentemente inutile calcolare 10.000.000 diviso 5.000.000:
è sufficiente calcolare 10 / 5 = 2. L’operazione che abbiamo fatto si chiama semplificazione
della divisione; però, in termini più precisi, in cosa consiste?
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Se osserviamo i numeri naturali, scopriamo presto che, mentre i numeri 2 e 3 sono esattamente
(cioè senza resto) divisibili solo per sé stessi e per uno, il numero 4 è divisibile per sé stesso,
per uno e per 2.
Quindi, definizione:
Si chiamano primi i numeri divisibili per sé stessi e per uno.
NOTA: il numero uno NON è un numero primo, perché ha un solo divisore, cioè uno, e non due
come tutti gli altri. Inoltre, se uno fosse primo, TUTTI i numeri sarebbero multipli di uno, e quindi
sparirebbero i numeri primi!
Quindi, in questa ottica, possiamo dire che esistono tre categorie di numeri:
 Il numero uno, che è divisibile solo per sé stesso;
 I numeri primi, che hanno due divisori: sé stessi e uno;
 I numeri composti, che hanno più di due divisori.
Se procediamo ad analizzare i numeri naturali, troviamo un numero infinito di numeri che sono
primi, ed altri che ammettono divisori.
Lo studio dei numeri primi fa parte di una branca della matematica che si chiama Teoria dei
numeri. Euclide, 2300 anni fa, ha dimostrato che i numeri primi sono infiniti: per vostra curiosità,
vediamo come.
Supponiamo che esista un massimo numero primo; chiamiamolo n. Verifichiamo che esiste
almeno un numero primo superiore ad n: a questo modo dimostriamo che l’ipotesi non è valida.
Difatti, se 2, 3, 5, 7,..(n-1) sono i numeri primi da 1 a n, il numero p definito come segue:
p = (2 x 3 x 5 x 7 x … x n) + 1
ha le seguenti proprietà:
 È dispari, perché 2 è incluso nel prodotto;
 Non è divisibile per tutti i numeri primi precedenti n, incluso n.
Per definizione, p è un numero primo: questo contraddice l’ipotesi che n sia il massimo numero
primo.
A questo punto si pone allora il problema di scomporre i numeri nei loro numeri primi: è quella
che si chiama scomposizione in fattori. Per poter rispondere, la prima domanda è: quali sono i
numeri primi? Se sappiamo quali sono, possiamo tentare di dividere il nostro numero per tutti i
numeri primi, e scoprire così quali sono i suoi fattori.
Questa è una domandona, a cui ha cercato di rispondere Eratostene di Cirene, attivo in
Alessandria d’Egitto circa 2200 anni fa. Il procedimento inventato da Eratostene, chiamato
crivello o setaccio di Eratostene, consente di trovare, abbastanza rapidamente, tutti i numeri
primi compresi tra 2 e un numero massimo prefissato. Si procede a questo modo.
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

Si prepara una tabella, con tutti i numeri da 2 a n; ad esempio, 100;
Si segna il primo numero primo, 2, e si cancellano (setacciano) tutti i multipli di due, i
numeri pari;
Numero primo: 2

Il primo numero successivo al 2, non crivellato, è il 3: lo si segna come secondo numero
primo, e si cancellano tutti i suoi multipli;
Numeri primi: 2 e 3

Il primo numero non setacciato è il 5: lo si segna come terzo numero primo, e si
cancellano tutti i suoi multipli.
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Numeri primi: 2, 3 e 5

Il successivo numero non setacciato è 7: è il quarto numero primo, e si cancellano i suoi
multipli.
Numeri primi: 2, 3, 5, 7

A questo punto rimangono, in grigio, una seria di numeri: 11, 13 eccetera. Domanda:
dobbiamo procedere a verificare se ci sono altri numeri non primi? Ad esempio,
dobbiamo cercare i multipli di 11?
Attenzione: siccome abbiamo già cancellati i multipli di 11 come 2x11, 3x11 eccetera, il
primo numero da cancellare sarebbe 11x11, ma che è uguale a 121, quindi è fuori dalla
nostra tabella. Quindi: abbiamo finito! Abbiamo trovato tutti i numeri primi compresi tra
2 e 100!
Finalmente appare l’utilità del crivello: per verificare quali sono i numeri primi compresi
tra 2 e N, è sufficiente applicare il crivello tra 2 e la radice quadrata di N! Quindi, per
trovare tutti i numeri primi compresi tra 2 e 1000 possiamo arrestarci a 31; se arriviamo
a 10.000 possiamo arrestarci a 97, eccetera.
Anche se il crivello di Eratostene è molto efficace, perché ci consente di fare radice di N
calcoli invece di N, il tempo necessario per farlo applicare a grandi numeri, anche su
super calcolatori, diventa inaccettabile.
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Alla fine abbiamo la tabella seguente, dove sono evidenziati in giallo i numeri che sono
divisibili solo per uno e per sé stessi: i numeri primo da 2 a 100. Notate che 1 non è
incluso: non è un numero primo!
Abbiamo scovato a questo modo tutti i numeri primi compresi tra 2 e 100, che sono: 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Noti i numeri primi, ritorniamo al problema della scomposizione in fattori di un numero dato. Un
fattore come il 2 si individua subito: è sufficiente che il numero sia pari! E per gli altri fattori?
Per il fattore 3 ce la caviamo brillantemente: un numero è divisibile per 3 se lo è la somma delle
sue cifre. Ad esempio:
347.214 è divisibile per 3? (oltre che per 2).
Si procede a questo modo: 3 + 4 + 7 + 2 + 1 + 4 = 21, che è divisibile. Notate che potremmo
continuare, e calcolare 2 + 1 = 3, che è divisibile per 3.
