ottica ondulatoria nei dielettrici - dieet

OTTICA ONDULATORIA NEI DIELETTRICI
Modello classico di propagazione delle onde nei dielettrici.
I fenomeni legati alla propagazione delle onde nei mezzi dielettrici isotropi o
anisotropi, lineari o non-lineari purché passivi, ossia non in grado di amplificare,
possono essere spiegati con un semplice modello elettromeccanico, dove le cariche
(elettroni) sono vincolate alla struttura del materiale da forze di richiamo di tipo
elastico o, in certi casi, quasi elastico. La sollecitazione sulle cariche è il campo
elettrico E dell'onda elettromagnetica e l'effetto è la variazione della posizione, ossia
la polarizzazione P del materiale. La bontà del modello è evidenziata dal modo
semplice con cui ad esempio è possibile spiegare e quantificare il fenomeno
conosciuto con il nome di "angolo di Brewster".
Angolo di Brewster
L'angolo di Brewster è quello per cui l'incidenza sulla superficie di discontinuità fra
due dielettrici di un'onda elettromagnetica polarizzata con il campo elettrico sul piano
di incidenza genera esclusivamente un'onda rifratta e non un'onda riflessa. La
spiegazione analitica può essere trovata mediante considerazioni sull'adattamento di
impedenza fra onda incidente e rifratta, tuttavia è possibile dare una spiegazione
fisica intuitiva e convincente, che consente di determinare anche il valore dell'angolo,
nel modo seguente. L'onda rifratta può essere vista come generata da dipoli indotti ad
oscillare all'interno del materiale. Ma è noto che un dipolo oscillante irradia
principalmente lungo la direzione ortogonale al suo asse e non irradia del tutto lungo
il suo asse. Quindi se la direzione di propagazione all'interno del mezzo rifrangente è
ortogonale alla direzione della potenziale onda riflessa, come in figura 1, non si può
avere onda riflessa.
Fig. 1
Dalla figura 1 la relazione fra iB e i'B è:
i'B = π – iB - π/2 = π/2 – iB
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e nell'ipotesi che il mezzo da cui proviene l'onda ha indice unitario (aria) ed il mezzo
in cui penetra ha indice n, per la legge di Snell:
sin iB = n sin i'B = n sin (π/2 – iB) = n cos iB
e quindi l'angolo di Brewster è dato da:
iB = tan-1n
Mezzi otticamente isotropi ed anisotropi
Un mezzo è detto otticamente isotropo quando le sue caratteristiche ottiche sono
indipendenti dalla direzione. Quando si verifica il contrario il mezzo è detto
anisotropo. I liquidi e le sostanze solide amorfe, come il vetro, sono normalmente
isotrope, se non sollecitate dall'esterno, a causa della distribuzione casuale delle
molecole. In diversi cristalli invece le proprietà ottiche, così come altre proprietà
fisiche, dipendono dalla direzione.
Nel modello elettromeccanico precedentemente delineato, se le forze di richiamo
sono differenti al variare della direzione il comportamento è anisotropo, in caso
contrario è isotropo. Essendo il campo elettrico E dell'onda elettromagnetica la
sollecitazione sulle cariche e l'effetto la variazione della loro posizione, ossia la
polarizzazione P del materiale, se il materiale è isotropo, il vettore P ha la stessa
direzione di E:
P = ε0 χ E
dove ε0 è la costante dielettrica nel vuoto e χ la suscettività dielettrica del materiale.
Se il materiale non è isotropo solo in casi particolari il vettore P ha la stessa direzione
di E. In genere la direzione è differente ed è espressa da una relazione del tipo:
P = ε0 [χ] E
dove la [χ] è una matrice 3x3:
 χ11 χ12 χ13 
[χ] = χ 21 χ 22 χ 23 
χ 31 χ 32 χ 33 
Il vettore induzione elettrica è definito da:
D = ε0E + P
quindi nel caso di materiali isotropi:
D = ε0E + ε0 χ E = ε0 (1+ χ) E
mentre nel caso di materiali anisotropi:
D = ε0E + ε0 [χ] E = ε0 ([1] + [χ]) E = [ε] E
dove:
 1 0 0  χ11 χ12
 ε11 ε12 ε13 

[ε] = ε21 ε22 ε 23  = ε0  0 1 0 + χ21 χ22
 0 0 1   χ
ε 31 ε 32 ε33 
  31 χ 32

χ13  
(1 + χ11 )

