TFA A059
Didattica della Matematica 2
30 Marzo 2015
Alcune cose che si possono imparare
contando
Ivan D'Annibale
Sommario
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A mo' di giustificazione
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Rigidità
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La forma degli alcani
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Il mistero della corona
A mo' di giustificazione
●
Parlerò di cose che non conosco.
●
Contare: dove inizia (e, per molti, finisce) la matematica.
●
●
Si possono fare affermazioni interessanti utilizzando
matematica “elementare”.
“Ma non ti annoi a spiegare sempre le stesse cose?”
I nostri (?) studenti e le cose che scopriranno da grandi.
Da una ricerca su Google Immagini con la chiave “Emma Castelnuovo”
Rigidità
●
●
Il triangolo è rigido, il quadrato no.
Perché?
E la figura qui sotto? Possiamo deformarla?
(Nel piano e senza barare.)
●
E questa?
●
Un altro esempio
●
Possiamo immaginare figure arbitrariamente complicate.
●
Vorremmo dire se sono rigide senza costruirle e provare.
●
Contiamo!
S = # snodi
B = # barrette
Gradi di libertà. Ogni snodo può essere posizionato
arbitrariamente nel piano → 2 coordinate. Ogni barretta
introduce un vincolo (distanza fissata).
Gradi di libertà (bis)
2S – B
●
●
Ogni figura ha almeno 3 gradi di libertà: può essere traslata (2
numeri) e ruotata (1 numero).
Rigida se ha solo 3 gradi di libertà.
S
B
2S - B
Rigido/Non rigido
Triangolo
3
3
3
Rigido
Quadrato
4
4
4
Non rigido
5
7
3
Rigido
7
10
4
Non rigido
9
15
3
Rigido
●
2S – B > 3 → Non rigida ?
●
2S – B ≤ 3 → Rigida?
●
Sembrerebbe funzionare, ma...
...possiamo sempre aggiungere vincoli ridondanti.
S=6
B=9
2S – B = 3
La figura è chiaramente deformabile.
S' = 5
B' = 8
2S' – B' = 2 < 3
Non può essere il numero dei gradi di libertà. Una delle barrette
è ridondante.
E' già rigida.
Se ripetiamo il conto con una barretta in meno,
otteniamo la risposta giusta (2S – B = 4).
●
L'idea di contare i gradi di libertà (2S – B) per determinare la
rigidità di una struttura è stata di James Clerk Maxwell.
On Reciprocal Figures and Diagrams of Forces (1864)
A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (1869)
●
Per ogni struttura, abbiamo ottenuto la seguente ricetta:
1) Identifichiamo le sottostrutture che hanno vincoli (barrette)
ridondanti (B' > 2S' – 3);
2) Eliminiamo i vincoli (barrette) ridondanti;
3) Ripetiamo il conto di Maxwell.
●
La ricetta è un teorema.
(Gerard Laman, 1970)
Sia G un grafo avente esattamente n vertici e e = n – 3 spigoli.
Allora G è genericamente rigido nel piano se, e solo se, si ha
e' = 2n' – 3 per ogni sottografo di n' vertici e e' spigoli.
●
“genericamente”? Escludere configurazioni accidentali: snodi
allineati, barrette parallele, … che si risolvono perturbando
leggermente le lunghezze delle barrette, ad esempio.
Possiamo studiare la rigidità, contando snodi e barrette e
dimenticandoci delle lunghezze delle barrette e delle posizioni degli
snodi nel piano.
Ma l'analogo in 3 dimensioni (B > = < 3S – 6) non vale.
S=8
B = 18 = 3S – 6
Non ci sono vincoli ridondanti,
ma possiamo deformarla.
Il problema è ancora aperto. Uno dei “nostri” studenti?
(2) La forma degli alcani
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Cominciamo da una molecola di metano
E contiamo gli atomi di ciascun tipo. 1 atomo di carbonio (nero).
4 atomi di idrogeno (bianco).