Anche per il 5 il conto è subito fatto: sono divisibili per 5 solo quelli che finiscono per 5 (o per
0, ma allora è divisibile anzitutto per 2).
Bene; e per gli altri numeri primi, come 7, 11, 13, 17…? Siamo nelle peste: l’unica maniera è
provare. Solo una accortezza: quando, nel fare le prove, raggiungete un numero primo tale
che, moltiplicato per sé stesso, supera il vostro numero, potete fermarvi. Ad esempio, cercando
di scomporre 271 nei suoi fattori, ottengo:
 Non è pari; non si divide per due;
 La somma delle cifre non è divisibile per 3;
 Non finisce per 0 o 5;
 La divisione per 7, 11, 13 dà dei resti: non è divisibile.
 A questo punto, poiché 17 x 17 = 289 > 271, la ricerca è finita: 271 è un numero primo.
Il motivo di questo fermarsi a 13 è che, procedendo ad esempio con 17, l’altro fattore deve
essere minore di 17: ma gli altri fattori li abbiamo già verificati. In conclusione, con i nostri
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numeri primi tra 2 e 100 possiamo scomporre numeri sino a 97 x 97 = 9409; è più di quello che
si poteva pensare.
L’importanza dei numeri primi in matematica è confermata dal teorema fondamentale
dell’aritmetica, che dice: “Qualsiasi numero naturale, diverso da uno, può essere scomposto
in unico modo in fattori primi, se si trascura l’ordine dei fattori”.
Ad esempio, il numero 31668 può essere scomposto in: 2 x 2 x 3 x 7 x 13 x 29: per la regola
commutativa della moltiplicazione, l’ordine non è rilevante.
Ma, direte voi, a parte la matematica, a cosa serve conoscere i numeri primi?
I numeri primi hanno una enorme importanza pratica perché sono la chiave dei codici che
proteggono le nostre transazioni bancarie: l’unica maniera per decrittare il messaggio è
scomporre nei suoi fattori un numero che è il prodotto di due grandi numeri primi. Difatti, il
problema di trovare i fattori di numeri molto grandi (tanto per darvi un’idea, di un milione di
cifre), è estremamente lento. In pratica, si riesce a calcolare un fattore solo se si conosce l’altro
fattore.
Un’altra utilità pratica nell’essere un genio sui numeri primi è la seguente. Christian Goldbach,
nel settecento, ha osservato su molti numeri pari che si possono scrivere come somma di due
primi. Ad esempio: 4 = 3 + 1; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7, eccetera.
Da questo è derivata la Congettura di Goldbach, che afferma: “Tutti i numeri pari sono la somma
di due numeri primi, anche uguali”. Voi direte: ma è semplicissimo! Si, però si tratta di
dimostrarlo, e qui le cose si complicano. Se ci riuscite, tutto il mondo parlerà di voi, e il vostro
nome sarà riportato in eterno su tutti i libri di matematica. Purtroppo, non intascherete il milione
di dollari offerto a chi lo risolveva entro il 2002.
Sempre nella teoria dei numeri, ci si è chiesti: in quanti modi un numero pari può essere la
somma di due numeri primi? Ebbene, il diagramma seguente mostra appunto in quanti modi si
può eseguire la somma, per numeri sino ad un milione. Domanda per un matematico che studia
teoria dei numeri: cosa sono quelle righe che si vedono sul diagramma? Perché vengono fuori?
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In alternativa a Goldbach, potete cimentarvi con il problema dei gemelli. Due numeri primi sono
gemelli se differenziano di due: sono gemelli 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13.. Euclide, sempre lui, ha
ipotizzato che i numeri gemelli sono in numero infinito: chi riesce a dimostrarlo? Fama, onore
e gloria a lui!
Ebbene, non è tutto qui. Oltre ai numeri gemelli esistono i numeri amici o amicabili. Ad
esempio, 220 e 284 sono amici perché:
220 ha i seguenti divisori (non solo primi): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, e la somma
dei fattori è 284;
284 ha i seguenti divisori (non solo primi): 1, 2, 4, 71, 142, e la somma dei fattori è 220.
Quanti sono i numeri amici? Se ne sono trovati oltre un milione; chi dimostra che sono infiniti?
Un numero perfetto è amico di sé stesso: ad esempio, 28 = 1 x 2 x 4 x 7 x 14; la somma è 28.
Sono infiniti?
Chi offre di più? Verificate: esistono anche i numeri socievoli e quelli fidanzati!
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Ma allora, i matematici sono degli inutili perdigiorno! SEMBRA che sia così, sino a quando
qualcuno (chimico, fisico, astronomo, banchiere…) scopre che esiste già la soluzione del suo
problema!
Per inciso, si chiamano congetture delle proposizioni matematiche non dimostrate, ma
apparentemente molto ragionevoli, al punto che, per alcune di queste, le si è prese per vere,
per costruire della ulteriore matematica. Però, rimane sempre il dubbio: saranno vere? E voi
che credevate che la matematica fosse qualcosa di solido, eterno, ottenuto senza particolari
fatiche!
2.4.7 Le frazioni
Abbiamo visto che, in generale, un numero razionale è un numero periodico, tranne i casi in
cui sia un intero, oppure la cifra periodica, dopo la virgola, è zero.
Per poter eseguire operazioni sui numeri razionali periodici occorre, inevitabilmente,
accontentarsi di una certa approssimazione, e troncare il numero per difetto o per eccesso.
