π πε ε ε ε ε ε ε ε ε

Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE B: CAPACITÀ, ENERGIA DI E
CAPACITÀ, CONDENSATORI, ENERGIA
B.1. Se un protone (carica +e) ha raggio r = 1.2(1015) m, la sua energia elettrostatica è pari a circa
(1 MeV= 1.6(1013)J).
(A) 0.6 MeV
(B) 1.6 MeV
(C) 1.11 MeV
(D) 0.314 MeV (E) 3.0 MeV
SOLUZIONE. Considerando l’elettrone come una sfera conduttrice carica di capacità C = 40r,
l’energia elettrostatica è data da
1 e2 1 e2
1.6 1019

 e
 e  0.599 MV  0.6 MeV
2 C 2 4 0 r
8  8.85 1012 1.2 1015
Se invece consideriamo l’elettrone come una sfera uniformemente carica (vedi esercizio B.10),
l’energia elettrostatica vale
3e 2
31.6 1019
 e
 e  0.719 MV  0.7 MeV
20 0 r
20  8.85 1012 1.2 1015
B.2. Un condensatore è formato da due piastre piane di area S = 0.1 m2
distanti d = 1 cm. Lo spazio tra le armature è pieno per 3/4 di olio (r1 = 5,
d1 = 0.75 cm) e per il restante 1/4 d’aria (r2  1, d2 = 0.25 cm).
La capacità del condensatore è pari a circa
(A) 0.47 nF
(D) 5.31 nF
(B) 314 pF
(E) 22.1 pF
r2=1
d2 = 0.25 cm
r1=5
d1 = 0.75 cm
(C) 111 pF
SOLUZIONE. Il condensatore è formato da due condensatori in serie con capacità C1 e C2:
 S
 S
C1  o r1 , C2  o r2
d1
d2
La capacità C del condensatore complessivo è
1
Cserie
d
 S 
d 
 (C  C )   0 S  1  2   o r1 r2  22.125 pF
d 2 r1  d1 r2
  r1  r2 
1
1
1 1
2
B.3. Il piatto metallico A di sinistra è isolato e ha una densità superficiale di carica A = +5 nC/m2;
il piatto metallico C di destra, parallelo ad A, è isolato e porta una densità superficiale di carica
A
B
C
C = 10 nC/m2. Tra i due piatti è inserita una lastra metallica B
spessa 3 cm collegata a terra. La distanza tra le superfici affacciate
di A e B è d1 = 4 cm mentre tra B e C la distanza è d2 = 7 cm.
La differenza di potenziale VAB vale (in volt)
(A) _______
(B) 22.6
(C) 56.5
(D) 79.1
(E) 101.7
d1
d2
SOLUZIONE. Se i piatti metallici A e C fossero completamente
isolati, lontani da qualsiasi conduttore, si comporterebbero come lastre conduttrici cariche che
genererebbero un campo
1
ESERCITAZIONE B: CAPACITÀ, ENERGIA DI E
A
La presenza della lastra metallica B provoca la polarizzazione delle
cariche elettriche di A e C solo sulle superfici dei piatti affacciate a B;
sulle superfici di B si crea, per induzione elettrica, una densità di
carica uguale in modulo e di segno opposto a quella presente su A e su
C; la somma algebrica delle cariche indotte non è nulla ed è
compensata da una carica uguale e contraria che va a terra. I tre piatti
costituiscono quindi due condensatori tra loro idnipendenti: il campo
elettrico nelle regioni fra le lastre è uniforme e di intensità
EAB 
A
 VAB / d1
0
e
E B C 
B





d1
C
+ + + + + ++
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
d2
C
 VBC / d 2
0
La differenza di potenziale VAB vale quindi
VAB 
 A d1 5  109 C/m 2  0.04m

