Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni

Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 24/6/2002
Esercizio 1.
Sono assegnati in R3 i vettori v1 = (1, 2, 0), v2 = (−1, 0, 1) e il sottospazio
V = L(v1 , v2 ). Sia f : V → R3 l’applicazione lineare definita da:
f (v1 ) = (1 − 2h, h − 1, h), f (v2 ) = (h + 1, −1, −h) , h ∈ R.
1. Studia f al variare di h.
2. Esistono valori di h per cui f induce un endomorfismo di V ?
3. Posto h = 1,
a) determina f −1 (1, −1, 0) e f −1 (0, 1, 1);
b) definisci una estensione g di f a R3 tale che zero sia un autovalore per g.
Esercizio 2.
Sia S il seguente sottospazio di R[x]3 :
S = L(3x3 + 2x, 4x3 + x2 + 2x + 1, x3 + x2 + 1).
1. Determina la dimensione e una base di S.
2. Trova un sottospazio T di R[x]3 tale che
S + T = S ⊕ T = R[x]3 .
Esercizio 3.
Sia A una matrice quadrata su R di ordine e rango n. Discuti il sistema
λAX = B
al variare di λ ∈ R e B ∈ Rn,1 .
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 15/7/2002
Esercizio 1.
Sia V uno spazio vettoriale su R e sia [v1 , v2 , v3 ] una sua base.
1. Studia al variare di h ∈ R l’endomorfismo di V definito da:
f (v1 ) = (1 + h)v1 , f (v2 ) = 2v1 − v2 , f (v3 ) = 2v1 − (1 + h)v3 .
2. Posto h = 0, prova che l’ endomorfismo f è semplice e trova una base di autovettori.
3. Trova i valori di h per cui f non è semplice.
Esercizio 2.
Sia W il sottospazio di R4 generato dai vettori
w1 = (1, 2, k, 1), w2 = (k, 1, 1, 1), w3 = (k, 1, 2, 1), k ∈ R.
Per ogni valore di k
a) trova dimW ;
b) prova che e3 = (0, 0, 1, 0) ∈ W e trova le sue componenti rispetto ad una base di
W;
c) trova una base ed equazioni di un sottospazio T di R4 tale che dimT = 2 e
T + W = R4 .
Esercizio 3.
A è una matrice non nulla di tipo 3 × 4 e il sistema AX = B non ammette soluzioni.
Determina i valori che può assumere ρ(A) e i corrispondenti valori di ρ(A|B).
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 20/9/2002
Esercizio 1.
Date le matrici A, B ∈ Mn (R) prova che:
1) se A e B sono entrambe invertibili allora anche A · B è una matrice invertibile;
2)se almeno una delle due matrici A, B non è invertibile allora A · B non è invertibile.
Se A e B sono entrambe non invertibili è possibile che A + B sia invertibile?
Esercizio 2.
Verifica che l’insieme V = {p(x) ∈ R[x]2 : p(−1) = 0} è un sottospazio vettoriale di
R[x]2 . Trova una base di V .
Esercizio 3.
Nello spazio vettoriale R4 sono assegnati
w1 = (1, 0, 0, 0), w2 = (0, 2, 2, 2), w3 = (0, 1, 2, 2),
W = L(w1 , w2 , w3 ) .
1) Studia al variare del parametro reale h l’applicazione lineare f : W → R4 definita dalle
relazioni:
f (w1 ) = (1, 0, h, h),
f (w2 ) = (h − 1, 0, 2, 2),
f (w3 ) = (h, 1, 0, 0).
2)Prova che f induce per ogni valore di h un endomorfismo f 0 : W → W e scrivi una
matrice associata a f 0 .
3) Posto h = 2, prova che f 0 è un endomorfismo semplice.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 9/10/2002
Esercizio 1.
Sia d : M2 (R) → R l’applicazione definita da
d(A) = det A, ∀A ∈ M2 (R).
L’ applicazione f é
1) iniettiva?
2) suriettiva?
3) un’applicazione lineare fra R-spazi vettoriali?
