ELETTROMAGNETISMO ed elementi di ONDE

FISICA GENERALE II
F.Bloisi
Fisica II
EM
ELETTROMAGNETISMO
ed elementi di
ONDE ELETTROMAGNETICHE
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
FISICA GENERALE II
ELETTROMAGNETISMO
Legge di Faraday
X Corrente di spostamento
X Caratteristiche generali delle onde
X Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
X
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F.Bloisi
Fisica II
EM
Rev. 1.2
ELETTROMAGNETISMO
Legge di Faraday
F.Bloisi
Fisica II
EM
1.
Rev. 1.2
Alcuni fatti sperimentali
Legge di Faraday-Neuman-Lenz
Confronto con il caso stazionario
Auto/mutua induzione
Induttanza
Circuiti RL, LC ed RLC
Esempi ed applicazioni
X
X
X
X
X
X
X
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La legge di Faraday
Riepilogo
X
X
X
Legge di Faraday-Neuman-Lenz
Esercizi
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Circuito che si deforma
Alternatore
Circuito RL (accensione)
Circuito RL (spegnimento)
Circuito RL (bilancio energetico)
Circuito LC
X
X
X
X
X
Par.8.1: Legge di Faraday dell’induzione
elettromagnetica.
Par.8.2: Origine del campo elettrico indotto e
della f.e.m. indotta.
Par.8.3: Applicazioni della legge di Faraday.
Par.8.4: Autoinduzione.
Par.8.5: Energia magnetica.
Par.8.6: Induzione mutua.
Par.8.7: Legge di Ampère-Maxwell.
Par.8.8: Le equazioni di Maxwell.
Par.8.9: Le equazioni di Maxwell
in forma differenziale.
MNV2 Cap.9:
Oscillazioni elettriche.
Correnti alternate.
X
Par.9.1: Oscillazioni elettriche.
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1.0
Rev. 1.2
Camnpi elettrici e magnetici
variabili nel tempo.
Auto/mutua induzione
Importanti fenomeni fisici
X
EM
MNV2 Cap.8:
Definizioni
X
F.Bloisi
Fisica II
F.Bloisi
Fisica II
Legge di Faraday
Alcuni fatti sperimentali
γ2
γ1
γ2
γ1
EM
γ1
N
S
γ1
γ1
N
S
γ1
1.1
γ2
γ2
In tutti gli esperimenti:
• il flusso di B concatenato con il circuito γ1 varia nel tempo
• nel circuito γ1
il passaggio di una corrente
• la corrente che circola nel circuito γ1 produce un campo B che si “oppone” alla
variazione di flusso (legge di Lenz)
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F.Bloisi
Fisica II
Legge di Faraday
Legge di Faraday-Neuman-Lenz
EM
1.2
Rev. 1.2
Data una curva chiusa γ, se il flusso del campo di induzione magnetica concatenato con la
curva, Φγ, varia nel tempo, allora lungo la curva γ si riscontra una forza elettromotrice
(differenza di potenziale) indotta il cui valore, indipendentemente da quale sia la causa
della variazione di flusso, è dato da:.
fγ = −
∂ Φγ
∂t
r
r
∂
∫ E ⋅ $t d l = − ∂ t ∫∫ B ⋅ n$ d s
curva chiusa γ
Sγ
γ
Note:
• la curva γ e la superficie Sγ devono essere orientate in maniera concorde
• il campo E è detto campo elettromotore indotto
• il campo elettromotore indotto, come il campo elettrostatico, esercita una forza sulle
cariche elettriche
• il campo elettromotore indotto, a differenza del campo elettrostatico, non è
conservativo
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F.Bloisi
Fisica II
Legge di Faraday
Confronto con il caso stazionario
r
∫ E ⋅ $t d l = 0
curva chiusa γ
r
r
∂
∫ E ⋅ $t d l = − ∂ t ∫∫ B ⋅ n$ d s
curva chiusa γ
Sγ
r
r
∂B
rot E = −
∂t
In forma
locale
r
rot E = 0
 ∂ Ez ∂ E y
−
=0

∂z
 ∂y
 ∂ E x ∂ Ez
−
=0

∂
∂
z
x

∂ Ey ∂ Ex
 ∂x − ∂y = 0

1.3
Rev. 1.2
caso non stazionario
In forma
integrale
caso stazionario
EM
 ∂ Ez ∂ E y
∂ Bx
 ∂ − ∂ =− ∂
z
t
 y
∂
B
 ∂ E x ∂ Ez
y
−
=−

∂x
∂t
 ∂z
∂ Bz
∂ Ey ∂ Ex
 ∂ x − ∂ y = − ∂t

Un campo di induzione magnetica variabile nel tempo
genera un campo elettrico (non conservativo)
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F.Bloisi
Fisica II
Legge di Faraday
Auto/mutua induzione
γ1
EM
1.4
Rev. 1.2
I1
γ2
I2
coeff. mutua induzione
coeff. autoinduzione
Φ γ 1 = Φ11 + Φ12 = I1 L1 + I 2 M
⇒
f i1 = −
∂ Φγ1
∂t
= − L1
d I1
dI
+M 2
dt
dt
Legge di Faraday
La proporzionalità tra Φ11 ed I1 (o tra Φ12 ed I2 ) vale solo in condizioni stazionarie, ed è
approssimativamente vero per correnti “quasi stazionarie”.
Si parla di corrente “quasi stazionaria” quando varia nel tempo abbastanza lentamente da
poter considerare che il campo B è quello prodotto da una corrente costante (ossia che si
possa trascurare il campo B prodotto dalla corrente di spostamento).
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F.Bloisi
Fisica II
Legge di Faraday
Induttanza
L
1
Differenza di potenziale:
VL(t) = V2 − V1 = − L dIL/dt
2
EM
1
L1
I1
2
M
Energia immagazzinata:
UL(t) = ½ L IL2(t)
IL
Induttanza
(autoinduttanza)
1.5
Rev. 1.2
L2
3
I2
4
Note:
Mutua induttanza
• Il simbolo VL è usato per indicare una d.d.p.
V2 − V1 = − L1 dI1/dt ± M dI2/dt
• UL è sempre positiva (immagazzinata).
V4 − V3 = − L2 dI2/dt ± M dI1/dt
• Per induttanze in serie Ls = L1 + L2
• Per induttanze in parallelo 1/Lp = (1/L1) + (1/L2)
• Nel calcolo serie / parallelo si trascura la mutua induzione
• L è sempre positivo
• M può essere positivo onegativo
Unità di misura: henry = weber/Ampere
[H] = [Wb/A] = [Ω .s]
Dimensioni:
[H] = [L2 M1 T-2 I-2]
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Legge di Faraday
Circuiti RL, LC ed RLC
A
f
EM
1.6
Rev. 1.2
R
Transiente all’accensione (S in A):
il generatore fornisce energia che viene in parte
immagazzinata nell’induttanza ed in parte
B
dissipata dalla resistenza.
Transiente allo spegnimento (S in B):
L
+
l’energia precedentemente immagazzinata nell’
induttanza viene dissipata dalla resistenza. Se il
circuito non è chiuso si genera una scintilla.
Uno studio più approfondito del circuito RL è svolto negli “Esercizi ed applicazioni”
S
A
B
S
L
C
f
F.Bloisi
Fisica II
+
r
I
R
S in A (carica del condensatore) :
il generatore fornisce energia che viene in parte
immagazzinata nel condensatore.
S in B (circuito oscillante):
l’energia si trasferisce alternativamente dal
condensatore all’induttanza e vice-versa. Nella
realtà è sempre presente una resistenza R
(oscillazioni smorzate)
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F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Circuito che si deforma
EM
1.7
Rev. 1.2
Una barretta (lunghezza h, sezione trascurabile) di materiale conduttore si muove con
velocità costante v scorrendo senza attrito su due bunari, anch’essi di materiale conduttore.
In tale zona di spazio è presente un campo di induzione magnetica B costante ed uniforme
orientato come illustrato in figura. Si determini la f.e.m. indotta, fi, che si misura tra i due
binari.
r
v
fi
r
Φ=
r
B
∫ B ⋅ n$ d s = − B l h = − B (l0 + v t ) h
ABCD
h
∂Φ
= −Bv h
∂t
l(t)
fi = −
∂Φ
= Bvh
∂t
fi = B v h
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F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Alternatore
EM
1.8
Rev. 1.2
Un alternatore è costitito da N spire quadrate di lato L che vengono fatte ruotare con
velocità angolare costante ω in un campo di induzione megnetica costante ed uniforme B.
Si determini l’ampiezza f0, la frequenza ν e la fase iniziale ϕ della f.e.m. indotta, assumendo
che all’istante t=0 il versore normale n sia parallelo e concorde al campo B.
r
B
n$
ω
Il flusso di Br concatenato con una singola spira è:
Φ′ =
∫ B ⋅ n$ d s = ∫ B cosϑ d s = BL
2
quadrato
cosϑ
quadrato
quindi il flusso totale è dato da:
Φ = NΦ ′ = NBL2 cos ϑ = NBL2 cos ω t
Infine, per la legge di Faraday, la f.e.m. indotta vale:
f (t ) = −
f (t ) = f 0 cos(ω t + ϕ )
∂Φ
∂
= − NBL2 cos ω t = ωNBL2 sin ω t = ωNBL2 cos( ω t − π2 )
∂t
∂t
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 f 0 = ωNBL2

