Statistica Industriale Lez. 8
Carte di controllo CUSUM
Le carte a somme cumulate risultano utili quando occorre individuare
scostamenti dal valore centrale di piccola entità.
Le carte Shewart utilizzano le informazioni solo dell’ultimo campione osservato. All’istante t non tengono conto dell’informazione contenuta nelle
osservazioni effettuate agli istanti t − 1, t − 2, . . .
Le carte CUSUM si basano sull’idea di sommare gli scostamenti (positivi o
negativi) dal valore centrale e quindi risultano più sensibili ad un aumento
o ad una diminuzione della caratteristica che si sta monitorando.
Consideriamo i dati simulati in cui le prime 20 osservazioni sono estratte
da una popolazione N (10, 1) mentre le ultime 10 osservazioni sono estratte
da una popolazione N (11, 1).
1
Statistica Industriale Lez. 8
Le prime due colonne riportano i dati simulati da N (10, 1). La terza colonna
riporta i dati simulati da N (11, 1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
9.84
11.08
8.61
9.57
9.20
10.71
10.40
11.82
9.92
12.17
2
10.03
9.39
9.32
9.92
10.42
10.90
8.41
9.57
10.86
9.10
3
12.68
11.65
13.64
12.97
11.37
10.78
11.85
9.94
12.12
13.25
2
Statistica Industriale Lez. 8
Il grafico riporta la carta di controllo Shewart ottenuta con tali osservazioni.
Si osserva come nessun punto sia fuori controllo.
xbar.one Chart
for x
14
UCL
●
●
●
12
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
10
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
8
Group summary statistics
●
LCL
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Group
Number of groups = 30
Center = 10.71619
LCL = 7.106894
StdDev = 1.203099
UCL = 14.32549
Number beyond limits = 0
Number violating runs = 0
3
Statistica Industriale Lez. 8
9
10
11
12
13
Si noti come sapendo il momento in cui si è verificato il cambio di livello
un semplice boxplot mette in evidenza tale cambiamento.
1
2
4
Statistica Industriale Lez. 8
La carta cusum per il controllo della media di un processo si basa sulla
costruzione di due statistiche che cumulano gli scarti delle osservazioni da
un valore obiettivo.
Siano µ0 e σ il valore della media e dello s.q.m. quando il processo è sotto
controllo. µ0 è il valore obiettivo. σ è supposto noto. Siano xi la i-esima
osservazione del processo. Le carte cusum sono utilizzate principalmente
per osservazioni singole per cui vediamo prima questo caso.
Le due statistiche dette rispettivamente CUSUM unilaterale superiore e
CUSUM unilaterale inferiore sono definite come segue
+
+
Ci = max 0, xi − (µ0 + K) + Ci−1
−
−
Ci = max 0, (µ0 − K) − xi + Ci−1
Dove C0+ = 0, C0− = 0 e K, detto valore di tolleranza, è solitamente
|µ −µ |
posto pari a K = 1 2 0 se µ1 è il valore di fuori controllo che si vuole sia
individuato quanto prima.
5
Statistica Industriale Lez. 8
Si noti che le due statistiche cumulano le deviazioni del processo che si
scostano dal valore obiettivo µ0 di almeno un’ampiezza K. Se xi si discosta
da µ0 per meno del valore di tolleranza K allora i valori cumulati scendono
fino ad azzerarsi se dovessero diventare negativi.
Il processo è considerato sotto controllo fino a quando una delle due statistiche non supera il livello di decisione H. Tale valore viene solitamente
posto pari a H = 5σ.
Nelle pagine seguenti riportiamo la tabella con i conti per il calcolo dei
valori Ci+ e Ci− per i dati simulati e la rappresentazione grafica di tali
valori. Abbiamo posto µ0 = 10 e K = 0.5.
Come si vede segnala un punto di fuori controllo per il 23-esimo campione.
Dal grafico si può osservare come l’inizio del tratto ascendente che porta
alla situazione di fuori controllo abbia avuto inizio con il 20-esimo campione.