Esercizio 2.
Nello spazio vettoriale R4 sono assegnati
v1 = (0, 1, 1, 1), v2 = (1, 0, 0, 0), v3 = (2, 2, 1, 1),
w1 = (1, 0, 1, 0), w2 = (1, 1, 2, 1), w3 = (h − 1, 2, 5, 2) ,
V = L(v1 , v2 , v3 ), W = L(w1 , w2 , w3 ) .
a) Determina basi ed equazioni di V, W, V + W, V ∩ W al variare di h ∈ R.
Posto h = 2
b) studia l’applicazione lineare f : V → W cosı́ definita:
F (xv1 + yv2 + zv3 ) = (−2x − y + kz)w1 + (2x + y)w2 + kzw3 , k ∈ R;
c) prova che g = f |V ∩W é un endomorfismo di V ∩ W e scrivi una matrice associata
a g;
d) prova che g é semplice e trova una base di autovettori per V ∩ W .
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 17/12/2002
Esercizio 1.
Verifica che l’insieme V = { p(x) ∈ R[x]3 : p(−1) = 0 , p(1) = 0} è un sottospazio
vettoriale di R[x]3 . Trova una base di V .
Esercizio 2.
Date le matrici A, B ∈ Mn (R) prova che:
1) se A è invertibile allora anche λA è una matrice invertibile per ogni λ ∈ R, λ 6= 0;
2) se almeno una delle due matrici A, B non è invertibile allora A · B non è invertibile.
Se A e B sono entrambe invertibili è possibile che A + B sia non invertibile?
Esercizio 3.
Nello spazio vettoriale R4 sono assegnati
w1 = (0, 0, 0, 1), w2 = (0, 0, 1, 0), w3 = (1, 1, 0, 0),
W = L(w1 , w2 , w3 ) .
1) Studia al variare del parametro reale h l’applicazione lineare f : W → R4 definita dalle
relazioni:
f (w1 ) = (h + 1, h + 1, 0, 1),
f (w2 ) = (2, 2, 0, h),
f (w3 ) = (0, 0, 1, h + 1).
2)Prova che f induce per ogni valore di h un endomorfismo f 0 : W → W e scrivi una
matrice associata a f 0 .
3) Posto h = 1, prova che f 0 è un endomorfismo semplice e trova una base di autovettori
per W .
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 7/2/2003
Esercizio 1.
Siano V e W due K-spazi vettoriali di basi, rispettivamente, A = {v1 , v2 , v3 } e
B = {w1 , w2 , w3 , w4 }. Sia h ∈ K e sia f : V → W l’applicazione lineare definita da
f (v1 ) = hw1 + 3w2 + w4
f (v2 ) = w1 + (h − 2)w2 + w3
f (v3 ) = (h + 1)w1 + 3w2 + w3 + (h − 1)w4 .
1.a) Studia f al variare di h ∈ K; in particolare trova basi per ker f e Imf .
1.b) Posto h = 2 e detto U = L(v1 , v2 ), trova un’applicazione lineare iniettiva g : V → W
tale che g|U = f |U .
Esercizio 2.
Sono dati i sottospazi di R4 :
V = L((2, 0, 0, 1), (2, 0, 0, 2), (2, 0, 0, 3)) , W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 2x − z = t = 0}.
2.a) Determina V ∩ W e V + W .
Sia f : R4 → R4 l’endomorfismo tale che V = ker f e W è autospazio associato
all’autovalore −1.
2.b) Prova che f è semplice.
2.c) Scrivi la matrice M associata a f rispetto alla base canonica di R4 .
2.d) Trova una matrice invertibile P tale che P −1 M P sia una matrice diagonale.
Esercizio 3.
Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di M2 (R):
V1 = {A ∈ M2 (R) : ρ(A) = 0}
V2 = {A ∈ M2 (R) : ρ(A) = 2}
V3 = {A ∈ M2 (R) : ρ(A) = ρ(2A)} .
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 24/2/2003
Esercizio 1.