 ν = 2π ω
ϕ =−π
2

F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Circuito RL (accensione)
EM
1.9
Rev. 1.2
Nel circuito illustrato in figura il deviatore S viene posto nella posizione A all’istante t=0.
Determinare la differenza di potenziale VL(t) ai capi dell’induttanza.
VG + VL + VR = 0
A S
R
f −L
L
B
I
f
t→∞ ⇒
R
f
dI
=− I+
L
L
dt
R 
f
dI
=−
I − 
L R
R
dt
+
t=0 ⇒
dI
− IR = 0
dt
dI

− IR = 0
f −L
 ⇒ VL = −VG = − f
dt

I (0) = 0
dI

− IR = 0
 ⇒
dt

I ∞ = cost.
f −L
I (t ) =
f
1 − e − Rt
R
(
VL (t ) = − L
L
)
dI
= − f e − Rt
dt
L
V L (t ) = − f e − t τ L
I∞ = f R
τL = L R
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Circuito RL (spegnimento)
EM 1.10
Rev. 1.2
Nel circuito illustrato in figura il deviatore S è inizialmente nella posizione A ed il circuito
si trova in condizioni stazionarie. All’istante t=0 il deviatore S viene portato rapidamente
dalla posizione A alla posizione B. Determinare la differenza di potenziale VL(t) ai capi
dell’induttanza.
V L + VR = 0
R
A
S
dI
−L
− IR = 0
dt
L
B
1
dI
=−
I
L R
dt
I
f
+
I (t ) = I 0 e − Rt
VL (t ) = − L
VL − IR = 0 
t =0 ⇒
 ⇒ VL = f
I (0) = f R 
t→∞ ⇒
VL − IR = 0

 ⇒
I = cost. ⇒ VL = 0
L
dI
= f e− R t
dt
I∞ = 0
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L
V L (t ) = + f e − t τ L
τL = L R
F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Circuito RL (bilancio energetico)
EM 1.11
Rev. 1.2
Nel circuito illustrato in figura il deviatore S è inizialmente nella posizione A ed il circuito
si trova in condizioni stazionarie. All’istante t=0 il deviatore S viene portato rapidamente
dalla posizione A alla posizione B. Verificare che l’energia immagazzinata nell’induttanza
mella prima fase (S in posizione A) è uguale all’energia dissipata dalla resistenza durante la
seconda fase (S in posizione B).
R
A
L’energia accumulata nell’induttanza
S
nella prima fase (S in A) è:
L
EL = ∆UL = ½ L I02 = ½ L (f/R)2
B
Nota: WG(t) ≠ WR(t).
f +
La potenza dissipata dalla resistenza
nella seconda fase (S in B) è:
∞
E R = ∫ WR (t ) d t =
0
f2
=
R
2 ∞
f
R
 L −2 t
− 2 R e
∫e
(
)
WR (t ) = I 2 (t ) R = f 2 R e −2 Rt
−2 t RC
dt
L
0
RC
∞
f2

=

R
0
2
1 f 
EL = ER =   L
2  R
2
 L
 f L
−
−
=
(
)
0
1
 2 R
 2 R 2
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Circuito LC
EM 1.12
Rev. 1.2
Nel circuito illustrato in figura il deviatore S è inizialmente nella posizione A ed il circuito
si trova in condizioni stazionarie. All’istante t=0 il deviatore S viene portato rapidamente
dalla posizione A alla posizione B. Determinare la corrente I (t) che circola nel circuito
dopo che il deviatore S è stato portato nella posizione B.
A
S in A: il condensatore si carica fino a VC=f
B
S in B:
S
L
C
f
+
I0 , ϕ
I
VL + VC = 0
−L
dI Q
+ =0
dt C
−L
d2 I 1 d Q
+
=0
d t2 C d t
−L
1
d2 I
=−
I
2
LC
dt
R
dalle condiz. iniz.:
VC = f
t=0 ⇒ 
 I =0
⇒
((
I (t ) = I 0 sin 1
I = f C L
⇒  0
 ϕ =0
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
)
LC t + ϕ
)
I (t ) = f C L sin(ω t )
ω =1
LC
ELETTROMAGNETISMO
Corrente di spostamento
F.Bloisi
Fisica II
EM
2.
Rev. 1.2
Teor. della circuitaz. in condiz. non staz.
Teorema della circuitazione ed eq. di continuità
Definizione di corrente di spostamento
Densità di corrente di spostamento
Confronto con il caso stazionario
Equazione di Maxwell nel vuoto
Esempi ed applicazioni
X
X
X
X
X
X
X
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Corrente di spostamento
Riepilogo
X
MNV2 Cap.8:
Definizioni
X
X
Camnpi elettrici e magnetici
variabili nel tempo.
Densità di corrente di spostamento
Corrente di spostamento
X
X
Importanti fenomeni fisici
X
X
X
X
Legge di Ampere-Maxwell
Par.8.7: Legge di Ampère-Maxwell.
Par.8.8: Le equazioni di Maxwell.
Par.8.9: Le equazioni di Maxwell
in forma differenziale.
MNV2 Cap.9:
Esercizi
X
X
Oscillazioni elettriche.
Correnti alternate.
Condensatore in fase di carica
Antenna ricetrasmittente
X
Par.9.1: Oscillazioni elettriche.
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
EM
2.0
Rev. 1.2
Corrente di spostamento
Teor. della circuitaz. in condiz. non staz.
F.Bloisi
Fisica II
EM
2.1
Rev. 1.2
Condensatore in fase di carica (o scarica).
I(t)
γ
γ
Q(t)
∆V
R
• La corrente I è concatenata con
la curva chiusa γ ?
• La circuitazione di B lungo la curva γ
è diversa da zero ?
C
• Si può applicare la
legge della circuitazione di Ampere ?
In condizioni non stazionarie:
Non è sempre possibile parlare di “corrente concatenata”
con una curva chiusa γ.
Il teorema della circuitazione di Ampere deve essere riformulato.
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Approfondimento
Corrente di spostamento
Teorema della circuitazione ed eq. di continuità
r
∂ρ
div J = −
r
r
∂t
rot B = µ 0 J
⇒
r