χ 23   = ε0  χ 21



χ 33  
 χ31
χ12
(1 + χ22 )
χ32
χ13 
χ 23 

(1 + χ33 )
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e di conseguenza:
D x   ε11 ε12 ε13  E x 
 D  = ε
ε 22 ε 23  E y 
y
21
  
 
 D z  ε 31 ε 32 ε 33   E z 
Quindi in un materiale anisotropo i vettori E e D non sono in genere paralleli.
L'onda (dovuta al moto delle cariche elementari presente nel dielettrico) si propaga
perpendicolarmente al vettore D (reazione dielettrica del mezzo) e l'energia, per il
teorema di Poynting, fluisce perpendicolarmente al vettore E, ossia obliquamente
rispetto al fronte d'onda. Quindi il fascio è inclinato rispetto alla direzione di
propagazione del fronte d'onda dello stesso angolo che sussiste fra i vettori E e D.
Dipendentemente dalla polarizzazione si possono avere deviazioni differenti del
fascio.
Anisotropia indotta
L'anisotropia può non essere naturale ma indotta o modificata dall'esterno da una
sollecitazione elettrica (effetto elettroottico), meccanica (effetto meccanoottico),
termica (effetto termoottico) o magnetica (effetto magnetoottico).
Le sollecitazioni di tipo elettrico sono di particolare interesse perché consentono la
realizzazione di efficienti e veloci modulatori della radiazione luminosa.
Le sollecitazioni di tipo meccanico, se indotte da onde acustiche, ossia di
deformazione elastica del materiale, possono essere ben localizzate, distribuite in
modo regolare e quindi tali da generare nel materiale dielettrico dei gradienti di
indice periodici, di passo dell'ordine di alcuni micron, che possono essere utilizzati
per diffrangere un fascio luminoso (reticolo di diffrazione).
Per effetto della temperatura l'indice di rifrazione varia. In particolare nei cristalli
anisotropi la variazione con la temperatura degli indici dipende dalla direzione che si
considera.
Alcuni materiali dielettrici sottoposti ad intensi campi magnetici diventano non
reciproci e conseguentemente la radiazione che li attraversa si comporta in modo
differente a seconda il verso di attraversamento. Mediante questo effetto è possibile
realizzare modulatori o isolatori ottici; tuttavia questi dispositivi hanno poco interesse
per le notevoli dimensioni dei magneti o per le elevate correnti necessarie a produrre i
campi magnetici richiesti.
Indice ellissoidale
Se il materiale è privo di perdite la matrice [ε] è reale e simmetrica. Una matrice
simmetrica può sempre essere diagonalizzata, ossia è possibile effettuare una
rotazione degli assi tale che si abbia:
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0
ε11 0
[ε] =  0 ε 22 0 
 0
0 ε 33 
Di conseguenza:
Dx = ε11Ex, Dy = ε22Ey, Dz = ε33Ez
da cui:
Ex= Dx/ε11, Ey= Dy/ε22, Ez= Dz/ε33,
La densità di energia elettrica immagazzinata nel dielettrico è:
2
1
1  D 2x D y D 2z 