Sono assegnati in R4 i vettori
v1 = (−1, 1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 0), v3 = (1, −1, 0, 1),
e i sottospazi vettoriali
V = L(v1 , v2 , v3 ) , W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − 2y = 0}.
Sia f : V → R4 l’applicazione lineare tale che:
f (v1 ) = (5 + k, 1, 3, 4), f (v2 ) = (0, 0, 0, 1), f (v3 ) = (−4, −1, −3, −2), k ∈ R.
a) Studia f al variare di k ∈ R, trovando basi ed equazioni di Kerf e di Imf .
b) Prova che per ogni k ∈ R si ha f −1 (vi ) = ∅, i = 1, 2, 3.
Posto k = −1
c) prova che g = f |V ∩W induce un endomorfismo di V ∩ W ;
d) scrivi una matrice associata a g e trova, se possibile, una base di V ∩ W formata da
autovettori.
Esercizio 2.
Sono assegnati A ∈ R3,4 , A 6= 0 e B ∈ R3,1 . Se il sistema AX = B non ha soluzioni,
quante soluzioni può avere il sistema AX = 0 ?
Esercizio 3.
Stabilisci quali dei seguenti insiemi sono sottospazi di R[x] :
V1 = Q
V2 = R
V3 = {f (x) ∈ R[x] : f (x) = a + bx4 }
V4 = {f (x) ∈ R[x] : f (x) = a + x4 }.
Esercizio 4.
Per quali h ∈ R esistono applicazioni lineari f : R4 → R4 tali che
f (1, 2, 0, 1) = (h, 3, −1, 5)
f (3, 2, 2, 3) = (3, h, 1, 1)
f (2, 2, 1, 2) = (2, 2, 0, h + 2)
f (1, 0, 0, 0) = (h, 0, 0, 0) ?
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Esame scritto di Algebra lineare dell’ 11/6/2003
Esercizio 1.
Sono assegnati in R3 i vettori
v1 = (0, 1, 2), v2 = (1, 0, 1),
e il sottospazio vettoriale V = L(v1 , v2 ) .
Sia f : V → R3 l’applicazione lineare tale che:
f (v1 ) = v2 , f (v2 ) = (3h, −h, 0) , h ∈ R.
a) Studia f al variare di h ∈ R, trovando basi ed equazioni di Kerf e di Imf .
b) Ci sono valori di h per cui f induce un isomorfismo su V ?
Esercizio 2.
Sia [u1 , u2 , u3 ] una base di uno spazio vettoriale U .
Dato l’endomorfismo g : U → U cosı́ definito
g(u1 + u2 + u3 ) = 2u1 , g(u1 + u2 ) = u1 , g(u1 ) = u2 + u3 ,
trova una base di V formata da autovettori.
Esercizio 3.
Assegnate le matrici A ∈ R3,2 , A 6= 0 e B ∈ R3,1 , il sistema AX = B ha una e una
sola soluzione.
a) Determina ρ(A), ρ(A|B).
b)Quante soluzioni ha il sistema t AX = 0 ?
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare dell’ 8/7/2003
Esercizio 1.
Sono assegnati in R[x]2 i vettori
v1 = x + 2x2 , v2 = 1 + x2 ,
e il sottospazio vettoriale V = L(v1 , v2 ) .
Sia f : V → R3 l’applicazione lineare tale che:
f (av1 + bv2 ) = (3ha + b, ha, b) , h ∈ R.
a) Studia f al variare di h ∈ R.
b)Determina una estensione g di f a R[x]2 che non sia suriettiva.
c) Scrivi la matrice di g rispetto alle basi standard di R[x]2 e di R3 .
Esercizio 2.
Dato l’endomorfismo l : R3 → R3 cosı́ definito
l(x, y, z) = (0, x + y, x + y + kz) , k ∈ R ,
trova i valori di k per cui l è un endomorfismo semplice.
Esercizio 3.
