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AREE
QUADRATO
Area = lato * lato
Area = diagonale * diagonale
2
lato = √ Area
diagonale = √ Area : 2
RETTANGOLO
Area = base * altezza
base = area : altezza
altezza = area : base
TRIANGOLO
Area = base * altezza
2
base = area * 2 : altezza
altezza = area * 2 : base
ROMBO
Area = diagonale magg. * diagonale min.
2
Diagonale magg. = Area * 2 : diagonale min.
Diagonale min. = Area * 2 : diagonale magg.
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PARALLELOGRAMMA
Area = base * altezza
base = area : altezza
altezza = area : base
TRAPEZIO
Area = ( base magg. + base min. ) * altezza : 2
Somma basi = area * 2 : altezza
Altezza = area * 2 : somma basi
POLIGONI REGOLARI
Area = perimetro x apotema : 2
Area = lato 2 * numero fisso (φ)
Apotema = lato * numero fisso (n)
CERCHIO
Perimetro (circonferenza) = 2 * raggio * π
Raggio = circonferenza : 2 : π
Area ( cerchio) = raggio2 * π
Raggio = √ Area : π
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TEOREMA di PITAGORA
Lati dell’angolo retto = CATETI
Lato opposto all’angolo retto = IPOTENUSA
Cateto min.2 + Cateto magg.2 = ipotenusa2
cateto magg.2 = ipotenusa2 - Cateto min.2
APPLICAZIONI
RETTANGOLO
QUADRATO
TRAPEZIO
ROMBO
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CIRCONFERENZA E CERCHIO
PARTI
CIRCONFERENZA = perimetro, linea curva chiusa, i suoi punti sono
equidistanti dal centro.
ARCO = parte di circonferenza
CORDA = segmento che unisce due punti della circonferenza
CERCHIO = superficie racchiusa dalla circonferenza
SETTORE CIRCOLARE = parte di cerchio compresa tra due raggi
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FRAZIONI
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
- calcola il minimo comune multiplo tra i denominatori, è il nuovo
denominatore della frazione e non verrà più modificato
3 + 5 - 2 =
5
2
4
m.c.m. tra 5,2,4 = 20
- dividi l’mcm per ogni denominatore e moltiplica per ogni numeratore
(20 : 5 * 3) + (20 : 2 * 5 ) - ( 20 : 4 * 2 ) =
20
- esegui i calcoli nelle parentesi
12 + 50 - 10 =
20
- esegui i calcoli a numeratore ed ottieni il risultato
52
20
MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE
Per moltiplicare due frazioni tra loro basta moltiplicare tra loro
separatamente il numeratore ed il denominatore
4 *
5
6
7
= 24
35
La divisione di frazioni si trasforma in moltiplicazione invertendo la
seconda frazione (il divisore)
3 : 5 = 3 * 6 = 18
4
6
4
5
20
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ELEVAMENTO A POTENZA
Per elevare a potenza una frazione basta elevare separatamente il numeratore ed il
denominatore.
Esempio
3
2
3
= 3*3*3 = 27
2*2*2
8
NUMERI RELATIVI
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Stesso segno
ripeto il segno e sommo i valori assoluti
Esempio
+5+6
-7 -
= +11
8 = - 15
Segno diverso
ripeto il segno del valore assoluto maggiore,
sottraggo i valori assoluti
Esempio
+ 15 – 4
+7
-
=
+ 11
19 = - 12
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
REGOLA DEI SEGNI:
+
+
per
per
+=
-=
+
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-
per
-=
+
identica per la divisione
POTENZA
+ elevato ad esponente PARI o ad esponente DISPARI dà sempre +
-
elevato ad esponente PARI dà sempre +
-
elevato ad esponente DISPARI dà sempre
-
MONOMI
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Si sommano e sottraggono soltanto monomi SIMILI stessa parte letterale.
Si sommano e sottraggono soltanto i coefficienti numerici, le lettere si trascrivono così
come sono.
3ab + 5ab – 2ab = 6ab
2ab + 5 b2 – 2 b2 -6 b2 +12 ab = 14 ab -3 b2
MOLTIPLICAZIONE
Si possono moltiplicare tra loro tutti i tipi di monomi.
Si moltiplica normalmente la parte numerica, si sommano gli esponenti della parte
letterale.
3ab2 * 5a2b3c = 15a3b5c
DIVISIONE
Si possono dividere tra loro tutti i tipi di monomi.
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Si divide normalmente la parte numerica, si sottraggono gli esponenti della parte
letterale.
15a2b4c : 3ab2 = 5ab2c
POTENZA
Si possono elevare tutti i tipi di monomi.
Si eleva normalmente la parte numerica, si moltiplicano gli esponenti della parte
letterale.
( 5a2b4c ) 3 = 125 a6b12c3
POLINOMI
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Per sommare o sottrarre due polinomi basta togliere le parentesi con la regola dei segni
( + lascia tutto invariato, - cambia tutti i segni interni) e sommare algebricamente tutti i
monomi simili.
MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE
a.Di un polinomio per un monomio
Esempio
= -6 x2 y – 8 x y2 + 10 x2 y2 sommo gli
esponenti di ciascuna lettera
( 10 x4 y6 - 15 x3 y5 - 20 x5 y2 ) : ( - 5 x2 y2 ) = 2x2 y4 - 5 x y3 - 4 x3
sottraggo gli esponenti di ciascuna lettera
la parte numerica segue le regole dei numeri relativi.
b.di un polinomio per un polinomio
Immaginiamo di avere il seguente polinomio
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Il prodotto si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo
polinomio. Così
Iniziamo , quindi, col moltiplicare 3a per a. Avremo:
Passiamo poi a moltiplicare 3a per -3b. Avremo:
Quindi passiamo a moltiplicare +2b per -a. Avremo:
Infine moltiplichiamo +2b per -3b. Avremo:
Quindi il prodotto da noi ottenuto è:
3a2 -9ab + 2ab -6b2.
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Sommando i termini simili abbiamo come risultato finale
3a2 -7ab -6b2.
PRODOTTI NOTEVOLI
1. SOMMA PER DIFFERENZA
( a + b ) * ( a - b ) = a2 – b2 è una moltiplicazione abbreviata
2. QUADRATO DEL BINOMIO
( a + b )2 = a2 + 2*a*b + b2 cioè: primo monomio alla seconda
prodotto dei due monomi raddoppiato
secondo monomio alla seconda
3. CUBO DEL BINOMIO
( a + b )3 = a3 + 3*a2 * b + 3 * a * b2 + b3
Cioè:
-primo monomio alla terza
-prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo
moltiplicato poi per tre
- prodotto del quadrato del secondo monomio per il primo
moltiplicato poi per tre
- secondo monomio alla terza
EQUAZIONI
Procedimento:
1. eseguire tutti i calcoli a destra e sinistra dell’uguale
2. spostare i monomi con la X a sinistra dell’uguale ed i termini senza X
a destra, CAMBIANDO IL SEGNO
3. eseguire gli ultimi calcoli
4. dividere per il numero che moltiplica X a desta e a sinistra
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5. ricordarsi che l’equazione è come una bilancia che deve essere sempre
mantenuta in equilibrio
Esempio:
2(X+4) – 5 = 5(X-2) + 3(X+1)
eseguo i calcoli 2X + 8 = 5X – 10 +3X +3
sposto i monomi cambiando il segno 2X – 5X – 3X = -8 -10 +3
eseguo gli ultimi calcoli -6X = -15
divido per -6 a destra ed a sinistra e resta x = -15 / -6 = 5 / 2
CUBO
l
2
sup. lat. = l * 4
2
sup. tot. = l * 6
3
volume = l
l=
l=
l=
l=
diagonale = l * 1,7
√ sup.lat : 4
√ sup.tot : 6
3
√ volume
diag. : 1,7
PARALLELEPIPEDO
c
a
b
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sup. lat. = a*c*2 + b*c*2
oppure
sup. lat. = 2p base* c
2p base = sup. lat. : c
c = sup. lat. : 2p base
sup. tot. = a*c*2 + b*c*2 + a*b*2
volume = a*b*c
a = vol : b*c
etc
diagonale = √ a2 + b2 + c2
PRISMA
Solido che ha le seguenti caratteristiche: ha due
basi a forma di poligoni congruenti e poste su
due piani paralleli. Possono essere retti ed
obliqui.
Sup. Laterale = per. base * altezza
per. base = Sup. Lat : altezza
altezza = Sup. Lat : per. base
Sup.Totale = Sup. Lat + Area base *2
Volume = Area base * altezza
altezza = Vol : Area base
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Area base = Vol : altezza
Le stesse formule valgono anche per il cilindro, ricordando che la forma
della base è un cerchio.
PIRAMIDE
La piramide retta ha per base un poligono
regolare e l’altezza è perpendicolare nel centro
della circonferenza di base.
La superficie laterale è formata da tanti triangoli
uguali tra loro ed il loro numero è pari al numero
dei lati di base.
L’altezza di ciascun triangolo è l’apotema VK
della piramide
quindi la formula della
superficie laterale è data da
Sup. Laterale = area di un triangolo * n° lati base
Sup. Late. = apotema * lato base * lati base
2
Sup. Late = perimetro base * apotema
2
Perim. Base = 2* sup. Lat.
2
Apot.= 2* sup. Lat.
2
Per il volume si paragona la piramide ad un prisma con la stessa base e la stessa
altezza. Sperimentalmente si dimostra che la piramide equivale ad un terzo del prisma
per cui
Volume = Area base * altezza
3
Altezza = Volume * 3
area base
Area base = Volume * 3
Altezza
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Le stesse formule valgono anche per il cono retto, ricordando che la
forma della base è un cerchio.
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