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●
Ovviamente non è un caso. Contiamo le colonne nella tavola
periodica.
Se sappiamo che una molecola deve essere formata soltanto
da atomi di carbonio e di idrogeno, possiamo dire dove questi si
trovano (possiamo dimenticare le etichette). Contiamo i legami.
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●
●
Possiamo escludere che una molecola sia formata soltanto da
carbonio e idrogeno. Contiamo i legami.
Valenza, grado
Contiamo ancora i legami. Somma dei gradi = 12, 10. Numero
dei legami = 6, 5
La somma dei gradi dei vertici di un grafo è uguale al doppio del
numero degli spigoli.
Il numero di vertici di un grafo che hanno grado dispari è pari.
Botanica dei grafi
●
●
Alcuni grafi (connessi) hanno
soltanto un cammino che
congiunge una qualsiasi
coppia di vertici fissata.
In altri, i cammini possono
essere più d'uno. Ciò
equivale a possedere un
cammino chiuso.
Chiamiamo alberi i grafi del primo tipo.
●
Un albero con n vertici possiede n – 1 spigoli.
(per induzione, eliminando un vertice e uno spigolo)
●
Una foglia è un vertice di grado 1. Un albero possiede (almeno
due) foglie.
(preso un cammino di lunghezza massima, gli estremi sono foglie.)
●
Un grafo (connesso) che possiede n vertici e n – 1 spigoli è un
albero.
(per induzione, come sopra. Possiamo eliminare una foglia e il gambo
associato. Ipotesi induttiva. Aggiungendo foglia e gambo eliminati, non
possiamo ottenere un ciclo.)
La forma degli alcani (quasi)
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Cosa diavolo è un alcano?
Un composto di carbonio e idrogeno (un idrocarburo) in cui la
proporzione carbonio/idrogeno è fissata.
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●
Formula grezza: CnH2n + 2
Ovviamente non è solo questione di composizione, ma anche di
struttura (isomeri)
I due isomeri di C4H10
n
(#) isomeri
(CnH2n + 2)
1
(1) metano
2
(1) etano
3
(1) propano
4
(2) n-butano, isobutano
5
(3) pentano, isopentano, neopentano
6
(5) esano, 2-metilpentano, 3-metilpentano,
2,2-dimetilbutano, 2,3-dimetilbutano
...
12
(355)
32
(27'711'253'769)
60
(22'158'734'535'770'411'074'184)
●
●
Che cosa sappiamo dire della struttura di tutti questi composti?
Contiamo!
Un alcano CnH2n + 2 ha un numero totale di atomi uguale a
n (carbonio) +
2n + 2 (idrogeno)
Un grafo che rappresenta la molecola ha
●
3n + 2 vertici.
Il carbonio ha valenza (grado) 4, l'idrogeno ha valenza (grado)
1. La somma dei gradi è
4n + 1(2n+2) = 4n + 2n +2 = 2(3n+1),
che è il doppio del numero dei legami.
Perciò il grafo possiede
●
3n + 1 spigoli.
Il numero di spigoli è uguale al numero dei vertici meno uno.
La forma degli alcani (finalmente)
●
→ Ogni alcano è un albero.
La molecola di un alcano non contiene cicli (in particolare,
niente legami doppi, tripli...)
Lo stesso vale per ciascuno dei
22'158'734'535'770'411'074'184
isomeri di C60H122
Se conosciamo la struttura...
(Ancora) i due isomeri di C4H10
w = 10
w=9
●
●
… possiamo dimenticarci degli atomi di idrogeno (bianco) e
guardare solo lo scheletro di carbonio (nero).
Per ogni coppia di atomi di carbonio, calcoliamo la lunghezza
del cammino più breve tra i due (distanza). Prendiamo la
somma di tutte queste distanze (indice di Wiener, w).
