Riassunto del percorso effettuato finora Cosa è ancora necessario

Riassunto del percorso effettuato finora
•
Possono propagare in un plasma onde
elettromagnetiche utili per riscaldarlo?
•
Vi sono onde nel plasma utili anche per
generare corrente? Se sì, che
caratteristiche hanno?
•
•
Sì, onde e.m. che propagano sia nel
vuoto che nel plasma possono produrre
riscaldamento risonante alle frequenze di
ciclotrone ionica ed elettronica (rispett.
con f0 ∼ 100MHz, 100 GHz)
Sì, esistono modi longitudinali (quasielettrostatici) che propagano in plasmi ad
elevata densità, e sono assorbiti sulla
popolazione elettronica. Tali onde non
esistono nel vuoto
Cosa è ancora necessario conoscere?
•
Come progettare un’antenna che lanci nel
plasma onde e.m. (longitudinali) che non
sono accettate dal vuoto?
L’elettromagnetismo
nella ricerca per l’energia
da fusione nucleare di plasma d’idrogeno
Roberto Cesario
[email protected]
Associazione EURATOM-ENEA sulla Fusione
Centro Ricerche ENEA Frascati
Nella lezione di oggi entreremo nel vivo del presente corso integrativo:
Come progettare l’antenna per un sistema RF necessario per riscaldare e produrre
corrente in un plasma
Questi obiettivi sono fondamentali per la ricerca sull’energia da fusione nucleare
Dalla scorsa lezione sappiamo che l’onda elettronica di plasma propaga nel plasma e può cedere
energia agli elettroni per effetto del Landau damping. Quindi essa può generare corrente
L’onda elettronica (detta anche modo elettronico di plasma) è un’onda elettromagnetica
longitudinale (quasi-elettrostatica) che non è accettata dal vuoto (e dai comuni dielettrici).
L’antenna avrà pertanto un modo di funzionamento del tutto non convenzionale.
Dovremo oggi determinare come si modifica la relazione di dispersione dell’onda elettronica di
plasma nel caso di presenza del campo magnetico statico che viene utilizzato per intrappolare il
plasma degli esperimenti per la ricerca sulla fusione
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Un’onda e.m. (piana) con frequenza pari a ωc e, i è assorbita in modo risonante perché le
particelle “vedono” un campo elettrico statico che le accelera
B rf
E rf
!
k
!
Centro guida
!
!c =
rL =
qB
m
v"
!c
frequenza di ciclotrone
=
mv"
q B
Raggio di Larmor
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Siamo interessati a trasferire quantità di moto dall’onda agli elettroni che possono
muoversi liberamente lungo la direzione del campo magnetico statico
Ciò sarebbe utilissimo sia per riscaldare, sia per produrre corrente nel plasma !
E rf
k
v" #
vx
!
$
% vx
k
!
x
!
!
Analogamente al caso dell’assorbimento risonante alla frequenza di ciclotrone, dovremmo
fare in modo da far “sentire” agli elettroni con una certa velocità
vx un campo elettrico
!
statico allineato lungo x, in modo da accelerarli.
Questo sarebbe possibile solo se:
i)
velocità di fase dell’onda è prossima a quella delle particelle,
ii)
campo elettrico e vettore d’onda devono essere quasi allineati.
Ma che tipo onda elettromagnetica sarebbe questa?
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Onde elettromagnetiche longitudinali del tipo: E1 = E1e
i( kx x"#t)
x
associate ad oscillazioni della
popolazione elettronica possono effettivamente esistere in un plasma. La relazione di dispersione del
!
modo elettronico ottenuta con il modello fluido in un plasma freddo (Te=0) ed illimitato è:
Le oscillazioni elettroniche non propagano energia essendo:
Tali oscillazioni possono immaginarsi come come
prodotte da una serie di oscillatori meccanici identici non
accoppiati: in essi la frequenza è fissata ed il numero
d’onda è arbitrario appunto per l’assenza di
accoppiamento tra gli oscillatori.
ug "
#$
=0
#k
!
