Elettromagnetismo
Prof. Francesco Ragusa
Università degli Studi di Milano
Lezione n. 16 – 2.12.2016
Condizioni al contorno
Equazione di Laplace nei dielettrici
Corrente elettrica. Equazione di continuità
Legge di Ohm
Anno Accademico 2016/2017
Condizioni al contorno
• Possiamo generalizzare la condizione al contorno su D⊥
al caso in cui nell'interfaccia sia presente carica libera
• La condizione precedente
• Diventa
• La condizione per noi più interessante è l'interfaccia
metallo-dielettrico lineare
• In questo caso uno dei due materiali è un conduttore
• Supponendo che il materiale 2 sia conduttore
• Ricordando che D = εE
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Condizioni al contorno
• Per quanto riguarda la componente tangenziale del campo elettrico
questa è continua
• Questa condizione deriva dal fatto che il campo elettrico è conservativo
• Infatti, considerando una linea chiusa intorno
all'interfaccia, come in figura
• Per il potenziale le condizioni diventano
• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia
V è l'integrale di E
• La derivata del potenziale è discontinua
• Se n è la normale alla superficie
I vettori r1 e r2 variano
sulle superfici dei dielettrici
N.B.: non ci sono cariche
libere sull'interfaccia
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Condizioni al contorno
• Riepilogando
• Ricordiamo solo le condizioni al contorno per campo elettrico e potenziale
• Sono sufficienti per risolvere i problemi
• Per il campo elettrico
• Per il potenziale
• Il potenziale è continuo attraverso l'interfaccia
• I vettori r1 e r2 variano sulle superfici dei dielettrici a contatto
• La condizione sulla componente normale del campo diventa
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Consideriamo una sfera di dielettrico posta in un campo elettrico uniforme
• È un problema analogo a quello della sfera conduttrice in campo uniforme
che abbiamo affrontato in precedenza (vedi diapositiva 183
474 )
• Utilizziamo il metodo della separazione delle variabili in coordinate sferiche
• C'è simmetria azimutale (V indipendente da φ)
• Qualitativamente possiamo dire che il campo elettrico polarizza il dielettrico
• Sulla superficie della sfera compare una carica superficiale
• Il campo uniforme è distorto
• Il campo rimane uniforme all'infinito
• All'interno della sfera il campo elettrico è dato dalla somma del campo
esterno e del campo generato dalle cariche di polarizzazione
z
y
x
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Esprimiamo il potenziale all'esterno e all'interno utilizzando la formula
utilizzata per il problema della sfera conduttrice
• La seconda formula è necessaria perché adesso
il campo dentro la sfera non è nullo
• Le condizioni al contorno sono (ε è la permittività della sfera)
• All'infinito campo uniforme
• Potenziale continuo sulla sfera
• Discontinuità della componente normale
• Assumendo come nel caso della sfera conduttrice V0 = 0, la prima condizione
permette di porre a zero tutti gli Al escluso A1 = − E0 ( P1(cosθ) = cosθ )
• Inoltre, poiché al centro della sfera il potenziale deve essere finito si ha
che per tutti gli l deve essere Dl = 0
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• La condizione di continuità diventa
• L'uguaglianza implica che per ogni l devono essere uguali i coefficienti dei
corrispondenti polinomi di Legendre Pl (P1 = cosθ)
• Per l = 1
• Per l ≠ 1
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Veniamo adesso alla condizione di discontinuità
• Ricordiamo che sulla sfera ∂/∂n = ∂/∂r
• Ancora una volta uguagliamo i coefficienti dei
polinomi di Legendre dello stesso ordine l
• Per l = 1
• Per l ≠ 1
• Confrontiamo con la precedente equazione per l ≠ 1
• Concludiamo che
• Per l = 0 → B0 = 0 e C0 = 0
• Per l ≠ 0,1 le due relazioni per Bl implicano che
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Esaminiamo infine le due equazioni trovate per l = 1
• Eliminiamo C1 inserendo la prima equazione nella seconda
• Per finire inseriamo il valore trovato per B1 nell'equazione di C1
• Abbiamo trovato il potenziale
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Sfera di dielettrico in campo uniforme
• Calcoliamo le componenti del campo elettrico
• All'interno
Campo uniforme
• All'esterno
• Sulla superficie della sfera
Componente tangenziale continua
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Corrente elettrica
• Cominciamo a studiare situazioni in cui le cariche sono in movimento
• Per il momento ci limiteremo a movimenti "relativamente lenti"
• Velocità piccole rispetto alla velocità della luce
• Prima di iniziare a formulare le differenze nelle forze fra le cariche
introduciamo una serie di nuovi concetti necessari per descrivere le cariche
in movimento
• Un moto ordinato di portatori di carica costituisce una corrente elettrica
• L'espressione "portatori di carica" è da intendere in un senso molto generale
• Possono essere elettroni o ioni
• Può essere materia "carica", ad esempio goccioline d'acqua nell'atmosfera
