Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 15 – 30.11.2016
Sfera di dielettrico polarizzata
Legge di Gauss nel dielettrico
Soluzione dell'equazione di Laplace
in presenza di dielettrici
Anno Accademico 2016/2017
Alfabeto greco
Campo elettrico di una sfera polarizzata
• Un elemento di superficie da sulla sfera individua un
volume dv = da Δl
• La carica di questo volume è
• V è il volume della sfera
• Calcoliamo la densità superficiale di carica
• Confrontando con la densità superficiale dovuta alla
densità di polarizzazione P: σ(θ) = P cosθ
• Otteniamo la relazione fra Q, s e i dati del problema
• A questo punto possiamo calcolare il campo elettrico
• Iniziamo nella regione esterna alla sfera
• Questo è banale
• Il sistema è equivalente a due cariche puntiformi ±Q
distanti s: un dipolo p0 = Qs
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Campo elettrico di una sfera polarizzata
• Veniamo al campo elettrico all'interno
• Utilizziamo il principio di sovrapposizione e sommiamo i
campi all'interno delle due sfere di carica uniforme
• Abbiamo già calcolato il campo all'interno di
una sfera (diapositiva 102
386 )
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Campo elettrico di una sfera polarizzata
• Notiamo che il campo elettrico è discontinuo sulla
superficie della sfera
• Analizziamo la discontinuità
• Per semplicità nel polo nord della sfera (θ = 0)
• Il campo esterno è (diapositiva 239
542 )
• Il campo interno è
• Vediamo che la discontinuità nella componente normale è
• È la discontinuità della componente normale di un campo elettrico al
passaggio di una densità superficiale di carica σ = P
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Campo elettrico di una sfera polarizzata
• Questa relazione vale per tutti gli angoli
• La componente normale (radiale) del campo
elettrico esterno è
• La componente radiale del campo elettrico interno è
• La componente tangenziale è continua
• Il entrambe le proiezioni si è assunta positiva la direzione di
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La legge di Gauss nella materia
• Supponiamo di avere un grande dielettrico all'interno
del quale si trova una carica q
• Una carica che non fa parte della struttura
molecolare del dielettrico
• Ad esempio una sfera metallica carica immersa
in un bagno di olio
• Come nel condensatore piano con il dielettrico presente, il campo elettrico nel
materiale risulta ridotto rispetto a quello nel vuoto (con la stessa carica q)
Normalmente si definisce la
permittività del dielettrico
• È legittimo chiedersi se la legge di Gauss è ancora valida
• Infatti il flusso del campo elettrico su una superficie che circonda la carica,
ad esempio una sfera, sarà più piccolo perché E è più piccolo
• Sembra pertanto che il flusso non sia più uguale a q/ε0 ma piuttosto q/ε
• Nel fare questa affermazione commettiamo un grave errore
• La carica q non è la sola carica all'interno della sfera che utilizziamo
per il calcolo del flusso
• C'è una densità di carica indotta dalla polarizzazione di cui bisogna tenere
conto
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La legge di Gauss nella materia
• Infatti il campo elettrico polarizza il materiale
• La sferetta metallica carica ha un'interfaccia
con il dielettrico
• Intorno alla sferetta compare una carica
superficiale della quale bisogna tenere conto
• È a causa di questa carica, che "scherma" la
sfera, che il campo risulta meno intenso
• In generale potrebbe esserci anche una carica
volumetrica se ∇⋅P ≠ 0 ( in questo caso ∇⋅P = 0)
• Supponiamo che il dielettrico sia lineare
• Il campo elettrico e densità di polarizzazione sono
• Supponendo che il raggio della sfera sia a la densità di carica di polarizzazione
(uniforme) sulla sua superficie è
• All'esterno della sfera il campo è quello di una carica puntiforme Q = q + qp
Carica schermata, più piccola
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La legge di Gauss nella materia
• Tenere conto della carica di polarizzazione non è semplice
• In laboratorio si controllano le cariche o i potenziali sui conduttori, non la
carica di polarizzazione
• Sarebbe utile una relazione che utilizzasse solo le cariche libere Qfree= q1+q2
• Scriviamo la legge di Gauss in forma integrale
tenendo conto di tutte le cariche presenti
• La carica di polarizzazione Qpol è quella
presente nel volume e sulle superfici S1 e S2
• Notiamo che la superficie S è una superficie matematica