Questo fatto può essere spiacevole, o del tutto inaccettabile: quindi, nasce la necessità di
eseguire operazioni tra le frazioni, senza ridurle ad un numero razionale. Al massimo,
l’approssimazione sarà calcolata sul risultato finale delle operazioni: a questo modo, avremo la
migliore approssimazione possibile. Quindi, eccoci qui a parlare di frazioni.
Il problema dei numeri frazionari ha tormentato mica poco gli antichi.
Ad esempio, gli egizi avevano adottato un sistema per cui tutte le frazioni erano ridotte ad un
intero più una serie di frazioni, tutte con uno al numeratore. Quindi, ogni frazione assumeva la
forma 1/a + 1/b + 1/c, dove a, b e c erano diversi. La conversione non è banale: ad esempio,
per una semplice frazione come 2/3 si ottiene:
2/3 = 1/2 + 1/6
Secondo me, era una furbata per far sì che il volgo si rivolgesse agli eruditi per fare il calcolo!
Pitagora, ed i suoi, erano convinti che tutti i numeri fossero soltanto razionali: ne riparleremo.
Per i Romani, stendiamo un velo pietoso: il loro metodo di numerazione era senza speranza!
2.4.7.1 Moltiplicazione e divisione delle frazioni
Cominciamo a studiare come si moltiplicano e dividono le frazioni. A questo scopo, facciamo
un passo per volta. Cominciamo a chiederci: come si moltiplica una frazione per un numero
intero? Quindi, quanto vale (p / q) x r? Ricordiamo la proprietà invariantiva, e moltiplichiamo
per r il numeratore e denominatore della frazione:
p / q = (p x r) / (q x r)
Ma allora, moltiplicando per r abbiamo:
(p / q) x r = [(p x r) / (q x r)] x r = (p x r x r) (q x r) = p x r / q (perché r / r = 1)
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x2 =
1/2
1x2/2 =1
Allo stesso modo, se dividiamo una frazione per un intero, abbiamo:
(p / q) / s = p / (q x s)
:2 =
1/2
1 / 2 x 2 = 1/4
Quindi, in generale, vale la formula (con p, q, r, s numeri interi):
(p / q) x (r / s) = (p x r) / (q x s)
E per la divisione? Dobbiamo calcolare il rapporto di due frazioni: (p / q) / (r / s): come si
procede?
Se moltiplichiamo e dividiamo la divisione per s, per la proprietà invariantiva, per quanto
abbiamo visto per la moltiplicazione, abbiamo:
𝑝
𝑞
/
𝑟
𝑠
=
𝑝
𝑞
𝑟
( )𝑠
𝑠
( )𝑠
=
𝑝𝑠
𝑞𝑟
Difatti, se moltiplichiamo la divisione per r / s, cioè per il denominatore, otteniamo:
[(p x s) / (q x r)] x (r / s) = (p x s x r) / (q x r x s) = p / q
E questo corrisponde alla definizione di divisione.
1/2
x 1/2 =
1/2 x 1/2 = 1/2x2 = 1/4
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1/2
: 1/2 =
1/2 : 1/2 = (1/2)/(1/2) = 2/2 = 1
Quindi, come si vede, l’operazione di divisione di due frazioni è opposta alla loro
moltiplicazione: la frazione divisione ha al numeratore il primo numeratore per il secondo
denominatore, ed al denominatore il primo denominatore per il secondo numeratore.
Ricordate: è l’inverso della moltiplicazione. Ripetiamo:
(p/q) x (r/s) = pr/qs
(p/q) / (r/s) = ps/qr
Meditiamo un poco su questa seconda formula. Ad esempio, quanto vale il rapporto 1/2 / 1/2?
Poiché numeratore e denominatore sono uguali, è ovvio che il rapporto è uguale a 1; questo si
ottiene anche applicando la formula: 1/2 / 1/2 = 2/2 = 1. Ma perché? Perché dividere per 1/2
significa, in effetti, moltiplicare per due!
Per capire ulteriormente la cosa, consideriamo due casi. Primo caso: il divisore è un intero. Ad
esempio, calcoliamo (18/11) / 3. È ovvio che il risultato è 6/11, che è anche 18/33.
Secondo caso: (3/11) / (1/3). Poiché dividiamo la nostra frazione per un numero più piccolo di
1, la nostra frazione aumenta di valore: ecco perché (3/11) / (1/3) = 9/11. Chiaro?
Infine, possiamo concludere che è possibile estendere la proprietà invariantiva come segue.
La divisione non cambia dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero.
Quindi, a / b = (a/n) / (b/n)
Difatti, (a/n) / (b/n) = (an) / (bn) = a/b
Questa proprietà è utile per il paragrafo seguente.
2.4.7.2 Riduzione di una frazione ai minimi termini
La moltiplicazione e divisione di una frazione per un numero ci consente di semplificare la
frazione stessa. Se ricordate, quando abbiamo parlato dei numeri primi, ho citato l’esempio
della frazione 10.000.000 / 5.000.000, che, ovviamente, vale 10 / 5, e quindi due. Ma cosa si
può fare in generale, per minimizzare il dividendo ed il divisore, e semplificare la frazione, ed
eventualmente, l’operazione di divisione?
In generale, se ho una frazione q = a / b, per semplificarla devo verificare se esiste un fattore
n, comune tra il numeratore e il denominatore, tale per cui:
a = h x n; b = k x n; q = h / k
Pagina 85 di 102
Quindi, se, data una frazione, una volta scomposto numeratore e denominatore in prodotti di
numeri primi, scopriamo che numeratore e denominatore hanno dei fattori in comune, la
divisione si semplifica dividendo numeratore e denominatore per quei fattori. Quindi, se devo
calcolare q = a / b, se ho:
a = p x c; b = p x d, allora: q = a / b = (p x c) / (p x d) = c / d,
con c e d più piccoli rispettivamente di a e b.
