La diffrazione della luce CNR-INOA La luce: onde o particelle? • C.Huygens (1629-1695) – Costruisce il più potente telescopio dell’epoca – Scopre l’anello di Saturno – Sostiene la natura ondulatoria della luce • Basi sperimentali: – Scarse all’epoca – Principio di Huygens • Traité de la lumiére (1690) • Ogni punto del fronte d’onda può essere considerato a sua volta sorgente di un’onda sferica CNR-INOA La luce: onde o particelle? • I.Newton (1642-1727) – Inventa il primo telescopio a riflessione – Sostiene la natura corpuscolare della luce • Lectiones opticae (1669) • Basi sperimentali: – La luce si propaga in linea retta – Gli ostacoli bloccano la luce – I colori sono composti da particelle di natura diversa CNR-INOA Diffrazione della luce • Diffrazione e Interferenza: – Per ostacoli opachi estremamante piccoli o fenditure molto strette (paragonabili a l) – Crisi del modello corpuscolare • A.Fresnel (1788-1827) – Spiega il fenomeno della diffrazione basandosi sul principio di Huygens (prima della teoria del c.e.m. di Maxwell) • Dunque: la luce è costituita da onde! • Ma anche da particelle! • La meccanica quantistica metterà d’accordo i due aspetti (1900) CNR-INOA Onde elettromagnetiche • Il campo elettromagnetico nello spazio libero può essere rappresentato da un’onda in movimento con velocità c. • La lunghezza d’onda e’ caratteristica del tipo di radiazione: l Radiazione ~ 10 m onde radio ~ 1 cm microonde ~ 1 mm infrarosso ~ 600 nm visibile ~ 200 nm UV CNR-INOA Onde elettromagnetiche • Campo e.m. che si propaga nello spazio. • Onda di tipo sinusoidale. – La propagazione è perpendicolare all’oscillazione Campo in una dimensione E x,t 1 0.75 0.5 0.25 x -6 -4 -2 2 4 6 -0.25 -0.5 -0.75 -1 CNR-INOA Principio di Huygens 1678 principio di Huygens: la luce consiste di “onde sferiche” di una certa “lunghezza d’onda l”, tutti i punti di un “fronte d’onda” all’istante t possono essere considerati centro del nuovo fronte d’onda all’istante t’ “lunghezza d’onda” l distanza fra due “creste” “periodicità spaziale” l Diffrazione delle onde Onda piana attraverso una fenditura d 1 d>>l 4 d~l 2 5 ondoscopio 3 6 d>l d<l Diffrazione delle onde d<<l Quando d<<l la fenditura si comporta come una sorgente puntiforme di onde (principio di Huygens) L’intensità d>>l 2 4 d~l 5 d>l 3 6 d<l Notare: 1) Il picco nella 2 è molto stretto, con piccoli lobi ai lati, ma l’intensità è elevata 2) Il picco si abbassa mano mano che la fenditura si stringe – l’intensità viene distribuita su un angolo più grande 3) I lobi tendono a scomparire (diffusione da un solo punto) Effetti di diffrazione • Qualsiasi tipo di onda – Onda d’urto in un liquido – Onda d’urto (acustica) in un gas – Elettromagnetica Subisce effetti di diffrazione Condizione necessaria: l ~ d (dimensione ostacolo) CNR-INOA Calcolo dell’intensità • Ipotesi: – La luce che arriva sulla fenditura proviene da lontano (onda piana) – Lo schermo sul quale visualizziamo l’intensità si trova lontano dalla fenditura (raggi paralleli) – l ~ larghezza fenditura d Principio di Huygens: Ogni punto è sorgente di onde CNR-INOA Differenza di cammino ottico • A grandi distanze trascuriamo le differenze dovute al diverso angolo di incidenza sullo schermo • Consideriamo solo le differenze nel cammino iniziale • Raggi che provengono dai due lati della fenditura: • d sinq d schermo q q d sinq CNR-INOA Differenza di cammino ottico • Per il principio di Huygens dovremo considerare tutti i punti interni nalla fenditura come origini di onde • Raggi che provengono dal centro e da un lato della fenditura: • Differenza di cammino ottico: (d/2) sinq schermo (d/2) sinq d q q CNR-INOA Somme su tutti i raggi • Per ottenere l’intensità sullo schermo dovremo sommare su tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura • Raggi che provengono da due punti interni alla fenditura, distanti d/2 : • Differenza di cammino ottico: (d/2) sinq schermo (d/2) sinq d q CNR-INOA Somme su tutti i raggi • Per ottenere l’intensità sullo schermo dovremo sommare su tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura • Raggi che provengono da due punti interni alla fenditura, distanti d/2 : • Differenza di cammino ottico: (d/2) sinq schermo (d/2) sinq d q CNR-INOA Interferenza distruttiva • • • Per ottenere l’intensità sullo schermo dovremo sommare su tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura Raggi che provengono da due punti interni alla fenditura, distanti d/2 : • Differenza di cammino ottico: (d/2) sinq L’intensità avrà un minimo se la differenza di cammino e’ pari a mezza lunghezza d’onda: schermo (d/2) sinq q d (d/2) sinq =l/2 d sinq =l sinq =l/d CNR-INOA Posizione dei minimi • Raggi che provengono da due punti interni alla fenditura, : • distanti d/4 - cammino ottico: (d/4) sinq • distanti d/n – cammino ottico: (d/n) sinq • In generale: L’intensità avrà minimi per sinq =nl/d schermo • d sinq =l, 2l, 3l, 4l....... n =2 (d/4) sinq q d (d/4) sinq =l/2 d sinq =2l sinq =2l/d CNR-INOA Posizione dei minimi CNR-INOA Posizione dei minimi CNR-INOA Posizione dei minimi CNR-INOA Calcolo analitico dell’intensità • Applichiamo il principio di Huygens • Campo nel punto P: somma dei contributi provenienti da tutti i punti della fenditura • Contributo di un segmento dy della fenditura: A dE cos(t r )dy r c P r d ro dy q y Calcolo analitico dell’intensità • Ma r ≈ ro – y sinq dove ro è la distanza dal punto medio della fenditura • Nel denominatore poniamo r ≈ ro A dE cos(t ro y sin q)dy ro c c P r d ro dy q y Calcolo analitico dell’intensità • Calcoliamo il campo elettrico derivato da tutti i raggi, spostandoci lungo la fenditura: A E dEi cos(t ro y sin q i )dy ro c c • Se infittiamo i punti delle somme possiamo definire l’integrale: a E 2 a 2 A cos(t ro y sin q)dy ro c c Calcolo analitico dell’intensità • Il risultato dell’integrale definito è: E A 1 a a sin( t r sin q ) sin( t r sin q ) o o ro ( / c) sin q c 2c c 2c • Sfruttando l’identità trigonometrica: sin sin 2 cos sin 2 2 • otteniamo: 2A a E cos(t ro ) sin( sin q) ro ( / c) sin q c 2c Calcolo analitico dell’intensità • L’intensità della luce è pari al valor medio E2 su un periodo: 2A E 2 ro ( / c) sin q 2 a cos( t r ) sin( sin q ) o c 2c 2 • L’integrale sul periodo trasforma il fattore cos(t-c/r) in una costante. Calcolo analitico dell’intensità • Intensità = E2: 1 sin2 ( d / l sin q) I 2 ro sin2 q • Ovvero 2 sin x I Io 2 x • con x d / l senq Grafico dell’intensità sullo schermo Sin x 2 x 2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x Pi -3 -2 -1 1 2 3 2 sin x f ( x) 2 x CNR-INOA Posizione dei minimi • La funzione 2 sin x f ( x) 2 x • Ha minimi per x= ±, ± 2, ± 3... • Ovvero essendo x d / l senq • per l l l sin ,2 ,3 ..... d d d CNR-INOA Posizione dei minimi 0.05 Sin x d 2 0.5 d 0.0913043 x d 2 0.2 0.2 0.1 0.1 -5 -10 -5 5 d x d 2 0.3 0.3 0.380435 Sin x d 2 0.5 0.4 0.4 -10 d Sin x d 2 0.5 10 x -10 x d 2 -5 1. d 5 Sin x d 2 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 5 10 x -10 -5 l l l sin ,2 ,3 ..... d d d 10 x x d 2 5 10 x CNR-INOA Posizione dei minimi • Visualizzazione della distribuzione dell’intensità della luce su uno schermo Distribuzione dell’intensità della luce diffratta Intensità Ordini massima superiori senq Schermo CNR-INOA