ww
ww
w.m Matematica Discreta (elementi) – E-O
atap CdL Informatica
p.u 17 dicembre 2003
nim
ib.i
Marina Cazzola ([email protected])
t/$s
i Applicazioni
Dipartimento di Matematica e m
$
Università di Milano–Bicocca ma
rina
/
w.m
atap
Grafi
p.u
nim
ib.i
t/$s
im
$m
arin
did
a/d
/md
is03
/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 1
dis0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 3
Avvertenze
Notazione
un insieme A, la notazione P ( A ) indica l’insieme
ww Dato
delle
parti di A, cioè l’insieme i cui elementi sono tutti e
w
.
soli m
i sottoinsiemi di A.
ata
Utilizziamo p
lapnotazione
P n ( A) per indicare l’insieme i
.
u
n
cui elementi sono tutti
imeisoli i sottoinsiemi di ordine n
di A.
b.it
/$si
In particolare con P 2 ( A ) indichiamo
ml’insieme i cui
elementi sono tutte e sole le coppie { a, $
b}m
con a, b ∈ A.
ar n
Osserviamo che, essendo sottoinsiemi di A, le icoppie
a/d
id/m
{ a, b} e {b, a} coincidono. Si parla perciò di coppie non
fotocopie sono distribuite solo come indicazione
ww Queste
degli argomenti svolti a lezione e NON sostituiscono in
w.m
alcun modo il libro di testo:
aA.tFacchini,
app “Algebra e matematica discreta”,
.unDecibel–Zanichelli
imi
b.it l’effettivo svolgimento degli
Al libro di testo si rimanda per
/$si errori contenuti in
argomenti (e per la rettifica di eventuali
m
queste pagine). $m
arin
a/d
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 2
id/m
dis0
ordinate.
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 4
dis0
Il problema dei ponti di Königsberg
Grafi
ww
Definizione – Un grafo semplice G consiste di
ww
w.mun insieme finito non vuoto V (G) di elementi che
chiameremo
atap vertici di G
di un sottoinsieme
p.u L(G) di P 2(V (G)) di elementi
nimlati di G.
che chiameremo
ib.i
Quindi un lato di G è una coppia
t/$s(non ordinata) {a, b} di
vertici distinti di G.
im
$m
arin
Esempio – Possiamo definire il grafo G definendo
a/d
V ( G ) = { a, b, c, d, e}
id/m
w.m
atap
p.u
dis0
L( G ) = {{ a, b} , { a, c} , {b, c} , {b, d} , {d, e}}
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 5
Diagramma di un grafo
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 6
nim
ib.i
t/$s
È possibile fare una passeggiata
partendo da un punto della città e
ritornandovi dopo aver percorso
esattamente una volta ogni ponte?
im
$m
arin
a/d
id/m
dis0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 7
Il problema dei ponti di Königsberg
ww La pianta di Königsberg con i suoi ponti
w.m
atap
p.u
nim
ib.i che assomiglia molto ad
è schematizzabile da qualcosa
t/$s
un grafo
im
$m
arin
a/d
id/m
può essere rappresentato da un diagramma
ww Un grafo
il diagramma di Eulero-Venn dell’insieme
w.msideidisegna
vertici
di
atap G
si disegna
p.una linea a congiungere il vertice x con il
vertice y seuensoltanto
imi se la coppia {x, y} è un lato
di G
b.it
/$si da più di un
Un grafo può essere rappresentato
m $c
diagramma
a
e ma
a
c
rina
e
d
/did
b
d
/m
b
Königsberg era attraversata dal fiume Pregel. Parte della
città era situata sulle due sponde del fiume e parte su
due isole. Le zone della città erano collegate da sette
ponti in questo modo
dis0
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 8
dis0
Il problema dei ponti di Königsberg
Il diagramma
ww
ww Definizione – Un multigrafo G = (V, L, φ) consiste di
w.mUn insieme finito V di elementi detti vertici di G
atinsieme
Un
app finito L di elementi detti lati di G
Un’applicazione
.un φ : L → P 2(V )
im
Nell’esempio dei ponti diib
Königsberg,
.it/$ si ha
V ( G ) = { a, b, c, d}
sim
$m
L ( G ) = { l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 , l7 }
ar n
φ è l’applicazione definita ponendo: l1 7→ {ia,
ba},
/did
l2 7→ { a, b}, l3 7→ {b, c}, l4 7→ {b, c},
/m
a
w.m
atap
Multigrafi
b
p.u
nim
ibc .i
d
t/$s
corrisponde al diagramma di un grafo?