!
4 #n 0e 2
" pe =
m
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Onde elettromagnetiche longitudinali del tipo: E1 = E1e
i( kx x"#t)
x
associate ad oscillazioni della
popolazione elettronica possono effettivamente esistere in un plasma. La relazione di dispersione del
!
modo elettronico ottenuta con il modello fluido in un plasma freddo (Te=0) ed illimitato è:
Le oscillazioni elettroniche non propagano energia essendo:
Tali oscillazioni possono immaginarsi come come
prodotte da una serie di oscillatori meccanici identici non
accoppiati: in essi la frequenza è fissata ed il numero
d’onda è arbitrario appunto per l’assenza di
accoppiamento tra gli oscillatori.
ug "
#$
=0
#k
4 #n 0e 2
" pe =
m
!
!
La comparsa di accoppiamento avverrebbe se rimuovessimo la condizione di cercare onde
elettromagnetiche longitudinali per cui avremmo:
"# E = $
%B
&0
%t
Le comuni onde piane trasversali note con la soluzione delle equazioni di Maxwell per il
vuoto propagano effettivamente esistono anche nei plasmi. Noi però siamo interessati a
cercare i modi longitudinali perché sono utili per guidare corrente in un plasma con potenza
!
a radiofrequenza.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Onde elettromagnetiche longitudinali del tipo: E1 = E1e
i( kx x"#t)
x
associate ad oscillazioni della
popolazione elettronica possono effettivamente esistere in un plasma. La relazione di dispersione del
!
modo elettronico ottenuta con il modello fluido in un plasma freddo (Te=0) ed illimitato è:
Le oscillazioni elettroniche non propagano energia essendo:
Tali oscillazioni possono immaginarsi come come
prodotte da una serie di oscillatori meccanici identici non
accoppiati: in essi la frequenza è fissata ed il numero
d’onda è arbitrario appunto per l’assenza di
accoppiamento tra gli oscillatori.
ug "
#$
=0
#k
4 #n 0e 2
" pe =
m
!
!
Sintesi di un’onda con k arbitrario
La comparsa di accoppiamento avverrebbe se rimuovessimo la condizione di cercare onde
elettromagnetiche longitudinali per cui avremmo:
"# E = $
%B
&0
%t
Le comuni onde piane trasversali note dalla soluzione delle equazioni di Maxwell per il vuoto esistono
anche nei plasmi. Noi però siamo interessati a cercare i modi longitudinali perché questi sono utili per
generare corrente in un plasma con potenza a radiofrequenza.
!
Un plasma illimitato e freddo evidentemente non è in grado di manifestare importanti effetti collettivi.
Avevamo ottenuto il risultato sopra riportato per un plasma con ioni immobili, facendo sistema tra le equazioni del moto, di continuità e di
Gauss (linearizzate per piccole perturbazioni della densità, velocità e campo elettrico) applicate ad un plasma uniforme e totalmente freddo.
Il modello fluido impedisce che le fluttuazioni trovate possono ripercuotersi in un qualsiasi cambiamento della fdd delle velocità, appunto
perché questa possibilità non è descrivibile nei limiti del modello fluido che impone la fdd essere sempre di tipo maxwelliano.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Vediamo allora cosa succede al modo elettronico longitudinale, quasi-elettrostatico, trovato se abbandoniamo
l’approssimazione del modello fluido di plasma ed assumiamo che la funzione di distribuzione delle velocità
degli elettroni possa evolvere in una forma non necessariamente maxwelliana per effetto di una pertirbazione
i(kx#$t) da cui ci aspettiamo che si origini un campo
della popolazione elettronica del tipo: f1 " e
elettromagnetico prevalentemente longitudinale del tipo
E1 = E1e i( kx"#t) x
avendo omesso il suffisso “x” in pedice a k
Quasi-elettrostatico vuol dire!che in tale modo sebbene è associato un campo magnetico, come ovviamente
deve essere in presenza di cariche in movimento,!esso non gioca un ruolo importante nella determinazione
delle principali caratteristiche dell’onda e in particolare della sua relazione di dispersione. Se uno volesse
determinare in modo esatto il flusso di energia associato all’onda dovrebbe includere anche il piccolo
contributo elettromagnetico.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Vediamo allora cosa succede al modo elettronico longitudinale, quasi-elettrostatico, trovato se abbandoniamo
l’approssimazione del modello fluido di plasma ed assumiamo che la funzione di distribuzione delle velocità
degli elettroni possa evolvere in una forma non necessariamente maxwelliana per effetto di una pertirbazione
i(kx#$t) da cui ci aspettiamo che si origini un campo
della popolazione elettronica del tipo: f1 " e
elettromagnetico prevalentemente longitudinale del tipo
!