• In un filo di materiale conduttore la corrente elettrica è definita come la
quantità di carica che attraversa la sezione del filo nell'unità di tempo
• La corrente ha un segno: positiva se le cariche positive seguono la freccia
• Supponendo che in un tempo Δt la carica ΔQ nel
cilindretto blu attraversi la sezione del filo S (gialla)
• Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della corrente è l'Ampere (A)
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Correnti elettrica
• È importante il flusso netto di carica
• Definiamo il senso positivo della corrente
• La carica rossa (positiva) contribuisce con segno +
• La carica blu (negativa) contribuisce con segno +
• Analogamente un atomo o molecola neutri non
contribuiscono alla corrente nonostante trasportino carica
• La carica rossa (positiva) contribuisce con segno +
• La carica blu (negativa) contribuisce con segno −
• La corrente non deve necessariamente essere definita
all'interno di un filo conduttore
• Per una definizione più generale occorre la densità di corrente
80 )
• Abbiamo già utilizzato questo concetto discutendo il flusso (diapo 302
• Avevamo discusso il flusso di materia
• Avevamo definito il vettore densità di corrente J = ρ v
• Avevamo visto che la quantità di materia che attraversa un superficie S
nell'unità di tempo era data da
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Densità di corrente
• Consideriamo una situazione in cui le cariche siano
tutte dello stesso segno, uguali e che si muovono
tutte con la stessa velocità u
• La densità delle cariche è n (numero per
unità di volume)
• La corrente elettrica è definita come la quantità
di carica che attraversa la superficie S nella
unità di tempo
• La carica che attraversa la superficie è quella
contenuta nel prisma obliquo definito dalla
superficie S e dal lato di lunghezza u Δt
• Il volume del prisma è
• Possiamo riscriverlo utilizzando i vettori velocità
e normale alla superficie
• Abbiamo pertanto
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Densità di corrente
• Naturalmente la situazione in cui tutte le velocità sono uguali
è un caso molto particolare
• Nel caso generale avremo
• n1 particelle con velocità u1 che contribuiscono
• nk particelle con velocità uk che contribuiscono
• La corrente totale è la somma delle correnti
• Definiamo il vettore densità di corrente
• Le sue dimensioni sono: [ J ] = Q L−2 T−1 (C m−2 s−1)
• Utilizzando il vettore J la corrente è
• Specializziamo J al caso in cui i portatori di carica siano elettroni: qk = −e
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Densità di corrente
• Definiamo infine
• La densità totale di elettroni, indipendente dalla velocità
• La velocità media degli elettroni
• Otteniamo la seguente espressione per la densità di corrente
• Notiamo che −ene rappresentata la densità di carica ρe degli elettroni
• Utilizzando ρe
• Avevamo già incontrato una formula simile quando abbiamo definito la
densità di corrente per il flusso di fluido
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Densità di corrente
• Quando parliamo di conduttori o di sistemi macroscopici allora anche le
grandezze che abbiamo definito e utilizzato vanno intese in senso macroscopico
• Sono delle medie su volumi dv infinitesimi su scala macroscopica
• Volumi grandi su scala microscopica
• In questo caso interpretiamo la formula
• ne è la densità media degli elettroni nel volume dv
•
è la velocità media degli elettroni nel volume dv
• Sia la velocità media che la densità media possono
essere funzione della posizione e del tempo
• In questo caso anche J è una funzione della posizione e del tempo J(r,t)
• La corrente attraverso una superficie arbitraria (eventualmente ideale,
all'interno di un conduttore) è data da (attenzione ai segni)
• Se J non dipende dal tempo si parla di correnti stazionarie (steady)
• Le cariche si muovono ma le proprietà del flusso non variano nel tempo
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Conservazione della carica
• Supponiamo adesso di avere una superficie chiusa S che
delimita un volume V
• In una regione in cui è presente una densità di corrente J
• Calcoliamo il flusso di J
• L'integrale rappresenta la quantità di carica che
fluisce nell'unità di tempo attraverso la superficie
La normale è verso l'esterno
La carica è all'interno
• Se dQ/dt ≠ 0 significa che la carica si accumula o fuoriesce
dal volume attraversando la superficie
• In una situazione stazionaria la derivata è nulla
• Dal teorema della divergenza, facendo tendere a zero il volume chiuso da S
• Divergenza nulla significa che la carica né si crea né si distrugge dentro V
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Conservazione della carica
• Consideriamo adesso un caso non necessariamente stazionario
• Dentro il volume V delimitato da S ci sarà una densità
di carica ρ(r,t)
• La carica all'interno sarà data dall'integrale di volume
• Nel caso non stazionario QV(t) può variare nel tempo
• Inoltre
• Per finire abbiamo visto che
• Da cui discende l'importantissima equazione di continuità