V ( G ) =???
im
$m
arin
Poniamo V ( G ) = { a, b, c, d}
a/d
L( G ) =???
Dovremmo porre L( G ) =
{{ a, b} , { a, b} , {b, c} , {b, c} , { a, d} , {b, d} , {c, d}}
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 9
dis0
l5 7→ { a, d },
3/
l6 7→ {b, d},
l7 7→ {c, d}
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 11
Multigrafi
un modo per distinguere le due occorrenze di
ww Occorre
a, b} (e di {b, c})
{
w.m
atap a
lp
1 . l2
uni l5
ml6ib d
b
l3 l4
l7 .it/$
sim
c
Scriviamo
$m
arin
V ( G ) = { a, b, c, d}
a/d
L ( G ) = { l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 , l7 }
id
È lecito?
Multigrafi
Un grafo semplice può essere pensato come un
multigrafo
a
c
ww
w.m
atap
e
b
d
p
.
V ( G ) = { a,ub,
d, e}
nc,im
ibc}.i, {b, c} , {b, d} , {d, e}}
L( G ) = {{ a, b} , { a,
t/$s ponendo
φ : L( G ) → P 2 (V ( G )) è definita
im
φ : { a, b} 7→ { a, b} φ : { a, c} 7→ $
a, c}
{m
φ : {b, c} 7→ {b, c} φ : {b, d} 7→ {b, da
} ri
na/
φ : {d, e} 7→ {d, e}
did
/md
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 10
dis0
is03
/
Nel seguito perciò spesso con la parola “grafo”
intenderemo un “multigrafo”.
/md
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 12
is0
Isomorfismo di (multi)grafi
(Multi)Grafi
Dato un (multi)grafo G = (V ( G ), L( G ), φ).
Definizione – Due (multi)grafi G1 e G2 sono isomorfi se
ww Se l ∈ L(G) è un lato e φ(l ) = {v, w}, allora diremo che
l è un lato da v a w, ovvero diremo che l unisce v a w.
w
.maanche che v e w sono gli estremi di l.
Diremo
ta v e w di G si dicono adiacenti se esiste un
Due vertici p
p.
lato da v a w. uni
m si dicono adiacenti se
Analogamente due lati liebm
.i
a
hanno un estremo in comune.t/$
sim
$m l5 l1 l2
l6 è un lato da b a d (o da d a b)
l6
d arin
b
i vertici a e b sono adiacenti
a
/
l7 dli3d l4
i lati l1 e l5 sono adiacenti
/md
c
d e c sono gli estremi di l7
ww esiste una applicazione biunivoca
w.m
atap f : V (G1) → V (G2)
tale che per ogni
p.ucoppia di vertici a, b ∈ V (G1) il numero
di lati in L( G1 ) chenunisce
im a a b è uguale al numero di lati
in L( G2 ) che unisce f ( ai)ba f (b).
.it/$
sim con le
Esercizio – Confrontare questa definizione
$mdi grafi”
definizioni del libro di testo di “isomorfismo
arin
(p. 109) e “isomorfismo di multigrafi” (p. 113). Sono
a/d
equivalenti?
id
(Suggerimento: per quel che riguarda i multigrafi, si veda /m
is03
ex. 12.1, parte (b), p. 113)
/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 13
Esempi
Grado di un vertice
Dato un (multi)grafo G = (V ( G ), L( G ), φ).
ww Definizione – Dato a ∈ V (G), diremo grado di a il
w
.madei lati in L(G) che hanno a come estremo.
numero
tap con d(a) il grado del vertice a.
