e dei tre lati siano

Anno accademico 1992-1993
1) Dato un triangolo 𝐴𝐵𝐶 tale che le lunghezze 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐶𝐴 dei tre lati siano
razionali, si dimostri che l’altezza dal vertice 𝐵 incontra la retta su cui giace il lato
𝐴𝐶 in un punto 𝐷 per il quale 𝐷𝐴 e 𝐷𝐶 sono razionali. Si dia un esempio di un
triangolo 𝐴𝐵𝐶, con i lati aventi lunghezze razionali, ma per il quale 𝐵𝐷 non sia
razionale. Si provi che, se l’angolo in 𝐵 è retto, anche 𝐵𝐷 è razionale.
Facendo riferimento alla figura riportata, si può scrivere che
𝐷𝐴 = 𝐴𝐵 cos 𝛼 , 𝐷𝐶 = 𝐵𝐶 cos 𝛾 .
Per provare che 𝐷𝐴 e 𝐷𝐶 sono razionali, basta dimostrare che i due coseni sono
razionali, cosa che si può fare usando il teorema di Carnot, che stabilisce
{
2
2
2
2
2
2
𝐵𝐶 = 𝐶𝐴 + 𝐴𝐵 − 2 𝐶𝐴 ∙ 𝐴𝐵 ∙ cos 𝛼 ,
𝐴𝐵 = 𝐶𝐴 + 𝐵𝐶 − 2 𝐶𝐴 ∙ 𝐵𝐶 ∙ cos 𝛾 .
2
Essendo l’insieme ℚ dei numeri razionali chiuso rispetto alle quattro operazioni
elementari, si conclude che anche i due coseni sono espressi da numeri razionali,
da cui discende la tesi desiderata, cioè che i segmenti 𝐷𝐴 e 𝐷𝐶 siano razionali.
Per fornire un esempio di un triangolo 𝐴𝐵𝐶, con i lati aventi lunghezze razionali,
ma per il quale 𝐵𝐷 non sia razionale, basta scegliere in maniera opportuna uno
dei due angoli 𝛼 o 𝛾. Ad esempio, si può scrivere
𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 sin 𝛼 = 𝐴𝐵 sin
𝜋 √3
=
∙ 𝐴𝐵 .
3
2
In tal modo, quale che sia 𝐴𝐵 ∈ ℚ, si otterrà 𝐵𝐷 irrazionale.
Infine, nel caso in cui 𝐴𝐵̂𝐶 = 𝜋/2, risulta evidente che
𝐴𝐵̂𝐷 =
𝜋
𝜋
− 𝛼 = 𝛾 , 𝐶𝐵̂𝐷 = − 𝛾 = 𝛼 .
2
2
Segue che anche l’altezza, relativa all’ipotenusa 𝐶𝐴 e che vale
𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 cos 𝛾 = 𝐵𝐶 cos 𝛼 ,
appartiene all’insieme dei numeri razionali.
3
2) Dimostrare che la somma
1+
1
1
1
+
+
⋯
+
22 32
𝑛2
è minore di 2, qualunque sia l’intero positivo 𝑛.
Introdotta, per brevità, la successione
𝑛
1
1
1
1
𝑆𝑛 = 1 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = ∑ 2 (𝑛 ≥ 1) ,
2
3
𝑛
𝑘
𝑘=1
dato che risulta
𝑘 2 > 𝑘(𝑘 − 1) per 𝑘 ≥ 2 ,
si può scrivere
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘=2
1
1
𝑆𝑛 = ∑ 2 < 1 + ∑
per 𝑛 > 1 .
𝑘
𝑘(𝑘 − 1)
Ora, la sommatoria maggiorante si può facilmente calcolare, essendo una somma
telescopica
𝑛
𝑛
𝑘=2
𝑘=2
1
1
1
1
= ∑(
− )=1− .
∑
𝑘(𝑘 − 1)
𝑘−1 𝑘
𝑛
Si conclude allora che
4
𝑆𝑛 < 2 −
1
< 2 per 𝑛 ≥ 2 .
𝑛
In realtà, anche la serie è piuttosto lontana da due, dal momento che
𝜋2
𝑆∞ =
≅ 1.6449 .
6
Esiste un’altra via per dimostrare la disuguaglianza richiesta e si basa sull’uso
degli integrali. Precisamente, si può scrivere che
1
1 𝑛
1
1
𝑆𝑛 < 1 + ∫ 2 𝑑𝑥 = 1 − [ ] = 1 − + 1 = 2 − < 2 .
𝑥 1
𝑛
𝑛
1 𝑥
𝑛
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3) Siano dati nel piano una retta 𝑟 e due punti 𝐴 e 𝐵 non appartenenti ad 𝑟 ma
ambedue contenuti in uno dei due semipiani determinati da 𝑟, e tali infine che la
retta 𝐴𝐵 non sia parallela ad 𝑟. Determinare il punto 𝑃 su di 𝑟 tale che
2
𝐴𝑃 + 𝑃𝐵
2
sia minimo, e spiegare perché.