∂ρ
B
div rot  = −
µ
∂t

0
r
r
∀V: div rot V = 0
⇒
∂ρ
0=−
∂t
)
EM
in contrasto con
la condizione di
non stazionarietà
Falso!
In condizioni non stazionarie:
Il teorema della circuitazione di Ampere
è in contrasto con l’equazione di continuità
(conservazione della carica)
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2.2
Rev. 1.2
equazione
di continuità
teorema della circuitazione
di Ampere
(formulazione differenziale)
(
F.Bloisi
Fisica II
F.Bloisi
Fisica II
Corrente di spostamento
Definizione di corrente di spostamento
EM
2.3
Rev. 1.2
In condizioni non stazionarie è necessario tener conto della corente di spostamento
r
∂E
⋅ n$ d s
I sp = ε 0 ∫∫
∂
t
S
I (t)
r
v
∂E
o della densità di corente di spostamento J sp = ε 0
∂t
I(t)
Q(t)
Isp(t)
γ
Q(t)
∆V
E(t)
C
R
r
∂E
⋅ n$ d s
I sp = ε 0 ∫∫
∂t
S
=
r
d
d
E
⋅ n$ d s = ∫∫ ε 0 E d s
ε
0
∫∫
dt S
dt S
=
d
dQ dq
σd s =
=
=I
d t ∫∫
dt dt
S
Isp(t)
• La corrente I (o la corrente di spostamento
Isp=I) è concatenata con la curva chiusa γ
• La circuitazione di B lungo la curva γ
è diversa da zero
• Si può applicare la legge della circuitazione di
Ampere a patto di considerare anche la
corrente di spostamento (Legge di AmpereMaxwell)
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
Corrente di spostamento
Densità di corrente di spostamento
EM
2.4
Rev. 1.2
r
∂ρ equazione
div J = −
∂ t di continuità
⇒
r
r

∂ E
∂ρ
B
div rot − ε 0
 =−
∂t 
∂t
 µ0
r
r
r
∀V: div rot V = 0
⇒

∂ E
∂ρ
div − ε 0
 =−
∂t 
∂t

r
teorema della circuitazione
r
r
∂ E
di Ampere con il termine rot B = µ 0  J + ε 0 
∂t 

della corrente di spostamento
Approfondimento
(
)
−
r ρ
div E =
ε0
r
∂
∂ρ
ε 0 div E = −
∂t
∂t
(
)
⇒
−
∂ρ
∂ρ
=−
∂t
∂t
Vero!
L’introduzione della densità di corrente di spostamento
elimina l’incongruenza tra
il teorema della circuitazione di Ampere
e l’equazione di continuità (conservazione della carica)
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identità
F.Bloisi
Fisica II
Corrente di spostamento
Confronto con il caso stazionario
r r
B
∫ ⋅ d l = µ0
r
J
∫∫ ⋅ n$ d s
curva chiusa
γ
sup. di bordo
γ
In forma
locale
r
r
rot B = µ 0 J
 ∂ Bz ∂ By
−
= µ0 Jx

∂z
 ∂y
 ∂ Bx ∂ Bz
−
= µ0 Jy

∂x
 ∂z
 ∂ B y ∂ Bx
 ∂ x − ∂ y = µ0 Jz

2.5
Rev. 1.2
caso non stazionario
In forma
integrale
caso stazionario
EM
r r
∫ B ⋅ d l = µ0
curva chiusa
γ
r
r
∂ E
∫∫  J + ε 0 ∂ t  ⋅ n$ d s
sup. di bordo 
γ
v
r
r
∂ E
rot B = µ 0  J + ε 0

∂t 

 ∂ Bz ∂ By

∂ Ex 
−
= µ0  Jx + ε0


∂z
∂t 

 ∂y
 ∂ Bx ∂ Bz
∂ Ey 

−
= µ0  J y + ε0


∂x
∂t 

 ∂z
 ∂ By ∂ Bx

∂ Ez 
−
= µ0  Jz + ε0


∂y
∂t 

 ∂x
Un campo di elettrico variabile nel tempo
genera un campo di induzione magnetica
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Corrente di spostamento
Equazioni di Maxwell nel vuoto
Equazioni di Maxwell in condizioni non stazionarie
in forma integrale
in forma differenziale
r r 1
E
∫∫ ⋅ d s = ε 0 ∫∫∫ ρ d τ
sup. chiusa
vol. interno
Σ
r ρ
div E =
ε0
aΣ
r r
∫E⋅d l = −
linea chiusa
γ
r
r
∂B
∫∫ ∂t ⋅ n$ d s
suo. di bordo
r
r
∂B
rot E = −
∂t
γ
r
div B = 0
r
∫∫ B ⋅ d s = 0
sup. chiusa
Σ
r r
∫ B ⋅ d l = µ0
linea chiusa
γ
r
r
∂ E
∫∫  J + ε 0 ∂ t  ⋅ n$ d s
suo. di bordo
v
r
r
∂ E
rot B = µ 0  J + ε 0

∂t 

γ
corrente di spostamento
legge di Faraday
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F.Bloisi
Fisica II
EM
2.6
Rev. 1.2
F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Condensatore in fase di carica (1/2)
EM
2.7
Rev. 1.2
Le armature di un condensatore piano sono costituite da due dischi (raggio R) di materiale
conduttore. Il condensatore viene caricato con una corrente costante I. Si determini il
vettore densità di corrente di spostamento, Jsp, nello spazio tra le armature del
condensatore.
dQ = dq = I dt
I
Q = Q0 + I t
E=
J sp = ε 0
r
Jsp
n$
r
E
σ
Q
Q +It
=
= 0 2
ε0 ε0S ε0 πR
∂E
I
I
= ε0
=
2
∂t
ε0 π R
π R2
r
I
J sp =
n$
π R2
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F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Condensatore in fase di carica (2/2)
EM
2.8
Rev. 1.2
Le armature di un condensatore piano sono costituite da due dischi (raggio R) di materiale
conduttore. Il condensatore viene caricato con una corrente costante I. Si determini il
vettore campo di induzione magnetica, B, nello spazio tra le armature del condensatore.
r r
B
∫ ⋅ d l = µ0
circonferenza
raggio r
B 2π R = µ 0
∫∫
r
sp
B = µ0
$t
cerchio
raggio r
cerchio
raggio r
B 2π r = µ 0
r
∫∫ ( J + J ) ⋅ n$ d s
 I 
n$  ⋅ n$ d s