Indicheremo
p.u
nim
a
d( a ) = 3
ib.i
l5
l1 l2
t/$s
d( b ) = 5
im
d
$mll6 l b l
d( c ) = 3
7ar 3
inac 4
d( d ) = 3
/did
Definizione – Un vertice a ∈ V ( G ) è detto isolato se
d ( a ) = 0.
dis0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 15
Si considerino i due seguenti (multi)grafi l
a
ww
c
b
w.m
G1
p
G2
atap
r
m
q
f
e
n
d
Ove i due diagrammi stanno ad indicare che
p.u
nim
ib.i
V ( G1 ) = { a, b, c, d, e, f } e L( G1 ) =
{{ a, d} , { a, e} , { a, f } , {b, d} , {b, e} , {b, f } , {c, d} , {c, e} , {c, f }}
t/$s
im
$m
V ( G2 ) = {l, m, n, p, q, r } e L( G2 ) =
{{l, p} , {l, q} , {l, r } , {m, p} , {m, q} , {m, r } , {n, p} , {n, q} , {n, r }}
arin
a/d
L’applicazione f : V ( G1 ) → V ( G2 ) definita ponendo
/md
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 14
a 7→ l
is03
/
b 7→ m c 7→ n d 7→ p e 7→ q
è un isomorfismo di (multi)grafi.
f 7→ r
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 16
dis0
Esercizi
Esercizi
Stabilire se le seguenti coppie di (multi)grafi sono
Stabilire se le seguenti coppie di (multi)grafi sono
ww costituite o meno da (multi)grafi isomorfi
w.m a
3
7
1
atap b c
ep.u f
6
2
4
d
nim
ib.i
g
t/$s 5
2
N
1
imJ
$
5 6
m
M ari
L
7 8
Q na/
O
did
3
4
P
ww costituite o meno da (multi)grafi isomorfi
w.m l
L
atap
p.um
o
M
nim O
ib.i N
n
t/$s
iAm
a
$m
a
d
/md
K
c
is03
a
l
p
m
o
n
B
ib.i
c
d
E
t/$Ds
C
iLm
$Mm
arin
P
O
N
C
/did
/md
is0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 19
ww seguente
w
.ma
Proposizione
– Il numero dei lati di G è dato da
tap
p.u| L(G)| = 1 ∑ d(v)
nim 2 v∈V(G)
ib.i
t/$s
im il numero dei
Dimostrazione – È sufficiente contare
“mezzi lati”, numero che indichiamo con$M
ma
ogni lato ha due “mezzi lati”, quindi M = r2i|n
L( G )|
a/d
id
ogni vertice v appartiene esattamente a d(v) “mezzi
A
p.ub
nim
rina
Dato un (multi)grafo G = (V ( G ), L( G ), φ), si ha la
Stabilire se le seguenti coppie di (multi)grafi sono
costituite o meno da (multi)grafi isomorfi
ae tap
B
Numero dei lati di un (multi)grafo
Esercizi
w.m
D
/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 17
ww
b
a/d
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 18
dis0
3/
lati”, quindi M = ∑v∈V (G) d(v)
/md
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 20
is0
Esempio
Cammini
a
ww
Osserviamo il grafo
w.m
d
atap
l5
✂
l1 ✂
l2
✂
l6
✂
b
Dato un (multi)grafo G = (V ( G ), L( G ), φ)
Possiamo pensare di tagliare
l4
l3 ✂
l7
✂
✂
i lati del grafo
c
evidenziando così i “mezzi lati”.