• È una legge di conservazione locale
• Sia in forma differenziale che integrale
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Conduzione elettrica
• Fino ad ora abbiamo considerato un dato di fatto
il movimento dei portatori di carica
• In realtà è necessaria una forza perché si muovano
• Ad esempio la forza di gravità o gradienti di pressione
nell'atmosfera fanno muovere gocce d'acqua cariche
• Un altro esempio piò essere la cinghia del generatore
Van de Graaff
• Le studieremo in seguito: forze elettromotrici
• Per il momento consideriamo la forza più ovvia per
mettere in moto cariche elettriche: un campo elettrico
• Sottolineiamo che si tratta ancora di campi elettrostatici e
quindi di campi conservativi
• In presenza di un campo elettrico E
• Le cariche positive si muovono nella direzione del campo
• Le cariche negative si muovono nella direzione opposta
• La densità di corrente dipende dal campo elettrico
• Per un gran numero di sostanze la relazione fra J ed E è molto semplice
• La costante σ è la conduttività
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Conduzione elettrica
• Pertanto se consideriamo un filo conduttore
• All'interno del conduttore è presente un campo
elettrico che mette in moto le cariche
• A questo punto occorre porsi una domanda
• Come mai c'è un campo elettrico all'interno
del conduttore
• La risposta risiede nel fatto che la condizione non è statica
• In particolare deve esistere un meccanismo che agli estremi del filo
• Rimuove la carica che arriva per effetto della conduzione
• Fornisce nuova carica per alimentare la conduzione
• Ancora una volta, una forza elettromotrice di natura non elettrostatica
• In caso contrario si arriverebbe ad una condizione
di accumulo di carica agli estremi
• Positiva in alto, negativa in basso
• Apparirebbe un campo elettrico che si opporrebbe al movimento
fino ad arrestarlo
• Si giungerebbe ad un equilibrio con campo elettrico nullo
• Stazionario non significa statico
• Tuttavia il campo elettrico è elettrostatico
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Legge di Ohm
• Le dimensioni della conduttività sono [ σ ] = Q2 M−1 L−3 T (C Kg−1 m−3 s)
• Una unità che si adopera di solito è (ohm-m)−1
• Come nel caso della densità di polarizzazione la relazione fra J e E può
essere più complicata
• Può essere non lineare: la conduttività dipende dal campo σ(E)
• Il mezzo può essere non isotropo
• Considereremo solo mezzi lineari e isotropi per i quali vale
• La legge enunciata prende il nome di legge di Ohm
• I materiali per i quali vale (lineari, isotropi) sono detti "ohmici"
• Nelle applicazione tecnologiche non risulta comodo utilizzare la densità di
corrente e il campo elettrico
• Si preferisce utilizzare correnti e differenze di potenziale (tensioni)
• Ad esempio nei circuiti elettronici
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Legge di Ohm
• Per passare alla corrente e alla tensione occorre calcolare
• L'integrale di J su una superficie
• L'integrale di E lungo una linea
• Consideriamo ad esempio un conduttore
• La differenza di potenziale fra i suoi estremi
• La corrente che fluisce nel conduttore
• Si definisce la resistenza del conduttore
• Si usa spesso la resistività
• La resistività si misura in ohm-m
• La resistenza in ohm (Ω)
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Legge di Ohm
• Nel ricavare le formule della pagina precedente si sono fatte alcune assunzioni
• La densità di corrente J è uniforme sulla sezione S del conduttore
• Se J variasse sulla sezione (es. J1 e J2) il
campo elettrico sarebbe differente lungo le
due linee e non potremmo definire un'unica
differenza di potenziale
• Analogamente abbiamo supposto che J fosse uniforme
lungo la lunghezza del conduttore
• In realtà si potrebbero avere condizioni come
quelle indicate nelle figure
• La formula per la resistenza dipende da questi
dettagli
• Funziona se questi dettagli sono trascurabili
• Infine vale la pena sottolineare che ipotizziamo
anche che esista una netta separazione fra il
mezzo conduttore e l'ambiente circostante
• Significa che possiamo applicare le considerazioni
fatte anche a conduttori (resistenze) di forme
arbitrarie
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Legge di Ohm
• Abbiamo sempre supposto che σ sia costante e che il mezzo fosse omogeneo,
caratterizzato da un'unica conduttività
• In una condizione di stazionarietà questo implica che non ci sono densità di
carica nel materiale
• Infatti, in condizioni stazionarie
• Dato che J = σE
• Viceversa se σ variasse si potrebbero avere densità di carica
• Ad esempio consideriamo due conduttori di conduttività diversa σ1 > σ2
• NB: in queste slides σ è la conduttività
• In condizioni stazionarie J deve essere lo
stesso in entrambi i mezzi
• In caso contrario ci sarebbe accumulo
di carica sull'interfaccia
• Significa che i campi elettrici E1 e E2 sono diversi: E1 < E2
• Il campo ha una discontinuità sull'interfaccia
• Sull'interfaccia ci deve essere una densità di carica
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