U e = D ⋅ E = 
+
+
2
2  ε11 ε 22 ε 33 
Definendo le quantità:
Dy
Dx
Dz
X=
Y=
Z=
2ε 0 U e
2ε 0 U e
2ε 0 U e
(1)
la precedente diventa:
X2
Y2
Z2
+
+
=1
(ε11 / ε 0 ) (ε 22 / ε 0 ) (ε 33 / ε 0 )
Poiché la velocità della luce nel vuoto è: c =
1
µ0ε0
e quella in un mezzo di data costante dielettrica ε: v =
1
µ 0ε
ed avendo definito l'indice di rifrazione come il rapporto tra la velocità della luce nel
vuoto ed il mezzo:
c
ε
n= =
(2)
v
ε0
si ha:
X 2 Y 2 Z2
(3)
+
+
=1
n 112 n 222 n 332
Questa equazione rappresenta un ellissoide, ellissoide degli indici, e permette di
individuare l'indice di rifrazione di un mezzo anisotropo dipendentemente dalla
direzione di propagazione della luce. La forma dell'ellissoide dipende dalle proprietà
del materiale, che solitamente è un cristallo.
I cristalli sono classificati in tre tipi differenti:
a) a simmetria cubica (n11= n22= n33): l'ellissoide si riduce ad una sfera ed il
comportamento è isotropo;
b) con un asse di simmetria (n11= n22= no ≠ n33= ne): si ha un ellissoide di
rivoluzione attorno all'asse di simmetria, il cristallo è detto uniassico, positivo
o negativo a secondo del segno della differenza degli indici ne-no; l'asse di
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simmetria, ossia quello lungo il quale si ha l'indice n33= ne, è detto asse
straordinario; gli altri due, lungo i quali n11= n22= no, assi ordinari;
c) privi di asse di simmetria (n11≠n22≠n33): il cristallo è detto biassico.
La figura 2 riporta l'ellissoide degli indici di un cristallo biassico.
Fig. 2
Un'onda che si propaga lungo una direzione di un cristallo anisotropo vede indici di
rifrazione diversi dipendentemente dalla polarizzazione.
Con riferimento ad un cristallo uniassico positivo (ne=n33> n11=n22= no), rappresentato
in figura 3, le due direzioni di polarizzazione e i corrispondenti indici di rifrazione si
trovano nel modo seguente. Dal centro dell'ellissoide si traccia una retta nella
direzione di propagazione dell'onda (OP in figura) ed un piano ortogonale alla retta.
L'intersezione di questo piano con l'ellissoide è un'ellisse i cui assi sono paralleli alle
due direzioni di polarizzazione e la lunghezza è uguale all'indice di rifrazione in
quella direzione di polarizzazione. Una di queste direzioni è necessariamente
ortogonale all'asse ottico. L'onda che ha questa polarizzazione è detta ordinaria e
l'indice di rifrazione no, come si può vedere dalla figura 3, è indipendente dalla
direzione di propagazione. L'onda polarizzata nell'altra direzione è detta straordinaria
ed il corrispondente indice di rifrazione ne(θ) varia da no (quando OP è parallelo
all'asse z) a ne (quando OP è ortogonale all'asse z).
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Fig. 3
Fig. 4
Un modo equivalente per descrivere la propagazione dell'onda è attraverso le
cosiddette superfici (ad indici) normali, rappresentate, per lo stesso cristallo uniassico
positivo, in figura 4 e facilmente ricavabili dall'ellissoide di figura 3. In questo caso,
per una data direzione di propagazione, l'intersezione della semiretta OP con le due
superfici dà direttamente (questo è il motivo per cui l'ellissoide è ruotato di π/2
rispetto a quello riportato in figura 3) l'indice di rifrazione. La superficie normale per
l'onda ordinaria è una sfera, per quella straordinaria è un ellissoide di rivoluzione
attorno all'asse z.
La tabella seguente riporta le caratteristiche ottiche di alcuni cristalli birifrangenti
uniassici di uso comune in ottica.
Nome
Formula
indice ordinario
indice straordinario
Calcite
CaCO3
1,658
1,486
Zaffiro
Al2O3
1,764
1,756
Quarzo
SiO2
1,540
1,553
KDP
KH2PO4
1,507
1,467
Niobato di Litio
LiNbO3
2,286
2,200
Polarizzatori
Per polarizzare linearmente la luce non polarizzata o polarizzata ellitticamente è
possibile utilizzare una coppia di prismi birifrangenti uniassici disposti come in figura
5, dove con z è indicato l'asse ottico, ossia l'asse lungo il quale l'indice è
straordinario.
Il funzionamento è basato sulla differenza degli indici di rifrazione, ordinario e
straordinario.
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Fig. 5
Sempre con riferimento alla figura 5, nell'ipotesi in cui l'indice straordinario è
superiore all'indice ordinario (ne > no), l'onda, la cui polarizzazione "vede" l'indice
straordinario, subisce la riflessione interna totale ed è deviata. L'altra onda di