 π R2 
r
J sp
I
r
E
r
B
I
πr2
π R2
I
r
2π R 2
Nota:
Se I non fosse costante si avrebbe un campo B non
costante che genererebbe un campo E non costante.
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
r
µ I
B = 0 2 r $t
2π R
F.Bloisi
Fisica II
Esempi ed applicazioni
Antenna ricetrasmittente
EM
2.9
Rev. 1.2
antenna
trasmittente
antenna
ricevente
E(x,y,z,t)
B(x,y,z,t)
S(x,y,z,t)
onde
elettromagnetiche
trasmettitore
ricevitore
Rappresentazione schematica di un’antenna a dipolo elettrico che
emette onde elettromagnetiche con polarizzazione lineare verticale.
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Esempi ed applicazioni
F.Bloisi
Fisica II
EM 2.10
Rev. 1.2
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
ELETTROMAGNETISMO
Caratteristiche generali delle onde
F.Bloisi
Fisica II
EM
3.
Rev. 1.2
Equazione di d’Alembert
Onde monodimensonali (piane / sferiche)
Propagazione delle onde
Onde armoniche (sinusoidali / cosinusoidali)
Onde piane nello spazio
Onde ed energia
Esempi ed applicazioni
X
X
X
X
X
X
X
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Caratteristiche generali delle onde
Riepilogo
X
EM
3.0
Rev. 1.2
Definizioni
X
X
X
X
Onda
Onda momodimensionale (piana, sferica)
Velocità di propagazione
Onde armoniche
(sinusoidali / cosinusoidali)
MNV2 Cap.10:
Onde elettromgnetiche.
X
Par.10.1: Introduzione alle onde elettromagnetiche.
Onde piane.
MNV2 Cap.16:
X
F.Bloisi
Fisica II
Onde meccaniche.
Presentazione
X
Equazione di d’Alembert (delle onde)
X In coordinate cartesiane ortogonali
X in coordinate sferiche
X
X
X
Par.16.1: Fenomeni ondulatori.
Par.16.2: Onde piane armoniche.
Par.16.3: Onde in una coerda tesa.
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Caratteristiche generali delle onde
Equazione di d’Alembert
F.Bloisi
Fisica II
EM
3.1
Rev. 1.2
L’equazione di d’Alembert (o delle onde) è
∇ 2F −
1 ∂ 2F
=0
v 2 ∂t 2
Nota: il laplaciano è definito come
dove il simbolo ∇ 2 (“laplaciano”) indica la
somma delle derivate seconde
Approfondimento
∇ 2F ≡ div(grad F )
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
per cui, in coordinate cartesiane
ortogonali,
div(grad F )
=
∂
∂
∂
(grad F )x + (grad F ) y + (grad F )z
∂x
∂y
∂z
La funzione F(r,t) può rappresentare
• una grandezza scalare
∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F
∇ 2F = 2 + 2 + 2
• la pressione in un’onda acustica
∂x
∂y
∂z
• ...
• una grandezza vettoriale
• lo spostamento dalla posizione di equilibrio in un’onda elestica
• i campi elettrico e magnetico in un’onda elettromagnetica
• ...
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Caratteristiche generali delle onde
Onde monodimensionali (piane / sferiche)
F.Bloisi
Fisica II
EM
3.2
Rev. 1.2
Equazione delle onde (o di Laplace)
∇ 2F −
1 ∂ 2F
=0
v 2 ∂t 2
In coordinate sferiche
∂ 2F ∂ 2F ∂ 2F 1 ∂ 2F
+
+
−
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t 2
termini con 
2
1 ∂  2 ∂F   ∂
∂ − 1 ∂ F =0
+
r


r 2 ∂r  ∂r   ∂θ e ∂ϕ  v 2 ∂t 2
F (r,t) = F (x, y, z, t)
Condizione di “monodimensionalità”
F (r,t) = F (x, t)
Equazione delle onde piane
∂F 1 ∂F
−
=0
∂x 2 v 2 ∂t 2
2
2
Approfondimento
In coordinate cartesiane ortogonali
F (r,t) = F (r, ϑ, ϕ, t)
Condizione di “monodimensionalità”
F (r,t) = F (r, t)
Equazione delle onde sferiche
1 ∂  2 ∂F  1 ∂ 2F
=0
r
−
r 2 ∂r  ∂r  v 2 ∂t 2
Onda piana (progressiva/regressiva)
Onda sferica (progressiva/regressiva)
F ( x , t ) = F p ( x − vt ) + Fr ( x + vt )
1
1
F (r , t ) = F p (r − vt ) + Fr (r + vt )
r
r
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
Caratteristiche generali delle onde
Propagazione delle onde
EM
3.3
Rev. 1.2
F p ( x1 − vt1 ) = F p ( x2 + vt 2 )
⇓
x1 − vt1 = x2 + vt 2
Un’onda sferica progressiva
si propaga allontanandosi
dall’origine (sorgente)
ed al tempo stesso si attenua
⇓
∆x = x2 − x1 = v(t2 − t1 ) = v∆t
⇓
Un’onda piana progressiva ∆x
=v
si propaga con velocità
∆t
F (x,t) = exp(-(x-vt)2/h2)
y(x)
y 1(x)=Fp(x,t1)
1.0
0.2
y(r)
F (x,t) = (1/r) exp(-(r-vt)2/h2)
y 2(x)=Fp(x,t2)
y 1(r)=(1/r)Fp(r,t1)
0.1
0.5
0.0
x (m)
0
5
y 2(r)=(1/r)Fp(r,t2)
∆x P
2
P1
10
15
0.0
20
r (m)
0
5
10
15
20
In entrambi i grafici: h=2.5m; v=0.50m/s; t1=15.0s; t2=20.0s
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F.Bloisi
Fisica II
Caratteristiche generali delle onde
Onde armoniche (sinusoidali / cosinusoidali)
Un’onda piana armonica (cosinusoidale) è data da
F ( x , t ) = F0 cos ( k x ± ω t + ϕ )
con ω k = v (velocità di propagazione dell’onda)
dove
F0
(k x ± ωt + ϕ)
0.2
rad
k
ω
numero d'onda
m
pulsazione
rad / s
ϕ
fase iniziale
rad
0.0
A0=0.15
k=1.57m-1
ϕ =1.2rad
=0.785rad/s
ω
y(t)=A0cos(kx -ωt+ϕ )
x*=8s
T=8.0s
*
t (s)
0
2
4
6
8
10
-0.1
-0.2
Si definiscono inoltre
f = ω 2π
frequenza
Hz = s -1
T = 2π ω = 1 f
periodo
s
λ = 2π k
lunghezza d'onda
m
*
y(x)=A0cos(kx-ωt +ϕ )
k=1.57m-1
ω=0.785rad/s
A0=0.15
ϕ =1.2rad
t*=12s
0.1
0.0
x (m)
0
2
4
-0.1
λ T =ω k =v
Rev. 1.2
-1
0.2
e risulta
3.4
0.1
ampiezza
fase
EM
-0.2
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
6
λ=4.0m
8
10
Caratteristiche generali delle onde
Onde piane nello spazio
F.Bloisi
Fisica II
EM
3.5
Rev. 1.2
Onda piana cosinusoidale che si propaga nel verso positivo dell’asse x
F p ( x , t ) = F0 cos ( k x − ω t + ϕ )
Onda piana cosinusoidale che si propaga nella direzione data dal vettore k
(
F ( x , y , z , t ) = F0 cos k x x + k y y + k z z − ω t + ϕ
r r
r
F (r , t ) = F0 cos k ⋅ r − ω t + ϕ )
(
Vettore d’onda:
r
k = k x $i + k y $j + k z k$
)
r
modulo: k = k = k x2 + k y2 + k z2 (numero d’onda)
direzione e verso: direzione e verso di propagazione dell’onda
Nel caso di grandezza vettoriale si possono avere onde piane
• trsversali (il vettore è ortogonale alla direzione di propagzione)
• polarizzate linearmente (il vettore ha sempre la medeima direzione)
• longitudinli (il vettore ha la direzione di propagzione)
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Caratteristiche generali delle onde
Onde ed energia
F.Bloisi
Fisica II
EM
3.6
Rev. 1.2
• La grandezza fisica “trasportata” da un’onda che si propaga nello spazio è una energia
• La densità di energia è proporzionale la quadrato dell’ampiezza
• densità di energia elettromagnetica associata ad un’onda elettromagnetica
w e.m. =
dU
= ε 0F02
dV
(in J / m3 se F0 in V / m)
• densità di energia associata ad un’onda elatica su di una fune
w mecc =
dU 1
= ρl ω 2F02
dl 2
(in J / m se F0 in m)
L’equazione delle onde è lineare:
se F1(r,t) ed F2(r,t) sono soluzioni dell’equazione di Laplace anche la loro somma lo è
ne segue che
• vale il principio di sovrapposizione
• le energie (localmente) non si sommano
• la conservazione dell’energia vale sono globalmente
L’energia trasportata da un’onda può essere utilizzata
• in maniera diretta (quando ci si scalda al sole)
• per trasportare delle informazioni (in una trasmissione radio)
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
ELETTROMAGNETISMO
Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
F.Bloisi
Fisica II
EM
4.
Rev. 1.2
Campi e.m. in assenza di sorgenti
L’equazione delle onde e.m. piane
Onde trasversali
Vettore di Poynting
Caratteristiche delle onde e.m.
Spettro delle onde e.m.
Esempi ed applicazioni
X
X
X
X
X
X
X
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
Riepilogo
X
Dimostrazione
X
X
X
X
4.0
Rev. 1.2
Onde elettromgnetiche.
Vettore di Poyntimg
X
X
EM
MNV2 Cap.10:
Definizioni
X
F.Bloisi
Fisica II
Equazione delle onde
dalle equazioni di Maxwell
Trasversalità delle onde e.m.
Energia trasportata da un’onda e.m.
Classificazione delle onde e.m.
X
X
X
X
X
Par.10.2: Onde elettromagnetiche piane.
Par.10.3: Deduzione delle onde elettromagnetiche
piane dalle equazioni di Mxwell.
Par.10.4: Energia di un’onda elettromagnetica
piana. Vettore di Poynting.
Par.10.6: Polarizzazione delle onde
elettromagnetiche.
Par.10.7: Radiazione elettromgnetica di un dipolo
elettrico oscillnte.
Par.10.8: Spettro delle onde elettromgnetiche.
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
Campi e.m. in assenza di sorgenti
Equazioni di Maxwell nel vuoto
r
div B = 0
r ρ
div E =
ε0
r
r
∂B
rot E = −
∂t
4.1
Rev. 1.2
in assenza di cariche (ρ=0) e di correnti (J=0)
r
div E = 0
v
r
r
∂ E
rot B = µ 0  J + ε 0