Ritroviamo in questo modo l’idea che sta alla base della
dimostrazione appena conclusa.
p.u
nim
ib.i
t/$s
im
$m
arin
Esercizio – Secondo la nostra definizione di grafo,
l’insieme V ( G ) è finito (mentre non è così per il libro di
testo). Confrontare la proposizione appena dimostrata
con quella riportata nel libro di testo (Lemma 12.3,
p. 109).
a/d
id/m
dis0
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 21
Grafi
is0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 23
Cammini
Dato un cammino l1 , l2 , . . . , lk , l’intero k è detta la
ww lunghezza
w.m del cammino.
Un cammino
anche essere vuoto. Diremo allora che
ataphapuò
il cammino
lunghezza 0 (zero), ovvero che è il
p.u
cammino nullo.
nim
Dato un qualsiasi verticeib
v ∈ V ( G ) diremo che il
.
cammino nullo “va da v a v”.it/$
sim
$m nullo)
Un circuito è un cammino (diverso dal cammino
arinv.
da un qualunque vertice v a quello stesso vertice
a/d
id/m
ww Definizione – Un grafo è detto regolare di grado d se
tutti i suoi vertici hanno grado d.
w
.ma
ta–pQuanti lati ha un grafo regolare di grado d
Esercizio
p
con n vertici? .un
imi
b.it
/$siè detto completo se
Definizione – Un grafo (semplice)
m$
tutti i suoi vertici sono a due a due adiacenti.
m
risolo
Osserviamo che per ogni n ≥ 1 esiste uno eaun
na/
grafo semplice completo.
did
/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 22
ww Definizione – Un cammino in G è una successione di
w
lati.m
distinti l1 , l2 , . . . , lk di L( G ) tale che si abbia una
atap di vertici (non necessariamente distinti)
successione
a
v0 , v1 , . . . , v k p
in.u
V ( G ) con (per ogni i, 1 ≤ i ≤ k)
nim
l5
l1 l2
φ(li )ib
= { v i −1 , v i }
.it/$
l6
b
sim d
l1 , l2 , l4 , l7 è un cammino in G
$m l7 l3 l4
la successione dei vertici è b, a, b, c, a
dr
ina c
/did
l5 , l6 , l7 non è un cammino in G
/md
Diciamo anche che l1 , l2 , . . . , lk è un cammino da v0 a vk .
dis0
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 24
dis0
Connessione
Cammini Euleriani
Dato un (multi)grafo G = (V ( G ), L( G ), φ)
ww
Dato un (multi)grafo G = (V ( G ), L( G ), φ)
w
Definizione – Il grafo G è connesso se per ogni coppia
.ma v, w ∈ V (G) esiste un cammino da v a w.
di vertici
tap
p.u
In V ( G ) possiamondefinire
imi una relazione di equivalenza
b. esite un cammino
v∼w
se e solo se it/$
dasvim
aw
$m di
Esercizio – Mostrare che ∼ è una relazione
arin
equivalenza.
a/d
id
Definizione – Le classi di equivalenza di ∼ sono dette /m
componenti connesse di G.
dis0
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 25
Esempio
a
ww
Consideriamo il seguente grafo
w.m
atap
d
a ∼ a, a ∼ e, a ∼ f , e ∼ f , . . .
[ a]∼ = [e]∼ = [ f ]∼ = { a, e, f }
p.u
nim
ib.i
b
c
e
f
Il grafo non è connesso.
im
$m
arin
a/d
Ogni grafo è l’unione delle sue componenti connesse (nel
senso che l’insieme dei vertici V ( G ) è l’unione
insiemistica delle componenti connesse di G).
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 26
is0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 27
Teorema di Eulero
d ∼ d, d ∼ b, d ∼ c, . . .