polarizzazione ortogonale "vede" un indice più basso, si trova nella discontinuità in
una situazione al di sotto dell'angolo critico, e prosegue verso il prisma di destra che
invia il fascio rifratto lungo la direzione originale. L'asse ottico del secondo prisma è
diretto in modo tale che il fascio "vede" in ogni caso, ossia anche se la polarizzazione
non fosse quella giusta, un indice ordinario. Nella figura la polarizzazione sul piano è
indicata con dei segmenti, quella ortogonale al piano con dei puntini.
Il campo angolare con cui è possibile immettere un fascio luminoso all'interno del
dispositivo affinché questo continui a funzionare nel modo corretto dipende dalla
differenza degli indici di rifrazione. Infatti l'angolo di incidenza θ deve essere
compreso fra l'angolo critico relativo all'indice ordinario θco e l'angolo critico relativo
all'indice straordinario θce.
Essendo θco= sin-1 (1/no) e θce= sin-1 (1/ne) si deve avere che:
sin-1 (1/no) > θ > sin-1 (1/ne)
La disposizione dell'asse ottico del secondo prisma fa sì che la polarizzazione non
desiderata che dovesse passare per effetto di un invio del fascio con un angolo non
corretto, sarebbe separato angolarmente, anche se di poco, dall'altra polarizzazione. A
titolo di esempio, per un cristallo di quarzo alla lunghezza d'onda di 700nm ne=1,55,
no=1,54 ed i corrispondenti angoli critici sono 40,18° e 40,49°. Per la Calcite la
differenza degli indici è maggiore: alla lunghezza d'onda di 590nm ne=1,49, no=1,66
ed i corrispondenti angoli critici sono 42,16° e 37,04°.
Il separatore di polarizzazione differisce dal divisore di fascio (beam splitter) in
quanto questo ultimo ripartisce un fascio luminoso su due diverse direzioni,
indipendentemente dalla polarizzazione. Il divisore di fascio non richiede l'utilizzo di
cristalli anisotropi perché il suo funzionamento è basato sulla presenza dei campi
evanescenti originati dalla superficie sulla quale si verifica la riflessione interna
totale. Se in prossimità della discontinuità in cui si verifica la riflessione interna totale
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è presente un altro dielettrico si ha un parziale trasferimento dell'energia luminosa
(effetto tunnel ottico). In sostanza un divisore di fascio non polarizzante è costituito
da due prismi retti costituiti dallo stesso materiale (cristallo o vetro) posti quasi a
contatto lungo il lato maggiore in modo da formare un cubo. La larghezza
dell'intercapedine, dell'ordine di λ, determina il rapporto di ripartizione.
Un altro modo per realizzare un polarizzatore è utilizzare un materiale in grado di
assorbire molto una polarizzazione e pochissimo l'altra ortogonale. Le lastre Polaroid
hanno questo comportamento e sono costruite in modo tale da avere all'interno
molecole polimeriche molto allungate ed orientate tutte nella stessa direzione e il
movimento delle cariche lungo differenti direzioni avviene con "attrito", e quindi
assorbimento, diverso. L'inconveniente di questi polarizzatori è che, assorbendo una
polarizzazione anziché deviarla, non possono essere utilizzati su fasci luminosi di
elevata intensità.
Una polarizzazione, anche se parziale, può essere ottenuta utilizzando una lamina
dielettrica posta all'angolo di Brewster: una polarizzazione è totalmente trasmessa,
l'altra lo è parzialmente.
Spesso una lamina all'angolo di Brewster è inserita all'interno dei risuonatori ottici
per bloccare le possibili oscillazione di un polarizzazione non desiderata.
Lamina ritardante
Si consideri una lamina di materiale anisotropo tagliata in modo tale che gli assi ottici
siano paralleli ai suoi spigoli e, per massimizzare il comportamento, gli assi (y e z)
individuati dall'indice più alto e da quello più basso si trovino sulla faccia della
lamina. Un'onda polarizzata linearmente che incide normalmente (direzione x) sulla
superficie della lamina può essere scomposta nelle due direzioni (y e z) degli assi. Le
due onde, viaggiando nell'interno del cristallo con velocità differenti a causa dei
differenti indici di rifrazione (ny e nz), in uscita presentano uno sfasamento fra loro e
quindi la loro composizione dà una polarizzazione ellittica.
Analiticamente, nel caso in cui il campo elettrico Ei dell’onda in ingresso formi un
angolo π/4 con gli assi y e z, le componenti del campo elettrico lungo le direzioni y e
z, dopo avere attraversato lo spessore d, sono:
Ei
Ei