 22.60 V
0
8.85  1012 C2 /Nm
B.4. Un grande condensatore a facce piane e parallele porta una carica Q = 9.6 nC. Sapendo che la
superficie delle armature del condensatore è S = 160 cm2 e che il condensatore si trova in aria,
calcolare la densità di energia del campo elettrico all’interno del condensatore. (NB: la costante
dielettrica dell’aria è circa uguale alla costante dielettrica del vuoto)
(A)1152 nW/m2 (B)20.3 mJ/m3
(C)1.13 eV/m3
(D)1.15 J/m3
3
(E)580 nJ/m
SOLUZIONE. Il campo elettrico all’interno del condensatore è E = /0 = Q/0S e la densità di
energia vale
B.5. Una sfera conduttrice di raggio r1 = 15 cm è circondata da un guscio metallico
concentrico di diametro interno 2r2 = 31 cm e diametro esterno 2r3 = 33 cm e ha
l’intercapedine tra sfera e guscio ripiena di materiale isolante con costante dielettrica
r = 4. La capacità di tale condensatore vale circa
(A) 0.91 nF
(B) 1.82 nF
(C) 2.07 nF
(D) 4.13 nF
(E) 4.53
nF
r3
r1
r2
SOLUZIONE. La sfera conduttrice interna produce, tra le armature del condensatore (r1 < r < r2)
un campo elettrico radiale di modulo
Il guscio conduttore esterno non dà contributo al campo elettrico al suo interno. La differenza di
potenziale tra le armature è quindi
∫
∫
[ ]
(
)
e la capacità del condensatore vale
(
(
)
)
2
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE B: CAPACITÀ, ENERGIA DI E
C
B.6. Due condensatori uguali con capacità C = 1 F sono collegati come in
figura a un generatore di tensione continua con V = 5 V. Dopo la chiusura
S
V
C
dell’interruttore S, l’energia elettrostatica immagazzinata, rispetto all’energia
iniziale
(A) diventa 1/4
(B) si dimezza
(C) resta uguale
(D) quadruplica (E) raddoppia
SOLUZIONE. Quando l’interruttore è aperto, i due condensatori sono collegati in serie; la capacità
iniziale del circuito è quindi
e la corrispondente energia elettrostatica inziale è pari a
Quando l’interruttore è chiuso, il condensatore più lontano dal generatore di tensione si scarica.
L’altro condensatore immagazzina una quantità di energia elettrostatica EC pari a
B.7. Un condensatore carico e isolato formato da due armature metalliche
affacciate in aria distanti d = 4 mm e di area S = 500 cm2 ha inizialmente una
differenza di potenziale V0 = 1500 V. Tra le armature viene inserita una lamina
conduttrice di spessore s = 2 mm. La differenza di potenziale V1 tra le armature
dopo l’inserimento della lamina vale circa
(A) _______
(B) 750 V
(C) 1000 V
(D) 1500 V
(E) 2000 V
s
d
SOLUZIONE. Per induzione elettrostatica, la lamina conduttrice inserita nel
condensatore si polarizza come rappresentato in figura. Il sistema è ora
costituito da due condensatori in serie di capacità
+
+
+
+
+
+
+
La capacità totale vale
(
)
(
)
(
)
Poiché s = d/2, l’inserimento della lastra porta a un raddoppio della capacità
C0 del condensatore “vuoto”. Poiché la carica Q sulle armature del
condensatore resta invariata, la differenza di potenziale V1 vale
s
dA, CA
d
dB, CB
B.8. Con riferimento al problema precedente, il rapporto tra energia elettrostatica iniziale E0 del
condensatore e l’energia elettrostatica E1 dopo l’inserimento della lamina (E0/E1) vale
(A) 0.375
(B) 0.600
(C) 1.500
(D) 2.000
(E) _______
SOLUZIONE. Le energie elettrostatiche iniziale e finale valgono
3
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE B: CAPACITÀ, ENERGIA DI E
Pertanto il rapporto E0/E1 vale esattamente 2.
B.9. Una sfera conduttrice di raggio R = 0.5 m, è caricata con una carica complessiva Q = 1 mC ed
è posta nel vuoto. Calcolare l’energia potenziale immagazzinata nel campo elettrico generato dalla
sfera carica in tutto lo spazio vuoto circostante e dimostrare che è uguale al lavoro fatto per caricare
la sfera.
(A) 4.5 kJ
(B) 9 kJ
(C) 2.25 kJ
(D) 5.4 kJ
(E) _______
SOLUZIONE. La densità di energia del campo elettrico nel vuoto vale
dove E, il campo elettrico prodotto dalla sfera carica, nello spazio esterno alla sfera a distanza r dal
centro della stessa è dato da
L’energia immagazzinata nel campo elettrico generato dalla sfera si trova integrando la densità di
energia  su tutta la regione di spazio da R a ; poichè l’elemento infinitesimo di volume è un
guscio sferico di volume dV = 4r2dr si ha
∫
∫
(
)
∫
[ ]
Per calcolare il lavoro L fatto per caricare la sfera, consideriamo che il dL infinitesimo per
aumentarne la carica di una quantità infinitesima dq vale dL = V(q)dq dove V(q) è il potenziale
elettrico della sfera con carica q e il lavoro compiuto per caricare valgono
∫
∫
∫
[
]
che coincide con l’espressione dell’energia potenziale elettrica immagazzinata dal campo. Si ha
B.10. La carica di un condensatore di capacità C = 0.01 F passa da Q1 = 1 C a Q2 = 0.5 C. L’energia
del condensatore diminuisce di
(A) 18.75 J
(B) 37.5 J
(C) 75 J
(D) 150 J
(E) 300 J
SOLUZIONE. L’energia iniziale e quella finale sono
L’energia del condensatore dominuisce di 37.5 J
B.11. Quando una carica complessiva Q = 1 mC è portata dall’infinito su una sfera isolante di
raggio R = 1 m, l’energia potenziale acquistata dal sistema costituito dalla sfera e dall’intero spazio
vuoto circostante è di circa
(A) 4.5 kJ
(B) 9 kJ
(C) 2.25 kJ
(D) 5.4 kJ
(E) _______
4
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE B: CAPACITÀ, ENERGIA DI E
SOLUZIONE. L’energia potenziale acquistata dal sistema sfera+spazio è uguale all’energia
elettrostatica della sfera isolante, cioè al lavoro compiuto per portare una carica complessiva Q sulla
sfera da distanza infinita. Supponendo che la carica si distribuisca nella sfera con densità di volume
costante pari a
supponiamo di assemblare la sfera per gusci successivi. Quando la sfera costruita ha raggio r, per
ogni aggiunta di una carica infinitesima dq che distribuiamo su un guscio sferico di volume
infinitesimo dV = 4r2dr compiamo lavoro contro il campo creato dalla carica q(r) già presente
sulla sfera. Il potenziale della sfera di raggio r e carica q(r) e il il lavoro infinitesimo di carica sono
Possiamo esprimere dq in funzione di  e r come
e inserendo questa espressione nella precedente e poi integrando si ottiene
∫
∫
∫
[ ]
Infine, sostituendo l’espressione di  otteniamo
(
)
B.12. Un condensatore con C = 2 F è inizialmente isolato e fra le sue armature vi è una differenza
di potenziale V = 1000 V. Il condensatore carico viene poi collegato in parallelo a un condensatore
uguale e scarico. La differenza fra l’energia elettrostatica iniziale del condensatore e l’energia
elettrostatica finale complessiva dei due condensatori è pari a
(A) 0.25 J
(B) 0.5 J
(C) 1.0 J
(D) 2.0 J
(E)____ J
SOLUZIONE. La situazione è schematizzata in figura. Dopo il collegamento tra i due
condensatori, la carica Q inizialmente accumulata sulle armature del primo condensatore si
ripartisce tra i due condensatori identici. Ogni
+Q
+Q/2
+Q/2
armatura porta perciò una carica pari a
+ + + +
+
+
+
+
Q2 = Q/2 e tra le armature dei condensatori