Prova che le matrici (ai,j ) ∈ M3 (R) tali che
a11 + a22 = 0 , a23 = a32 = a33 = 0
costituiscono un sottospazio vettoriale di M3 (R). Trovane la dimensione e una base.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 16/9/2003
Esercizio 1.
Sono assegnati in R3 i vettori v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1) e il sottospazio vettoriale
V = L(v1 , v2 ) .
1) Verifica che le relazioni
f (v1 ) = (2, 3, 1) , f (v2 ) = (1, 3, 2)
definiscono un endomorfismo su V e studialo.
2) Scrivi una matrice associata a f .
3) Determina f −1 (v1 + v2 ).
Sia g : R3 → V l’applicazione lineare tale che
g|V = f, g(0, 1, 0) = kv1 + v2 , k ∈ R.
4) Studia l’applicazione lineare g.
5) Per ognuna delle seguenti condizioni determina, se esistono, quei valori di k per i
quali la condizione è soddisfatta:
a. 3v1 − v2 − (0, 1, 0) ∈ ker g
b. (1, −1, 1) ∈ ker g
c. (1, 1, −3) ∈ ker g.
Esercizio 2.
Sia [u1 , u2 ] una base di uno spazio vettoriale U .
Dato l’endomorfismo q : U → U cosı́ definito
g(u1 )= (h − 1)u1 + hu2 , g(u2 ) = 2hu2 , h ∈ R,
determina autovalori e una base degli autospazi di q al variare di h ∈ R.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 6/10/2003
Esercizio 1.
1.a) Studia l’endomorfismo f di R4 cosı́ definito:
f (x, y, z, t) = (hx, y − z, −y + z, 2y + z + 2t)
al variare di h ∈ R.
1.b) Per ogni h ∈ R determina f −1 (0, 1, −1, 0).
Esercizio 2.
Sia B = [v1 , v2 ] una base dell’ R-spazio vettoriale V .
Sia g l’endomorfismo di V definito da
g(v1 ) = 2v1 + v2
g(v2 ) = v1 + 2v2 .
2.a) Prova che g è semplice.
2.b) Trova una matrice invertibile P tale che P −1 MgB P sia una matrice diagonale.
Esercizio 3.
Sia AX = 0 un sistema lineare omogeneo, con A matrice di tipo 3 × 2 , che ammette
solo la soluzione banale.
Quante soluzioni ha il sistema AX = B al variare della matrice B di tipo 3 × 1 ?
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 17/12/2003
Esercizio 1.
Sia W il sottospazio di R4 generato dai vettori
w1 = (k, 1, 1, 2), w2 = (1, 1, k, 1), w3 = (2, 1, k, 1), k ∈ R.
Per ogni valore di k
a) trova dimW ;
b) prova che e1 = (1, 0, 0, 0) ∈ W e trova le sue componenti rispetto ad una base di
W;
c) trova una base ed equazioni di un sottospazio T di R4 tale che
T + W = T ⊕ W = R4 .
Esercizio 2.
Sia V uno spazio vettoriale su R e sia [v1 , v2 , v3 ] una sua base.
1. Studia al variare di h ∈ R l’endomorfismo di V definito da:
f (v1 ) = (h − 1)v1 , f (v2 ) = 2v1 − v2 , f (v3 ) = 2v1 + (1 − h)v3 .
2. Posto h = 2, prova che l’ endomorfismo f è semplice e trova una base di autovettori.
3. Trova i valori di h per cui f non è semplice.
Esercizio 3.
A è una matrice non nulla di tipo 4 × 4 e il sistema AX = B non ammette soluzioni.
Determina i valori che può assumere ρ(A) e i corrispondenti valori di ρ(A|B).
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 9/2/2004
Esercizio 1.
Sia A una matrice di Mn (R). Prova che
S = {X ∈ Mn (R) : XA = AX}
è un sottospazio vettoriale di Mn (R).
Esercizio 2.