!
E1 = E1e i( kx"#t) x
avendo omesso il suffisso “x” in pedice a k
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Vediamo allora cosa succede al modo elettronico longitudinale, quasi-elettrostatico, trovato se abbandoniamo
l’approssimazione del modello fluido di plasma ed assumiamo che la funzione di distribuzione delle velocità
degli elettroni possa evolvere in una forma non necessariamente maxwelliana per effetto di una pertirbazione
i(kx#$t) da cui ci aspettiamo che si origini un campo
della popolazione elettronica del tipo: f1 " e
elettromagnetico prevalentemente longitudinale del tipo
E1 = E1e i( kx"#t) x
avendo omesso il suffisso “x” in pedice a k
Utilizzando il modello cinetico, facendo sistema tra:
!
• L’equazione di Boltzmann-Vlasov linearizzata (che gioca un ruolo analogo per la funzione di
!
dtstribuzione di quello che giocano le equazione
del moto e di continuità per il modello fluido):
"
"
e
"
f1( x,v x ,t ) + v x
f1 ( x,v x ,t ) # E1x $
f 0 (v) = 0
"t
"x
m
"v x
"f 0 (v)
ieE1x ( x,t ) "v x
f1 (x,v,t) =
m
# $ kv x
- avendo considerato i soli termini infinitesimi del 1^ ordine nello sviluppo fdd:
!
!
• e l’equazione di Gauss:
" # E = 4 $e(n i % n e )
f (x,v,t) " f 0 (v) + f1( x,v x ,t ) + ...
" # E = 4 $e(n i % n e0 % n1)
abbiamo ottenuto nella scorsa lezione:
!
ikE1x
!
ikE1x = %4 $en1
4 #e 2iE1x
="
m
&&&
ikE1x = %4 $e
$f 0
$v x
d 3v
% " kv x
Da cui otteniamo la relazione di dispersione (rdd) per il modo elettronico: 1 =
!
" 2pe
k2
%
&
$%
&&&
f1d 3v
)
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x
v x $ (" / k )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1= 2
dv x
v
$
"
/
k
(dove si intende: k // x )
)
k
x (
&
$%
!
!
Il problema generale che vogliamo affrontare è ricercare un’espressione analitica della rdd,
della relazione cioè tra ω e k che deve valere per il modo elettronico di plasma.
Tale relazione sarà utile a comprendere il meccanismo di interazione onda-particelle.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
La singolarità nell’integrando per
è una quantità complessa e k reale
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
!
!
!
k
2
&
$%
v x $ (" / k )
dv x
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
La singolarità nell’integrando per
k
2
v x $ (" / k )
dv x
$%
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
è una quantità complessa e k reale
&
!
!
Si potrebbe pensare di approssimare l’integrale con la parte principale di Cauchy
!
Ipotizzando: Im(" / k ) << 1
!
Re(" / k ) >> 1
Im( v x )
!
!
Re( v x )
C1
per cui l’integrale potrà approssimarsi con:
+%
&
#%
!