∂t 

EM
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
div B = 0
v
r
∂E
rot B = µ 0ε 0
∂t
In particolare per E(x,t), B(x,t)
In componenti cartesiane
∂E x ∂E y ∂E z
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂Bx ∂By ∂Bz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂E z ∂E y
∂B
−
=− x
∂y
∂z
∂t
∂
By
∂E x ∂E z
−
=−
∂z
∂x
∂t
∂E y ∂E x
∂Bz
−
=−
∂x
∂y
∂t
∂Bz ∂By
∂E
−
= ε 0µ 0 x
∂y
∂z
∂t
∂
Ey
∂Bx ∂Bz
−
= ε 0µ 0
∂z
∂x
∂t
∂By ∂Bx
∂E z
−
= ε 0µ 0
∂x
∂y
∂t
∂E x
=0
∂x
∂Bx
=0
∂x
∂Bx
∂t
∂By
∂E z
−
=−
∂x
∂t
∂E y
∂Bz
=−
∂x
∂t
∂E x
∂t
∂E y
∂Bz
−
= ε 0µ 0
∂x
∂t
∂By
∂E z
= ε 0µ 0
∂x
∂t
0=−
0 = ε 0µ 0
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
L’equazione delle onde e.m. piane
∂E x
=0
∂x
∂B x
=0
∂x
∂ Bx
∂t
∂B y
∂E z
−
=−
∂x
∂t
∂E y
∂ Bz
=−
∂x
∂t
∂E x
∂t
∂E y
∂ Bz
−
= ε 0µ 0
∂x
∂t
∂B y
∂E z
= ε 0µ 0
∂x
∂t
0=−
0 = ε 0µ 0
∂
∂x
∂2 E y
∂2 x
=−
∂
∂t
∂2 E y
∂ 2 Bz
= ε 0µ 0
∂t∂x
∂t 2
∂ 2 Bz
∂t∂x
−
∂2 E y
∂2 E y
∂x
2
= ε 0µ 0
∂t
2
Per Ey vale l’eq. di d’Alembert
F.Bloisi
Fisica II
EM
Rev. 1.2
Dalle equazioni di Maxwell
[monodimensionali: E(x,t), B(x,t)]
in assenza di sorgenti
si ricava che
Ey, Ez, By, Bz soddisfano
l’equazione di d’Alembert
[monodimensionale]
Anche in assenza di sorgenti,
il campo “elettrico e magnetico”
può esistere sotto forma di
onde elettromagnetiche
Velocità delle onde elettromagnetiche:
c = 1 ε 0 µ 0 = 2.998 ⋅ 108 m / s
v=c
εrµr < c
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
4.2
F.Bloisi
Fisica II
Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
Onde trasversali
∂E x
=0
∂x
∂ Bx
∂t
∂B y
∂E z
−
=−
∂x
∂t
∂E y
∂ Bz
=−
∂x
∂t
0=−
∂B x
=0
∂x
EM
4.3
Rev. 1.2
Dalle equazioni di Maxwell
[monodimensionali: E(x,t), B(x,t)]
in assenza di sorgenti
∂E x
∂t
∂E y
∂ Bz
−
= ε 0µ 0
∂x
∂t
∂B y
∂E z
= ε 0µ 0
∂x
∂t
0 = ε 0µ 0
si ricava che
Ex e Bx sono costanti ed uniformi
Inoltre, essendo E(x,t)
∂E x
∂E x
∂E x
∂E x
=0
=0
=0
=0
∂x
∂y
∂z
∂t
Le onde elettromagnetiche piane
sono trasversali
Ex è costante (non dipende dal
tempo) ed uniforme (non dipende
dalle coordinate spaziali)
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
Vettore di Poynting
y
Consideriamo un’onda e.m. piana,
monocromatica, linearmente
polarizzata nella direzione dell’asse y
r r
E
B(r , t ) = 0 cos ( k x − ω t + ϕ ) u$ z
c
Valgono quindi le relazioni
r r r r r
E = B × v , E ⋅ B = 0 , B = E c = E ε 0µ 0
Nesegue che le densità di energia sono
1 B 2 1 E 2 ε 0µ 0 1
=
= ε 0 E 2 = wE
2 µ0 2 µ0
2
2
B
wem = ε 0 E 2 =
µ0
wB =
Vogliamo ora determinare l’energia
e.m. che attraversa la superficie ∆s
nel tempo ∆t.
z
r
E
r
B
∆s
x
∆x
Tale energia è pari a quela presente nel
volume ∆s∆x con ∆x = c∆t
∆U em = wem ∆s c∆t = ε 0cE 2 ∆s∆t =
E2
EB
∆s∆t =
∆s∆t
µ0
cµ 0
Definendo il vettore di Poynting
r r
r E×B
S=
µ0
4.4
Rev. 1.2
r
k
r r
E(r , t ) = E0 cos ( k x − ω t + ϕ ) u$ y
Utilizzando le eq. di Maxwell si trova
EM
r EB
S=
µ0
l’energia e.m. per unità di tempo e di
superficie che attraversa una superficie è
pari al flusso del vettore di Po\ynting.
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
Caratteristiche delle onde e.m.
EM
4.5
Rev. 1.2
• Le onde elettromagnetiche piane sono trasversali
• I vettori E e B sono tra loro ortogonali ed il rapporto tra i loro moduli è pari alla
velocità di propagazione dell’onda
r r r
E=B×v
r
v = v = 1 ε 0ε r µ 0 µ r = c
ε r µr
•
associata al compo megnetico
wB =
1 B2
1
= ε 0 ε r E 2 = wE
2 µ 0µ r 2
wem = wE + wB = B 2 µ 0 µ r = ε 0ε r E 2
•
campo elettrico
r r
E(r , t ) = E0 cos ( k x − ω t + ϕ ) $j
r r
B(r , t ) = E0 ε 0 µ 0 ε r µ r cos ( k x − ω t + ϕ ) k$
•
fornisce la potenza che attraversa una superficie
r r
r r
E×B
= ε 0 µ 0 ε r µ r E02 cos ( k x − ω t + ϕ ) $i
S( r , t ) =
µ 0µ r
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F.Bloisi
Fisica II
Equazioni di Maxwell ed onde e.m.
Spettro delle onde e.m.
1025
(Hz)
6 1014
UV
1015
ultravioletto
luce visibile
IR
Rev. 1.2
verde
raggi X
luce
Frequenza (Hz)
1020
4.6
UV
blu
7 1014
raggi γ
EM
giallo
5 1014
infrarosso
rosso
1010
microonde
onde radio
105
4 1014
Nota:
IR
la lunghezza d’onda λ = v/f dipende
dal mezzo in cui l’onda si propaga.
Ad es.: f = 900 MHz = 9.00 108 s−1
(
) (9.00 10
λ = c f = 3108 m / s
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
c ≅ 3108 m / s
8
)
s−1 ≅ 0.3 m
FISICA GENERALE II
F.Bloisi
Fisica II
APP
Rev. 1.1
APPENDICI
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
FISICA GENERALE II
APPENDICI
X
Unità di misura / Grandezze fisiche
X
Formule utili
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
APP
Rev. 1.1
APPENDICI
Unità di misura / Grandezze fisiche
X
X
X
X
F.Bloisi
Fisica II
APP 1.0
Rev. 1.1
Il sistema internazionale (S.I.)
Enti di normazione
Costanti fisiche
Simboli, unità di misura
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
Unità di misura / Grandezze fisiche
Il Sistema Internazionale (S.I.)
Unità di misura fondamentali
lunghezza
[L] m
massa
[ M ] kg
tempo
[T] s
temperatura
[Θ] K
corrente elettrica [ I ] A
quantità di materia [ N ] mol
intensità luminosa [ J ] cd
Unità di misura accessorie
angolo piano
[ - ] rad
angolo solido
[ - ] sr
metro
kilogrammo
secondo
kelvin
ampere
mole
candela
radiante
steradiante
Unità di misura non SI ammesse
grado sessagesimale 1° = (π/180) rad
minuto di angolo
1' = (1/60)°
secondo di angolo
1" = (1/60)'
bar
1 bar = 105 Pa
tonnellata
1 t = 103 kg
Sottomultipli
10-1 d deci
10-2 c centi
10-3 m milli
10-6 µ micro
10-9 n nano
10-12 p pico