E
(
t
,
d
)
=
cos(
ω
t
−
k
n
d
)
=
cos(ωt − ϕ y )
y
0
y

2
2

E
E
 E z ( t , d ) = i cos(ωt − k 0 n z d ) = i cos(ωt − ϕ z )
2
2

avendo posto φy = k0nyd e φz = k0nzd.
Si consideri un sistema di assi y'-z', ruotati di π/4 rispetto al sistema y-z e sul cui asse
y' giace il campo elettrico in ingresso Ei, come rappresentato in figura 6.
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Fig. 6
La somma algebrica delle proiezioni di Ey (t,d) e di Ez (t,d) su questi nuovi assi è:

E z ( t , d ) E y ( t , d ) E i cos(ωt − ϕ z ) E i cos(ωt − ϕ y )
E'
(
t
,
d
)
=
+
=
+
 y
2
2
2
2

ω
E
(
t
,
d
)
E
cos(
t − ϕy )
E cos(ωt − ϕ z )
i
 E'z ( t , d ) = E z ( t , d ) − y
= i
−

2
2
2
2
Da queste, applicando la relazione goniometrica cos (α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ:
 2 E' y ( t , d )
= cos ωt ⋅ cos ϕ z + sin ωt ⋅ sin ϕ z + cos ωt ⋅ cos ϕ y + sin ωt ⋅ sin ϕ y

Ei
 2 E' ( t , d )
z

= cos ωt ⋅ cos ϕ z + sin ωt ⋅ sin ϕ z − cos ωt ⋅ cos ϕ y − sin ωt ⋅ sin ϕ y

Ei
Raccogliendo a fattore comune:
 2 E' y ( t , d )
= cos ωt (cos ϕ z + cos ϕ y ) + sin ωt (sin ϕ z + sin ϕ y )

Ei
 2 E' ( t , d )
z

= cos ωt (cos ϕ z − cos ϕ y )+ sin ωt (sin ϕ z − sin ϕ y )

Ei
utilizzando le formule di prostaferesi e dividendo per 2 entrambe le equazioni:
E' y ( t , d )
ϕz + ϕy
ϕz + ϕy

=
cos
ω
t
⋅
cos
+
sin
ω
t
⋅
sin

ϕ − ϕy
2
2
 E i cos z

2

ϕz + ϕ y
ϕz + ϕ y
E'
(
t
,
d
)
z

= − cos ωt ⋅ sin
+ sin ωt ⋅ cos
ϕz − ϕ y

2
2
E
sin
i

2
Applicando poi le relazioni goniometriche:
cosα cosβ + sinα sinβ = cos (α-β)
e
sinα cosβ - cosα sinβ = sin (α-β)
si ottiene:
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ϕz + ϕ y 
 E' y ( t , d )



=
cos
ω
t
−


ϕz − ϕ y
2


 E cos
 i
2

ϕz + ϕy 

 E'z ( t , d )

= sin ωt −
ϕz − ϕ y

2


 E i sin

2
e per la relazione fondamentale della goniometria, e avendo posto φz – φy = ∆φ, si
ottiene l’equazione di una ellisse riferita agli assi y'- z':
2
2

 