• Non è una discontinuità nel dielettrico
• Non c'è una carica superficiale su di essa
• Calcoliamo Qpol
Il volume V è quello
delimitato da S, S1, S2
• Usiamo il teorema della divergenza per trasformare l'integrale di volume
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La legge di Gauss nella materia
• Riepiloghiamo
• Inseriamo l'espressione di Qpol nella legge di Gauss
• Definiamo il campo vettoriale D, chiamato induzione elettrica
• Chiamato anche "spostamento elettrico"
• Introducendo nell'equazione otteniamo
in forma differenziale
• Vediamo che per il campo D vale una versione della legge di Gauss che
stabilisce una relazione con le sole cariche libere
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La carica di un dielettrico
• Osservazione
• Le cariche che compaiono in un dielettrico polarizzato dipendono dalle
deformazioni degli atomi e dall'orientamento dei dipoli molecolari
• Le cariche fanno piccoli spostamenti (dell'ordine delle dimensioni atomiche)
• Il dielettrico si polarizza ma la sua carica totale è nulla
• Nel calcolo precedente abbiamo trovato
• La superficie S è una superficie matematica
• La carica Qpol è diversa da zero perché non stiamo
considerando la superficie esterna del dielettrico
• Se consideriamo tutte le superfici del corpo (Se)
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L'induzione elettrica D
• Il campo D può risultare utile in talune circostanze ma non aggiunge
un reale contenuto fisico nuovo
• Può indurre in semplificazioni errate
• Il fatto che soddisfi una legge di Gauss che utilizza solo le cariche libere
potrebbe fare pensare che si possa costruire un'elettrostatica solo con D
Non esiste una
legge di Coulomb per D
FALSO !!
• La ragione importante è che il campo D in generale non è conservativo
• D non si può scrivere in funzione di un potenziale
• La legge di Coulomb aveva entrambe le proprietà
• Il motivo è ovvio
Dielettrico
Vuoto
• Consideriamo la circuitazione di P come nella figura
• Dielettrico uniformemente polarizzato
• Traiettoria chiusa parallela alla polarizzazione
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L'induzione elettrica D
• In casi particolari risulta semplice calcolare l'induzione elettrica
• Succede quando il problema ha evidenti simmetrie che possono condurre alla
soluzione come abbiamo visto con la legge di Gauss per E
• Nel caso generale bisogna avere una relazione fra D e il campo elettrico E
• Una relazione che deriva dall'esperimento o da un modello della materia
• Come nel caso della densità di polarizzazione
• Per un dielettrico lineare
• Per l'induzione elettrica si ottiene
• Abbiamo definito un'ennesima costante: la permettività del materiale
• Ha le stesse dimensioni di ε0
• Avere trovato questa relazione per i dielettrici lineari potrebbe fare pensare
che almeno per questi si possa avere la circuitazione nulla
FALSO !!
• La costante ε è discontinua quando si attraversa un'interfaccia
• In generale non si può portare fuori dall'integrale
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Problema elettrostatico con i dielettrici
• Consideriamo un sistema composto da più dielettrici lineari
• In ogni dielettrico vale la relazione
• Naturalmente vale sempre
• Il campo elettrico è sempre derivabile da un potenziale
• Possiamo utilizzare i metodi sviluppati per il calcolo del potenziale
separatamente in ogni regione di dielettrico
• Con le opportune condizioni al contorno sulle superfici che delimitano i
dielettrici sulle quali compaiono le densità superficiali di cariche
• In particolare, nelle regioni in cui ρf = 0 il potenziale obbedisce
all'equazione di Laplace
• Notiamo che se all'interno del dielettrico non è presente una densità di
carica libera (ρf = 0) anche la densità di carica fissa sarà nulla (ρb = 0)
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Condizioni al contorno
• Abbiamo visto che sulla superficie di un dielettrico compaiono densità
superficiali di cariche di polarizzazione
• Sappiamo che il campo elettrico ha delle discontinuità quando incontra
strati di carica superficiale
• Analizziamo le discontinuità per i campi D, E
• Abbiamo visto che il campo D obbedisce alla legge di Gauss
• Applichiamo la legge intorno all'interfaccia fra due dielettrici
• Supponiamo che non ci siano cariche
libere sulla superficie: Qf = 0
• Per il campo D otteniamo
• Ricordando che D = εE
• Pertanto
• La componente normale del campo D è continua