Diamo allora la definizione: il Massimo Comun Divisore di due numeri a, b, e si scrive MCD
(a,b), è il numero più grande per il quale a e b possono essere divisi.
Come si esegue il calcolo di MCD? Per calcolare il MCD, si scompongono dividendo e divisore
nei loro fattori, come segue.
 Si scrive il numero da scomporre, e gli si scrive una riga a fianco. Ad esempio, se devo
calcolare 468 / 54, scompongo il numeratore 468:
468 |
 Scrivo a destra della riga il più piccolo numero primo che divide il numero; nel nostro
caso, 2:
468 | 2
 Ora prolungo la riga e, sotto al numero originale, scrivo il quoziente della divisione:
468 | 2
234 |
 A destra del quoziente scrivo il più piccolo numero primo che divide il numero; nel nostro
caso, 2:
468 | 2
234 | 2
 Procedo a questo modo, sino a quando l’ultimo quoziente è uno. Nel nostro caso:
468 | 2
234 | 2
117 | 3
39 | 3
13 | 13
Quindi, in totale, ho calcolato tutti i fattori primi di 468; posso scrivere: 468 = 2 x 2 x 3 x 3 x 13,
oppure: 468 = 22 x 32 x 13
Analogamente, trovo che 54 = 2 x 3 x 3 x 3; quindi:
468 / 18 = (2 x 2 x 3 x 3 x 13) / (2 x 3 x 3 x 3) = 2 x 13 x 18 / 3 x 18 = 26/3
Con ciò, la frazione 468 / 18 è ridotta ai minimi termini.
Il numero 18 = 2 x 3 x 3, che è comune tra il dividendo e il divisore, è il Massimo Comun
Divisore, e si scrive MCD (468, 54) = 18. In conclusione, i passi da seguire per ridurre la frazione
ai minimi termini sono i seguenti.
Pagina 86 di 102




Scomporre sia il numeratore che il denominatore nei corrispondenti fattori primi;
Considerare, per dividendo e divisore, i fattori in comune, elevati alla potenza più
bassa;
Il prodotto di questi fattori è il MCD del numeratore e denominatore;
Infine, dividere sia numeratore che denominatore per il MCD trovato: la frazione è
ridotta ai minimi termini.
Un caso particolare del risultato ottenuto è quando il MCD coincide con il divisore; allora, la
frazione è un numero intero. Ad esempio, se dobbiamo semplificare 86.832 / 24, otteniamo:
86.832 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 67
24 = 2 x 2 x 2 x 3
Poiché il MCD coincide con in divisore, il quoziente è un intero (3.618).
2.4.7.3 Somma e sottrazione delle frazioni
Prima di affrontare la somma e sottrazione delle frazioni, quesito: come posso confrontare a/b
rispetto a c/d? Cioè: come posso sapere se a/b è più grande di c/d? Risposta schematica:
 Se il denominatore delle frazioni è identico, la frazione maggiore è quella con il
numeratore maggiore. Esempio: 3/5 > 2/5 (non ci voleva molto);
 Se il numeratore delle frazioni è identico, la frazione maggiore è quella con il
denominatore minore. Esempio: 3/5 > 3/6 (anche qui, non ci voleva molto);
 In tutti gli altri casi, occorre che le frazioni siano modificate in modo da avere lo stesso
denominatore: si rientra nel primo caso.
2/3
> 1/3
2/3
> 2/4
Una maniera violenta per ottenere lo stesso denominatore per le due frazioni è di moltiplicare i
denominatori; quindi, se confronto a/b a c/d, per la proprietà invariantiva della divisione, posso
trasformarle come segue:
a/b = ad/bd, c/d = cb/db
Ora i denominatori sono uguali, e valgono bd (o db, è lo stesso): quindi, si può fare il confronto
di ad con cb.
Pagina 87 di 102
(Ho omesso il segno x di moltiplicazione).
1/2
+ 1/4
= 2/4 + 1/4 =
3/4
1/2
- 1/4
= 2/4 - 1/4 =
1/4
I matematici, si sa, sono persone raffinate, e odiano la brutalità, salvo infliggere torture ai poveri
studenti. Invece di procedere alla moltiplicazione dei divisori, si chiedono: non è possibile
moltiplicare i divisori per numeri più piccoli? Quali sono i numeri più piccoli che, moltiplicando i
divisori, rendono i divisori uguali?
Poiché vi siete già persi, come me, ribadiamo il problema. Voglio confrontare due frazioni, a/b
e c/d; solo che, invece di moltiplicare per d il numeratore e denominatore di a/b, mi chiedo se
esistono un numero, e, più piccolo di d, ed un numero, f, più piccolo di b, tale per cui be = df.
Per trovare i nostri due numeri, introduciamo un nuovo concetto. Chiamiamo minimo comune
multiplo di due numeri, e si scrive mcm (b, d) il più piccolo moltiplicatore di entrambi i
numeri.
Ad esempio, mcm (2, 6) è sicuramente 6: 2 x 3 = 6; 6 x 1 = 6. Ma, in generale, come si calcola
il mcm di due numeri? Ecco il procedimento:
 Si scompongono entrambi i divisori nei loro numeri primi;
 Si calcola il Massimo Comune Divisore dei due divisori, MCD(b, d);
 Il mcm è dato dalla formula: mcm(b, d) = b x d / MCD(b, d);
 I nuovi numeratori sono: a x mcm(b,d)/b e c x mcm(b, d)/d
In alternativa, una volta ottenute le scomposizioni in numeri primi dei due divisori, il mcm è
semplicemente il prodotto di tutti i numeri primi, presi con l’esponente più grande.
