Moti armonici
di TOMBOLINI GINO
Finalità :
L'obiettivo di questa breve trattazione è quello di mostrare un semplice schema di calcolo che
permette di modellizzare e simulare l'equazione del moto di un sistema fisico costituito da una massa
che oscilla in quanto vincolata ad una molla ed appoggiata su un piano privo di attrito. Dallo studio
della fisica si sa che tale massa si muove di moto armonico. Per la simulazione del sistema utilizzerò il
metodo di Eulero con il quale andrò a risolvere numericamente l'equazione del moto stesso. Dalla
matematica si sa che l'equazione che descrive questo sistema è un'equazione differenziale del secondo
ordine; non occorre che gli studenti sappiano risolvere tale complicata equazione in quanto il metodo di
calcolo utilizzato permette appunto la risoluzione approssimata delle equazioni differenziali.
Obiettivi didattici :
Saper modellizzare il sistema fisico "oscillatore armonico".
Prerequisiti :
Per poter comprendere lo studio che vado a trattare lo studente deve conoscere la cinematica dei
moti, il significato di periodo e di pulsazione angolare, il moto armonico, la seconda legge della
dinamica, il metodo di Eulero e l'uso di un foglio elettronico.
Tempi di attuazione :
Il seguente lavoro può essere effettuato subito dopo lo studio dei moti armonici (purché l'alunno
conosca già l'uso di un foglio elettronico).
I tempi di svolgimento sono di circa 2 o 3 ore di laboratorio.
Impostazione del modello del sistema :
Supponiamo di avere una massa legata ad un estremo di una molla di costante elastica k; l'altro
estremo della molla è bloccato. La massa m, se spostata dalla posizione di riposo della molla, oscilla
lungo una direzione, che consideriamo essere l'asse x. Dato che la massa si muove su di un piano
orizzontale liscio, la forza peso non dà alcun contributo al moto. L'unica forza che determina il
movimento della massa risulta essere quella esercitata dalla molla che sappiamo essere :
F molla = - k x
Si sa che esiste una posizione (la posizione di equilibrio) in cui la molla non esercita alcuna
forza sul corpo. Se il corpo è spostato verso destra, la forza esercitata su di esso dalla molla è diretta
verso sinistra e viceversa se il corpo è spostato verso sinistra. La forza è quindi una forza di richiamo.
Dalla seconda legge della dinamica si ha :
Ftot = m a
-kx=ma
cioè
(1)
Analizzando la (1) si nota che la massa in ogni istante è sottoposta ad una accelerazione che
dipende dalla posizione del punto ed è diretta nel verso opposto allo spostamento stesso; dalla teoria dei
moti armonici si sa che la massa si muove appunto di moto armonico :
a = - (k/m) x
(2)
Abbiamo quindi un mezzo (la formula 2) per poter calcolare il valore dell'accelerazione che
agisce sulla massa in ogni posizione occupata dal corpo stesso nel suo movimento. Per poter impostare
una soluzione numerica del problema occorre definire le condizioni iniziali in cui si trova il sistema,
cioè le condizioni che si hanno nel momento in cui si comincia a studiare il moto. Chiamiamo x0 e v0
rispettivamente la posizione e la velocità iniziale del sistema.
Per risolvere numericamente l'equazione (1) possiamo pensare di suddividere l'intervallo di
tempo in cui si svolge il moto in tanti intervallini elementari di ampiezza dt, con dt sufficientemente
piccolo in modo da poter considerare che nell'intervallo di tempo t <---> t+dt la velocità sia
approssimativamente costante e pari alla velocità istantanea dell'istante t; questo può essere, in prima
approssimazione, accettato purché venga scelto, appunto, un dt molto piccolo.
La ricerca di un valore opportuno per dt è un problema importante in quanto l'uso di un valore
troppo piccolo porterebbe ad un sovrabbondante ed inutile numero di calcoli, mentre l'uso di un dt
troppo grande porterebbe a risultati totalmente errati nella simulazione. La scelta di un valore
sufficientemente piccolo per dt implica la conoscenza dell'ordine di grandezza dei tempi in cui si svolge
il fenomeno (secondi, minuti, ore ...); tale scelta va fatta analizzando il problema specifico trattato.
Chiamiamo questo tempo di riferimento : Tempo base Tb. Possiamo scegliere il valore di dt come
1/100 del tempo base del sistema.
dt = 1/100 Tb
Dato che il sistema attuale rappresenta un moto armonico che sappiamo essere caratterizzato da
un periodo T di oscillazione [ricordo che un moto armonico può essere ottenuto proiettando un moto
circolare uniforme su uno dei diametri della circonferenza su cui si svolge il moto], possiamo usare
proprio il periodo T come tempo base.
Per poter calcolare T occorre conoscere la pulsazione angolare del moto. Quando si sono
studiati i moti armonici, si è visto che essi sono caratterizzati da una equazione del moto del tipo :
a=-ω2x
dove ω è la pulsazione angolare del moto armonico
Per similitudine tra la (2) e la (2 bis) si ottiene :
ω2=k/m
o anche
ne deriva che il periodo del moto vale :
ω = (k/m)1/2
(2 bis)
T = 2 π / ω = 2 π (m/k)1/2
Con le ipotesi dette (velocità costante nell'intervallino dt) possiamo descrivere la posizione della
massa mediante la seguente formula :
x(t+dt) = x(t) + v(t) * dt
(3)
Si sa che v(t) varia da istante ad istante passando dal valore 0 (agli estremi del moto) ad un
valore massimo (nella posizione di equilibrio, per x=0). L'errore compiuto nel considerare invece
costante la velocità per tutto l'intervallino dt è tanto più piccolo quanto più dt è piccolo. Per poter
utilizzare la (3) dobbiamo conoscere il valore di v(t) all'inizio di ogni intervallino; sotto tale ipotesi
potremmo dire di aver trovato la funzione x(t) che descrive la posizione della massa istante per istante.
