Le Galassie
Lezione 6
Il Teorema del Viriale
Consideriamo un sistema di N particelle in interazione gravitazionale con
xα
masse mα (α=1,2,...,N) alle posizioni !
Forza esterna, esempio interazione
con materia oscura, gas
Per ogni stella α
! Gmα mβ
d
α
!
(mα!vα ) = −
(!xα − !xβ ) + Fext = −mα ∇φ(!xα )
3
dt
|!xα − !xβ |
β!=α
xα e sommo su α:
Faccio il prodotto scalare membro a membro con !
! Gmα mβ
!
! d
α
!
(mα!vα ) · !xα = −
(!
x
−
!
x
)
·
!
x
+
F
·
!
x
α
β
α
α
ext
3
dt
|!
x
−
!
x
|
α
β
α
α
α,β!=α
Analogamente per la stella β
! Gmβ mα
! β
! d
!ext · !xβ
(mβ !vβ ) · !xβ = −
(!
x
−
!
x
)
·
!
x
+
F
β
α
β
dt
|!xβ − !xα |3
β
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β,α!=β
β
Le Galassie Esterne
2
Il Teorema del Viriale
Sommando membro a membro e dividendo per 2:
!
! d
1 ! Gmα mβ
α
(mα!vα ) · !xα = −
+
F!ext
· !xα
dt
2
|!
x
−
!
x
|
α
β
α
α
α,β!=α
Notando che
I=
!
α
d
1 d2
(mα!vα ) · !xα =
(mα !xα · !xα ) − mα!vα · !vα
2
dt
2 dt
mα !xα · !xα
1!
K=
mα vα2
2 α
si ottiene
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Momento di inerzia del sistema
Energia cinetica totale
! d
1 d2 I
(mα!vα ) · !xα =
− 2K
2
dt
2 dt
α
Le Galassie Esterne
3
Il Teorema del Viriale
1
Energia potenziale del sistema: W =
2
φ("xα ) = −
!
β!=α
Si ottiene infine
Gmβ
|"xα − "xβ |
!
da cui
V
"
1
ρ("x)φ("x)d"x3 =
mα φ("xα )
2 α
1 ! Gmα mβ
W =−
2
|!xα − !xβ |
α,β!=α
!
1 d2 I
α
!ext
−
2K
=
W
+
F
· !xα
2
2 dt
α
Mediando membro a membro sul tempo τ, per τ→∞ si ottiene (dI/dτ è finito)
1
2τ
!
"
#
dI
dI
α
(τ ) −
(0) = 2"K# + "W # +
"F"ext
· "xα #
dt
dt
α
!
α
!
2!K" + !W " +
!Fext · !xα " = 0
α
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Le Galassie Esterne
4
Il Teorema del Viriale
Consideriamo un sistema di particelle in interazione gravitazionale legato ed
in equilibrio per cui si possono trascurare le forze esterne. Per esso vale il
teorema del Viriale:
< W > + 2 < K >=0
< W > è l’energia gravitazionale media totale del sistema;
< K > è l’energia cinetica totale media.
< W > e < K > sono valori medi su tempi lunghi rispetto ai tempio scala del
sistema. Indichiamoli per semplicità con W e K.
K>0 per definizione di energia cinetica (< K > = < Σi 1/2 mi vi2 >) da cui
necessariamente risulta < W > < 0 (è un sistema legato ...).
Definendo l’energia totale del sistema E = W+K il teorema del viriale si può
riscrivere come E = 1/2 W oppure E = -K
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Le Galassie Esterne
5
La Massa degli Sferoidi
Uno sferoide è caratterizzato da moti caotici per cui la curva di rotazione
quando non è completamente piatta non dice molto sulla massa totale come
per i dischi delle spirali.
Consideriamo un sistema di N!stelle, il teorema
del viriale si può esprimere
#
N
come:
"
1
−2
i=1
2
mi vi2
=W
consideriamo per semplicità un ammasso sferico di raggio R, con N stelle di
massa m per cui M = m N
!
#
M
−
N
ma
N
"
2
vi
=W
i=1
!N
#
1 " 2
vi = !v 2 " = !vr2 " + !vθ2 " + !vφ2 " # 3!vr2 " = 3σr2
N i=1
con l’assunzione di un sistema isotropo in cui, per l’equipartizione, la
dispersione di velocità osservata lungo la linea di vista σr è 1/√3 del totale.
