Lezione 6 - Osservatorio di Arcetri

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Le Galassie
Lezione 6
Il Teorema del Viriale
Consideriamo un sistema di N particelle in interazione gravitazionale con
xα
masse mα (α=1,2,...,N) alle posizioni !
Forza esterna, esempio interazione
con materia oscura, gas
Per ogni stella α
! Gmα mβ
d
α
!
(mα!vα ) = −
(!xα − !xβ ) + Fext = −mα ∇φ(!xα )
3
dt
|!xα − !xβ |
β!=α
xα e sommo su α:
Faccio il prodotto scalare membro a membro con !
! Gmα mβ
!
! d
α
!
(mα!vα ) · !xα = −
(!
x
−
!
x
)
·
!
x
+
F
·
!
x
α
β
α
α
ext
3
dt
|!
x
−
!
x
|
α
β
α
α
α,β!=α
Analogamente per la stella β
! Gmβ mα
! β
! d
!ext · !xβ
(mβ !vβ ) · !xβ = −
(!
x
−
!
x
)
·
!
x
+
F
β
α
β
dt
|!xβ − !xα |3
β
AA 2008/2009
β,α!=β
β
Le Galassie Esterne
2
Il Teorema del Viriale
Sommando membro a membro e dividendo per 2:
!
! d
1 ! Gmα mβ
α
(mα!vα ) · !xα = −
+
F!ext
· !xα
dt
2
|!
x
−
!
x
|
α
β
α
α
α,β!=α
Notando che
I=
!
α
d
1 d2
(mα!vα ) · !xα =
(mα !xα · !xα ) − mα!vα · !vα
2
dt
2 dt
mα !xα · !xα
1!
K=
mα vα2
2 α
si ottiene
AA 2008/2009
Momento di inerzia del sistema
Energia cinetica totale
! d
1 d2 I
(mα!vα ) · !xα =
− 2K
2
dt
2 dt
α
Le Galassie Esterne
3
Il Teorema del Viriale
1
Energia potenziale del sistema: W =
2
φ("xα ) = −
!
β!=α
Si ottiene infine
Gmβ
|"xα − "xβ |
!
da cui
V
"
1
ρ("x)φ("x)d"x3 =
mα φ("xα )
2 α
1 ! Gmα mβ
W =−
2
|!xα − !xβ |
α,β!=α
!
1 d2 I
α
!ext
−
2K
=
W
+
F
· !xα
2
2 dt
α
Mediando membro a membro sul tempo τ, per τ→∞ si ottiene (dI/dτ è finito)
1
2τ
!
"
#
dI
dI
α
(τ ) −
(0) = 2"K# + "W # +
"F"ext
· "xα #
dt
dt
α
!
α
!
2!K" + !W " +
!Fext · !xα " = 0
α
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Le Galassie Esterne
4
Il Teorema del Viriale
Consideriamo un sistema di particelle in interazione gravitazionale legato ed
in equilibrio per cui si possono trascurare le forze esterne. Per esso vale il
teorema del Viriale:
< W > + 2 < K >=0
< W > è l’energia gravitazionale media totale del sistema;
< K > è l’energia cinetica totale media.
< W > e < K > sono valori medi su tempi lunghi rispetto ai tempio scala del
sistema. Indichiamoli per semplicità con W e K.
K>0 per definizione di energia cinetica (< K > = < Σi 1/2 mi vi2 >) da cui
necessariamente risulta < W > < 0 (è un sistema legato ...).
Definendo l’energia totale del sistema E = W+K il teorema del viriale si può
riscrivere come E = 1/2 W oppure E = -K
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Le Galassie Esterne
5
La Massa degli Sferoidi
Uno sferoide è caratterizzato da moti caotici per cui la curva di rotazione
quando non è completamente piatta non dice molto sulla massa totale come
per i dischi delle spirali.
Consideriamo un sistema di N!stelle, il teorema
del viriale si può esprimere
#
N
come:
"
1
−2
i=1
2
mi vi2
=W
consideriamo per semplicità un ammasso sferico di raggio R, con N stelle di
massa m per cui M = m N
!
#
M
−
N
ma
N
"
2
vi
=W
i=1
!N
#
1 " 2
vi = !v 2 " = !vr2 " + !vθ2 " + !vφ2 " # 3!vr2 " = 3σr2
N i=1
con l’assunzione di un sistema isotropo in cui, per l’equipartizione, la
dispersione di velocità osservata lungo la linea di vista σr è 1/√3 del totale.