È assegnata l’applicazione lineare f : R[x]3 → R3 tale che
f (1) = (0, k, 0) , f (x) = (k − 1, 0, −1) , f (x2 ) = (1, −2, k − 3) , f (x3 ) = (k, 0, −2) .
a) Studia f per i valori di k ∈ R per cui non è suriettiva.
b) Esistono k ∈ R per cui f −1 (1, 2, 3) = ∅ ?
c) Posto V = L(x, x2 ), prova che f|V è iniettiva per ogni k ∈ R.
Esercizio 3.
Sono assegnati gli endomorfismi g e h di R2 tali che
g(x, y) = (x + 2y, 3y) , h(x, y) = (x − 2y, x − y) .
Prova che l’endomorfismo g + h non è semplice.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 23/2/2004
Esercizio 1.
µ
È assegnata la matrice A =
1 1
0 0
¶
∈ M2 (R). Prova che
S = {X ∈ M2 (R) : XA = AX}
è un sottospazio vettoriale di M2 (R).
Trova una base di S.
Esercizio 2.
È assegnata l’applicazione lineare f : R3 → R[x]3 tale che
f (1, 0, 0) = 2x + (k + 1)x2 + x3 , f (0, 1, 0) = 1 + kx + 2x3 , f (0, 0, 1) = k + x + 2x3 .
a) Studia f per i valori di k ∈ R per cui non è iniettiva.
b) Posto V = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x + y}, prova che g = f|V è iniettiva per ogni
k ∈ R.
c) Trova una estensione di g a R3 che sia iniettiva per ogni k ∈ R.
Esercizio 3.
Sia h l’endomorfismo di R2 tale che
h(1, 1) = (3, k) , h(0, 1) = (1, k) .
Esistono k ∈ R per cui h non è semplice?
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 14/6/2004
Esercizio 1.
Sono assegnate la matrice A ∈ R4,3 con ρ(A) = 2 e l’applicazione lineare
h : R3,1 → R4,1
tale che
h(X) = AX , ∀X ∈ R3,1 .
L’applicazione h è iniettiva?
Che dimensione ha Im h?
Esercizio 2.
Sono assegnati in R4 i vettori
v1 = (1, −1, 0, 0), v2 = (0, 0, 0, 1), v3 = (0, 0, 1, 0), v4 = (1, 0, 0, 1), v5 = (0, 1, 0, 0)
e i sottospazi vettoriali
V = L(v1 , v2 , v3 ) , W = L(v3 , v4 , v5 ).
Sia f : V → W l’applicazione lineare tale che:
f (v1 ) = kv4 − v5 , f (v2 ) = v5 + v3 , f (v3 ) = v4 + v3 , k ∈ R.
a) Studia f al variare di k ∈ R, trovando basi ed equazioni di Kerf e di Imf .
b) Per quali valori di k è iniettiva l’applicazione f|V ∩W ?
c) Ci sono valori di k per cui f|V ∩W induce un endomorfismo di V ∩ W ?
Esercizio 3.
Dato l’endomorfismo g di R3 cosı́ definito
g(x, y, z) = (x + dy, 3y + (d − 1)z, 3z) ,
determina i numeri d ∈ R tali che g sia semplice.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 6/7/2004
Esercizio 1.
Sono assegnati in R4 i vettori
v1 = (2, 1, 3, 1) , v2 = (3, 2, 3, 1) , v3 = (1, 2, −3, −1)
e i sottospazi
S = {(a + b, a, 3b, b) ∈ R4 } , T = L(v1 , v2 , v3 ).
1.1) Prova che S e T coincidono.
1.2) Prova che esiste una e una sola applicazione lineare h : T → R tale che
h(v1 ) = 2 , h(v2 ) = 3 , h(v3 ) = 1.
1.3) Studia l’applicazione h.
Esercizio 2.
Assegnata la matrice
µ
A=
k
0
1
1
¶
,
k∈R,
sia g : M2 (R) → M2 (R) l’applicazione definita da g(X) = AX.
2.1) Prova che g è un’applicazione lineare.
2.2) Studia g al variare di k ∈ R.
2.3) Determina g −1 (A) al variare di k ∈ R.
2.4) Trova i valori di k per cui g è semplice.