10-15 f femto
10-18 a atto
10-21 z zepto
10-24 y yocto
minuto
ora
giorno
litro
F.Bloisi
Fisica II
APP 1.1
Rev. 1.1
Multipli
101 da deca
102 h etto
103 k kilo
106 M mega
109 G giga
1012 T tera
1015 P peta
1018 E exa
1021 Z zetta
1024 Y yotta
1 min = 60 s
1 h = 60 min
1 d = 24 h
1 l = 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3
http://www.imgc.to.cnr.it/SI/sommario.htm (Istituto di Metrologia “Gustavo Colonnetti”)
--- queste note sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ---
F.Bloisi
Fisica II
Unità di misura / Grandezze fisiche
Enti di normazione
X
X
APP 1.2
Rev. 1.1
Enti internazionali
X
ISO
International Organization for Standardization
http://www.iso.ch/
X
BIPM
Bureau International des Poids et des Mesures
http://www.bipm.fr/
Enti nazionali italiani
X
UNI
Ente Nazionale Italiano di Unificazione
http://www.unicei.it/
X
IMGC
Istituto di Metrologia “Gustavo Colonnetti”
http://www.imgc.to.cnr.it/
X
IEN-GF
Istituto Elettrotecnico Nazionale Galileo Ferraris
http://www.ien.it/
X
ENEA
Ente per le Nuove Tecnologie, l'Energia e l'Ambiente
http://www.enea.it/
X
SIT
Servizio Italiano di Taratura
http://sit.imgc.to.cnr.it/
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F.Bloisi
Fisica II
Unità di misura / Grandezze fisiche
Costanti fisiche
Accelerazione media di gravità:
Costante gravitazionale universale:
Massa a riposo dell’elettrone:
Massa a riposo del protone:
Massa della Terra:
Raggio medio della Terra:
Costante universale dei gas:
Numero di Avogadro:
Costante di Boltzman:
Carica elettrica elementare:
Costante dielettrica del vuoto:
Permeabilità magnetica del vuoto:
Velocità della luce:
Raggio di Bohr:
g = 9.81
G = 6.67·10-11
me = 9.11·10-31
mp = 1.67·10-27
MT = 5.98·1024
RT = 6.37·106
R = 8.31
NA = 6.02·1023
k = 1.38·10-23
e = 1.60·10-19
ε0 = 8.85·10-12
µ0 = 1.26·10-6
c = 3.00·108
a0 = 5.29·10-11
m/s2
N·m2/kg2
kg
kg
kg
m
J/(mol·K)
1/mol
J/K
C
F/m
H/m
m/s
m
APP 1.3
Rev. 1.1
[ L1 T-2 ]
[ L3 M-1 T-2 ]
[ M1 ]
[ M1 ]
[ M1 ]
[ L1 ]
[ L2 M1 T-2 Θ-1 N-1 ]
[ N-1 ]
[ L2 M1 T-2 Θ-1 ]
[ T1 I1 ]
[ L-3 M-1 T4 I2 ]
[ L1 M1 T-2 I-2 ]
[ L1 T-1 ]
[ L1 ]
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Unità di misura / Grandezze fisiche
Simboli, unità di misura (1/3)
Simbolo Unità
B
T
E
V/m
H
A/m
C
F
Q
C
L
H
M
H
σ
(Ω·m)-1
G
S
ε
F/m
ε0
F/m
εr
I
A
λ
C/m
σ
C/m2
Dimensioni
[ M1 T-2 I-1 ]
[ L1 M1 T-3 I-1 ]
[ L-1 I1 ]
[ L-2 M-1 T4 I2 ]
[ T 1 I1 ]
[ L2 M1 T-2 I-2 ]
[ L2 M1 T-2 I-2 ]
[ L-3 M-1 T3 I2 ]
[ L-2 M-1 T3 I2 ]
[ L-3 M-1 T4 I2 ]
[ L-3 M-1 T4 I2 ]
[-]
[ I1 ]
[ L-1 T1 I1 ]
[ L-2 T1 I1 ]
F.Bloisi
Fisica II
APP 1.4
Rev. 1.1
Significato
Campo di induzione magnetica (vettore)
Campo elettrico (vettore)
Campo magnetico (vettore)
Capacità elettrica
Carica elettrica
Coefficiente di autoinduzione
Coefficiente di mutua induzione
Conducibilità elettrica
Conduttanza elettrica
Costante dielettrica assoluta
Costante dielettrica del vuoto
Costante dielettrica relativa
Corrente elettrica
Densità di cariche elettriche di linea
Densità di cariche elettriche di superficie
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Unità di misura / Grandezze fisiche
Simboli, unità di misura (2/3)
Simbolo
ρ
J
wE
wB
M
P
U
Ee
ΦE
ΦB
F
f
L
p
m
Unità
C/m3
A/m2
J/m3
J/m3
A/m
C/m2
J
J
V·m
Wb
N
V
J
C·m
A·m2
Dimensioni
[ L-3 T1 I1 ]
[ L-2 I1 ]
[ L-1 M1 T-2 ]
[ L-1 M1 T-2 ]
[ L-1 I1 ]
[ L-2 T1 I1 ]
[ L2 M1 T-2 ]
[ L2 M1 T-2 ]
[ L3 M1 T-3 I-1 ]
[ L2 M1 T-2 I-1 ]
[ L1 M1 T-2 ]
[ L2 M1 T-3 I-1 ]
[ L2 M1 T-2 ]
[ L1 T 1 I 1 ]
[ L 2 I1 ]
Significato
Densità di cariche elettriche di volume
Densità di corrente (vettore)
Densità di energia elettrica
Densità di energia magnetica
Densità di magnetizzazione (vettore)
Densità di polarizzazione (vettore)
Energia (def. meccanica)
Energia elettrostatica
Flusso del campo elettrico
Flusso del campo di induzione magnetica
Forza (def. meccanica) (vettore)
Forza elettromotrice
Lavoro (def. meccanica)
Momento di dipolo elettrico (vettore)
Momento di dipolo magnetico (vettore)
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Fisica II
APP 1.5
Rev. 1.1
Unità di misura / Grandezze fisiche
Simboli, unità di misura (3/3)
Simbolo
M
µ
µ0
µr
W
V
A
pes
R
ρ
D
Er
χe
χm
S
Unità
N·m
H/m
H/m
W
V
Wb/m
N/m2
Ω
Ω·m
C/m2
V/m
W/m2
Dimensioni
[ L2 M1 T-2 ]
[ L1 M1 T-2 I-2 ]
[ L1 M1 T-2 I-2 ]
[-]
[ L2 M1 T-3 ]
[ L2 M1 T-3 I-1 ]
[ L1 M1 T-2 I-1 ]
[ L-1 M1 T-2 ]
[ L2 M1 T-3 I-2 ]
[ L3 M1 T-3 I-2 ]
[ L-2 T1 I1 ]
[ L1 M1 T-3 I1 ]
[-]
[-]
[ M-1 T-3 ]
F.Bloisi
Fisica II
APP 1.6
Rev. 1.1
Significato
Momento di una forza (def. meccanica) (vettore)
Permeabilità magnetica assoluta
Permeabilità magnetica del vuoto
Permeabilità magnetica relativa
Potenza (def. meccanica)
Potenziale elettrostatico
Potenziale vettore (vettore)
Pressione elettrostatica
Resistenza elettrica
Resistività elettrica
Spostamento elettrico (vettore)
Rigidità dielettrica
Suscettività elettrica
Suscettività magnetica
Vettore di Poynting (vettore)
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APPENDICI
Formule utili
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Geometria, trigonometria
Trigonometria, varie
Funzioni trigonometriche
Logaritmi, esponenziali
Vettori
Equazioni differenziali
Operatori
Coordinate cilindriche e sferiche
Alcune uguaglianze e teoremi
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F.Bloisi
Fisica II
APP 2.0
Rev. 1.1
F.Bloisi
Fisica II
Formule utili
Geometria, trigonometria
Angolo piano in radianti = l R
APP 2.1
