Elettromagnetismo 1 - (INFN)
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Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 16 – 2.12.2016 Condizioni al contorno Equazione di Laplace nei dielettrici Corrente elettrica. Equazione di continuità Legge di Ohm Anno Accademico 2016/2017 Condizioni al contorno • Possiamo generalizzare la condizione al contorno su D⊥ al caso in cui nell'interfaccia sia presente carica libera • La condizione precedente • Diventa • La condizione per noi più interessante è l'interfaccia metallo-dielettrico lineare • In questo caso uno dei due materiali è un conduttore • Supponendo che il materiale 2 sia conduttore • Ricordando che D = εE Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 308 Condizioni al contorno • Per quanto riguarda la componente tangenziale del campo elettrico questa è continua • Questa condizione deriva dal fatto che il campo elettrico è conservativo • Infatti, considerando una linea chiusa intorno all'interfaccia, come in figura • Per il potenziale le condizioni diventano • Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia V è l'integrale di E • La derivata del potenziale è discontinua • Se n è la normale alla superficie I vettori r1 e r2 variano sulle superfici dei dielettrici N.B.: non ci sono cariche libere sull'interfaccia Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 309 Condizioni al contorno • Riepilogando • Ricordiamo solo le condizioni al contorno per campo elettrico e potenziale • Sono sufficienti per risolvere i problemi • Per il campo elettrico • Per il potenziale • Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia • I vettori r1 e r2 variano sulle superfici dei dielettrici a contatto • La condizione sulla componente normale del campo diventa Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 310 Sfera di dielettrico in campo uniforme • Consideriamo una sfera di dielettrico posta in un campo elettrico uniforme • È un problema analogo a quello della sfera conduttrice in campo uniforme che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva 183 474 ) • Utilizziamo il metodo della separazione delle variabili in coordinate sferiche • C'è simmetria azimutale (V indipendente da φ) • Qualitativamente possiamo dire che il campo elettrico polarizza il dielettrico • Sulla superficie della sfera compare una carica superficiale • Il campo uniforme è distorto • Il campo rimane uniforme all'infinito • All'interno della sfera il campo elettrico è dato dalla somma del campo esterno e del campo generato dalle cariche di polarizzazione z y x Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 311 Sfera di dielettrico in campo uniforme • Esprimiamo il potenziale all'esterno e all'interno utilizzando la formula utilizzata per il problema della sfera conduttrice • La seconda formula è necessaria perché adesso il campo dentro la sfera non è nullo • Le condizioni al contorno sono (ε è la permittività della sfera) • All'infinito campo uniforme • Potenziale continuo sulla sfera • Discontinuità della componente normale • Assumendo come nel caso della sfera conduttrice V0 = 0, la prima condizione permette di porre a zero tutti gli Al escluso A1 = − E0 ( P1(cosθ) = cosθ ) • Inoltre, poiché al centro della sfera il potenziale deve essere finito si ha che per tutti gli l deve essere Dl = 0 Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 312 Sfera di dielettrico in campo uniforme • La condizione di continuità diventa • L'uguaglianza implica che per ogni l devono essere uguali i coefficienti dei corrispondenti polinomi di Legendre Pl (P1 = cosθ) • Per l = 1 • Per l ≠ 1 Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 313 Sfera di dielettrico in campo uniforme • Veniamo adesso alla condizione di discontinuità • Ricordiamo che sulla sfera ∂/∂n = ∂/∂r • Ancora una volta uguagliamo i coefficienti dei polinomi di Legendre dello stesso ordine l • Per l = 1 • Per l ≠ 1 • Confrontiamo con la precedente equazione per l ≠ 1 • Concludiamo che • Per l = 0 → B0 = 0 e C0 = 0 • Per l ≠ 0,1 le due relazioni per Bl implicano che Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 314 Sfera di dielettrico in campo uniforme • Esaminiamo infine le due equazioni trovate per l = 1 • Eliminiamo C1 inserendo la prima equazione nella seconda • Per finire inseriamo il valore trovato per B1 nell'equazione di C1 • Abbiamo trovato il potenziale Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 315 Sfera di dielettrico in campo uniforme • Calcoliamo le componenti del campo elettrico • All'interno Campo uniforme • All'esterno • Sulla superficie della sfera Componente tangenziale continua Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 316 Corrente elettrica • Cominciamo a studiare situazioni in cui le cariche sono in movimento • Per il momento ci limiteremo a movimenti "relativamente lenti" • Velocità piccole rispetto alla velocità della luce • Prima di iniziare a formulare le differenze nelle forze fra le cariche introduciamo una serie di nuovi concetti necessari per descrivere le cariche in movimento • Un moto ordinato di portatori di carica costituisce una corrente elettrica • L'espressione "portatori di carica" è