2.5) Posto k = 2 trova una base di autovettori per M2 (R).
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 17/9/2004
Esercizio 1.
Prova che l’insieme
V = {A ∈ M2 (R) : A = − t A}
è un sottospazio vettoriale di M2 (R); trovane una base e determina un sottospazio W di
M2 (R) tale che
V + W = V ⊕ W = M2 (R).
Esercizio 2.
Sia f : R4 → R[x]3 l’applicazione cosı́ definita:
f (a, b, c, d) = (k − 1)a + kb + c + (kb + d)x + (a + c)x2 + dx3 .
a) Studia f al variare di k ∈ R.
b) Determina i valori reali di k per cui f −1 (1) = ∅.
c) Posto
S = {(a, b, c, d) ∈ R4 : a − c = 0, b − 2d = 0}
prova che l’applicazione lineare g = f|S è iniettiva per ogni k ∈ R.
d) Trova una estensione di g a R4 che sia un isomorfismo per ogni k ∈ R.
Esercizio 3.
Definisci un endomorfismo semplice h di R3 tale che (2, 3, 1) sia un autovettore e che
i soli autovalori siano 1 e -1.
Scrivi la matrice di h rispetto alla base canonica di R3 .
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare dell’ 8/10/2004
Esercizio 1.
È assegnata l’applicazione lineare f : M2 (R) → R3 cosı̀ definita
¶
µ
x y
∈ M2 (R) .
f (A) = (2x + 2z, x + z, y + z) , ∀A =
z t
a) Trova un sottospazio V di M2 (R) e un sottospazio W di R3 tali che
V + ker f = V ⊕ ker f = M2 (R) ,
W + Imf = W ⊕ Imf = R3 .
b) Prova che f|V è iniettiva .
c) Determina f −1 (W ) = {v ∈ M2 (R) : f (v) ∈ W }.
Esercizio 2.
Sia g l’endomorfismo di R4 tale che
g(x, y, z, t) = ( (k − 1)x + ky + z, ky + t, x + z, t).
1) Studia g al variare di k ∈ R.
2) Posto k = 0 determina il più piccolo sottospazio di R4 contenente g −1 (1, 0, 1, 0).
3) Per ogni k ∈ R
- prova che 1 è un autovalore per g;
- trova la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di 1;
- determina equazioni e una base dell’autospazio associato a 1.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 16/12/2004
Esercizio 1.
Prova che l’insieme
V = {A ∈ Mn (R) : A = − t A}
è un sottospazio vettoriale di Mn (R).
Posto n = 3 trova la dimensione di V e una sua base.
Esercizio 2.
Sia f : R4 → R4 l’endomorfismo cosı́ definito:
f (x, y, z, t) = ((k − 1)x + ky + z, ky + t, x + z, t).
a) Studia f al variare di k ∈ R.
b) Determina i valori reali di k per cui f −1 (1, 0, 0, 0) = ∅.
c) Posto
S = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − z = 0, y − 2t = 0}
prova che l’applicazione lineare g = f|S è iniettiva per ogni k ∈ R.
d) Trova una estensione di g a R4 che sia un isomorfismo per ogni k ∈ R.
e) Prova che per ogni reale k, 1 è un autovalore per f . Trova come variano le molteplicità
algebrica e geometrica di 1 al variare di k ∈ R.
Esercizio 3.
Definisci un endomorfismo semplice h di R3 tale che (2, 3, 1) sia un autovettore e che
i soli autovalori siano 1 e -1.
Scrivi la matrice di h rispetto alla base canonica di R3 .
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 10/2/2005
Esercizio 1.
Trova la dimensione e una base di ciascuno dei seguenti sottospazi di M3 (R):
V = {A ∈ M3 (R) : A = − t A} , W = {A ∈ M3 (R) : A = t A}.
Prova che
V + W = V ⊕ W = M3 (R).
Esercizio 2.