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6
La Massa degli Sferoidi
Consideriamo una sfera di densità uniforme, di massa M e raggio R, allora
1
W =−
2
!
R
0
2
3
GM
2
ρ(r)φ(r)4πr dr = −
5 R
applicando il teorema del viriale:
2
3
GM
−3M σr2 = −
5 R
Mvirial
Cappellari et al. 2006
5Rσr2
=
G
questa è la cosiddetta massa viriale.
In generale:
Mvirial
Rσr2
=f
G
best fit
rel. 1:1
Si può usare per calcolare il rapporto
M/L del sistema. La figura mostra che Mvir
è un’ottima approssimazione rispetto a misure di M da modelli dinamici
completi → galassie non sono troppo complicate!
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7
Teorema del viriale tensoriale
E se il sistema avesse una distribuzione di velocità anisotropa o
semplicemente una componente di rotazione ordinata, buttiamo via tutto?
Ovviamente no. Consideriamo l’equazione di partenza (F=ma per stella α,
senza forze esterne):
! Gmα mβ
d
α
!
(mα!vα ) = −
(!
x
−
!
x
)
+
F
xα )
α
β
ext = −mα ∇φ(!
3
dt
|!xα − !xβ |
β!=α
zα = zα!k
Ripetiamo la dimostrazione del teorema del viriale ma usando !
xα = xα!i + yα!j + zα!k ovvero considerando una sola direzione
invece di !
spaziale. Si ottiene:
1 d2 Izz
= 2Kzz + Wzz
2
2 dt
Kzz =
1!
2
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α
mα vz 2α
con
Izz =
!
mα zα2
α
Wzz
3
!
Gmα mβ
1
(zα − zβ )2
=−
2
|!xα − !xβ |
α,β!=α
Le Galassie Esterne
8
Teorema del viriale tensoriale
ovvero, facendo la media sul tempo τ→∞
2!Kzz " + !Wzz " = 0
Teorema del Viriale Tensoriale: come il teorema del viriale ma per
la sola componente z. Relazioni analoghe valgono per x e y.
Se una galassia è “schiacciata” in xy ed è assi-simmetrica rispetto a z allora
!Wzz " > !Wxx " = !Wyy "
segno “>” perché W è negativa.
Allora la galassia deve essere “anisotropa”:
1 2
1 2
1 2
σz < σx = σy
2
2
2
Se ho una componente di rotazione ordinata V sul piano xy
(la stessa in media lungo x e lungo y) allora posso scrivere:
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
σz < σx + V = σy + V
2
2
2
2
2
In questo caso posso mantenere l’isotropia σz2 = σx2 = σy2
e lo “schiacciamento” è supportato dalla rotazione ordinata.
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9
Leggi Scala delle Galassie
Si mettono in relazione i vari parametri strutturali ottenibili per una
galassia per cercare di capire le proprietà fisiche.
Attenzione però
a non
correlazioni!
What
weabusare
learn delle
from
scaling relations...
Kennicutt 1989
observable universe
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... is sometimes
nothing!
Le Galassie Esterne
Kennicutt, 1989
Venus
Yellowstone Park forest fire
Jeep Cherokee running in a garage
burning cigar
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Leggi Scala nelle Spirali
Le curve di rotazione delle galassie a spirale sono piatte a grandi raggi
(misure HI) quindi VC è una caratteristica della galassia (si può usare la
larghezza della riga HI indicata con W o ΔVC).
Vc correlata con la luminosità della galassia
Relazione Tully-Fisher: L ~ VCα
Qual’è il
significato
fisico?
Massa della galassia: M = VC2 R / G
Rapporto M/L: M = L (M/L) = L Υ
Brillanza superficiale μ: L = μ πR2
Indicatore di
Luminosità!
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Si può quindi scrivere: L ∝ VC4 / ( μ Υ2 )
μ Υ2 ~ cost. → stretto legame tra stelle (L) e
materia oscura (M).
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Leggi Scala nelle Ellittiche
Le ellittiche più luminose sono più grandi ed hanno una surface
brightness minore ovvero la loro “densità di luminosità” sul piano del
cielo è minore rispetto alle galassie meno luminose.
