Estremi relativi (liberi)

Estremi relativi (liberi) per campi scalari
Riccarda Rossi
Università di Brescia
Analisi Matematica B
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Punti di estremo relativo (o locale)
Definizione
Sia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω → R un campo scalare. Diciamo che x0 ∈ Ω
1
è un punto di minimo RELATIVO (o minimo LOCALE) per f se
esiste ε > 0 tale che
∀ x ∈ Bε (x0 ) ∩ Ω : f (x0 ) ≤ f (x)
2
è un punto di massimo RELATIVO (o massimo LOCALE) per f se
esiste ε > 0 tale che
∀ x ∈ Bε (x0 ) ∩ Ω : f (x0 ) ≥ f (x)
Se vale 1 o 2, si dice che x0 è un punto di estremo relativo o di estremo
locale.
Si dice punto di estremo....
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Una definizione equivalente
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Punti di estremo assoluto (o globale)
Definizione
Sia Ω ⊆ Rn e sia f : Ω → R un campo scalare. Diciamo che x0 ∈ Ω
1
è un punto di minimo ASSOLUTO (o minimo GLOBALE) per f
∀ x ∈ Ω : f (x0 ) ≤ f (x)
2
è un punto di massimo ASSOLUTO (o massimo GLOBALE) per f
∀ x ∈ Ω : f (x0 ) ≥ f (x)
Se vale 1 o 2, si dice che x0 è un punto di estremo assoluto o di estremo
globale.
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Ogni punto di estremo assoluto è anche di estremo
relativo
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Cosa faremo:
Dati
f : Ω → R,
x0 ∈ Ω,
f differenziabile in x0
daremo
condizioni necessarie, al prim’ordine, affinché x0 sia un punto di
estremo RELATIVO
condizioni sufficienti, al second’ordine, affinché x0 sia un punto di
estremo RELATIVO
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Estremi locali e punti critici
Teorema (Teorema di Fermat (Condizione necessaria))
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω → R un campo scalare. Sia x0 un punto
di estremo relativo per f . Se f è differenziabile in x0 allora
∀ v ∈ Rn : kv k = 1 : Dv f (x0 ) = 0.
In particolare ∇f (x0 ) = 0.
Confronto con funzioni di una variabile
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Significato geometrico del teorema di Fermat
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Dimostrazione
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Notiamo che l’ipotesi che f sia differenziabile non può essere omessa.
Infatti, il punto t = 0 è un punto di massimo per la funzione
f : [−1, 1] → R,
f (t) = 1 − |t|,
ma f 0 (0) non esiste.
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Esempi
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Definizione (Punti critici)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω → R un campo scalare. Diciamo che
x0 ∈ Ω è un punto STAZIONARIO (o CRITICO) di f se f è
differenziabile in x0 e se ∇f (x0 ) = 0.
Quindi in un punto critico x0
Se Ω è aperto e f è differenziabile in Ω, i punti di estremo relativo
vanno ricercati fra i punti stazionari, ma non tutti i punti stazionari
sono di estremo.
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Definizione (Punti di sella)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto. Sia f : Ω → R un campo scalare e sia x0 ∈ Ω un
punto stazionario di f . Diciamo che x0 è un punto di sella di f se x0 non è
né un minimo locale né un massimo locale.
Daremo condizioni al second’ordine che ci permetteranno di classificare i
punti stazionari e cioè stabilire se sono punti di
massimo relativo
minimo relativo
sella
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Minimo e massimo locale
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Punto di sella
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Punto di sella
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Condizioni al second’ordine per funzioni di una
variabile..
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Richiami di algebra lineare
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Matrice hessiana
Definizione (Matrice hessiana)
Sia Ω ⊆ Rn un aperto. Supponiamo che in x ∈ Ω esistano tutte le derivate
seconde di f . Chiamiamo matrice hessiana di f nel punto x la matrice
Hf (x) di n righe e n colonne tale che
(Hf (x))ij =
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∂2f
(x).
∂xi ∂xj
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Sia f ∈ C 2 (Ω) . Segue dal Lemma di Schwarz che la matrice hessiana è
simmetrica:
(Hf (x))ij = (Hf (x))ji
e quindi tutti i suoi autovalori sono numeri reali.
e quindi nel caso n = 2
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Esempio
Consideriamo f : R2 → R data da
f (x, y ) = x 3 + 2y 2 + x 2 y + 6
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Teorema (Test della matrice hessiana)
Sia Ω ⊆ Rn e sia x0 ∈ Ω un punto critico di f : Ω → R. Supponiamo
inoltre che esista un intorno U ⊆ Ω di x0 tale che f ∈ C 2 (U). Valgono le
seguenti affermazioni:
1
Se tutti gli autovalori di Hf (x0 ) sono positivi, allora x0 è un punto di
minimo locale.
2
Se tutti gli autovalori di Hf (x0 ) sono negativi, allora x0 è un punto di
massimo locale.
3
Se Hf (x0 ) ha almeno un autovalore positivo e un autovalore negativo,
allora x0 è un punto di sella.
4
Se zero è un autovalore di Hf (x0 ) e tutti gli altri autovalori hanno lo
stesso segno, allora il test è inefficace.
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Corollario (Test del determinante hessiano)
Sia Ω ⊆ R2 e sia (x0 , y0 ) ∈ Ω un punto critico di f : Ω → R. Supponiamo
inoltre che esista un intorno U ⊆ Ω di (x0 , y0 ) tale che f ∈ C 2 (U).
Valgono le seguenti affermazioni:
1
2
2 f (x , y ) > 0, allora (x , y ) è un punto di
Se det Hf (x0 , y0 ) > 0 e ∂xx
0 0
0 0
minimo locale.
2 f (x , y ) < 0, allora (x , y ) è un punto di
Se det Hf (x0 , y0 ) > 0 e ∂xx
0 0
0 0
massimo locale.
3
Se det Hf (x0 , y0 ) < 0, allora (x0 , y0 ) è un punto di sella.
4
Se det Hf (x0 , y0 ) = 0 il test è inefficace.
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Dimostrazione
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Esempi
f (x, y ) = x 2 + 2y 2 + 3
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f (x, y ) = xy
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f (x, y ) = x 2 + y 3
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