Dobbiamo quindi trovare tale funzione v(t). Sappiamo che sulla massa agisce l'accelerazione
data dalla (2); tale accelerazione varia istante per istante, ma possiamo considerarla costante
nell'intervallino dt. Con l'ipotesi fatta e ricordando un pò di cinematica, possiamo scrivere la seguente
relazione per la velocità :
v(t+dt) = v(t) + a * dt
(4)
Anche questa relazione è tanto meno affetta da errore quanto più dt è piccolo.
Combinando le relazioni (3) e (4) ed utilizzando la (1) per il calcolo dell'accelerazione,
possiamo risolvere completamente il problema che ci siamo posti, innescando il processo di calcolo a
partire dai valori iniziali x0 e v0.
Per migliorare la precisione della simulazione si può pensare di modificare le formule
utilizzando, per la velocità, non il valore all'inizio dell'intervallo, ma quello a metà dell'intervallo. La
formula (4) va quindi ancora bene se si considera v(t) come la velocità a metà intervallo. L'unica cosa
a cui occorre porre attenzione è che la velocità che agisce nel primo intervallo non è v0, cioè la velocità
all'inizio dell'intervallo fornita come condizione iniziale, ma va calcolata. Per ottenere la velocità a
metà intervallo (da utilizzarsi nella prima serie di calcoli) occorre, dopo aver calcolato
l'accelerazione agente sulla massa in quella posizione, utilizzare la seguente formula :
v(t+dt) = v0 + a * dt/2
(4.1)
La soluzione numerica dell'equazione (1) si può ottenere mediante il seguente schema di
calcolo :
1)
2)
n)
(A)
t=t0
(B)
x=x0
t=t-1+dt
x=x-1+ v-1*dt
.............................
t=t-1+dt
x=x-1+ v-1*dt
.............................
(C)
a=-ω2x0
(D)
v=v0+a*dt/2
a=-ω2x
v=v-1+a*dt
a=-ω2x
v=v-1+a*dt
Notare che con il pedice -1 si è indicato il riferimento alla grandezza specificata nella riga di
calcolo precedente (iterazione precedente), mentre le grandezze senza pedice rappresentano quelle
calcolate nell'attuale riga di calcolo. Le grandezze dt e ω2 sono delle costanti.
Si noti che la prima riga rappresenta le inizializzazioni delle grandezze da utilizzarsi nello
schema di calcolo ed in particolare:
• le formule (A) e (B) inizializzano l'asse dei tempi e la posizione di partenza del corpo;
• la formula (C) calcola l'accelerazione che agisce sul corpo nella posizione iniziale;
• la formula (D) calcola la velocità al centro dell'intervallo dt.
•
•
•
•
Le righe di calcolo successive forniscono i dati dell'evoluzione del moto :
la formula (A) mostra il fluire del tempo ad intervalli discreti dt;
la formula (B), utilizzando la cinematica del moto uniforme, calcola la nuova posizione assunta dal
punto nei successivi intervalli di tempo;
la formula (C) calcola l'accelerazione che agisce sul corpo nella posizione attualmente occupata;
la formula (D), utilizzando la cinematica del moto uniformemente accelerato, calcola la velocità al
centro dell'attuale intervallo.
Prima di impostare il calcolo su un foglio elettronico occorre infine determinare quante volte
iterare la formula (n), cioè definire il tempo di simulazione Ts o durata della simulazione. Dalla
conoscenza del tempo base (in questo caso : il periodo T), possiamo in generale considerare per Ts un
valore pari a tre o quattro o cinque volte il tempo base. Nel nostro caso (il tempo base coincide con il
periodo) osserveremo tre o quattro o cinque periodi rispettivamente.
Ad esempio :
Ts = 3 Tb
Realizzazione del modello su calcolatore :
Per la realizzazione del modello si fa uso di un foglio elettronico (o, se conosciuto, di un
linguaggio di programmazione) sul quale vengono inserite le formule che descrivono il modello.
Alcune celle sono destinate a contenere i dati di partenza come la massa del corpo in Kg, la costante K
della molla in N/m, l'istante iniziale t0 in secondi, la posizione e la velocità iniziali x0 e vo
rispettivamente in m e in m/s infine l'ampiezza degli intervallini dt. Da questi è subito possibile
calcolare la pulsazione angolare, il periodo, la frequenza e proporre il numero di iterazioni.
Successivamente trasferiamo le formule dello schema di calcolo sul foglio elettronico e le
iteriamo (l'iterazione avviene per copia nel foglio elettronico) per il numero desiderato di volte.
Vengono allegati una parte dei risultati ottenuti ed il grafico delle grandezze posizione,
accelerazione e velocità in funzione del tempo.
Conclusioni :
E' possibile, con minime modifiche, riutilizzare il modello di calcolo proposto per affrontare
problemi simili. Ad esempio il moto del pendolo, il moto centrale, ecc. Oppure si può pensare di
introdurre l'attrito viscoso e descrivere, ad esempio, il funzionamento di un ammortizzatore, risolvendo
numericamente moti descrivibili con equazioni orarie molto complesse.