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Proprietà che dipendono dalla struttura
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en.wikipedia sull'indice di Wiener
Relation to chemical properties [edit]
Wiener showed that the Wiener index number is closely
correlated with the boiling points of alkane molecules. [2] Later
work on quantitative structure–activity relationships showed that
it is also correlated with other quantities including the
parameters of its critical point, [10] the density, surface tension,
and viscosity of its liquid phase, [11] and the van der Waals
surface area of the molecule. [12]
(Harry Wiener, 1947)
w = 10
Punto di ebollizione: – 1 °C
w=9
Punto di ebollizione: – 13 °C
E allora?
Laghi/mari di idrocarburi (Kraken > Ligeia > Punga)
(Titano, visto da Cassini)
On September 3, 2014, NASA reported studies suggesting
methane rainfall on Titan may interact with a layer of icy
materials underground, called an "alkanofer," to produce ethane
and propane that may eventually feed into rivers and lakes.
●
Titan's methane cycle is viewed as an analogy to Earth's water
cycle, although at a much lower temperature. [– 179.5 °C]
●
●
Uno dei “nostri” studenti?
“People ask me if you could bring it to
Earth, and that's a dumb idea on
many levels. But what you might not
realize is that there simply wouldn't be
enough oxygen here to burn it all.”
– Randy Kirk, U.S. Geological Survey
(3) Il mistero della corona
●
Sappiamo già cosa fare. Ancora una volta, con sentimento...
●
contiamo... gli incroci!
Ad ogni incrocio, un tubo si trova davanti
all'altro.
Ciascun tubo è dotato di un verso di
percorrenza.
●
Fissiamo una convenzione.
Chiamiamo positivo un incrocio in cui il tubo che passa sopra
può essere allineato al tubo che passa sotto, facendolo ruotare
in senso antiorario.
Chiamiamo negativo un incrocio in cui lo stesso può essere
fatto con una rotazione in senso orario.
Con questa convenzione...
●
+
+
+
+
N+ = 4
N– = 2
–
–
●
Possiamo definire un numero medio di incroci, L = (N+ – N–) / 2
●
Nel nostro caso, L = 1
●
●
Se deformiamo i due tubi, o se li osserviamo da una posizione
diversa, i numeri N+ e N– cambiano, ma L rimane costante.
L'unico modo di cambiare L sarebbe di far passare un tubo
attraverso l'altro.
N.B. Niente è in scala!
Linee di campo
(alcune immagini classiche)
Osservazioni
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Le linee di campo sono linee “chiuse”.
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Le linee di campo hanno un verso.
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Le linee di campo si addensano vicino a poli. In generale, dove
il campo è più intenso.
Il Sole, più da vicino
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Il Sole è una palla di plasma in continuo movimento (gli
elettroni liberi sono in grado di condurre elettricità).
Correnti elettriche variabili producono campi magnetici
variabili. Il campo magnetico solare è complesso e
mutevole.
Le linee di campo magnetico del Sole si originano al suo
interno.
I punti in cui una linea di campo attraversa la superficie
vengono trascinati avanti e indietro dai movimenti del
plasma.
→ Il campo magnetico solare in prossimità della
superficie diventa intrecciato.
17.1 nm, extreme UV
(Solar Dynamics Observatory)
Due osservazioni
1) La fotosfera (“superficie del Sole”) e la corona
(“l'atmosfera del Sole”) hanno temperature assai
differenti.
en.wikipedia, “Sun”
Temperature Center (modeled): 1.57×10^7 K
Photosphere (effective): 5,778 K
Corona: ≈ 5×10^6 K
2) Il campo magnetico solare non si trova nel suo stato di
energia minima.
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L'esatto meccanismo del riscaldamento della corona è
ancora dibattuto. Le due cose sembrano collegate.
Ma perché il campo magnetico solare non “rilassa”
verso l'equilibrio?
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Come dovrebbero evolvere le linee di campo?
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In un fluido conduttore perfetto
(Hannes Alfvén, 1943)
●
●
Le linee di campo si muovono col fluido. Sono “congelate” nel
fluido.