da intendere in un senso molto generale • Possono essere elettroni o ioni • Può essere materia "carica", ad esempio goccioline d'acqua nell'atmosfera • In un filo di materiale conduttore la corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la sezione del filo nell'unità di tempo • La corrente ha un segno: positiva se le cariche positive seguono la freccia • Supponendo che in un tempo Δt la carica ΔQ nel cilindretto blu attraversi la sezione del filo S (gialla) • Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della corrente è l'Ampere (A) Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 317 Correnti elettrica • È importante il flusso netto di carica • Definiamo il senso positivo della corrente • La carica rossa (positiva) contribuisce con segno + • La carica blu (negativa) contribuisce con segno + • Analogamente un atomo o molecola neutri non contribuiscono alla corrente nonostante trasportino carica • La carica rossa (positiva) contribuisce con segno + • La carica blu (negativa) contribuisce con segno − • La corrente non deve necessariamente essere definita all'interno di un filo conduttore • Per una definizione più generale occorre la densità di corrente 80 ) • Abbiamo già utilizzato questo concetto discutendo il flusso (diapo 302 • Avevamo discusso il flusso di materia • Avevamo definito il vettore densità di corrente J = ρ v • Avevamo visto che la quantità di materia che attraversa un superficie S nell'unità di tempo era data da Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 318 Densità di corrente • Consideriamo una situazione in cui le cariche siano tutte dello stesso segno, uguali e che si muovono tutte con la stessa velocità u • La densità delle cariche è n (numero per unità di volume) • La corrente elettrica è definita come la quantità di carica che attraversa la superficie S nella unità di tempo • La carica che attraversa la superficie è quella contenuta nel prisma obliquo definito dalla superficie S e dal lato di lunghezza u Δt • Il volume del prisma è • Possiamo riscriverlo utilizzando i vettori velocità e normale alla superficie • Abbiamo pertanto Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 319 Densità di corrente • Naturalmente la situazione in cui tutte le velocità sono uguali è un caso molto particolare • Nel caso generale avremo • n1 particelle con velocità u1 che contribuiscono • nk particelle con velocità uk che contribuiscono • La corrente totale è la somma delle correnti • Definiamo il vettore densità di corrente • Le sue dimensioni sono: [ J ] = Q L−2 T−1 (C m−2 s−1) • Utilizzando il vettore J la corrente è • Specializziamo J al caso in cui i portatori di carica siano elettroni: qk = −e Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 320 Densità di corrente • Definiamo infine • La densità totale di elettroni, indipendente dalla velocità • La velocità media degli elettroni • Otteniamo la seguente espressione per la densità di corrente • Notiamo che −ene rappresentata la densità di carica ρe degli elettroni • Utilizzando ρe • Avevamo già incontrato una formula simile quando abbiamo definito la densità di corrente per il flusso di fluido Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 321 Densità di corrente • Quando parliamo di conduttori o di sistemi macroscopici allora anche le grandezze che abbiamo definito e utilizzato vanno intese in senso macroscopico • Sono delle medie su volumi dv infinitesimi su scala macroscopica • Volumi grandi su scala microscopica • In questo caso interpretiamo la formula • ne è la densità media degli elettroni nel volume dv • è la velocità media degli elettroni nel volume dv • Sia la velocità media che la densità media possono essere funzione della posizione e del tempo • In questo caso anche J è una funzione della posizione e del tempo J(r,t) • La corrente attraverso una superficie arbitraria (eventualmente ideale, all'interno di un conduttore) è data da (attenzione ai segni) • Se J non dipende dal tempo si parla di correnti stazionarie (steady) • Le cariche si muovono ma le proprietà del flusso non variano nel tempo Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 322 Conservazione della carica • Supponiamo adesso di avere una superficie chiusa S che delimita un volume V • In una regione in cui è presente una densità di corrente J • Calcoliamo il flusso di J • L'integrale rappresenta la quantità di carica che fluisce nell'unità di tempo attraverso la superficie La normale è verso l'esterno La carica è all'interno • Se dQ/dt ≠ 0 significa che la carica si accumula o fuoriesce dal volume attraversando la superficie • In una situazione stazionaria la derivata è nulla • Dal teorema della divergenza, facendo tendere a zero il volume chiuso da S • Divergenza nulla significa che la carica né si crea né si distrugge dentro V Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 323 Conservazione della carica • Consideriamo adesso un caso non necessariamente stazionario • Dentro il volume V delimitato da S ci sarà una densità di carica ρ(r,t) • La carica all'interno sarà data dall'integrale di volume • Nel caso non stazionario QV(t) può variare nel tempo • Inoltre • Per finire