V
V/2
dopo il collegamento vi è una differenza di
   




potenziale pari a
Q
Q/2
Q/2
L’energia elettrostatica del condensatore iniziale è pari a
mentre i due condensatori, dopo il collegamento, immagazzinano un’energia elettrostatica pari a
5
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE B: CAPACITÀ, ENERGIA DI E
La differenza fra l’energia elettrostatica iniziale del condensatore e l’energia elettrostatica finale
complessiva dei due condensatori è quindi pari a
B.13. Dati i quattro condensatori del disegno con C1 = 1F,
C1
C2 = 2F, C3 = 3F, C4 = 5F, il rapporto Q1/Q2 tra le cariche su C1 e
su C2 vale
C2
(A) 1/15
(B) 1/10
(C) 1/6
(D) 5/2
C4
V
C3
(E) 5/3
SOLUZIONE. Indipendentemente dal resto del circuito, la carica Q1 sul condensatore C1 si
ripartisce tra le armature di C2 e C3 in modo proporzionale alle capacità dei due condensatori:

B.14. Con riferimento al problema precedente, se V = 1000 V, l’energia elettrostatica del
condensatore C1 vale
(A) 27.8 mJ
(B) 41.7 mJ
(C) 347.2 mJ
(D) 2.50 J
(E) 2.92 J
SOLUZIONE. C2 e C3 sono collegati in parallelo: il circuito equivalente è rappresentato in figura.
Deve essere:
V1 C1
C4 V
C2+C3
V2-3
Dalle precedenti relazioni si ricava