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x ' P
v x # ($ / k x )
+%
&
#%
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x (
v x # ($ / k x )
" /k
v x =($ / k ) #
&
#%
!
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x +
v x # ($ / k x )
)
"f 0!
( v x ) /"v x dv
x
v x # ($ / k x )
v x =($ / k ) +
+%
&
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
La singolarità nell’integrando per
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
!
è una quantità complessa e k reale
!
Si potrebbe pensare di approssimare l’integrale con la parte principale di Cauchy
!
Ipotizzando: Im(" / k ) << 1
!
Re(" / k ) >> 1
Im( v x )
Ma Landau sostenne che trascurando il
contributo della parte immaginaria della
frequenza si ometteva un’importante proprietà
!
fisica del modo elettronico
!
Re( v x )
C1
per cui l’integrale potrà approssimarsi con:
+%
&
#%
!
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x ' P
v x # ($ / k x )
+%
&
#%
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x (
v x # ($ / k x )
" /k
v x =($ / k ) #
&
#%
!
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x +
v x # ($ / k x )
)
"f 0!
( v x ) /"v x dv
x
v x # ($ / k x )
v x =($ / k ) +
+%
&
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
La singolarità nell’integrando per
è una quantità complessa e k reale
k
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
!
Si potrebbe pensare di approssimare l’integrale con la parte principale di Cauchy
!
Ipotizzando: Im(" / k ) << 1
!
!
Re(" / k ) >> 1
Im( v x )
Ma Landau sostenne che trascurando il
contributo della parte immaginaria della
frequenza si ometteva un’importante proprietà
!
fisica del modo elettronico
Re( v x )
C1
" /k
!
Utilità fondamentale del teorema dei residui è proprio quella di permettere di calcolare in modo
esatto un integrale lungo l’asse reale che contiene una singolarità dell’integrando. Per
!
effettuare il calcolo si costruisce un percorso di integrazione chiuso nel piano complesso, che
contenga l’asse reale e circondi il punto la cui parte reale coincide con la singolarità (parte
reale) dell’integrando
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
v x = " / k non sussiste poiché nella realtà ω
La singolarità nell’integrando per
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
è una quantità complessa e k reale
!
Si potrebbe pensare di approssimare l’integrale con la parte principale di Cauchy
!
Ipotizzando: Im(" / k ) << 1
data la forma di
Re(" / k ) >> 1
)
f 0 (v x ):
Im( v x )
)
f 0 (v x ) " exp(#mv x 2 / 2KT )
! molto contributo per: v > Re(" / k ) >> 1
! derivata non dà
la sua
x
x
!
! f)
0
(v x )
!
Re( v x )
C1
!
" /k
v x > Re(" / k x ) >> 1
!
!
per cui l’integrale potrà approssimarsi con:
!
0
vx
+%
P
&
#%
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x '
v x # ($ / k x )
v x =($ / k ) #
&
#%
!
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x
v x # ($ / k x )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
teorema dei residui
C2
!
"
+C1
f ( z ) dz +
"
f ( z )dz = 2 #i [( z $ z 0 ) f ( z )]
z=z 0
Re( v x )
C1
+C 2
" /k
dove f(z) è funzione olomorfa con singolarità in z= z0 della variabile complessa z e
D è un dominio regolare contenuto nel campo in cui f(z) è olomorfa
!
!
Utilità fondamentale del teorema dei residui è proprio quella di permettere di calcolare in modo esatto
! un
integrale lungo l’asse reale che contiene una singolarità dell’integrando su un punto dell’asse reale. Se tale
punto ha anche una parte immaginaria, l’integrale può essere calcolato in modo più completo della semplice
approssimazione con la parte principale di Cauchy.
Per effettuare il calcolo si costruisce un percorso chiuso di integrazione nel piano complesso, che comprende
l’asse reale e circonda il punto la cui parte reale coincide con la singolarità (parte reale) dell’integrando.
L’integrale sui valori dell’asse reale, tranne la singolarità, corrisponde al valore principale di Cauchy.