abbiamo visto che • Da cui discende l'importantissima equazione di continuità • È una legge di conservazione locale • Sia in forma differenziale che integrale Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 324 Conduzione elettrica • Fino ad ora abbiamo considerato un dato di fatto il movimento dei portatori di carica • In realtà è necessaria una forza perché si muovano • Ad esempio la forza di gravità o gradienti di pressione nell'atmosfera fanno muovere gocce d'acqua cariche • Un altro esempio piò essere la cinghia del generatore Van de Graaff • Le studieremo in seguito: forze elettromotrici • Per il momento consideriamo la forza più ovvia per mettere in moto cariche elettriche: un campo elettrico • Sottolineiamo che si tratta ancora di campi elettrostatici e quindi di campi conservativi • In presenza di un campo elettrico E • Le cariche positive si muovono nella direzione del campo • Le cariche negative si muovono nella direzione opposta • La densità di corrente dipende dal campo elettrico • Per un gran numero di sostanze la relazione fra J ed E è molto semplice • La costante σ è la conduttività Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 325 Conduzione elettrica • Pertanto se consideriamo un filo conduttore • All'interno del conduttore è presente un campo elettrico che mette in moto le cariche • A questo punto occorre porsi una domanda • Come mai c'è un campo elettrico all'interno del conduttore • La risposta risiede nel fatto che la condizione non è statica • In particolare deve esistere un meccanismo che agli estremi del filo • Rimuove la carica che arriva per effetto della conduzione • Fornisce nuova carica per alimentare la conduzione • Ancora una volta, una forza elettromotrice di natura non elettrostatica • In caso contrario si arriverebbe ad una condizione di accumulo di carica agli estremi • Positiva in alto, negativa in basso • Apparirebbe un campo elettrico che si opporrebbe al movimento fino ad arrestarlo • Si giungerebbe ad un equilibrio con campo elettrico nullo • Stazionario non significa statico • Tuttavia il campo elettrico è elettrostatico Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 326 Legge di Ohm • Le dimensioni della conduttività sono [ σ ] = Q2 M−1 L−3 T (C Kg−1 m−3 s) • Una unità che si adopera di solito è (ohm-m)−1 • Come nel caso della densità di polarizzazione la relazione fra J e E può essere più complicata • Può essere non lineare: la conduttività dipende dal campo σ(E) • Il mezzo può essere non isotropo • Considereremo solo mezzi lineari e isotropi per i quali vale • La legge enunciata prende il nome di legge di Ohm • I materiali per i quali vale (lineari, isotropi) sono detti "ohmici" • Nelle applicazione tecnologiche non risulta comodo utilizzare la densità di corrente e il campo elettrico • Si preferisce utilizzare correnti e differenze di potenziale (tensioni) • Ad esempio nei circuiti elettronici Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 327 Legge di Ohm • Per passare alla corrente e alla tensione occorre calcolare • L'integrale di J su una superficie • L'integrale di E lungo una linea • Consideriamo ad esempio un conduttore • La differenza di potenziale fra i suoi estremi • La corrente che fluisce nel conduttore • Si definisce la resistenza del conduttore • Si usa spesso la resistività • La resistività si misura in ohm-m • La resistenza in ohm (Ω) Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 328 Legge di Ohm • Nel ricavare le formule della pagina precedente si sono fatte alcune assunzioni • La densità di corrente J è uniforme sulla sezione S del conduttore • Se J variasse sulla sezione (es. J1 e J2) il campo elettrico sarebbe differente lungo le due linee e non potremmo definire un'unica differenza di potenziale • Analogamente abbiamo supposto che J fosse uniforme lungo la lunghezza del conduttore • In realtà si potrebbero avere condizioni come quelle indicate nelle figure • La formula per la resistenza dipende da questi dettagli • Funziona se questi dettagli sono trascurabili • Infine vale la pena sottolineare che ipotizziamo anche che esista una netta separazione fra il mezzo conduttore e l'ambiente circostante • Significa che possiamo applicare le considerazioni fatte anche a conduttori (resistenze) di forme arbitrarie Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 329 Legge di Ohm • Abbiamo sempre supposto che σ sia costante e che il mezzo fosse omogeneo, caratterizzato da un'unica conduttività • In una condizione di stazionarietà questo implica che non ci sono densità di carica nel materiale • Infatti, in condizioni stazionarie • Dato che J = σE • Viceversa se σ variasse si potrebbero avere densità di carica • Ad esempio consideriamo due conduttori di conduttività diversa σ1 > σ2 • NB: in queste slides σ è la conduttività • In condizioni stazionarie J deve essere lo stesso in entrambi i mezzi • In caso contrario ci sarebbe accumulo di carica sull'interfaccia • Significa che i campi elettrici E1 e E2 sono diversi: E1 < E2 • Il campo ha una discontinuità sull'interfaccia • Sull'interfaccia ci deve essere una densità di carica Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 330
