Estremi relativi (liberi)

annuncio pubblicitario

Estremi relativi (liberi) per campi scalari
Riccarda Rossi
Università di Brescia
Analisi Matematica B
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
1 / 58
Punti di estremo relativo (o locale)
Definizione
Sia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω → R un campo scalare. Diciamo che x0 ∈ Ω
1
è un punto di minimo RELATIVO (o minimo LOCALE) per f se
esiste ε > 0 tale che
∀ x ∈ Bε (x0 ) ∩ Ω : f (x0 ) ≤ f (x)
2
è un punto di massimo RELATIVO (o massimo LOCALE) per f se
esiste ε > 0 tale che
∀ x ∈ Bε (x0 ) ∩ Ω : f (x0 ) ≥ f (x)
Se vale 1 o 2, si dice che x0 è un punto di estremo relativo o di estremo
locale.
Si dice punto di estremo....
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
2 / 58
Una definizione equivalente
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
3 / 58
Punti di estremo assoluto (o globale)
Definizione
Sia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω → R un campo scalare. Diciamo che x0 ∈ Ω
1
è un punto di minimo ASSOLUTO (o minimo GLOBALE) per f
∀ x ∈ Ω : f (x0 ) ≤ f (x)
2
è un punto di massimo ASSOLUTO (o massimo GLOBALE) per f
∀ x ∈ Ω : f (x0 ) ≥ f (x)
Se vale 1 o 2, si dice che x0 è un punto di estremo assoluto o di estremo
globale.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
4 / 58
Ogni punto di estremo assoluto è anche di estremo
relativo
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
5 / 58
Cosa faremo:
Dati
f : Ω → R,
x0 ∈ Ω,
f differenziabile in x0
daremo
condizioni necessarie, al prim’ordine, affinché x0 sia un punto di
estremo RELATIVO
condizioni sufficienti, al second’ordine, affinché x0 sia un punto di
estremo RELATIVO
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
6 / 58
Estremi locali e punti critici
Teorema (Teorema di Fermat (Condizione necessaria))
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω → R un campo scalare. Sia x0 un punto
di estremo relativo per f . Se f è differenziabile in x0 allora
∀ v ∈ Rn : kv k = 1 : Dv f (x0 ) = 0.
In particolare ∇f (x0 ) = 0.
Confronto con funzioni di una variabile
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
7 / 58
Significato geometrico del teorema di Fermat
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
8 / 58
Dimostrazione
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
9 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
10 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
11 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
12 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
13 / 58
Notiamo che l’ipotesi che f sia differenziabile non può essere omessa.
Infatti, il punto t = 0 è un punto di massimo per la funzione
f : [−1, 1] → R,
f (t) = 1 − |t|,
ma f 0 (0) non esiste.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
14 / 58
Esempi
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
15 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
16 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
17 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
18 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
19 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
20 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
21 / 58
Definizione (Punti critici)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω → R un campo scalare. Diciamo che
x0 ∈ Ω è un punto STAZIONARIO (o CRITICO) di f se f è
differenziabile in x0 e se ∇f (x0 ) = 0.
Quindi in un punto critico x0
Se Ω è aperto e f è differenziabile in Ω, i punti di estremo relativo
vanno ricercati fra i punti stazionari, ma non tutti i punti stazionari
sono di estremo.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
22 / 58
Definizione (Punti di sella)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto. Sia f : Ω → R un campo scalare e sia x0 ∈ Ω un
punto stazionario di f . Diciamo che x0 è un punto di sella di f se x0 non è
né un minimo locale né un massimo locale.
Daremo condizioni al second’ordine che ci permetteranno di classificare i
punti stazionari e cioè stabilire se sono punti di
massimo relativo
minimo relativo
sella
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
23 / 58
Minimo e massimo locale
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
24 / 58
Punto di sella
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
25 / 58
Punto di sella
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
26 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
27 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
28 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
29 / 58
Condizioni al second’ordine per funzioni di una
variabile..
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
30 / 58
Richiami di algebra lineare
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
31 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
32 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
33 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
34 / 58
Matrice hessiana
Definizione (Matrice hessiana)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto. Supponiamo che in x ∈ Ω esistano tutte le derivate
seconde di f . Chiamiamo matrice hessiana di f nel punto x la matrice
Hf (x) di n righe e n colonne tale che
(Hf (x))ij =
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
∂2f
(x).
∂xi ∂xj
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
35 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
36 / 58
Sia f ∈ C 2 (Ω) . Segue dal Lemma di Schwarz che la matrice hessiana è
simmetrica:
(Hf (x))ij = (Hf (x))ji
e quindi tutti i suoi autovalori sono numeri reali.
e quindi nel caso n = 2
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
37 / 58
Esempio
Consideriamo f : R2 → R data da
f (x, y ) = x 3 + 2y 2 + x 2 y + 6
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
38 / 58
Teorema (Test della matrice hessiana)
Sia Ω ⊆ Rn e sia x0 ∈ Ω un punto critico di f : Ω → R. Supponiamo
inoltre che esista un intorno U ⊆ Ω di x0 tale che f ∈ C 2 (U). Valgono le
seguenti affermazioni:
1
Se tutti gli autovalori di Hf (x0 ) sono positivi, allora x0 è un punto di
minimo locale.
2
Se tutti gli autovalori di Hf (x0 ) sono negativi, allora x0 è un punto di
massimo locale.
3
Se Hf (x0 ) ha almeno un autovalore positivo e un autovalore negativo,
allora x0 è un punto di sella.
4
Se zero è un autovalore di Hf (x0 ) e tutti gli altri autovalori hanno lo
stesso segno, allora il test è inefficace.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
39 / 58
Corollario (Test del determinante hessiano)
Sia Ω ⊆ R2 e sia (x0 , y0 ) ∈ Ω un punto critico di f : Ω → R. Supponiamo
inoltre che esista un intorno U ⊆ Ω di (x0 , y0 ) tale che f ∈ C 2 (U).
Valgono le seguenti affermazioni:
1
2
2 f (x , y ) > 0, allora (x , y ) è un punto di
Se det Hf (x0 , y0 ) > 0 e ∂xx
0 0
0 0
minimo locale.
2 f (x , y ) < 0, allora (x , y ) è un punto di
Se det Hf (x0 , y0 ) > 0 e ∂xx
0 0
0 0
massimo locale.
3
Se det Hf (x0 , y0 ) < 0, allora (x0 , y0 ) è un punto di sella.
4
Se det Hf (x0 , y0 ) = 0 il test è inefficace.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
40 / 58
Dimostrazione
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
41 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
42 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
43 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
44 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
45 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
46 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
47 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
48 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
49 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
50 / 58
Esempi
f (x, y ) = x 2 + 2y 2 + 3
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
51 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
52 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
53 / 58
f (x, y ) = xy
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
54 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
55 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
56 / 58
f (x, y ) = x 2 + y 3
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
57 / 58
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Estremi relativi (liberi)
Analisi Matematica B
58 / 58

Estremi relativi (liberi)

Documenti correlati

Prodotti

Supporto

Estremi relativi (liberi)

Documenti correlati

Aggiungere questo documento alla raccolta (s)

Aggiungere questo documento salvato

Suggeriscici come migliorare StudyLib