Al solito, facciamo un esempio. Dobbiamo confrontare le due frazioni 65/84 e 11/18: qual è la
maggiore?
Scomponendo in fattori i denominatori, 84 e 18, otteniamo:
84 = 2 x 2 x 3 x 7;
18 = 2 x 3 x 3
Il MCD(84, 18) = 6; da ciò otteniamo:
mcm (84, 18) = 84 x 18 / 6 = 252, oppure: mcm = 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252
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I nuovi numeratori sono: 65 x 252/84 = 195; 11 x 252/18 = 154. Le nuove frazioni sono quindi:
65/84 = 195/252; 11/18 = 154/252. Infine, abbiamo 195 > 154; quindi, 65/84 > 11/18
Puff puff! Speriamo che ne sia valsa la pena! Per inciso, vi confondete tra MCD e mcm (come
faccio io)? Ricordate:
 Il MCD serve per semplificare la frazione;
 Il mcm serve per confrontare (o sommare) due frazioni.
Ora che possiamo confrontare le frazioni, vediamo cosa dobbiamo fare per sommarle (o
sottrarle).
Se dobbiamo sommare: a/b + c/d, non possiamo procedere se non dopo avere trasformato le
due frazioni in altre due, equivalenti, ma con lo stesso denominatore. Ad esempio, voglio
sommare 3/5 + 7/2; cosa ottengo? Voi vi precipitate sulla calcolatrice, e ottenete: 3 / 5 = 0,6; 7
/ 2 = 3,5; risultato: 4,1. Contento? No: voglio ottenere una frazione che sia la somma delle due.
Come devo ragionare?
Il ragionamento è il seguente. Nella prima frazione, devo prendere tre fette di una torta divisa
in cinque parti. Se divido la torta in 10 parti, ottengo 6 parti: 6/10 = 3/5; chiaro?
Ora, i 7/2 sono quattro torte divise a metà, di cui prendo sette parti; se divido le torte in 10 parti,
ne avrò 35 parti: 35/10 = 7/2.
A questo punto, poiché gli spicchi delle torte sono tutti uguali, posso sommare le mie frazioni,
e dire che la somma è 41/10 (che, per inciso, è appunto 4,1). Capito?
Se avete capito, è l’ora di dire che abbiamo ottenuto 10 moltiplicando i denominatori 2 e 5, e
che 10 è il minimo comune multiplo (mcm) tra le due frazioni. In generale, dati due divisori
piccoli e non divisibili tra di loro, per eseguire la somma si procede come per il caso del
confronto delle frazioni:
a/b + c/d = (ad/bd) + (cb)/(db)
Ho omesso il segno x di moltiplicazione. Una volta che I denominatori sono uguali, possiamo
somare (sottrarre) I numeratori; quindi:
a/b + c/d = (ad + cb) / bd
Ritornando all’esempio, 3/5 + 7/2 = 6/10 + 35/10 = 41/10
Naturalmente, se i numeri sono grandi, possiamo prima calcolare il mcm, e poi ottenere le
frazioni ridotte ai minimi termini. Quindi, ad esempio:
3/15 + 5/6 = 6/30 + 25/30 = 31/30
Perché 30 è il mcm tra 15 e 6.
Bene; in conclusione, siamo in grado di moltiplicare, dividere, confrontare, sommare e sottrarre
delle frazioni.
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Prima di procedere con il prossimo capitolo, vediamo se è possibile fare la sintesi di quanto
abbiamo studiato sinora.
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SINTESI DELLE OPERAZIONI ELEMENTARI
LOGICA
TRE ENUNCIATI:
x=x
Se x = y, allora P(x) = P(y)
O è vero A o è vero l’opposto di
A; tertium non datur
MATEMATICA
NUMERI
OPERAZIONI
TIPO
SIMBOLO
PROPRIETA’
Simboli
Nomi
Numerazione posizionale
Assiomi di Peano:
CONTARE
SOMMA
Diretta
+
Commutativa:
a+b=b+a
Associativa:
a+b+c = (a+b) + c…
Elemento neutro: 0
a+0=a
Insieme: numeri naturali N
OPERAZIONI
TIPO
SIMBOLO
PROPRIETA’
SOTTRAZIONE
Inversa
Invariantiva:
s = a – b = (a – c) – (b - c)
Elemento neutro: 0
a-0=a
Insieme: numeri interi Z
Ogni ente è uguale a sé stesso
P(x) è una qualunque
operazione : somma, sottrazione..
A è un enunciato qualsiasi
Esiste lo zero; esiste il successore
MOLTIPLICAZIONE
Diretta
x
Commutativa:
axb=bxa
Associativa:
axbxc = (axb)xc…
Elemento neutro: 1
ax1=a
Elemento zero:
ax0=0
Insieme: numeri naturali N
DIVISIONE
Inversa
/, :
Invariantiva:
q = a / b = (a x c) / (b x c)
Elemento neutro: 1
a/1=a
Elemento zero:
0/a=0
a / 0; 0 / 0: indefinito
Insieme: numeri razionali Q
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ESERCIZI SULLA DIVISIONE DEI NUMERI
Paragrafo 2.4.5: numeri con la virgola
Facciamo somme e sottrazioni di numeri con la virgola.
23,14 + 3,15 =
160,02 – 32,27 =
3.618,23 – 516,13 =
487,212 – 581,712 = (attenzione)!
9,5678 – 7,52 =
9,87654 – 8,7654321 =
76,543 + 23,457 =
Facciamo ora delle moltiplicazioni di numeri con la virgola.