L’integrale sulla restante parte del percorso del piano complesso *nel ns. Caso per valori complessi della
velocità) consente di tenere conto dell’ulteriore informazione non contenuta nella parte principale di Cauchy.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
teorema dei residui
C2
!
"
+C1
f ( z ) dz +
"
f ( z )dz = 2 #i [( z $ z 0 ) f ( z )]
z=z 0
Re( v x )
C1
+C 2
" /k
dove f(z) è funzione olomorfa con singolarità in z= z0 della variabile complessa z e
!
D è un dominio regolare contenuto nel campo in cui f(z) è olomorfa
!
Siamo interessati al solo calcolo dell’integrale per velocità sull’intero asse reale includendo però
! anche
l’effetto della parte immaginaria della frequenza. Dal teorema dei residui abbiamo:
)
2"i #f 0 ( v x ) /#v x
[
]v
x =$ / k
=
&
+C1
!
)
#f 0 ( v x ) /#v x
+
v x % ($ / k )
&
+C 2
)
#f 0 ( v x ) /#v x
v x % ($ / k )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
teorema dei residui
C2
!
"
f ( z ) dz +
+C1
"
f ( z )dz = 2 #i [( z $ z 0 ) f ( z )]
z=z 0
Re( v x )
C1
+C 2
" /k
dove f(z) è funzione olomorfa con singolarità in z= z0 della variabile complessa z e
!
D è un dominio regolare contenuto nel campo in cui f(z) è olomorfa
!
Siamo interessati al solo calcolo dell’integrale per velocità sull’intero asse reale includendo però
! anche
l’effetto della parte immaginaria della frequenza. Dal teorema dei residui abbiamo:
)
2"i #f 0 ( v x ) /#v x
[
)
)
f
(v
)
Ma data la forma di 0 x : f 0 (v x ) " exp(#mv x 2 / 2KT )
]v
x =$ / k
=
&
)
#f 0 ( v x ) /#v x
+
v x % ($ / k )
+C1
l’integrale su C2 diverge, per cui il teorema in questi termini non può venire utilizzato
!
!
!
&
+C 2
)
#f 0 ( v x ) /#v x
v x % ($ / k )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Landau propose comunque di procedere al calcolo analitico dell’integrale
della rdd ipotizzando…:
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Ipotizziamo che il polo sia tale che:
!
Im(" / k ) << 1
!
Im( v x )
Re(" / k ) >> 1!
!
" /k
!
l’integrale su C2 diverge, per cui il teorema in questi termini non può venire utilizzato
!
Re( v x )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Approccio del calcolo seguito da Landau
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
Considerando il percorso di integrazione lungo la circonferenza di un cerchio di
area infinitesima contenente il polo varrà, per il teorema dei residui:
"
f ( z ) dz = 2#i [( z $ z 0 ) f ( z )]
!
z=z 0
C0
!
%
)
)
"f 0 ( v x ) /"v x
= 2&i "f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
[
" /k
C0
]v
x =$ / k
+C 0
! Poiché l’area del cerchio è infinitesima è lecito assumere che l’integrale
corrispondente a metà della circonferenza sia al limite pari a metà residuo
!
!
Cerchio di area infinitesima
contenente il polo
Re( v x )
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Approccio del calcolo seguito da Landau
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
Considerando solo metà percorso, il teorema dei residui dà:
"
f ( z ) dz = #i [( z $ z 0 ) f ( z )]
!
z=z 0
C'
!
%
+C '
)
)
"f 0 ( v x ) /"v x
= &i "f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
v x =$ / k
[
]
" /k
Re( v x )
C’
Nota bene il verso di percorrenza
! ! della
semicirconferenza che poi
agganceremo all’asse reale da "# a + #
!Poiché l’area del cerchio è infinitesima è lecito assumere che l’integrale
corrispondente a metà della circonferenza sia al limite pari a metà residuo
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Approccio del calcolo seguito da Landau
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
!