Rev. 1.1
Angolo solido in steradianti = S R 2
Area cerchio = πR 2
Lunghezza circonferenza = 2πR 2
Superficie sfera = 4 πR 2
Volume sfera = 43 πR 3
Area laterale cilindro retto = 2 πRh
Volume cilindro retto = πR 2 h
∧
Area parallelogramma = bh = ab sen ab
r r
Area parallelogramma = a × b
r r r
Volume parallelepipedo = (a × b) ⋅ c
∧
Area triangolo = 21 bh = 21 ab sen ab
r r
Area triangolo = 21 a × b
sin ϑ = cy l
sin α sin β sin γ
=
=
a
b
c
(Teorema dei seni)
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
(Teorema di Carnot)
cos ϑ = cx l
tg ϑ = cy cx
sin ϑ + sin ϑ = 1
cx2 + c y2 = l 2
2
2
l
cy
θ
cx sono reperibili sul sito http://people.na.infn.it/~bloisi ----- queste note
a
β
γ
c
F.Bloisi
Fisica II
Formule utili
Trigonometria, varie
sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β
Esponenziali
e logaritmi
cos(α ± β) = cos α cos β m sen α sen β
sen α ± sen β = 2 sen
f ′( x )
sen x
cos x
cos x
− sen x
tg x
xn
1 cos2 x
n x n −1
e
ax
ln x
ae
ax
1x
Rev. 1.1
y = e x = exp x ⇔
x = ln y
b a = e a ln b = exp(a ln b)
n
α+β
α −β
cos
2
2
y = a x2 + b x + c
Relazioni
trigonometriche
α+β
α −β
cos α − cosβ = −2 sen
sen
2
2
f ( x)
APP 2.2
e = lim (1 + n1 ) = 2,7182
n→∞
α ±β
αmβ
cos
2
2
cos α + cosβ = +2 cos
α
b
−b ± b 2 − 4 a c
x=
2a
Equazione di 2° grado
Derivate / Integrali
Sviluppi in serie
sen x = x − 31! x 3 + 51! x 5 + L
e x = 1 + x + 21! x 2 + 31! x 3 + L
(1 + x )n = 1 + nx + 21 n(n − 1) x 2 + L
1
x0 − x
=
1
x0
+
1
x02
x+
1
x03
cos x = 1 − 21! x 2 + 41! x 4 + L
ln(1 + x ) = x − 21 x 2 + 13 x 3 + L
n! = 1 ⋅ 2 L n
x +L
2
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F.Bloisi
Fisica II
Formule utili
Funzioni trigonometriche
π2
∫ cos ϑ d ϑ = 1
1
0
-1
π2
2
∫ sin ϑ d ϑ = 1
0
00
-0.5
0.5
x
-1
1
Rev. 1.1
2
2
1
1
00
-0.5
APP 2.3
0.5
x
1
-1
-0.5
00
-1
-1
-1
-2
-2
-2
0.5
x
1
Funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente (ascissa in unità π)
π2
π2
π
∫ sin ϑ d ϑ = ∫ cos ϑ d ϑ = 4
0
0
2
π2
π2
π2
0
0
0
∫ sin ϑ d ϑ = ∫ cos ϑ d ϑ = 1
2
ϑ
0° = 0 rad
sin(ϑ )
cos(ϑ )
tan( ϑ )
0
1
0
30° = π 6 rad
12
45° = π 4 rad
60° = π 3 rad
2 2 = 0.7071
3 2 = 0.8660
90° = π 2 rad
2 = 14142
.
3 2 = 0.8660
3 3 = 0.5774
2 2 = 0.7071
12
1
3 = 17321
.
1
3 = 17321
.
π = 31415
.
1 π = 0.3183
±∞
0
1
∫ sin ϑ cos ϑ d ϑ = 2
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Fisica II
Formule utili
Logaritmi, esponenziali
3
APP 2.4
Rev. 1.1
ln(0) = −∞
10
ln(1 e) = −1
8
2
6
1
ln(1) = 0
4
2
00
2
4
6
x
8
10
00
-1
-1
3
3
2
2
1
1
00
1
2
x
2
x
3
3
4
-1
5
-1
00
exp( −∞) = 0
exp( −1) = 1 e
exp(0) = 1
exp(1) = e
1
2
x
3
4
5
-1
exp(-x) = e-x = 1/ex
ln(e) = 1
ln( +∞) = +∞
exp(x) = ex
ln(x)
-1
1
1 - exp(-x) = 1 - e-x
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exp( +∞) = +∞
e = 2.7183
1 e = 0.3679
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Fisica II
Formule utili
Vettori
r
vettore: u u u
modulo: u
r
u
u
(
r
coord. cartesiane: u ≡ ux
uy
APP 2.5
Rev. 1.1
versore: u$
uz
)
r
r∧
ux = u ⋅ $i = u cos ui$
r
r∧
u y = u ⋅ $j = u cos uj$
r $
r∧$
uz = u ⋅ k = u cos uk
r
coord. sferiche: u ≡ ( u ϑ ϕ)
r r
u = u u$ = u u$ = ux $i + u y $j + uz k$
w =u±v
Moltiplicazione
per uno scalare
wx = u x ± v x
wy = u y ± v y
wz = uz ± vz
w = au
wx = aux
wy = au y
wz = auz
Somma
Differenza
Prodotto vettoriale
w =u×v
wx = u y vz − uz v y
wy = uz v x − ux vz
wz = ux v y − u y v x
Prodotto scalare
∧
w = u v sin uv
u ⋅ v = u x v x + u y v y + uz v z
w=au
r r
u = u ⋅ u = ux2 + u y2 + uz2 ≥ 0
$i
r r
u × v = ux
vx
$j
k$
uy
vy
uz
vz
∧
u ⋅ v = u v cos uv
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Formule utili
Equazioni differenziali
y ′ = a0
y ′ = a1 y
⇒
y ′ = a1 y + a 0
⇒
⇒
y( x ) = a 0 x + C1
y( x ) = C1 exp( a1 x )
y( x ) = C1 exp( a1 x ) − a 0 a1
Equazioni differenziali
del secondo ordine
a coefficienti costanti
y( x )
funzione (incognita)
x
ai
variabile indipendente
coefficienti (costanti note)
Ci
costanti di integrazione
F.Bloisi
Fisica II
APP 2.6
Rev. 1.1
Equazioni differenziali
del primo ordine
a coefficienti costanti
y ′′ = a 0
⇒
y ′′ = + a12 y ⇒
y ′′ = −a12 y ⇒
y( x ) = 12 a 0 x 2 + C1 x + C2
y( x ) = C1 exp( a1 x ) + C2 exp( − a1 x )
y( x ) = C1 sin( a1 x + C2 )
Simboli
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F.Bloisi
Fisica II
Formule utili
Operatori
NABLA. ∇ ≡
APP 2.7
Rev. 1.1
∂ $ ∂ $ ∂ $
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z
GRADIENTE. grad f = ∇f ≡
∂f $ ∂f $ ∂f $
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
r
r ∂V ∂Vy ∂Vz
DIVERGENZA. div V = ∇ ⋅ V ≡ x +
+
∂x ∂ y ∂z
r
r  ∂V ∂Vy   ∂Vx ∂Vz   ∂Vy ∂Vx 
−
ROTORE. rot V = ∇ × V ≡  z −
−
 k$
 $i + 
 $j + 
 ∂ y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂ y 
∂2 f ∂2 f ∂2 f
+
+
∂ x2 ∂ y 2 ∂ z2
r
r
r
r
r
LAPLACIANO vett. ∇ 2 V ≡ grad( div V ) − rot( rot V ) = ∇(∇ ⋅ V ) − ∇ × (∇ × V ) = ∇ 2Vx $i + ∇ 2Vy $j + ∇ 2Vz k$
LAPLACIANO scal. ∇ 2 f ≡ div(grad f ) = ∇ ⋅ (∇f ) = (∇ ⋅ ∇) f =
r
r r
CIRCUITAZIONE. ≡ ∫ V ⋅ t$ d l = ∫ V ⋅ d l
γ
γ
r
r r
FLUSSO. ≡ ∫∫ V ⋅ n$ d s = ∫∫ V ⋅ d s
Σ
Σ
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F.Bloisi
Fisica II
Formule utili
Coordinate Cilindriche e Sferiche
Coordinate cilindriche: (r , ϕ , z )
grad f =
∂f
∂f
1∂ f
ϕ$ +
r$ +
z$ =
r ∂ϕ
∂r
∂z
∂f
1∂ f $
1 ∂f
θ+
ϕ$
r$ +
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
∂r
(
)
2
1 ∂ r Vr
1 ∂ ( sin θVθ )
1 ∂Vϕ
+
+
r sin θ
r sin θ ∂ϕ
∂θ
r 2 ∂r
1 ∂ ( rVr ) 1 ∂Vϕ ∂Vz
+
+
r ∂r
r ∂ϕ
∂z
r
rot V =
 1 ∂ rVϕ
 1 ∂V z ∂Vϕ 
∂V 
 ∂Vr ∂V z 
− r  z$
−
−