1 x 0,1 =
10 x 0,1 =
100 x 0,01 =
0,1 x 0,1 =
0,25 x 0,4 =
0,05 x 0,04 =
23,25 x 4 =
43,15 x 6,6 =
87,46 x 7,8 =
765,3 x 954,28 =
3.214,1 x 5613,78 =
Paragrafo 2.4.6: i numeri primi
Scomponiamo in seguenti numeri nei loro fattori.
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6=
36 =
72 =
82 =
121 =
312 =
567 =
915 =
1377 =
1,377 =
5760 =
7387 =
73,87 =
409,457 =
Paragrafo 2.4.7: le frazioni
Ridurre ai minimi termini le seguenti frazioni, indicando qual è il Massimo Comun Divisore.
144 / 18 =
MCD =
936 / 30 =
MCD =
3.360 / 56 =
MCD =
26.928 / 330 =
MCD =
635.040 / 693 =
MCD =
2.327.283 / 492 =
MCD =
Come vedete, crescendo i numeri si fa sempre più fatica!
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Eseguite le seguenti divisioni con virgola, e, prima di calcolarle, valutate il numero di cifre del
quoziente, prima e dopo la virgola.
33 / 0,1 =
333 / 0,01 =
0,33 / 0,1 =
2,310 / 1,3 =
0,8633 / 0,21 =
Eseguire anche le seguenti divisioni di numeri con la virgola
0,33 / 11 =
45 / 0,05 =
137,25 / 15 =
90,44 / 56 =
43,758 / 20,02 =
133,263 / 12,87 =
DOPO fatte le divisioni, riguardatele: non vi viene in mente nulla? Parliamone!
Eseguire le seguenti somme di frazioni, indicando il minimo comune multiplo dei divisori.
7/4 + 3/2 =
mcm =
11/9 + 17/6 =
mcm =
37/20 + 41/30 =
mcm =
44/33 + 30/77 =
mcm =
552/792 + 533/44 =
mcm =
Giochino sui numeri infiniti
Ecco il gioco promesso sui numeri infiniti: lo ha inventato nientepopodimeno che David Hilbert,
1862 – 1943, uno dei geni della matematica moderna.
Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri
ospiti che sopraggiungano, sarà sempre possibile ospitarli tutti, anche se il loro numero è
infinito. Ecco una affermazione azzardata! Vediamo un poco.
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Primo passo: arriva un pullman con 10 persone. No problem: ci sono infinite stanze! C’è posto
per le 10 persone.
Poco dopo, arriva un pullman con un numero infinito di persone. Attenzione: è l’infinito dei
numeri naturali! Come ce la caviamo, visto che abbiamo le prime 10 stanze occupate?
Dopo avere sistemato gli infiniti passeggeri, arriva un tizio in automobile. Come ce la caviamo,
visto che le infinite stanze sono occupate?
Incredibile: ora arriva un altro pullman con infiniti passeggeri! Che dite, ce la facciamo a
sistemarli, oppure no?
Peggio che mai, arrivano infiniti pullman con infiniti passeggeri: riusciamo a sistemarli?
Suggerimento: ricordatevi della numerabilità dei razionali…
Avete risolto? Vi siete divertiti?
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CAPITOLO TRE: OPERAZIONI PARTICOLARI
3.1 Caso particolare della moltiplicazione: elevazione a potenza.
3.1.1 Definizione dell’elevazione a potenza
L’elevazione a potenza è l’operazione con cui si moltiplica un numero, detto base, tante
volte quanto è indicato da un secondo numero, detto esponente (o grado); quindi, si
scrive:
an = a x a x a x….x a (ripetuto n volte)
La formula si legge “a alla enne”.
Ad esempio, 22 = 2 x 2 = 4; 102 = 10 x 10 = 100, eccetera.
In questa definizione, la base può essere un numero razionale; per ora, limitiamoci a
considerare un esponente naturale.
In EXCEL, l’elevazione a potenza si scrive a^n: nella calcolatrice c’è una freccia ↑ verso l’alto.
In particolare, quando l’esponente è 2 si legge “al quadrato”: questo perché l’area di un
quadrato di lato a è a x a = a2 . Analogamente, quando l’esponente è 3 si legge “al cubo”:
questo perché il volume di un cubo di lato a è a x a x a = a3 .
Per gli altri esponenti, si utilizza l’ordinale; quindi, a4 si legge “a alla quarta”.
Oltre che per tormentarvi, a cosa serve questa nuova operazione? Semplicemente, a rendere
più compatto, cioè più corto, il vostro numero. Ad esempio, 1.000.000.000 = 10 9, e il secondo
numero è molto più corto e leggibile del primo.
NOTA: per le potenze di 10, l’esponente è il numero degli zeri dopo 1.
Usando la calcolatrice, vi sarà anche capitato che, se introducete dei numeri troppo lunghi, ad
un certo punto leggete sul visore qualcosa come: 1.23456e+16. Ebbene, questa scrittura
significa che il vostro numero 1,23456 è da moltiplicare per 10 16: e sta per esponente. Caspita,
quanti soldi avete in banca! Roba che se sommate a quel numero un milione di Euro non
cambia nemmeno!
Casi particolari.
 Se l’esponente è 1, la potenza è uguale alla base: 𝑛1 = n, per ogni n;
 Se l’esponente è 0, la potenza è uguale a uno: 𝑛0 = 1, per ogni n;
 Se la base è 1, tutte le sue potenze valgono 1: 1𝑛 = 1, per ogni valore di n;
 Se la base è 0, tutte le sue potenze valgono 0: 0𝑛 = 0, per ogni valore di n;
 Caso singolare: zero elevato a zero. È una espressione senza significato; ne
riparliamo tra poco.