%
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x =
v x # ($ / k )
#%
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
Re( v x )
C
+C
!
!
È chiaro che integrando sull percorso C otterremo un’informazione ulteriore
rispetto alla considerazione della sola parte principale di Cauchy:
%
&
#%
#
v x =($ / k )
+% )
)
)
"f 0 ( v x ) /"v x
"f 0 ( v x ) /"v x
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x ' P
dv x '
dv x
v x # ($ / k )
v x # ($ / k x )
v x # ($ / k x )
&
#%
&
#%
Landau aveva intuito infatti che la sola parte principale di Cauchy ometteva un aspetto decisivo di interazione onda-plasma
!
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
% )
i(kx#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e
2
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
1=
Approccio del calcolo seguito da Landau
k
2
&
v x $ (" / k )
dv x
$%
!
Im( v x )
!
La via giusta trovata da landau è dunque:
!
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x =
v x # ($ / k )
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
=P
v x # ($ / k )
%
#%
+C
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
+C
+% )
&
)
"f 0 ( v x ) /"v x
+ 'i "f 0 ( v x ) /"v x
v x # ($ / k )
[
]v
!
x =$ / k
#%
Da cui:
!
Re( v x )
C
1=
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v x $ (" / k x )
*
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
Richiamo delle nozioni delle scorse lezioni
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(kx#
x x#$$t)t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: ff11"
"eei(k
(abbiamo ora esplicitato l’assunzione
fatta all’inizio: kx≡ k // x )
1=
!
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
Im( v x )
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
!
!
Re( v x )
!
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
Calcolando per parti l’integrale nella relazione della rdd:
+%
P
&
#%
+%
+%
)
)
)
!)
+%
'
*
"f 0 ( v x )
f 0 (v x )
# f 0 (v x )
f 0 (v x )
1
, #P
dv x = )
dv x = P
dv x
2
2
"v x v x # ($ /k x )
)( v x # ($ / k x ) ,+
[v x # ($ / kx )]
[v x # ($ / kx )]
#%
&
&
#%
)
f 0 (v x ) =
!
m
e
2"KT
#
#%
1 mv x 2
2 kT
+$
%[
!
"$
!
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
"2
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+%
P
&
#%
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
]
+%
)
)
!f 0 ( v x )
"f 0 ( v x ) /"v x
dv x = P
dv x
2
v x # ($ / k x )
[v x # ($ / kx )]
&
#%
Questo integrale coincide con la media della funzione:
!
[
,
*
v x =" / k x *
.
+%
P
[v x " (# / kx )]
"2
$
&[
"%
+%
&
)
f 0 ( v x ) dv x
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
"2
essendo infatti per definizione:
2
!
)
f 0 ( v x ) dv x
Per cui si ha:
"%
+$
P
%[
"$
!
!
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
"2
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
Dunque:
+$
P
%[
"$
!
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
!
"2
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
)
f 0 (v x )
+$
P
%[
"$
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
!
dove vale:
!
"2
=
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
&
"
[v x " (# / kx )]
!
#
n=0
d n g( x) 1 n
x
dx n n!
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
"2
2
1
=
*,
$ v
'.,
x
" 1)/
+(# / k x )&
,% (# / k x ) (,0
per l’ipotesi: (" / k x ) >> v x
2
Possiamo allora sviluppare attorno al punto x=0 la funzione
g( x) =
=
1
$
vx '
2
#
/
k
1"
&
)
( x)
#
/
k
% (
x )(
2
= (# / k x )
"2
$
vx '
&1"
)
#
/
k
(
)
%
x (
"2
$
vx '
"2
g( x ) = &1"
) = (1" x )
% (# / k x ) (
x=
vx
" / kx
!
dg( x )
3
"3
= "2[1" x ] ("1) = 2[1" x ]
!
d 3g( x )
dx
"2
avendo posto:
!
dx
!
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
!