[d]∼ = [b]∼ = [c]∼ = {d, b, c}
t/$s
ww Definizione – Un cammino l1, l2, . . . , lk in G è detto un
w
cammino
.ma euleriano se L(G) = {l1, l2, . . . , lk }
tap un cammino euleriano è un cammino che
In altre parole
p.usola volta per ogni lato di G.
passa una e una
nim
ib.i se il cammino euleriano è
Si parla di circuito euleriano
t/$s
un circuito.
a
im
$m l5 l1 l2
La soluzione del problema dei ponti
ariln6
di Königsberg equivale a
d
a/d b
determinare un circuito euleriano
l3idl4
l7
nel grafo che rappresenta
/md
i ponti della città
c
dis0
3/
ww Si ha la seguente risposta (Eulero, 1736)
Teorema – Sia G un multigrafo privo di vertici isolati.
w
.mGa ha un circuito euleriano se e solo se è connesso
Allora
tapvertici hanno grado pari.
e tutti i suoi
p.u
nim
a
Dal momento che il grafo
ibdei.i ponti di
l5
l1 l2
Königsberg ha vertici di gradot/dispari,
$
sim d
non è possibile fare una passeggiata
$m ll6 l b l
che, dopo aver percorso tutti i ponti
arin7 3 4
della città una e una sola volta,
a/d c
ci riporti al punto di partenza.
id/m
d
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 28
is0
Principio di induzione (seconda forma)
Esami
ww
Questioni burocratiche
ww
più presto (febbraio 2004??) sarà obbligatorio
w.mAliscriversi
agli esami via SIFA per poter sostenere
a
l’esame
tap
p.u sarà indispensabile iscriversi
In particolare
nim
all’esame giusto!
ib i 9.30, si terranno
Il 20 di gennaio 2004, .ore
t/$s
iper
il secondo compitino (solo
ha passato il
m chi
$m
primo)
arin di
un “pre-appello”, cioè un esame completo
a/d
recupero
id/m
Attenzione non iscriversi all’esame da “12
crediti”
Sia P(n) un predicato che ha come universo l’insieme
dei numeri interi Z. Allora
w.m∃n0 ∈ Z (P(n0))
a∀nta>pn0 ∀m(n0 ≤ m < n) P(m) → P(n))
p P(n))
∴ ∀ n ≥ n0.(u
nim
ib.i un intero n0 tale che
Se è possibile determinare
t/$s
P(n0 ) sia vera
im
e se, per ogni fissato n > n0 , supponendo
$m che P(m)
ardimostrare
sia vera per ogni n0 ≤ m < n è possibile
ina
che P(n) è vera
/did
allora è possibile dedurre che per qualunque assegnato /m
dis0
n ≥ n0 la proposizione P(n) è vera.
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 29
Principio di induzione
ww
Induzione
Sia P(n) un predicato che ha come universo l’insieme
dei numeri interi Z. Allora vale la seguente regola di
deduzione
w.m
atap
ww
∃n0 ∈ Z ( P(n0 ))
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 30
In altre parole, mettendo a confronto le due forme
dell’induzione
w.mSia per la prima che per la seconda forma si verifica
unacaso
tap base, cioè si verifica che P(n0) sia vera per
pn.0uopportuno
un intero
nimè, se n > n0,
L’ipotesi induttiva
ib.i (I forma)
che P(n − 1) sia vera
t/$s
im
che P(m) sia vera per ogni
m con n0 ≤ m < n
$m
(II forma)
arin che
Assumendo vera l’ipotesi induttiva, si dimostra
a/d
P(n) è vera
id/m
p∀.un > n0 (P(n − 1) → P(n))
n n0 (P(n))
∴ ∀ n ≥im
ib.i
t/$uns intero n0 tale che
Se è possibile determinare
im
P(n0 ) sia vera
$m
e se per ogni fissato n > n0 è possibile a
dimostrare
ri
che l’implicazione P(n − 1) → P(n) è vera na/
di
allora è possibile dedurre che per qualunque assegnato d/m
n ≥ n0 la proposizione P(n) è vera.
dis0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 31
dis0
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 32
dis0
Induzione
ww
Teorema di Eulero
Si può dimostrare che le due forme dell’induzione sono
equivalenti
ww
w.m
atap
Partendo dal vertice v0 percorriamo il circuito (tenendo
conto di come i lati percorsi contribuiscano al calcolo del
grado dei vertici)
w.m
atap
Teorema – La prima forma dell’induzione è valida se e
solo se la seconda forma dell’induzione è valida.