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6
La Massa degli Sferoidi
Consideriamo una sfera di densità uniforme, di massa M e raggio R, allora
1
W =−
2
!
R
0
2
3
GM
2
ρ(r)φ(r)4πr dr = −
5 R
applicando il teorema del viriale:
2
3
GM
−3M σr2 = −
5 R
Mvirial
Cappellari et al. 2006
5Rσr2
=
G
questa è la cosiddetta massa viriale.
In generale:
Mvirial
Rσr2
=f
G
best fit
rel. 1:1
Si può usare per calcolare il rapporto
M/L del sistema. La figura mostra che Mvir
è un’ottima approssimazione rispetto a misure di M da modelli dinamici
completi → galassie non sono troppo complicate!
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7
Teorema del viriale tensoriale
E se il sistema avesse una distribuzione di velocità anisotropa o
semplicemente una componente di rotazione ordinata, buttiamo via tutto?
Ovviamente no. Consideriamo l’equazione di partenza (F=ma per stella α,
senza forze esterne):
! Gmα mβ
d
α
!
(mα!vα ) = −
(!
x
−
!
x
)
+
F
xα )
α
β
ext = −mα ∇φ(!
3
dt
|!xα − !xβ |
β!=α
zα = zα!k
Ripetiamo la dimostrazione del teorema del viriale ma usando !
xα = xα!i + yα!j + zα!k ovvero considerando una sola direzione
invece di !
spaziale. Si ottiene:
1 d2 Izz
= 2Kzz + Wzz
2
2 dt
Kzz =
1!
2
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α
mα vz 2α
con
Izz =
!
mα zα2
α
Wzz
3
!
Gmα mβ
1
(zα − zβ )2
=−
2
|!xα − !xβ |
α,β!=α
Le Galassie Esterne
8
Teorema del viriale tensoriale
ovvero, facendo la media sul tempo τ→∞
2!Kzz " + !Wzz " = 0
Teorema del Viriale Tensoriale: come il teorema del viriale ma per
la sola componente z. Relazioni analoghe valgono per x e y.
Se una galassia è “schiacciata” in xy ed è assi-simmetrica rispetto a z allora
!Wzz " > !Wxx " = !Wyy "
segno “>” perché W è negativa.
Allora la galassia deve essere “anisotropa”:
1 2
1 2
1 2
σz < σx = σy
2
2
2
Se ho una componente di rotazione ordinata V sul piano xy
(la stessa in media lungo x e lungo y) allora posso scrivere:
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
σz < σx + V = σy + V
2
2
2
2
2
In questo caso posso mantenere l’isotropia σz2 = σx2 = σy2
e lo “schiacciamento” è supportato dalla rotazione ordinata.
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Le Galassie Esterne
9
Leggi Scala delle Galassie
Si mettono in relazione i vari parametri strutturali ottenibili per una
galassia per cercare di capire le proprietà fisiche.
Attenzione però
a non
correlazioni!
What
weabusare
learn delle
from
scaling relations...
Kennicutt 1989
observable universe
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... is sometimes
nothing!
Le Galassie Esterne
Kennicutt, 1989
Venus
Yellowstone Park forest fire
Jeep Cherokee running in a garage
burning cigar
10
Leggi Scala nelle Spirali
Le curve di rotazione delle galassie a spirale sono piatte a grandi raggi
(misure HI) quindi VC è una caratteristica della galassia (si può usare la
larghezza della riga HI indicata con W o ΔVC).
Vc correlata con la luminosità della galassia
Relazione Tully-Fisher: L ~ VCα
Qual’è il
significato
fisico?
Massa della galassia: M = VC2 R / G
Rapporto M/L: M = L (M/L) = L Υ
Brillanza superficiale μ: L = μ πR2
Indicatore di
Luminosità!
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Si può quindi scrivere: L ∝ VC4 / ( μ Υ2 )
μ Υ2 ~ cost. → stretto legame tra stelle (L) e
materia oscura (M).
Le Galassie Esterne
11
Leggi Scala nelle Ellittiche
Le ellittiche più luminose sono più grandi ed hanno una surface
brightness minore ovvero la loro “densità di luminosità” sul piano del
cielo è minore rispetto alle galassie meno luminose.