• La componente normale del campo elettrico E è discontinua
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Condizioni al contorno
• La condizione su E che abbiamo trovato può essere ottenuta
senza l'uso del campo D
• Utilizziamo la proprietà del campo elettrico che conosciamo
• Attraversando una densità di carica σ la componente normale ha una
discontinuità ΔE⊥ = σ/ε0
• Chiamiamo E1 e E2 i campi elettrici presenti
all'interfaccia nel dielettrico 1 e 2 rispettivamente
• Poiché i dielettrici sono lineari P = χε0 E
• Dai lati 1 e 2 dell'interfaccia ci saranno le cariche
• Pertanto
• Ricordiamo che κ = 1 + χ e che ε = κε0
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Condizioni al contorno
• Per quanto riguarda la componente tangenziale del campo elettrico
questa è continua
• Questa condizione deriva dal fatto che il campo elettrico è conservativo
• Infatti, considerando una linea chiusa intorno
all'interfaccia, come in figura
• Per il potenziale le condizioni diventano
• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia
V è l'integrale di E
• La derivata del potenziale è discontinua
• Se n è la normale alla superficie
I vettori r1 e r2 variano
sulle superfici dei dielettrici
N.B.: non ci sono cariche
libere sull'interfaccia
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Condizioni al contorno
• Riepilogando
• Ricordiamo solo le condizioni al contorno per campo elettrico e potenziale
• Sono sufficienti per risolvere i problemi
• Per il campo elettrico
• Per il potenziale
• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia
• I vettori r1 e r2 variano sulle superfici dei dielettrici a contatto
• La condizione sulla componente normale del campo diventa
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308
Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Consideriamo una sfera di dielettrico posta in un campo elettrico uniforme
• È un problema analogo a quello della sfera conduttrice in campo uniforme
che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva 176
474 )
• Utilizziamo il metodo della separazione delle variabili in coordinate sferiche
• C'è simmetria azimutale (V indipendente da φ)
• Qualitativamente possiamo dire che il campo elettrico polarizza il dielettrico
• Sulla superficie della sfera compare una carica superficiale
• Il campo uniforme è distorto
• Il campo rimane uniforme all'infinito
• All'interno della sfera il campo elettrico è dato dalla somma del campo
esterno e del campo generato dalle cariche di polarizzazione
z
y
x
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Esprimiamo il potenziale all'esterno e all'interno utilizzando la formula
utilizzata per il problema della sfera conduttrice
• La seconda formula è necessaria perché adesso
il campo dentro la sfera non è nullo
• Le condizioni al contorno sono (ε è la permittività della sfera)
• All'infinito campo uniforme
• Potenziale continuo sulla sfera
• Discontinuità della componente normale
• Assumendo come nel caso della sfera conduttrice V0 = 0, la prima condizione
permette di porre a zero tutti gli Al escluso A1 = − E0
• Inoltre, poiché al centro della sfera il potenziale deve essere finito si ha
che per tutti gli l deve essere Dl = 0
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• La condizione di continuità diventa
• L'uguaglianza implica che per ogni l devono essere uguali i coefficienti dei
corrispondenti polinomi di Legendre Pl (P1 = cosθ)
• Per l = 1
• Per l ≠ 1
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Veniamo adesso alla condizione di discontinuità
• Ricordiamo che sulla sfera ∂/∂n = ∂/∂r
• Ancora una volta uguagliamo i coefficienti dei
polinomi di Legendre dello stesso ordine l
• Per l = 1
• Per l ≠ 1
• Confrontiamo con la precedente equazione per l ≠ 1
• Concludiamo che
• Per l = 0 → B0 = 0 e C0 = 0
• Per l ≠ 0,1 le due relazioni per Bl implicano che
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312
Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Esaminiamo infine le due equazioni trovate per l = 1
• Eliminiamo C1 inserendo la prima equazione nella seconda
• Per finire inseriamo il valore trovato per B1 nell'equazione di C1
• Abbiamo trovato il potenziale
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Calcoliamo le componenti del campo elettrico
• All'interno
Campo uniforme
• All'esterno
• Sulla superficie della sfera
Componente tangenziale continua
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