6
Statistica Industriale Lez. 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
xi
9.84
11.08
8.61
9.57
9.20
10.71
10.40
11.82
9.92
12.17
10.03
9.39
9.32
9.92
10.42
10.90
8.41
9.57
10.86
9.10
12.68
11.65
13.64
12.97
11.37
10.78
11.85
9.94
12.12
13.25
xi − (µ0 + K)
−0.66
0.58
−1.89
−0.93
−1.30
0.21
−0.10
1.32
−0.58
1.67
−0.47
−1.11
−1.18
−0.58
−0.08
0.40
−2.09
−0.93
0.36
−1.40
2.18
1.15
3.14
2.47
0.87
0.28
1.35
−0.56
1.62
2.75
Ci+
0.00
0.58
0.00
0.00
0.00
0.21
0.11
1.43
0.85
2.53
2.05
0.95
0.00
0.00
0.00
0.40
0.00
0.00
0.36
0.00
2.18
3.33
6.47
8.94
9.81
10.09
11.44
10.87
12.50
15.24
(µ0 − K) − xi
−0.34
−1.58
0.89
−0.07
0.30
−1.21
−0.90
−2.32
−0.42
−2.67
−0.53
0.11
0.18
−0.42
−0.92
−1.40
1.09
−0.07
−1.36
0.40
−3.18
−2.15
−4.14
−3.47
−1.87
−1.28
−2.35
−0.44
−2.62
−3.75
Ci−
0.00
0.00
0.89
0.83
1.13
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.11
0.28
0.00
0.00
0.00
1.09
1.02
0.00
0.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
7
Statistica Industriale Lez. 8
CUSUM Chart
15
●
●
●
●
5
●
●
●
●
●
●
0
●
●
●
●
● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
●
●
● ● ●
● ●
−5
Cumulative Sum
10
●
● ●
0
5
10
15
20
25
30
Index
8
Statistica Industriale Lez. 8
Lunghezza media delle sequenze
Il calcolo dell’ARL per le carte CUSUM presenta notevoli difficoltà. Nella
0 = δσ ,
seguente tabella si riportano i valori dell’ARL per quando K = µ1−µ
2
2
avendo posto µ1 = µ0 + δσ, per diversi valori di δ e per valori di H = hσ
con h = 4 e h = 5.
δ
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
4.00
h=4
168
74.2
26.6
13.3
8.38
4.75
3.34
2.62
2.19
1.71
h=5
465
139
38.0
17.0
10.4
5.75
4.01
3.11
2.57
2.01
La prima riga rappresenta il tempo medio per un falso allarme ARL0. Si
osservi che si ha ARL0 = 370 per h = 4.77. Il tempo medio per la segnalazione di un F.C. quando si è verificato uno scostamento pari 1σ è 10.4,
mentre per la carta Shewart per misure singole è 43.96.
9
Statistica Industriale Lez. 8
Carte di controllo CUSUM standardizzate
A volte è preferibile standardizzare i valori delle osservazioni prima di
procedere al calcolo di valori della carta CUSUM. I valori standardizzati
sono
xi − µ 0
zi =
σ
I valori delle statistiche sono
+
+
Ci = max 0, zi − k + Ci−1
−
−
Ci = max 0, −k − zi + Ci−1
Con le carte CUSUM standardizzate i valori di H e K non dipendono più
da σ e risultano quindi confrontabili.
Carte di controllo CUSUM per le medie
Quando si hanno n osservazioni in ogni gruppo i valori delle statistiche nelle
carte CUSUM si calcolano sostituendo a xi la media del gruppo x̄i e a σ lo
√
s.q.m. della media del gruppo σ/ n
10
Statistica Industriale Lez. 8
Carte di controllo CUSUM a risposta iniziale accelerata
Questo tipo di carte sono molto utili nelle applicazioni quando un processo
pensato sotto controllo parte con una situazione di fuori controllo.
La procedura consiste nel porre un valore iniziale fittizio di C0+ e di C0−
uguale in genere ad H/2. In questo modo se il processo è sotto controllo
il valore penalizzante delle statistiche viene riportato a valori nulli in pochi
istanti.
Se invece il processo è fuori controllo la segnalazione avviene in tempi
molto più rapidi rispetto alle carte CUSUM tradizionali.
11
Statistica Industriale Lez. 8
Carte di controllo EWMA
Le carte di controllo a medie mobili pesate esponenzialmente si utilizzano
quando si vogliono scoprire in fretta piccoli scostamenti dal valore obiettivo.
Le loro prestazioni sono paragonabili a quelle delle carte CUSUM ma sono
di più facile calcolo e lettura.
Le carte EMWA sono di solito utilizzate nel caso di misure singole. Siano
xi, i = 1, . . . , m le osservazioni. Definiamo per i = 1, . . . , m
zi = λxi + (1 − λ)zi−1
dove 0 < λ < 1 e il valore z0 è fissato uguale al valore obiettivo µ0 oppure
uguale a x̄ se siamo in una fare iniziale di studio del processo.
I valori zi sono i punti della carta EWMA e rappresentano una media
ponderata di tutte le osservazioni precedenti all’istante i.
12
Statistica Industriale Lez. 8
Per sostituzioni successive è facile mostrare che
zi = λ
i−1
X
(1 − λ)j xi−j + (1 − λ)iz0
j=0
I pesi λ(1−λ)j decrescono esponenzialmente e la loro somma vale 1. Mentre
la loro somma parziale vale
λ
i−1
X
(1 − λ)j = 1 − (1 − λ)i
j=0
Se le variabili xi sono le osservazioni di v.c. indipendenti di varianza σ 2
allora le variabili zi hanno varianza data da
σz2i = σ 2
λ 2i
1 − (1 − λ)
2−λ
13
Statistica Industriale Lez. 8
La linea centrale e i limiti di controllo della carta EWMA sono
s
λ 2i
U CLi = µ0 + Lσ
1 − (1 − λ)
2−λ
CL = µ0
s
λ 2i
LCLi = µ0 − Lσ
1 − (1 − λ)
2−λ
dove L va scelto in modo da garantirsi una certa prestazione della carta e
rappresenta l’ampiezza dei limiti di controllo. Anche λ deve essere scelto
dall’addetto al controllo di qualità.