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Piccola osservazione: come si comportano le potenze al crescere dell’esponente?
 Se la base è maggiore di uno, le potenze sono maggiori della base, e crescono con
l’esponente, in modo che si dice appunto esponenziale: ad esempio, 10 2 = 100; 103 =
1000 eccetera;
 Se la base è minore di 1, le potenze sono minori della base, e decrescono con
l’esponente, in modo che si dice ancora esponenziale: ad esempio, 0,12 = 0,01; 0,13 =
0,001 eccetera.
Come si posiziona l’elevazione a potenza rispetto alle operazioni elementari? Si tratta di una
operazione diretta, come la moltiplicazione da cui deriva.
CIFRE
NOMI DELLE CIFRE E DEI NUMERI
NUMERAZIONE POSIZIONALE
CONTARE
ADDIZIONE
SOTTRAZIONE
MOLTIPLICAZIONE
DIVISIONE
ELEVAZIONE A
POTENZA
3.1.2 Proprietà dell’elevazione a potenza
Prodotto di potenze con la stessa base.
Supponiamo di avere due numeri, che sono delle potenze con la stessa base; ad esempio, a𝑚
e an . Quanto vale il prodotto a𝑚 x a𝑛 ?
Se applichiamo la definizione, otteniamo:
a𝑚 x a𝑛 = a x a x...x a (ripetuto m volte) x a x a x...x a (ripetuto n volte)
Quindi, in totale, moltiplichiamo a per m + n volte; per definizione, possiamo scrivere:
a𝑚 x a𝑛 = a𝑚+𝑛
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Concludendo:
Il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base,
e per esponente la somma degli esponenti.
Esempio semplice: 100 x 1000 = 100.000; però, 100 = 102, 1000 = 103, 100.000 = 105
Bello, vero? Cominciate a pensare: si passa da un prodotto ad una somma. Vi dice qualcosa?
Ora, scrivetemi, in cifre, quanto vale dieci miliardi per cento miliardi, e poi provate a dirlo a
parole! Ho notato che, spesso, quando si parla di grandi numeri ci si sbaglia: i milioni diventano
facilmente miliardi! Scrivere e ragionare con gli esponenti ci aiuta a non sbagliare l’ordine di
grandezza, cioè non si sbaglia di un fattore dieci (o di mille!).
Divisione di potenze con la stessa base.
Come al solito, con le operazioni inverse, qui comincia il bello. Difatti, vogliamo calcolare il
rapporto di due potenze del tipo a𝑚 e an . Quanto vale il rapporto a𝑚 / a𝑛 ?
Se applichiamo la definizione, otteniamo:
a𝑚 / a𝑛 = a x a x...x a (ripetuto m volte) / a x a x...x a (ripetuto n volte)
Cominciamo a supporre che sia m > n. Il risultato della divisione è a moltiplicato per m - n volte;
per definizione, possiamo scrivere:
a𝑚 / a𝑛 = a𝑚−𝑛
Concludendo:
Il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base,
e per esponente la differenza degli esponenti.
Esempio semplice: 10.000 / 100 = 10; però, 10.000 = 104, 100 = 102, 100 = 102
In particolare, se consideriamo m = n + 1, abbiamo: a𝑛+1 / a𝑛 = a1 = a
Quindi, questo include l’esponente 1 nella nostra definizione.
Inoltre, se consideriamo m = n, abbiamo: a𝑛 / a𝑛 = a0 = 1
Quindi, questo include l’esponente 0 nella nostra definizione: tutti i numeri, diversi da zero,
elevati a zero (e quindi, divisi per sé stessi) sono uguali a 1.
L’unica eccezione è 00 : come abbiamo visto nella divisione, 0 / 0 non ha significato. In molti
testi, e nella calcolatrice, troverete 00 = 1. Ne riparleremo quando parleremo dei limiti.
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Andiamo avanti: supponiamo che sia: m < n; cosa succede? Succede semplicemente che
l’esponente diventa negativo. Quindi, ampliamo il campo degli esponenti ai numeri interi, e
diciamo che:
a−𝑛 = 1/ a𝑛
Infatti, se calcoliamo 100/ 10.000 otteniamo 0,01; però è anche: 100 = 102; 10.000 = 104, 2 – 4
= - 2; 10-2 = 1/102 = 1/100
NOTA: quando gli esponenti sono negativi, per le potenze di 10, l’esponente corrisponde al
numero totale di zeri: quello prima e quelli dopo la virgola. Per intenderci, 10-1 = 0,1 ha uno
zero; 10-2 = 0,01 ha due zeri, eccetera.
Quindi, il prodotto: a𝑛 x a−𝑛 è uguale a…?
Una volta chiarito ciò, se a = b, allora è anche vero che 𝑎𝑛 = 𝑏 𝑛 . Attenzione, però, perché
con n pari si perde l’informazione sul segno di a e b.
Prodotto di due potenze con lo stesso esponente
In questo caso, dobbiamo calcolare a𝑛 x b𝑛 . Sempre applicando la definizione,
an x bn = (a x a x a….x a) (n volte) x (b x b x b…. x b) (n volte).
Per la proprietà distributiva della moltiplicazione, possiamo scrivere:
(a x a x a….x a) x (b x b x b…. x b) = (axb x axb x … x axb) (n volte);
quindi, per definizione di elevazione a potenza, abbiamo:
(axb x axb x … x axb) (n volte) = (a x b)n
In conclusione, molto semplicemente, abbiamo:
an x bn: = (a x b)n
Concludendo:
Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente è il prodotto delle basi elevate allo stesso
esponente.