p.u
seguendo il lato l1 andiamo da v0 a v1
il grado di v0 è 1, il grado di v1 è 1
p.u
nim
(Si veda ad esempio Childs, Algebra, un’introduzione
concreta, ETS ed., p. 11.)
ib.i
t/$s che un’altra versione
Può essere sorprendente osservare
im
dell’induzione è la seguente
$m
arintero
Principio del buon ordinamento – Sia n0 un
ina in
qualunque. Un qualunque insieme di interi contenuto
/did
{z | z ≥ n0 } ammette minimo.
ib.i
t/$s
im
$m
arin
a/d
Continuando così ci accorgiamo che i vertici “iniziali” e
“finali” (come v0 e v2 ) se sono distinti hanno grado
dispari, mentre i vertici “di passaggio” (come v1 ) hanno
grado pari.
/md
(Childs, p. 14)
nim
seguendo l2 andiamo da v1 a v2
potrebbe succedere che v2 = v0 , in tal caso il
grado di v0 è 2, il grado di v1 è 2
se invece v2 è un vertice “nuovo”, il grado di v0 è
1, il grado di v1 è 2 e il grado di v2 è 1
is03
/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 33
Esempio
Siamo a questo punto in grado di dare cenni della
dimostrazione del teorema di Eulero.
Il grafo in figura ammette il circuito euleriano
ww Teorema – Sia G un multigrafo privo di vertici isolati.
w
.mGa ha un circuito euleriano se e solo se è connesso
Allora
tapvertici hanno grado pari.
e tutti i suoi
p.u che G sia un grafo privo di vertici
Assumiamo perciò
nim
isolati.
ib
Questo significa che il grafo.iha
t/$almeno due vertici e che
ogni vertice è estremo almeno di sun
imlato.
$m
Per mostrare la prima parte del teorema supponiamo
arin che
esista un circuito euleriano l1 , l2 , . . . , lk .
a/d
Questo equivale a supporre che esista una successione
id
di vertici v , v , v , . . . , v (non necessariamente distinti) /m
0
1
2
k
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 34
dis0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 35
Teorema di Eulero
tale che li congiunga vi−1 a vi .
id/m
ww
l1 , l2 , l5 , l7 , l3 , l4 , l6
w.mpartiamo dal vertice a e
seguendo
atap l1 arriviamo a b d
d( a)p= 1, d(b) = 1
.un
imi da b a a
seguendo l2 andiamo
b.2it
d ( a ) = 2, d ( b ) =
/$
seguendo l5 andiamo da a asdim
d ( a ) = 3, d ( b ) = 2, d ( d ) = 1
...
dis0
3/
a
l5
l1
l2
l6
b
l7
l3 l4
c
$m
arin
d ( a ) = 3, d ( b ) = 2, d ( d ) = 2, d ( c ) = 1
d ( a ) = 3, d ( b ) = 3, d ( d ) = 2, d ( c ) = 2
a/d
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 36
dis0
Esempio
Teorema di Eulero
di percorre l’ultimo lato del circuito, il conto dei
ww Prima
gradi dei vertici è
w.m
d(aa) = 3, d(b) = 4, d(d) = 2, d(c) = 3
tapinfine l otteniamo che i gradi dei vertici
Percorrendo
p.u 6
nim
sono
d( a) = 4, d(b) = 4i,bd.(id) = 2, d(c) = 4
t/$s
im pari.
Cioè tutti i vertici del grafo hanno grado
$m
arin
a/d
id
ww Mostriamo ora il viceversa.
Sia G connesso e tutti i suoi vertici abbiano grado pari.
w
.ma
tapper induzione sul numero dei lati di G e
Procediamo
p.ucostruire un circuito euleriano
mostriamo come
nim
In altre parole consideriamo
ib.iil predicato
se G è connesso con nt/lati
tutti i suoi vertici
$seiallora
hanno grado pari,
m$
G ammette un circuito euleriano
ma
rina
e procediamo per induzione su n.