Le galassie dE e dSph hanno un comportamento completamente diverso
dalle Ellittiche e dai Bulge delle spirali!
log Re = γMB +δ
→ Re ∝ LB-2.5γ
μB = αMB +β
→ Re ∝ LB(1-α)/2
µB = −2.5 log
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!
FB
πRe2
"
+ ZPB
MB = −2.5 log LB + MB!
Le Galassie Esterne
Le due relazioni
sono equivalenti!
12
Leggi Scala nelle Ellittiche
“Kormendy relation”
“Faber-Jackson relation”
Σ(Re) [V mag arcsec-2]
◆ Ellittiche
log σe = αMB +β
→ σe ∝ LB-2.5α
LB ∝ σ e 4
◆ Ellittiche
○ Bulges
log Re [kpc]
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Queste relazioni hanno una dispersione
più grande di quanto ci si aspetterebbe
dagli errori di misura (χ2 >1).
La dispersione intrinseca è la
dispersione dei residui (σres) del fit dopo
aver tolto gli errori Δ: σint2 = σres2-Δ2
Le Galassie Esterne
13
Il Piano Fondamentale
La dispersione delle correlazioni L-σ, L-R, μ-σ è grande e comunque
queste relazioni sono legate tra loro.
Consideriamo i 3 parametri indipendenti, μ, σ, R (oppure L, σ, R): esiste
una relazione “fondamentale”?
La relazione fondamentale è un
piano nello spazio dei tre parametri:
log Re = α log σe +β log μe
detto “piano fondamentale”. E’
equivalente a
Re ∝ σe1.4 μe-0.85
Le altre relazioni sono proiezioni
del piano fondamentale e hanno
quindi dispersione maggiore!
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14
Il Piano Fondamentale
Re ∝ σe1.4 μe-0.85
Qual’è il suo significato fisico?
Non è altro che una relazione tra rapporto M/L (caratteristico di una
popolazione stellare, della sua storia di formazione ed evoluzione) e
luminosità L della galassia.
Teorema del Viriale: M = ξ σe2 Re / G
Definizione di μ:
L = 2μe π Re2
Re ∝ σeα μe-β → σeα Re2β-1 ∝ Lβ → σe1.4 Re0.7 ∝ L0.85
→ (σe2 Re)0.7 ∝ L0.85 → M0.7 ∝ L0.85 → M/L ∝ L0.21
ovvero M/L dipende debolmente dalla Luminosità.
Le galassie più massicce sono quelle con M/L più elevato quindi hanno
popolazioni stellari più vecchie.
La dipendenza di M/L da L derivata dal piano fondamentale che implica
una variazione di popolazioni stellari e struttura delle galassie è nota come
TILT del piano fondamentale.
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Funzione di Luminosità delle galassie
log Lϕ(L) [ Mpc-3]
La funzione di luminosità delle galassie ϕ(L) è
L ~ L-α
definita da dN = ϕ(L) dL
dN è il numero di galassie per unità di volume
ϕ✶
con luminosità tra L e L+dL.
ϕ(L) si misura di solito in h-3 Mpc-2; h-3 serve
per togliere la dipendenza dalla costante di
Hubble H0 = 100 h km/s/Mpc (h=0.72).
L ~ exp(-L/L✶)
La forma funzionale che meglio descrive la
L✶
funzione di luminosità è la cosiddetta funzione
! "−α
log L [L☉]
di Schechter:
dL
L
!
! dL
Φ(L) ! = Φ
exp(−L/L ) !
!
L
L
L
ϕ✶ normalizzazione, α pendenza a basse L e L✶ luminosità caratteristica
(L>0.1 L✶ “bright” galaxy).
!
La densità totale di galassie è:
La densità di luminosità totale è:
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nT ot = Φ(L)dL = Φ! Γ(α + 1)
!
ρL = LΦ(L)dL = L! Φ! Γ(α + 2)
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Funzione di Luminosità delle galassie
ϕ(L)
ρ(L) ~L ϕ(L)
ϕ(L) globale è caratterizzata da:
L✶ ≈9×109 h-2 L☉ corrispondente a M(BJ)=-19.7+5 log h
h=0.7 →L✶ ≈2×1010 L☉ (circa come Milky Way);
ϕ✶ ≈0.02 h3 Mpc-3; α = 0.46.
ρL(BJ)≈2×108 h L☉ Mpc-3 e ρL(K)≈6×108 h L☉ Mpc-3
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