Si noti che i limiti di controllo variano con le osservazioni e sono più ampi
al crescere di i. I valori limite sono dati da
s
λ
2−λ
s
λ
LCL = µ0 − Lσ
2−λ
U CL = µ0 + Lσ
14
Statistica Industriale Lez. 8
EWMA Chart
for x
●
13
●
●
●
12
●
●
●
●
●
11
●
●
●
●
●
●
10
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
9
Group Summary Statistics
●
●
●
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
Group
Number of groups = 30
Target = 10
StdDev = 1.203099
Smoothing parameter = 0.1
Control limits at 2.7*sigma
15
Statistica Industriale Lez. 8
La scelta dei parametri in una carta EWMA
La scelta dei parametri λ e L deve avvenire a seconda della sensibilità che si
richiede alla carta. Studi empirici e teorici sul valore dell’ARL per la carta
EWMA suggeriscono di utilizzare per λ i valori 0.05, 0.1, 0.2
●
●
●
●
●
●
0.10
●
●
●
●
●
●
●
λ = 0.2
λ = 0.1
λ = 0.4
λ = 0.05
●
0.05
●
0.00
lam * (1 − lam)^i
0.15
0.20
●
● ●
●
●
●
● ●
●
● ●
● ●
● ●
●
● ●
● ● ● ●
●
● ● ●
● ● ●
●
● ●
●
● ●
●
● ●
●
●
●
●
● ●
● ● ●
● ●
● ● ● ● ● ● ● ●
0
5
10
15
● ● ●
● ● ● ●
● ●
●
● ● ●
● ● ●
● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
●
20
25
i
16
Statistica Industriale Lez. 8
Come norma generale si ottengono migliori prestazioni utilizzando bassi
valori di λ se si è interessati a piccoli scostamenti dal valore obiettivo.
Conviene utilizzare valori di λ più alti se si è interessati a scostamenti più
rilevanti, ma in quest’ultimo caso la carta EWMA non fornisce prestazioni
ottimali.
La scelta di L si orienta intorno al valore 3 delle carte 3-sigma, sebbene
per bassi valori di λ si possono ottenere dei vantaggi riducendo i valori di
L tra 2.6 e 2.8.
La seguente tabella riporta i valori dell’ARL, per diversi scostamenti di tipo
kσ dal valore obiettivo µ0, per quei valori di L che, per prefissati valori di
λ forniscono un ARL0 pari a 500.
17
Statistica Industriale Lez. 8
Scarti in σ
k
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
4.00
L = 3.054
λ = 0.40
500
224
71.2
28.4
14.3
5.9
3.5
2.5
2.0
1.4
L = 2.998
λ = 0.25
500
170
48.2
20.1
11.1
5.5
3.6
2.7
2.3
1.7
L = 2.962
λ = 0.2
500
150
41.8
18.2
10.5
5.5
3.7
2.9
2.4
1.9
L = 2.814
λ = 0.1
500
106
31.3
15.9
10.3
6.1
4.4
3.4
2.9
2.2
L = 2.615
λ = 0.05
500
84.1
28.8
16.4
11.4
7.1
5.2
4.2
3.5
2.7
Si osservi che per k = 1.00 λ = 0.1 abbiamo per L = 2.814 un ARL=10.3
1 e h = 5.
simile a quello della carta CUSUM con k = 2
18
Statistica Industriale Lez. 8
Carte di controllo a media mobile
Si tratta di una carta basata su una media mobile non ponderata. Date le
m osservazioni singole x1, . . . , xm si calcolano le medie mobili di ampiezza
w definite come segue
xi + xi−1 + · · · + xi−w+1
Mi =
w
2
Se E(Xi) = µ0 e Var(Xi) = σ 2 risulta E(Mi) = µ0 e Var(Mi) = σw . I limiti
di controllo superiore e inferiore a 3-sigma per la carta a Media Mobile
sono dati da
σ
U CL = µ0 + 3 √
w
CL = µ0
σ
LCL = µ0 − 3 √
w
L’ampiezza del salto di interesse e w sono inversamente proporzionali. Per
cui se vogliamo individuare salti piccoli, dobbiamo utilizzare medie lunghe.
19
Statistica Industriale Lez. 8
Nel grafico è riportata la carta MA per i dati di pagina 2. Abbiamo utilizzato
w = 3. Si noti come il segnale di fuori controllo viene dato alla 24-esima
osservazione.
12
13
MA Chart
●
●
●
●
●
11
●
MA
●
●
●
10
●
●
●
● ● ●
●
●
● ●
● ●
●
●
● ●
●
●
●
●
8
9
●
0
5
10
15
20
25
30
Index
20