 r$ + 
 ϕ$ + 
∂ϕ 
∂z 
∂r 
 ∂z
 r ∂ϕ
 r ∂ r

∇ f =
2
=
Rev. 1.1
Coordinate sferiche: ( r, θ , ϕ )
r
div V =
=
APP 2.8
=
( )
(
)
∂V 
1  ∂ sin θVϕ
1  ∂ ( rVθ ) ∂Vr 
1

− θ r$ + 
−
ϕ$ +
r sin θ 
r  ∂r
r sin θ
∂θ
∂ϕ 
∂θ 


(
 ∂V
∂ r sin θVϕ
 r −
∂r
 ∂ϕ
∂2 f 1∂ f
1 ∂2 f ∂2 f
+
+
+
∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ϕ 2 ∂ z 2
∂f
1 ∂  2∂f
1 ∂ 
1 ∂2 f 
sin
r
+
+
θ



 

∂θ  sin θ ∂ϕ 2 
r 2 ∂ r  ∂ r  r 2 sin θ  ∂θ 
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) θ$

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Fisica II
Formule utili
Alcune uguaglianze e teoremi
APP 2.9
Rev. 1.1
r
r
div rot V = ∇ ⋅ ∇ × V = 0
rot grad f = ∇ × ∇f = 0
r
r
r
r
r
r
div( f V) = ∇ ⋅ ( f V) = (∇f ) ⋅ V + f (∇ ⋅ V) = (grad f ) ⋅ V + f (div V)
r
r
r
r
r
r
rot rot V = ∇ × ∇ × V = ∇(∇ ⋅ V) − ∇ 2 V = grad( div V) − ∇ 2 V
grad( f g) = ∇( f g) = (∇f )g + f (∇g) = (grad f )g + f (grad g)
r
r
r
r
r
r
rot( fV) = ∇ × ( fV) = (∇f ) × V + f (∇ × V) = (grad f ) × V + f rot( V)
r
r
r
r r
r r
r
r
r
r
r
div( V × U) = ∇ ⋅ ( V × U ) = U ⋅ (∇ × V) − V ⋅ (∇ × U ) = U ⋅ ( rot V ) − V ⋅ ( rot U)
r r
r r
r
r
r
r
r r
r r
rot( V × U) = ∇ × ( V × U) = ( U ⋅ ∇) V − ( V ⋅ ∇) U + (∇ ⋅ U ) V − (∇ ⋅ V) U
r
r
∫∫ rot V ⋅ n$ d s = ∫ V ⋅ t$ d l
(Teorema di Stokes o del ROTORE)
γ = ∂[ Σ ]
Σ
r
r
∫∫∫ div V d τ = ∫∫ V ⋅ n$ d s
V
(Teorema di Gauss - Ostrogradskij o della DIVERGENZA)
Σ = ∂ [V ]
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FISICA GENERALE II
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F.Bloisi
Fisica II