 E' ( t, d )   E' ( t, d ) 
 y
 + z
 =1
(4)
∆
ϕ
 E cos
  E sin ∆ϕ 
i
i
2  
2 

ossia l’onda in uscita è polarizzata ellitticamente.
Si osservi che i semiassi dell'ellisse sono Ei cos ∆ϕ/2 e Ei sin ∆ϕ/2.
Nel caso in cui ∆φ = 0 l’onda in uscita è polarizzata linearmente nella stessa direzione
dell’onda incidente, ossia E'y(t,d)=Ei.
Nel caso in cui ∆φ = π/2 l’onda in uscita è polarizzata circolarmente. Questo si
verifica quando (nz - ny)·d = λ/4 e si parla di lamina a quarto d'onda.
Nel caso in cui ∆φ = π l’onda in uscita è polarizzata linearmente nella direzione
ortogonale a quella dell’onda incidente, ossia E'z(t,d) = Ei. Questo si verifica quando
(nz – ny)·d = λ/2 e si parla di lamina a mezz'onda.
Si deve sempre tenere presente che per effetto della dispersione [n(λ)] una lamina
cambia il suo comportamento ritardante al variare della lunghezza d'onda.
L'aggiustamento può essere fatto utilizzando l'effetto termoottico, ossia la differente
variazione con la temperatura degli indici di rifrazione lungo gli assi, quindi la
deformazione dell'ellissoide.
Modulatore elettroottico
Per effetto di un campo elettrico esterno l'ellissoide degli indici può subire una
deformazione, ossia ruotare e variare la lunghezza dei suoi assi. Tuttavia è sempre
possibile, nell'ipotesi di materiale privo di perdite, effettuare una rotazione degli assi,
ossia diagonalizzare la matrice e conseguentemente affrontare il problema della
propagazione di un'onda in modo analogo a quanto già visto. In casi particolari di
orientazione della sollecitazione l'ellissoide non ruota, quindi varia soltanto la
lunghezza (∆nx, ∆ny, ∆nz) degli assi e non è necessario effettuarne una rotazione.
Un modulatore elettroottico può essere realizzato utilizzando un cristallo che
sollecitato da un campo elettrico esterno lungo un asse, z ad esempio, varia
linearmente il suo indice lungo quella direzione (effetto Pockels). Se un'onda
luminosa incide sul cristallo come indicato in figura 7, ossia con una polarizzazione
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tale che le sue componenti viaggino con velocità differenti in presenza di campo
elettrico esterno, e dopo il cristallo si inserisce un polarizzatore, detto anche
analizzatore, si è realizzato un modulatore di ampiezza. Infatti la componente del
campo elettrico che esce dall'analizzatore presenta ancora una polarizzazione lineare
ma di ampiezza minore.
Fig. 7
Se si vuole che in assenza di campo elettrico applicato lungo z, nell'ipotesi che il
cristallo sia isotropo (ny = nz) o la sua lunghezza sia tale che si comporti da lamina a
2·λ/2, la radiazione in uscita sia nulla è necessario che l'analizzatore sia orientato
ortogonalmente alla polarizzazione in ingresso, come rappresentato in figura 7.
Nell'ipotesi in cui l'analizzatore si lasci attraversare soltanto dalla componente del
campo elettrico E lungo la direzione z', il campo elettrico dopo l'analizzatore è, per la
(4):
∆ϕ
E' z ( t, d ) = E i sin
2
e il rapporto fra l'intensità della radiazione in uscita e quella in ingresso, essendo
l'intensità proporzionale al quadrato del modulo del campo elettrico:
I out
∆ϕ 1
= sin 2
= (1 − cos ∆ϕ )
I in
2
2
Se si vuole una modulazione la più lineare possibile ∆φ deve assumere valori
prossimi a π/4.
Un modulatore di fase può essere realizzato semplicemente eliminando l'analizzatore
nel modulatore descritto in figura 7 e polarizzando l'onda in ingresso con il campo
elettrico orientato lungo l'asse z.
Angolo fra i vettori E e D in un cristallo uniassico
Si consideri un cristallo uniassico con n11=nx=n22=ny=no≠n33=nz=ne ossia con l'asse
straordinario lungo la direzione z ed un'onda piana la cui direzione di propagazione
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giace sul piano xz. Un'onda polarizzata con il campo elettrico ortogonale al piano xz,
ossia lungo y, "vede", indipendentemente dalla direzione di propagazione sul piano
xz, un indice ordinario no e, per le (1) ed essendo Ex=Ez=0 i vettori E e D sono
paralleli fra loro; viceversa l'indice di rifrazione è una funzione della direzione nel
caso in cui il campo elettrico si trova sul piano xz e, sempre per le (1) ed essendo in
genere Ex≠Ez≠0, i vettori E e D formano un angolo δ fra loro. Questo angolo può
essere facilmente determinato osservando la figura 8, nell'ipotesi in cui il vettore
induzione elettrica D formi un angolo α con l'asse x.
Infatti:

E 
δ =  tg −1 z  − α
Ex 

Fig. 8
Per le (1), osservando che Dz/Dx=tgα, per la (2) e per l'identità nx=no e nz=ne:


 n2


ε

Dε 
δ =  tg −1 z x  − α =  tg −1  x tgα  − α =  tg −1  o2 tgα  − α
(5)
D
ε
ε
n

x z 
 z

 e



Utilizzando la nota identità goniometrica tg(α-β)=[tgα-tgβ]/[1+ tgα·tgβ] può essere
posta nella forma:
2
2
−1  n o − n e tgα 
δ = tg  2
2 2 
 n e + n 0 tg α 
(
)
Per determinare il valore che massimizza l'angolo δ è necessario imporre che si
annulli la derivata di δ, ossia la (5), rispetto ad α:
2
dδ  n o 
1
⋅
=  
dα  n e  cos2 α
1
4
n 
1 +  o  tg 2 α
 ne 
−1 = 0
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essendo noto che:
d −1
f ' (x)
tg f ( x ) =
dx
1 + f (x )2
e
d
1
tg x =
dx
cos2 x
Dall'eguaglianza precedente, ricordando anche che sin2α + cos2α = 1, segue che il
valore di α per cui si ha il massimo di δ è:
ne
α = sin −1
n 2o + n e2
Birifrangenza
Si analizza ora il comportamento di un'onda piana polarizzata ellitticamente che
incide normalmente sulla superficie di una lamina di cristallo uniassico orientato in
modo tale che un asse ordinario giace sulla faccia della lamina (ortogonale al piano
della figura 9) e gli altri due assi, uno ordinario e l'altro straordinario (asse ottico), su
un piano ortogonale alla faccia della lamina, ossia sul piano della figura 9.
Fig. 9
Premesso che un'onda polarizzata ellitticamente può sempre essere scomposta in due
componenti polarizzate linearmente, la polarizzazione ortogonale al piano della
figura "vede" un indice ordinario, i campi E e D sono paralleli fra loro,
conseguentemente viaggia attraverso la lamina in modo "ordinario".
L'onda polarizzata con il campo elettrico sul piano della figura "vede" un indice di
rifrazione che può essere determinato mediante l'ellissoide di figura 3 o 4 e si propaga
ortogonalmente al vettore D (reazione dielettrica del mezzo) poiché è dovuta
fondamentalmente al moto delle cariche elementari presenti nel dielettrico, sollecitate
dal campo elettrico presente nell'interfaccia aria-dielettrico. Ma l'energia, per il
teorema di Poynting, fluisce perpendicolarmente al vettore E, ossia obliquamente
rispetto al fronte d'onda. Quindi il raggio "straordinario" è inclinato rispetto alla
direzione di propagazione del fronte d'onda dello stesso angolo (δ) che sussiste fra i
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vettori E e D. Dopo avere attraversato la lamina i vettori E e D tornano ad essere
paralleli fra loro e quindi l'onda riprende un percorso "ordinario".
Con una lamina così fatta è possibile ottenere la separazione delle due polarizzazioni
di un fascio.
Mezzi lineari e non lineari
In qualsiasi materiale il campo elettrico, e quindi anche quello di un'onda
elettromagnetica, se sufficientemente intenso, produce una polarizzazione che non
dipende più linearmente dallo stesso campo. Con riferimento al modello
elettromeccanico, se la sollecitazione (campo elettrico) supera un certo livello la
forza elastica di richiamo aumenta più che linearmente e quindi lo spostamento delle
cariche (polarizzazione) è inferiore a quello previsto. Il campo di linearità dipende dal
materiale utilizzato. In figura 10a è rappresentato un comportamento lineare mentre
in figura 10b un comportamento non lineare (e non simmetrico).
Nella forma più generale la relazione fra sollecitazione (campo elettrico) e
spostamento (polarizzazione del materiale) è:
F = − Ax − Bx 2 − Cx 3 − Dx 4 − Ex 5 − ...
(6)
Se si è in presenza di un comportamento lineare, e questo si verifica per sollecitazioni
di bassa intensità dove x è piccolo e molto più piccole sono le quantità x2, x3, x4, x5,
..., mancano i termini successivi ad Ax e la precedente si riduce a:
F = −Ax
Cristalli centrosimmetrici e non centrosimmetrici
Un cristallo è detto centrosimmetrico se un suo elettrone che, per effetto di un campo
elettrico orientato in una certa direzione e verso, subisce uno spostamento "vede" una
struttura cristallina identica a quella che vedrebbe se fosse sottoposto allo stesso
campo ma orientato in verso opposto. Se si verifica il contrario il cristallo è detto
non-centrosimmetrico. La figura 10b è riferita ad un cristallo non centrosimmetrico.
Nei cristalli centrosimmetrici devono mancare, per ovvi motivi, le potenze pari
presenti nella (6) che quindi diventa:
F = − Ax − Cx 3 − Ex 5 − ...
Generazione di seconda armonica
Nell'ipotesi di inviare un'onda elettromagnetica sinusoidale di ampiezza tale che siano