Presi i due punti 𝐴 e 𝐵 dalla stessa parte rispetto alla retta 𝑟, la figura precedente
illustra la tecnica per ottenere il punto 𝑃. Presi i due punti simmetrici 𝑀 ed 𝑁
rispetto ad 𝑟, basta congiungere 𝐴 con 𝑁 per determinare 𝑃: il percorso 𝐴𝑁 è il
più breve, essendo quello percorso da un raggio di luce nel vuoto, emesso da una
sorgente in 𝐴 e ricevuto in 𝑁. In P è anche minima la somma dei quadrati
2
2
𝐴𝑃 + 𝑃𝐵 .
6
4) Si dimostri che, se 𝑥 e 𝑦 sono due interi tali che 4𝑥 + 5𝑦 sia un multiplo intero
di 13, anche 6𝑥 + 𝑦 è multiplo intero di 13.
Dovendo imporre che 4𝑥 + 5𝑦 sia multiplo intero di 13, si può scrivere
4𝑥 + 5𝑦 = 13𝑘 (𝑘 ∈ ℤ) .
Si tratta di un’equazione diofantea, la cui soluzione è
𝑥 = 2𝑘 + 5𝑛 , 𝑦 = 𝑘 − 4𝑛 (𝑛 ∈ ℤ) .
Da questa soluzione si ricava immediatamente la proprietà richiesta, dato che
6𝑥 + 𝑦 = 12𝑘 + 30𝑛 + 𝑘 − 4𝑛 = 13𝑘 − 26𝑛 = 13(𝑘 − 2𝑛) .
7
5) Nell’angolo inferiore sinistro di un foglio di carta è disegnato un rettangolo, due
lati adiacenti del quale coprono due tratti dei bordi del foglio. Si rimuova un
triangolo, contenente il rettangolo, con un solo taglio rettilineo. Si dimostri che
l’area del triangolo asportato è uguale ad almeno il doppio di quella del rettangolo,
e si indichi come deve essere fatto il taglio affinché l’area del triangolo sia uguale
al doppio di quella del rettangolo.
Con riferimento alla figura precedente, si può affermare che l’area del triangolo
𝑆(𝑥) è pari a
𝑆(𝑥) =
(𝑥 + 𝑏)
𝑎𝑏
𝑎
(𝑥 + 𝑏)2 con 𝑥 > 0 .
(𝑎 + ) =
2
𝑥
2𝑥
Considerando il rapporto tra questa area e quella del rettangolo, si ottiene la
funzione da studiare
8
𝑆(𝑥)
𝑏
𝑥 2
𝑓(𝑥) =
=
(1 + ) .
𝑎𝑏
2𝑥
𝑏
Questa funzione, peraltro di seguito disegnata in funzione dell’ascissa
adimensionale 𝑥/𝑏, ammette il minimo relativo
𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑏 , 𝑓(𝑏) = 2 .
Dal grafico si evince che 𝑓(𝑥) ≥ 1, vale a dire che la superficie del triangolo è
sempre più grande di quella del rettangolo. In particolare, scegliendo 𝑥 = 𝑏, di
ottiene esattamente che
𝑆 = 2𝑎𝑏 .
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6) Cinque amici vogliono visitare una mostra che si tiene a Firenze nel mese di
Agosto. Per conto proprio, ognuno si propone di effettuare la visita in una certa
data. Qual è la probabilità che vengano scelti cinque giorni diversi? E cinque giorni
consecutivi?
Essendo il mese di agosto di 31 giorni, la probabilità che vengano scelti cinque
giorni diversi vale
𝑃1 =
31 30 29 28 27 657720
∙
∙
∙
∙
=
≅ 71.22% .
31 31 31 31 31 923521
Invece, per il calcolo della probabilità che vengano scelti cinque giorni
consecutivi, il numero dei casi favorevoli è pari al numero delle quintuple
consecutive, cioè
𝑛𝐹 = 31 − 5 + 1 = 27 ,
mentre il numero dei casi possibili è costituito da tutte le possibili combinazioni
31 ∙ 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27
31
𝑛𝑃 = ( ) =
= 31 ∙ 29 ∙ 7 ∙ 27 = 169 911 .
5
5∙4∙3∙2
Si conclude, in definitiva, che la probabilità che vengano scelti cinque giorni
consecutivi vale
𝑃2 =
27
1
1
=
=
≅ 0.016% ,
31 ∙ 29 ∙ 7 ∙ 27 31 ∙ 29 ∙ 7 6293
un evento decisamente improbabile.
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