Sia f : R4 → R4 l’endomorfismo definito da:
f (1, 0, 0, 0) = (k − 1, 0, 1, 0),
f (1, 1, 0, 0) = (2k − 1, k, 1, 0),
f (1, 1, 1, 0) = (2k, k, 2, 0),
f (0, 0, 0, 1) = (0, 1, 0, 1).
a) Studia f al variare di k ∈ R.
b) Determina i valori reali di k per cui f −1 (1, 0, 0, 0) = ∅.
c) Posto
S = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − z = 0, y − 2t = 0}
prova che l’applicazione lineare g = f|S è iniettiva per ogni k ∈ R.
d) Prova che per ogni reale k, 1 è un autovalore per f . Trova come variano le molteplicità
algebrica e geometrica di 1 al variare di k ∈ R.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 25/2/2005
Esercizio 1.
Sia A ∈ R5,4 una matrice non nulla i cui minori di ordine 3 sono tutti nulli.
a) Che valori può assumere ρ(A) ?
b) Quante soluzioni ha il sistema AX = 0 ?
c) Prova che l’applicazione lineare f : R4,1 → R5,1 tale che
f (X) = AX , ∀X ∈ R4,1
non è iniettiva.
d) Se B ∈ R5,1 , B 6∈ Imf , che valori assume ρ(A|B) al variare di ρ(A) ?
Esercizio 2.
1. Studia l’applicazione lineare g : R[x]3 → R3 cosı́ definita
g(a + bx + cx2 + dx3 ) = (2a + 2c , a + c , b + c).
2. Trova un sottospazio vettoriale W di R[x]3 tale che
W + ker g = W ⊕ ker g = R[x]3
e prova che g|W è iniettiva.
3. Sia S un sottospazio di dimensione 3 di R[x]3 .
- Che dimensione può avere S ∩ ker g ?
- Prova che l’applicazione g|S non è iniettiva.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 13/6/2005
Esercizio 1.
µ
¶
2 1
Sono assegnati la matrice A =
e i sottospazi vettoriali
1 0
S = {X ∈ M2 (R) : X = t X} , T = {X ∈ M2 (R) : X = − t X}.
Sia inoltre f : M2 (R) → M2 (R) l’applicazione tale che
f (X) = AX − XA , ∀X ∈ M2 (R).
1) Prova che f è un’applicazione lineare. Trova una base di Imf e una base di Kerf .
2) Determina un sottospazio V ⊂ M2 (R) tale che
V + Kerf = V ⊕ Kerf = M2 (R)
e prova che l’applicazione f|V è iniettiva.
3) Trova, se possibile, un sottospazio W di M2 (R) con dim W = 3 tale che l’applicazione
f|W sia iniettiva.
4) Calcola dim S e dim T.
5) Prova che f|S induce un’applicazione lineare g : S → T . Determina Kerg e Img.
Esercizio 2.
È assegnato l’endomorfismo h di R3 tale che
e1 ∈ Kerh , h(e2 ) = e1 , h(e3 ) = e1 + ke3 , k ∈ R.
Esistono valori di k per i quali h è un endomorfismo semplice ?
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 6/7/2005
Esercizio 1.
µ
¶
1 2
Sono assegnati la matrice A =
e i sottospazi vettoriali
2 0
S = {X ∈ M2 (R) : X = t X} , T = {X ∈ M2 (R) : X = − t X}.
Sia inoltre f : M2 (R) → M2 (R) l’applicazione tale che
f (X) = AX − XA , ∀X ∈ M2 (R).
1) Prova che f è un’applicazione lineare. Trova una base di Imf e una base B di Kerf .
2) Se possibile, completa B ad una base di S.
3) Prova che per ogni sottospazio V ⊂ M2 (R) tale che
V + S = V ⊕ S = M2 (R)
l’applicazione f|V è iniettiva.
4) Prova che f|S induce un’applicazione lineare g : S → T . Determina Kerg e Img.
Esercizio 2.
Sono assegnati lo spazio vettoriale W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x = z , y = t} e
l’endomorfismo φ : W → W tale che
φ(0, 1, 0, 1) = (1, 1, 1, 1) , φ(1, 0, 1, 0) = (−1, 3, −1, 3).
