Alessandro Benedetti UniCAM-SSIS-FIM.09/1 Appunti di statistica descrittiva – Versione provvisoria (v. allegato foglio Excel LDS9_DISTNORMALE.xls) Distribuzione normale X ha una distribuzione di probabilità normale se la sua densità di probabilità risulta f ( x) = 1 2π σ e 1 x−µ − 2 σ 2 Analisi della formula Usando le funzioni base di Excel, la formula viene espressa in un modo simile al seguente (B3 contiene µ, B4 contiene σ, B5 contiene il valore di x) B6: =(1/(RADQ(2*PI.GRECO())*B4))*EXP(-0,5*((B5-B3)/B4)^2) Lo stesso valore può essere calcolato con la funzione statistica di Excel: DISTRIB.NORM(x;media;dev_standard;cumulativo) X è il valore per il quale si desidera la distribuzione. Media è la media aritmetica della distribuzione. Dev_standard è la deviazione standard della distribuzione. Cumulativo è un valore logico che determina la forma assunta dalla funzione. Se cumulativo è VERO (oppure 1), DISTRIB.NORM restituirà la funzione di distribuzione cumulativa, se è FALSO (oppure 0) restituirà la funzione massa di probabilità. Analisi della variazione dell’andamento della funzione di densità di probabilità al variare di m e di s Vedi foglio allegato. Si fissi σ e si assegnino a µ tre valori diversi per cui si calcola la distribuzione al variare di x. Successivamente si fissi µ e si assegnino a σ tre valori diversi per cui calcolare la distribuzione. Per il campo di analisi è opportuno scegliere per x valori compresi tra (µ –5 σ) e (µ +5 σ). Per i grafici è opportuno scegliere Grafico a dispersione con coordinate unite da linee smussate e senza indicatori di dati, graficando per ciascuna situazione le tre serie sovrapposte. In alternativa si possono marcare le tre colonne interessate per ciascun grafico e scegliere Linee – Visualizza una tendenza nel tempo o in più categorie, per giungere più rapidamente al risultato. Risoluzione di problemi relativi a distribuzioni di probabilità normale Nella maggior parte dei problemi attinenti la distribuzione normale, noti µ e σ, si pongono principalmente le domande: calcolare: la probabilità che X sia inferiore a un dato valore (coda sinistra della distribuzione) la probabilità che X sia superiore a un dato valore (coda destra della distribuzione) la probabilità che X sia compreso in un dato intervallo. Si può considerare il problema inverso: dato un valore di probabilità, calcolare il valore di X corrispondente per una distribuzione normale di data media e deviazione standard; per risolvere questo problema Excel mette a disposizione la funzione INV.NORM(probabilità;media;dev_standard) Probabilità è la probabilità corrispondente alla distribuzione normale. Media è la media aritmetica della distribuzione. 1 Alessandro Benedetti UniCAM-SSIS-FIM.09/1 Dev_standard è la deviazione standard della distribuzione. Per prendere confidenza con questa funzione, su un altro foglio, procedere come segue: A8: A9: A10: A14: A15: x media dev.std. DIST.NORM. INV.NORM B8: B9: B10: B14: B15: 2 0 1 =DISTRIB.NORM(B8;B9;B10;1) =INV.NORM(B14;B9;B10) Per i dati inseriti la cella B14 vale 0,97750. La cella B15, che contiene il valore di x che produce la probabilità 0,97750, varrà 2. In generale, per risolvere il problema inverso (se y=f(x), qual è il valore di x che meglio approssima il valore assegnato a y ?), Excel mette a disposizione la opzione di Ricerca obiettivo. Copiare la zona B8:B14 nella zona D8:D14. Strumenti | Ricerca obiettivo… e riempire la finestra come in fig. Nella casella D8 comparirà il valore della x il cui valore di probabilità è 0,95. Riscontrare il risultato modificando opportunamente la casella A8. Risolutore di problemi relativi a distribuzioni di probabilità normale Il foglio a fianco presenta una scheda che permette di risolvere tutti i problemi sopra descritti. Distribuzione normale standardizzata La distribuzione normale è f(x, µ, σ). Ponendo z = f ( z) = 1 2π e −z2 2 x−µ σ la funzione viene riscritta come . A tal proposito Excel mette a disposizione la seguente funzione DISTRIB.NORM.ST(z) Z è il valore per il quale si desidera la distribuzione. 2