(
)
e per , l’energia elettrostatica del condensatore C1 si ha
B.15. L’energia complessiva immagazzinata in C1 e C2 è pari a 0.8 J e
quella in C3 e C4 è di 0.4 J; il voltaggio V vale 30V; l’energia in C2 è
tre volte quella in C1 e l’energia di C4 è tre volte quella di C3. Il valore
di C1 è di
(A) 1 mF
(B) 2 mF
(C) 3 mF
(D) 5 mF
(E) 6 mF
C1
C3
C4
C2
V
6
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ESERCITAZIONE B: CAPACITÀ, ENERGIA DI E
SOLUZIONE. In figura è rappresentato un circuito equivalente a quello del testo.
Tra le armature dei condensatori C1 e C2 c’è la stessa differenza di
potenziale V1-2. Dunque il rapporto tra le energie dei due condensatori è
uguale al rapporto tra le loro capacità:
C1+C2
C3+C4

V
3-4
V
Analogamente, poiché anche tra le armature dei condensatori C3 e C4
V1-2
c’è la stessa differenza di potenziale V3-4, deve essere

Dette Q1, Q2, Q3 e Q4 le cariche sulle corrispondenti armature dei condensatori deve inoltre essere
Utilizzando i dati sull’energia dei due gruppi di condensatori possiamo scrivere
e dividendo membro a membro le precedenti relazioni si ricava
I due gruppi di condensatori sono collegati in serie e la loro capacità equivalente vale
(
)
(
)
(
)
(
)
L’energia totale immagazzinata dal circuito vale 0.8+0.4 = 1.2 J; pertanto

B.16. Un condensatore a facce piane e parallele di area S = 1 m2 poste nel vuoto a distanza
d = 1 mm viene caricato con una carica q = 0.6 C e quindi staccato dal generatore. Se tra le due
armature del condensatore carico viene inserito un dielettrico con r = 2, la differenza tra energia
potenziale finale e iniziale del condensatore
(A) è nulla
(B) è negativa e pari in modulo all’energia iniziale
(C) è positiva e pari all'energia iniziale
(D) è negativa e pari in modulo
all’energia finale
(E) è positiva e pari all’energia finale
SOLUZIONE. La capacità finale Cf del condensatore con il dielettrico inserito è
dove Ci è la capacità iniziale. Poiché il condensatore viene staccato dal generatore, la carica
accumulata sulle sue armature resta costante e la differenza tra energia potenziale finale e iniziale
del condensatore vale
(
)
(
)
L’energia finale è pari alla metà dell’energia iniziale: a carica costante, il condensatore è più stabile
con un dielettrico completamente inserito tra le armature.
B.17. Un condensatore a facce piane e parallele di area S =1 m2 poste nel vuoto a distanza d = 1 mm
viene caricato con una carica q = 0.6 C. Se, mantenendolo collegato al generatore, tra le due
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ESERCITAZIONE B: CAPACITÀ, ENERGIA DI E
armature del condensatore carico viene inserito un dielettrico con r = 2, la differenza tra energia
potenziale finale e iniziale del condensatore
(A) è nulla
(B) è negativa e pari in modulo all’energia iniziale
(C) è positiva e pari all'energia iniziale
(D) è negativa e pari in modulo all’energia
finale
(E) è positiva e pari all’energia finale
SOLUZIONE. La capacità finale Cf del condensatore con il dielettrico inserito è
dove Ci è la capacità iniziale. Poiché il condensatore resta collegato al generatore, la differenza di
potenziale tra le sue armature resta costante e la differenza tra energia potenziale finale e iniziale del
condensatore vale
L’energia finale è pari al doppio di quella iniziale: a potenziale costante, il condensatore è più
stabile senza alcun dielettrico inserito tra le armature.
B.18. Un grande condensatore a facce piane e parallele porta una carica Q = 9.6 nC. Sapendo che la
superficie delle armature del condensatore è S = 160 cm2 e che il condensatore si trova in aria,
calcolare la densità di energia del campo elettrico all’interno del condensatore. (NB: la costante
dielettrica dell’aria è circa uguale alla costante dielettrica del vuoto)
(A)1152 nW/m2 (B)20.3 mJ/m3
(C)1.13 eV/m3
(D)1.15 J/m3
(E)580 nJ/m3
SOLUZIONE. Il campo elettrico all’interno del condensatore è E = /0 = Q/0S e la densità di
energia vale
9.6 109 
1
1  Q 
Q2
J
mJ
 
U E   0 E 2   0 

 0.020339 3  20.3 3
2
2

12

4
2
2   0 S  2 0 S
m
m
2  8.85  10  160  10 
2
2
8