Le galassie dE e dSph hanno un comportamento completamente diverso
dalle Ellittiche e dai Bulge delle spirali!
log Re = γMB +δ
→ Re ∝ LB-2.5γ
μB = αMB +β
→ Re ∝ LB(1-α)/2
µB = −2.5 log
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!
FB
πRe2
"
+ ZPB
MB = −2.5 log LB + MB!
Le Galassie Esterne
Le due relazioni
sono equivalenti!
12
Leggi Scala nelle Ellittiche
“Kormendy relation”
“Faber-Jackson relation”
Σ(Re) [V mag arcsec-2]
◆ Ellittiche
log σe = αMB +β
→ σe ∝ LB-2.5α
LB ∝ σ e 4
◆ Ellittiche
○ Bulges
log Re [kpc]
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Queste relazioni hanno una dispersione
più grande di quanto ci si aspetterebbe
dagli errori di misura (χ2 >1).
La dispersione intrinseca è la
dispersione dei residui (σres) del fit dopo
aver tolto gli errori Δ: σint2 = σres2-Δ2
Le Galassie Esterne
13
Il Piano Fondamentale
La dispersione delle correlazioni L-σ, L-R, μ-σ è grande e comunque
queste relazioni sono legate tra loro.
Consideriamo i 3 parametri indipendenti, μ, σ, R (oppure L, σ, R): esiste
una relazione “fondamentale”?
La relazione fondamentale è un
piano nello spazio dei tre parametri:
log Re = α log σe +β log μe
detto “piano fondamentale”. E’
equivalente a
Re ∝ σe1.4 μe-0.85
Le altre relazioni sono proiezioni
del piano fondamentale e hanno
quindi dispersione maggiore!
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14
Il Piano Fondamentale
Re ∝ σe1.4 μe-0.85
Qual’è il suo significato fisico?
Non è altro che una relazione tra rapporto M/L (caratteristico di una
popolazione stellare, della sua storia di formazione ed evoluzione) e
luminosità L della galassia.
Teorema del Viriale: M = ξ σe2 Re / G
Definizione di μ:
L = 2μe π Re2
Re ∝ σeα μe-β → σeα Re2β-1 ∝ Lβ → σe1.4 Re0.7 ∝ L0.85
→ (σe2 Re)0.7 ∝ L0.85 → M0.7 ∝ L0.85 → M/L ∝ L0.21
ovvero M/L dipende debolmente dalla Luminosità.
Le galassie più massicce sono quelle con M/L più elevato quindi hanno
popolazioni stellari più vecchie.
La dipendenza di M/L da L derivata dal piano fondamentale che implica
una variazione di popolazioni stellari e struttura delle galassie è nota come
TILT del piano fondamentale.
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Funzione di Luminosità delle galassie
log Lϕ(L) [ Mpc-3]
La funzione di luminosità delle galassie ϕ(L) è
L ~ L-α
definita da dN = ϕ(L) dL
dN è il numero di galassie per unità di volume
ϕ✶
con luminosità tra L e L+dL.
ϕ(L) si misura di solito in h-3 Mpc-2; h-3 serve
per togliere la dipendenza dalla costante di
Hubble H0 = 100 h km/s/Mpc (h=0.72).
L ~ exp(-L/L✶)
La forma funzionale che meglio descrive la
L✶
funzione di luminosità è la cosiddetta funzione
! "−α
log L [L☉]
di Schechter:
dL
L
!
! dL
Φ(L) ! = Φ
exp(−L/L ) !
!
L
L
L
ϕ✶ normalizzazione, α pendenza a basse L e L✶ luminosità caratteristica
(L>0.1 L✶ “bright” galaxy).
!
La densità totale di galassie è:
La densità di luminosità totale è:
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nT ot = Φ(L)dL = Φ! Γ(α + 1)
!
ρL = LΦ(L)dL = L! Φ! Γ(α + 2)
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Funzione di Luminosità delle galassie
ϕ(L)
ρ(L) ~L ϕ(L)
ϕ(L) globale è caratterizzata da:
L✶ ≈9×109 h-2 L☉ corrispondente a M(BJ)=-19.7+5 log h
h=0.7 →L✶ ≈2×1010 L☉ (circa come Milky Way);
ϕ✶ ≈0.02 h3 Mpc-3; α = 0.46.
ρL(BJ)≈2×108 h L☉ Mpc-3 e ρL(K)≈6×108 h L☉ Mpc-3
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