/did
/md
/md
is03
/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 37
Teorema di Eulero
ww
Teorema di Eulero
Tornando alla dimostrazione del teorema, per concludere
la prima parte della dimostrazione resta da mostrare che
il grafo è connesso.
ww
w.m
atap
nim
ib.i
atap
p.u
Abbiamo osservato che, essendo G privo di vertici isolati,
ogni vertice di G appartiene ad almeno un lato.
Questo significa che ogni vertice di G è nella “lista”
v0 , v1 , . . . , v k .
t/$s
im
Esempio –
$m
arin
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 38
nim
ib.i
t/$s 1
· im v0
$m
a
·
2
a/d
Due qualsiasi vertici vm e vn della lista v0 , v1 , . . . , vk sono
connessi dal cammino formato da lm , lm+1 , . . . , ln−1 , ln
(questo se m ≤ n, altrimenti . . . ).
Partiamo da un qualunque vertice del grafo, che
chiamiamo v0 .
Il fatto che tutti i vertici hanno grado pari, significa che
percorrendo i lati del grafo, senza ripetizioni, prima o poi
ritroverò v0 .
Infatti ogni volta che si “entra” in uno dei vertici (diversi da
v0 ), essendo il grado del vertice pari, avrò un lato in
“uscita” dal vertice.
w.m
Occorre cioè mostrare che data una qualunque coppia di
vertici, questi sono uniti da un cammino.
p.u
is0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 39
dis0
·
3
4
3/
8
·
5
·
7
6
rina
·
/did
/md
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 40
is0
Teorema di Eulero
Base dell’induzione
questo punto cancelliamo dal grafo tutti i lati già
ww Apercorsi
w.m e applichiamo l’induzione a quello che resta
Esempio
ata–p
v0
·
·
p.u
nim
i
· b.it/·
·
$sim ·
ma a
ATTENZIONE: non possiamo applicare$
l’induzione
quello che resta, perché nelle ipotesi abbiamorche
inail
/did
grafo deve essere connesso.
ww Manca la verifica ∃n0 ∈ Z (P(n0))
Qual è il minimo numero di lati per cui l’enunciato del
w
.ma ha senso?
teorema
tap
p.udi lati, il teorema è vero?
Per tale numero
nim
Il caso da considerare èiun
del tipo
b.igrafo
t
/
$· sim
·
$m
per il quale il teorema è vero.
arin
a/d
id
Possiamo però applicare l’ipotesi induttiva ad ogni
componente connessa del grafo dei “resti”.
/md
/md
is03
/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 41
Esempio
Teorema di Eulero
momento che ogni componenete connessa di quel
ww Dal
che resta ha un numero di lati strettamente minore di n,
w
per.m
ipotesi induttiva in ogni componente connessa
atatrovare
possiamo
pp. un circuito euleriano.
Ma allora è possibile
uni costruire un circuito euleriano su
mibil primo circuito da v0 a v0 con
tutto G mettendo assieme
quello ottenuto in ogni componente
.it/$ connessa.
a
si1m v
Esempio –
·
·
$0m
b
arin
2
8
a/d
c
3
7
id/m
·
·
·
·
4
5
d
6
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 42
is0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 43
dis0
ancora una volta l’enunciato del teorema di
ww Ricordiamo
Eulero
w.m
Teorema
– Sia G un multigrafo privo di vertici isolati.
a
t
a
Allora G hapun circuito euleriano se e solo se è connesso
p.u hanno grado pari.
e tutti i suoi vertici
nim
È possibile cheib
un.igrafo non connesso
t/$seuleriano?
ammetta un circuito
im
$m
a
b
V ( G ) = { a, b, c, d, e}
arin
a/d
id/m
c
e
d
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 44
dis0
Corollario
ww Il teorema di Eulero ha il seguente corollario
Corollario – Sia G un (multi)grafo privo di vertici isolati.
w
.mGa ha un cammino euleriano se e solo se è
Allora
taepha zero o due vertici di grado dispari.
connesso
p.u
nche
Osserviamo perciò
dei ponti di Königsberg
imiil grafo
non ammette neppure un
cammino
b.it euleriano.