Ad esempio, 9 x 16 = 144 = 32 x 42 = (3 x 4)2 = 122 = 144
Quoziente di due potenze con lo stesso esponente
𝑛
In questo caso, dobbiamo calcolare a𝑛 / b𝑛 . Si può dimostrare che il quoziente è (a / b) ;
quindi:
Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente è il quoziente delle basi elevate allo
stesso esponente.
Ad esempio, 25 / 16 = 1,5625 = 52 / 42 = (5 / 4)2 = 1,252 = 1,5625
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Dimostratemi questa proprietà!
Potenza elevata a potenza
Vogliamo elevare a potenza un numero che è una potenza: come si calcola? Il nostro caso è:
(an)m. Io dico che (an)m = a(m x n); e voi me lo dimostrate.
Ad esempio: 43 = 64, però 4 = 22; e quindi: 43 = 2(3x2) = 26 = 64.
Ora, domanda: chi mi dice qual è il numero più grande che si può scrivere con tre cifre?
Potenza di numeri negativi
Vediamo un poco cosa succede quando la base è un numero negativo. Partiamo dal fatto, già
visto nella moltiplicazione, che: (-1) x (-1) = 1. Invece, (-1) x (-1) x (-1) = 1 x (-1) = -1.
Continuiamo: (-1) x (-1) x (-1) x (-1) = 1 x 1 = 1.
Vista la definizione di elevazione a potenza, possiamo concludere che:
Le potenze con indice pari di numeri negativi sono positive; le potenze con indice dispari di
numeri negativi sono negative.
Attenzione! Non confondete a−𝑛 con (−a)𝑛 ! Ora, ditemi: la regola di sopra si applica anche
agli esponenti negativi? Cioè, che segno a-n se a è negativo?
Confronti sulle potenze


xn < yn ↔ x < y
xn = yn ↔ x = y
Il quadrato come sommatoria di numeri
Se A è un numero intero positivo, vale una interessante proprietà:
𝐴2 = ∑𝐴𝑚=1 2𝑚 − 1
Non so se ricordate che il sigma maiuscola è un simbolo di sommatoria. La formula sopra si
legge come segue: A al quadrato è la sommatoria di tutti i numeri dispari tra 1 e (2m – 1) (2m
– 1 è sempre dispari), estesa tra m = 1 ed m = A.
In effetti: 1 = 1; 4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, e così via.
Se qualcuno ha capito subito come visualizzare questo fatto, vada subito a iscriversi a
matematica! La gente normale dia un’occhiata qui sotto.
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Bello, non è vero? I colori fanno immediatamente capire come si evolvono questi, che si
chiamano appunto numeri quadrati.
Ora, per favore, c’è qualcuno che mi disegna i numeri triangolari, pentagonali ed esagonali?
Vediamo un poco che strane successioni numeriche vengono fuori. Attenzione: non è un gioco;
si tratta di teoria dei numeri!
3.1.3 Esistenza delle potenze dei numeri razionali
Poiché la definizione di elevazione a potenza deriva dalla moltiplicazione, non c’è dubbio che
esistano le potenze dei numeri razionali, e che, quando si eleva a potenza un numero razionale,
e l’esponente è un numero intero, poiché si tratta di moltiplicazioni e divisioni di numeri razionali,
non si esce dal campo Q dei numeri razionali.
3.1.4 Un numero che non è una potenza, ma di più: n!
Si dice fattoriale del numero naturale n, e si scrive n!, il numero:
n! = 1 x 2 x 3 x…x n
Si può scrivere anche:
𝑛
n! = ∏𝑥=1 𝑥
Il simbolo Π è il maiuscolo del pi greco: in maniera simile al sigma greco, è un simbolo di
moltiplicazione. La formula si legge: n fattoriale è il prodotto dei numeri x, con x compreso tra
1 e n.
Incontreremo in seguito il numero fattoriale; per ora, è interessante vedere come cresce con n,
e confrontarlo con una potenza di n, ad esempio, n2 . Chi cresce più in fretta: n! o n2 ?
Numero 1
n!
1
2
1
n
2
2
4
3
6
9
4
24
16
5
60
25
6
360
36
7
2.520
49
8
20.160
64
Congettura: esiste un esponente x tale per cui sia sempre n! < n𝑥 ? Qualcuno è così in gamba
da riuscire a dimostrare che non esiste?
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Poiché x non esiste, il numero fattoriale è veramente interessante; forse per questo motivo è
stato scritto con l’accento esclamativo, n!. Ricordo di tanti anni fa: un mio compagno di classe
lo aveva chiamato il numero meravigliato. Per ora, salutiamo n!
Bene: poiché il nostro scopo è capire la formula di Eulero eiπ + 1 = 0, abbiamo cominciato a
capire che la prima parte della formula, eiπ , è l’elevazione ad una strana potenza, iπ, di una
strana base, e. È ancora tutto strano, ma almeno una cosa è stata chiarita. Un passettino in
avanti è stato compiuto: siate contenti, e abbiate fede.
È giunto il momento di procedere con altre operazioni matematiche: arrivederci al prossimo
volume!
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ESERCIZI SULLA ELEVAZIONE A POTENZA
Moltiplicazione di potenze con la stessa base
32 * 3 3 =
23 * 2 4 =
52 * 5-3 =
Divisione di potenze con la stessa base
35 / 33 =
33 / 35 =
212 / 210 =
214 / 2-14 =
Prodotto di potenze con basi diverse e lo stesso esponente
22 * 32 =
33 * 5 3 =
52 * 6 2 =
Qualcuno mi sa dire cosa fare in caso di un prodotto di potenze con basi diverse ed esponenti
diversi?
Esempio: 22 * 33 =
Elevazione a potenza di una potenza
(22)2 =
(23)2 =
(32)2 =