trascurabili i termini di potenza superiore a 2, la relazione (6) per un cristallo
centrosimmetrico si riduce a:
F = −Ax
mentre per un cristallo non centrosimmetrico:
F = − Ax − Bx 2
ed i cui andamenti sono ancora rappresentabili con i diagrammi di figura 10a e 10b.
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Fig. 10
Fig. 11
L'andamento della polarizzazione è differente nei due casi. Nel caso di cristallo
centrosimmetrico la polarizzazione ha un andamento sinusoidale, come rappresentato
in figura 11a e desumibile osservando la figura 10a, mentre nel caso di cristallo non
centrosimmetrico l'andamento è periodico, come rappresentato in figura 11b e
desumibile osservando la figura 10b.
L'analisi di Fourier dell'andamento periodico della polarizzazione di figura 11b
mostra che questa può essere scomposta in un'onda sinusoidale alla stessa frequenza
dell'onda periodica, in un'onda sinusoidale a frequenza doppia e in un livello di
continua, come mostrato in figura 12. E' pertanto prevedibile che vengano generate
dai dipoli oscillanti sia la frequenza fondamentale sia la seconda armonica, oltre ad
un livello di continua. Poiché il livello di continua dipende dall'ampiezza dell'onda
incidente, è possibile finalizzare il fenomeno alla rivelazione della forma di impulsi
veloci, purché di notevole intensità.
Affinché l'efficienza di conversione sia buona è necessario che all'interno del cristallo
l'onda fondamentale e la seconda armonica viaggino con la stessa velocità (phase
matching); solo così si può avere la somma in fase delle onde di seconda armonica
generate in rapida successione all'interno del cristallo via via che l'onda fondamentale
si propaga. Ma la velocità delle onde dipende dall'indice di rifrazione e quest'ultimo
dipende dalla frequenza (dispersione) quindi apparentemente il problema è
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irrisolvibile. Il problema può essere risolto utilizzando per la generazione di seconda
armonica cristalli non solo non lineari ma anche anisotropi e facendo in modo che
l'onda fondamentale e la seconda armonica siano polarizzate in modo tale da "vedere"
lo stesso indice di rifrazione.
Fig. 12
Per ottenere un effetto apprezzabile è necessario utilizzare campi molto intensi,
ottenibili soltanto con un oscillatore laser. I primi esperimenti sono stati fatti inviando
impulsi luminosi emessi da un laser al Rubino su un cristallo di quarzo, con
un'efficienza di conversione di circa 10-8. Oggi, utilizzando cristalli più idonei,
impulsi di più elevata potenza di picco ed ottimizzando il "phase matching", si può
raggiungere un'efficienza di conversione di 0,3.
Da un punto di vista quantistico la spiegazione del fenomeno della generazione di
seconda armonica è che avviene, per effetto del cristallo non lineare, la scomparsa di
due fotoni di energia hν e la contemporanea generazione di un fotone di energia h2ν.
Non viene pertanto leso il principio della conservazione dell'energia.
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Bibliografia
- A. Yariv: Laser Electronics - HRW
- S. Ramo, J.R. Whinnery, T.V. Duzer: Fields and Waves in Communication
Electronics – Wiley
- M. Young: Optics and Laser – Springer-Verlag
- D. Meschede: Optics, Light and Lasers – Wiley-VCH
Problemi.
1. Modificare la figura 5 in modo che l'onda il cui campo elettrico si trova sul
piano del foglio prosegua lungo la direzione di ingresso nel caso in cui ne < no.
2. Supponendo di utilizzare nel problema precedente prismi di KDP, determinare
il campo di valori ammissibili per l'angolo ϑ.
3. Si determini lo spessore di una lamina di quarzo affinché questa trasformi la
polarizzazione da lineare a circolare di un fascio la cui lunghezza d'onda è
6328 Å.
4. Dimensionare un cristallo elettroottico caratterizzato da ∆(ne-no)/∆E = 10-10
m/V in modo tale che questo possa fare ruotare di 90° la polarizzazione lineare
di un fascio laser (λ0=6328Å) la cui sezione è 1mm, nell'ipotesi di disporre di
un alimentatore in grado di erogare al massimo 200V.
5. Si determini lo spessore minimo di una lamina di Calcite affinché si possano
separare totalmente, utilizzando la birifrangenza, le due polarizzazioni di un
fascio la cui sezione è di 2 mm.
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