Prova che φ è semplice e trova una base di W formata da autovettori.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 19/9/2005
Esercizio 1.
Determina h, k ∈ R in modo che la matrice

h+3
2h

h
k+1
A=
h+1
0

k
0 
k+2
sia simmetrica. Per tali valori sia f : R3 → R3 l’endomorfismo tale che Mf = A.
1) Prova che f è invertibile e trova Mf −1 .
2) Calcola f −1 (1, 0, 0), f −1 (1, 1, 1).
3) Prova che f è semplice e trova una base di R3 formata da autovettori.
Esercizio 2.
Sono assegnati i seguenti polinomi di R[x]3 :
v1 = x3 , v2 = 1 − x , v3 = x − x2 , v4 = 2 − x − x2 .
Sia g : R4 → R[x]3 l’applicazione lineare tale che g(ei ) = vi , i = 1, 2, 3, 4.
a) Studia l’applicazione lineare g.
b) Trova in R4 un sottospazio U di dimensione 3 in modo che g ∗ = f|U sia un’applicazione
iniettiva.
c) Trova una estensione di g ∗ a R4 che sia un isomorfismo.
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 10/10/2005
Esercizio 1.
1.a) Studia l’endomorfismo f di R4 cosı́ definito:
f (x, y, z, t) = (hx, y − z, −y + z, 2y + z + 2t)
al variare di h ∈ R.
1.b) Per ogni h ∈ R determina f −1 (0, 1, −1, 0).
1.c) Ci sono valori di h per cui f è semplice?
Esercizio 2.
Sia B = [v1 , v2 , v3 ] una base dell’ R-spazio vettoriale V .
Per ogni k ∈ R sia g l’endomorfismo di V definito da
g(v1 ) = 2v1 + v2 , g(v2 ) = v1 + 2v2 , g(v3 ) = kv3 .
2.a) Prova che A = [v1 − v2 , v1 + v2 , v3 ] è una base di V e trova MgA .
2.b) Per quali k ∈ R l’endomorfismo g è semplice?
Esercizio 3.
Sia AX = 0 un sistema lineare omogeneo, con A matrice non nulla di tipo 3 × 2 , che
ammette infinite soluzioni .
Prova che per ogni matrice B di tipo 3 × 1 si ha det(A|B) = 0.
Quante soluzioni ha il sistema AX = B ?
Corsi di laurea in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Esame scritto di Algebra lineare del 19/12/2005
Esercizio 1
Prova che
P = { p(x) = a + b + (a + b)x + (b + c)x2 + (a + b)x3 ∈ R[x]3 : a, b, c ∈ R }
è un sottospazio vettoriale di R[x]3 .
Trova una base B di P .
Completa B ad una base C di R[x]3 .
Trova le componenti di 1 + x3 rispetto alla base C.
Esercizio 2
Studia l’applicazione lineare f : R3 → R4 tale

1 1
−1
0

MfA,B = 
0 1
−1 0
che

2
1
 ,
3
1
essendo
A = [(1, 0, 0, ), (1, 1, 0), (1, 0, 1)] , B = [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)] .
Esercizio 3
In R4 sono assegnati i vettori
v1 = (1, −1, 0, 0) , v2 = (0, 0, 1, 0) , v3 = (0, 0, 0, 1) .
Sia V = L(v1 , v2 , v3 ).
1. Prova che per ogni k ∈ R l’applicazione lineare g : V → R4 definita da
g(v1 ) = (k, −k, 1, 0) , g(v2 ) = (0, 0, k, 0) , g(v3 ) = (0, 0, k, 1)
induce un endomorfismo g ∗ : V → V . Studia g ∗ al variare di k ∈ R.
2. Scrivi MgC∗ , matrice di g ∗ rispetto alla base C = [v1 , v2 , v3 ].
3. Posto k = 0 , trova gli autovalori di g ∗ e le loro molteplicità algebrica e geometrica e
decidi se g ∗ è semplice.