Se due elementi di plasma sono connessi da una linea di
campo ad un certo istante, devono continuare ad essere
collegati a ogni tempo successivo...
...anche quando i movimenti del plasma distorcono e
aggrovigliano le linee.
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Come dovrebbero evolvere le linee di campo? (2)
Consideriamo un insieme di linee di campo che passano per
una linea chiusa, un tubo di flusso.
Le linee di campo vorrebbero allontanarsi (memo: linee dense
→ maggiore energia), ma...
E, per il teorema di flusso congelato, le linee non possono
spezzarsi!
In particolare, il numero di linking L, per ogni coppia di tubi di
flusso, è costante. C'è un'intera famiglia di invarianti che si
oppone al rilassamento del campo.
Ma le cose non sono così semplici
●
●
Il plasma non è un conduttore perfetto (no flusso congelato).
Le linee di campo possono spezzarsi e riconnettersi. I numeri di
linking non sono costanti.
(la violazione dell'ipotesi avviene, in pratica, solo localmente.
Ma ciò è sufficiente.)
●
Allora che cosa impedisce che il campo raggiunga lo stato di
energia minima?
●
Magari funziona soltanto “in media”...
●
Il caso di tre tubi di flusso
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Definiamo
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Per un conduttore perfetto, H è chiaramente costante.
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H = (2L12 F1 F2 + 2L13 F1 F3 + 2L23 F2 F3) / 3
Quando la resistività è non nulla, H è “quasi conservato”.
Si può dare una limitazione di |dH/dt|.
Il cambiamento di H è abbastanza lento da consentire ai
movimenti del plasma di intrecciare di nuovo le linee di campo.
Uno dei “nostri” studenti?
Grazie per l'attenzione!
Bibliografia
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"Rigidité et percolation", Julien Barré
- http://images.math.cnrs.fr/Rigidite-et-percolation.html
Clerk Maxwell, J. (1864), On reciprocal figures and diagrams of forces. Philosophical
Magazine (4th Series), Vol. 27, pp. 250–261.
Laman, G. "On Graphs and Rigidity of Plane Skeletal Structures." J. Engineering
Math. 4, 331-340, 1970.
"Mathematics and Chemistry", Joseph Malkevitch
- http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2014-09
Wiener, H. (1947), "Structural determination of paraffin boiling points", Journal of the
American Chemical Society 1 (69): 17–20
Topology in Chemistry: Discrete Mathematics of Molecules, D.H. Rouvray, R.B. King,
eds., Horwood Publishing (2002)
"Magnetic Tangles", Anthony Yeates - https://plus.maths.org/content/magnetic-tangles
“Magnetic Field Topology”, Anthony Yeates -http://www.maths.dur.ac.uk/~bmjg46/arytopology-sem2013.pdf
Immagini e riconoscimenti
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Le immagini alle pagine 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14 provengono da:
http://images.math.cnrs.fr/Rigidite-et-percolation.html
Le immagini alle pagine 15, 16 (tavola periodica), 20, 23, 24 provengono da:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Methane-CRC-MW-3D-balls.png
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Periodic_Table_overview_(wide).svg
http://perso.numericable.fr/vincent.hedberg/organic/alkanes_formulas.jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Butane_3D_ball.png
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Isobutane-3D-balls.png
Le immagini alle pagine 27, 28, 36 provengono da:
http://www.ciclops.org/view/7768/Lakes-Through-the-Haze?js=1
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:PIA17655_crop_Titan_north_polar_seas_and_lakes.jpg
http://sdo.gsfc.nasa.gov/
Le immagini alle pagine 29, 30, 31, 32, 40, 42 provengono da:
https://plus.maths.org/content/magnetic-tangles
Lo screen-shot di pagina 43 proviene da:
https://royalsociety.org/events/2014/coronal-heating/
L'immagine di pagina 44 proviene da:
https://www.flickr.com/photos/94778197@N03/8631936157
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