/$si
m$
ma
rina
/did
/m
ww
w.m
atap
Reticoli e anelli
p.u
nim
ib.i
t/$s
im
arin
a/d
dis0
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 45
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 47
Cammini Hamiltoniani
dis0
Reticoli e anelli
ww Riprendiamo l’esercizio
w.m(P (X), ∪, ∩) è un anello? È dotato di unità?
(Pa(tX
a)p, ∩p, ∪) è un anello? È dotato di unità?
Per dotare P ( X.u
) della
nimstruttura di anello dobbiamo
definire le operazioni in ialtro
b.itmodo
il ruolo dell’operazione di /“somma”
$sim è giocato dalla
differenza simmetrica
$m
A △ B = { x | ( x ∈ A) ⊕ ( x ∈ a
Br)}
in
il ruolo dell’operazione di “prodotto” è giocato a/d
id
considerare anche una sorta di problema duale
ww Sidelpuò
problema dei cammini euleriani.
w.m
atap hamiltoniano in un grafo G è un cammino
Un cammino
che passa una
p.euuna sola volta per ogni vertice di G
nim
Il problema si rivela però
ibpiù.icomplesso: non abbiamo un
analogo del teorema di Eulero.
t/$s
im condizioni
(In genere abbiamo teoremi che danno
sufficienti per l’esistenza di un cammino$hamiltoniano.)
ma
rin
Esercizio – In tutti gli esempi di grafi visti provare a
a/d
id/m
costruire cammini euleriani e cammini hamiltoniani.
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 46
$m
dall’intersezione
dis0
3/
(P ( X ), △, ∩) è un anello con unità.
/md
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 48
is0
Reticoli e anelli
Anelli
ww
La costruzione appena vista vale in un qualsiasi reticolo
di Boole.
Sia ( L, ∧, ∨) un reticolo di Boole, se indichiamo con a′ il
complemento di a, allora possiamo definire due
operazioni in L
ww
Concludiamo con un ultimo esempio di anello
Sia A l’insieme costituito da tabelle di questo tipo (dove
a, b, c, d sono numeri interi)
w.m
w.m
atap
atap
p.u
n ∨ ( a′ ∧ b )
a + b = ( a ∧ b′i)m
ib.i
t/$s
a·b = a∧b
im
Allora ( L, +, ·) è un anello con unità.
p.u
nim
a b
c d
In A possiamo definire una “somma” e un “prodotto” in
questa maniera
$m
arin
a/d
id/m
dis0
3/
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 49
a1
c1
ib.i
t/$ s
im
a 1 b1
a b
a + a 2 b1 + b2
+ 2 2 = 1
c1 d1
c2 d2
c1 + c2 d1 + d2
$m
arin
a/d
id/m
b1
a 2 b2
a 1 · a 2 + b1 · c 2 a 1 · b2 + b1 · d 2
·
=
d1
c2 d2
c 1 · a 2 + d 1 · c 2 c 1 · b2 + d 1 · d 2
dis0
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 51
Anelli
ww
ww
Esercizio – Verificare che ( A, +, ·) è un anello con unità
la “tabella”
w.m
atap
w.m
atap
Anelli
p.u
nim
ib.i
t/$s
p.u
im
nim
1 0
0 1
ib.i
Il prodotto non è commutativo, come si vede
moltiplicando, ad esempio le due “tabelle”
$m
arin
a/d
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 50
1 0
0 0
t/$s i0m7
$
5 0 m
arin
a/d
dis0
Per determinarne gli elementi invertibili (rispetto al
prodotto) seguite “Matematica Discreta (complementi)”
3/
id/m
Matematica Discreta (elementi) – E-O – p. 52
dis0
