Campi elettromagnetici in
ingegneria delle
telecomunicazioni
8 giugno 2017
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Capitolo 1. Capitoli
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Capitolo 1
Capitoli
1.1 Dualità nelle equazioni di Maxwell
Date le equazioni di Maxwell nella seguente formulazione:
⃗
⃗ = − ∂B
∇×E
∂t
⃗
⃗ = J⃗ + ∂ D
∇×H
∂t
⃗ =0
∇·B
⃗ =ρ
∇·D
possiamo constatare che tra esse vi sia una sorta di parallelismo, che possiamo
irrobustire aggiungendo due termini
• densità di corrente magnetica Jm
• densità volumetrica di carica magnetica ρm
ottenendo:
⃗
⃗ = − ∂ B − J⃗m
∇×E
∂t
⃗
⃗ = J⃗ + ∂ D
∇×H
∂t
⃗
∇ · B = 0 = ρm
⃗ =ρ
∇·D
Questa operazione, apparentemente astratta, tornerà utile nella pratica di risoluzione di problemi elettromagnetici. Infatti in natura non esistono queste due
grandezze e pertanto alla fine le si porrà uguali a zero.
Possiamo così formulare il cosiddetto Principio di Dualità:
Definizione (Principio di Dualità):
Nel momento in cui vale una relazione che lega grandezze elettriche e magnetiche
Capitolo 1. Capitoli
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(ad esempio la soluzione di un problema elettromagnetico) allora vale anche la
relazione duale.
Per ottenere la relazione duale si adoperano le seguenti sostituzioni da grandezze
elettriche a magnetiche:
⃗ →H
⃗
E
⃗ →B
⃗
D
J⃗ → J⃗m
ρ → ρm
e viceversa da magnetiche a elettriche:
⃗ → −E
⃗
H
⃗ → −D
⃗
B
J⃗m → −J⃗
ρm → −ρ
Ciò lo si può verificare sulle stesse equazioni di Maxwell: infatti, apportando tali
sostituzioni ad una qualsiasi di esse, si ottiene un’altra delle equazioni di Maxwell.
1.2 Relazioni costitutive del mezzo
Le cosiddette relazioni costitutive del mezzo sono delle relazioni che descrivono la proprietà di un materiale dielettricamente e magneticamente sensibile di
rispondere al campo elettromagnetico in cui esso è immerso.
⃗ , sia esso statico o dinamico,
Un dielettrico immerso in un campo elettrico E
⃗
risponde a tale stimolo con un campo D che chiamiamo di induzione elettrica.
Nel vuoto tale fenomeno si riassume nella seguente relazione costitutiva:
⃗ = ε0 E
⃗
D
Analogamente dal punto di vista magnetico, nel vuoto vale la seguente relazione:
⃗ = µ0 H
⃗
B
Possiamo aggiungere a queste due relazioni costitutiva una terza, che è la legge
di Ohm locale, che però nel vuoto equivale a dire che la J⃗ legata ad un campo
⃗ è nulla poiché nel vuoto è nulla la conducibilità σ :
elettrico non nullo E
⃗
J⃗ = σ E
Prima di estendere tali relazioni dal vuoto a mezzi fisici, introduciamo una serie
di proprietà costitutive dei mezzi:
Capitolo 1. Capitoli
Definizione (Mezzo lineare):
mezzo per il quale l’effetto complessivo prodotto da più cause è pari alla somma
del singolo effetto prodotto da ciascuna causa.
⃗ =E
⃗1 + E
⃗ 2 ha come effetto D
⃗ =D
⃗1 + D
⃗ 2 dove E
⃗ 1 causa D
⃗1 e
Ad esempio: se E
⃗
⃗
E2 causa D2 allora il mezzo è lineare.
In generale sono lineari quei mezzi per i quali vale il principio di sovrapposizione
degli effetti.
Definizione (mezzo omogeneo):
mezzo nel quale le proprietà costitutive (dielettriche, magnetiche e di conducibilità) non sono funzioni di punto, ossia si comporta allo stesso modo in tutti i
punti di osservazione al suo interno.
Definizione (mezzo isotropo):
mezzo nel quale i vettori causa ed effetto sono paralleli tra loro. Ossia non esistono
direzioni privilegiate rispetto alla risposta del sistema in funzione dell’applicazione di una causa.
Definizione (mezzo stazionario):
mezzo nel quale le caratteristiche costitutive non variano nel tempo.
Definizione (mezzo non dispersivo nel tempo):
mezzo per il quale l’effetto di una certa causa dipende solo dal comportamento
della causa nell’istante di osservazione dell’effetto e non in istanti precedenti.
Definizione (mezzo non dispersivo nello spazio):
mezzo per il quale l’effetto osservato in un punto dipende solo dalla causa applicata in quel punto.
1.3 Condizioni al contorno
Quando abbiamo a che fare con problemi di tipo differenziale, così come ci serve
stabilire le condizioni iniziali se operiamo nel dominio del tempo, così ci serve
stabilire le condizioni al contorno, ossia come si comportano le grandezze incognite
del problema sul contorno del domino di osservazione, sia se operiamo nel dominio
nel tempo sia se operiamo in quello della frequenza.
Come si sceglie il contorno in un problema? Nella maggior parte dei casi o sono
superfici fisiche con particolari proprietà o sono dei punti in cui un volume con
determinate proprietà finisce e ne inizia un altro con proprietà differenti. Per cui
alla fine è sicuramente importante capire quali sono le relazioni che valgono in
prossimità di una superficie che separa due mezzi con proprietà differenti.
Cerchiamo quindi di capire come i campi elettrici e magnetici, passando da un
mezzo all’altro, sono legati fra di loro. Operiamo con le seguenti condizioni geometricamente favorevoli: un cilindro immaginario di volume τ delimitato dalle
superfici S1 e S2 poste ciascuna in uno dei due dielettrici e dalla superficie laterale S3 . Chiamiamo h l’altezza del cilindro e Sc la proiezione di S1 (o S2 ) sulla
superficie che delimita i dielettrici, che è supposta essere piana per semplicità ma
la trattazione può essere estesa a casi di superfici non piane.
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Capitolo 1. Capitoli
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1. partiamo dalla seguente equazione di Maxwell:
⃗ =ρ
∇·D
2. applichiamo a primo e secondo membro l’operatore integrale calcolato sul
volume τ
Capitolo 2. Fonti per testo e immagini; autori; licenze
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Capitolo 2
Fonti per testo e immagini;
autori; licenze
2.1 Testo
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elettromagnetici_in_ingegneria_delle_telecomunicazioni/Capitoli/Dualit%C3%A0_nelle_
equazioni_di_Maxwell?oldid=28178 Contributori: Irene, Alessandro Longo, WikiToBot e
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• Corso:Campi elettromagnetici in ingegneria delle telecomunicazioni/Capitoli/Relazioni costitutive del mezzo Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3ACampi_
elettromagnetici_in_ingegneria_delle_telecomunicazioni/Capitoli/Relazioni_costitutive_
del_mezzo?oldid=28180 Contributori: Irene, Alessandro Longo, WikiToBot e Move page
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• Corso:Campi elettromagnetici in ingegneria delle telecomunicazioni/Capitoli/Condizioni al contorno Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3ACampi_elettromagnetici_
in_ingegneria_delle_telecomunicazioni/Capitoli/Condizioni_al_contorno?oldid=28176 Contributori: Irene, Alessandro Longo, Dan, WikiToBot e Move page script
2.2 Immagini
2.3 Licenza dell’opera
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