1
vx
<< 1
" / kx
" 2pe
k x2
"5
d 2 g( x)
"3
= "24[1" x ] ("1) = 24 [1" x ]
dx 2
"5
= "6[1" x ]
"4
("1) = 6[1" x ]
"4
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
)
f 0 (v x )
+$
P
%[
"$
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
!
dove vale:
!
=
&
[v x " (# / kx )]
g( x) =
!
#
n=0
d n g( x) 1 n
x
dx n n!
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
"2
!
1
vx
<< 1
" / kx
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
2
=
1
*,
$ v
'.,
x
" 1)/
+(# / k x )&
,% (# / k x ) (,0
per l’ipotesi:
=
2
1
$
vx '
2
#
/
k
1"
&
)
( x)
#
/
k
% (
x )(
2
= (# / k x )
"2
"2
$
vx '
&1"
)
#
/
k
(
)
%
x (
avendo posto:
(" / kx ) >> v x
x=
"2
$
vx '
"2
g( x ) = &1"
) = (1" x )
% (# / k x ) (
Possiamo allora sviluppare attorno al punto x=0 la funzione
"
!
"2
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
" 2pe
k x2
vx
" / kx
!
!
dg( x )
dx
"3
= 2(1" x )
!
d 2 g( x)
dx 2
1
2
= 6(1" x )
"4
d 3g( x )
dx 3
= 24(1" x )
1
6
"5
(1" x)"2 = 1+ [ 2(1" x)!"3 x=0 ]( x " 0) + [ 6(1" x )"4 x=0 ] ( x " 0) 2 + [ 24 " 2(1" x)"5 x=0 ] ( x " 0) 3 + ...
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
)
f 0 (v x )
+$
P
%[
"$
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
!
dove vale:
!
=
&
[v x " (# / kx )]
g( x) =
!
#
n=0
d n g( x) 1 n
x
dx n n!
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
"2
!
1
vx
<< 1
" / kx
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
2
=
1
*,
$ v
'.,
x
" 1)/
+(# / k x )&
,% (# / k x ) (,0
per l’ipotesi:
2
(" / kx ) >> v x
Possiamo allora sviluppare attorno al punto x=0 la funzione
"
!
"2
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
" 2pe
k x2
=
1
$
vx '
2
#
/
k
1"
&
)
( x)
#
/
k
% (
x )(
2
= (# / k x )
"2
"2
$
vx '
&1"
)
#
/
k
(
)
%
x (
avendo posto:
x=
"2
$
vx '
"2
g( x ) = &1"
) = (1" x )
% (# / k x ) (
vx
" / kx
!
!
dg( x )
(1 " x)"2 = 1 + 2x + 3x 2!+ 4 x 3 + ...
dx
"3
= 2(1" x )
!
d 2 g( x)
dx 2
= 6(1" x )
"4
d 3g( x )
dx 3
= 24(1" x )
"5
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+$
P
%[
"$
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
!
!
"2
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
$ (# / k x )
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
"2
!
"2
(
"2 %
vx (
2v x
3v x2
4v x3
'
+
+
+ ...*
'1"
* = (# / k x ) 1+
2
4
'& (# / k x ) (# / k x )
*)
& (# / k x ) )
(# / kx )
"2 %
]
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+$
P
%[
"$
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
[v x " (# / kx )]
"2
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
"2
!
$ (# / k x )
"2
(
2
3
"2 %
vx (
2v
3v
4v
x
x
x
+
+
+ ...*
'1"
* = (# / k x ) '1+
2
4
'& (# / k x ) (# / k x )
*)
& (# / k x ) )
(# / kx )
"2 %
!
!
" 2pe
k x2
I termini di ordine dispari si annullano eseguendo la media.
Pertanto considerando il solo primo termine dello sviluppo si può approssimare con:
[v x " (# / kx )]
"2
$ (# / k x )
"2 %
(
'1+
*
'& (# / k x ) 2 *)
3v x2
Ma la media è effettuata mediante la funzione di distribuzione di tipo
maxwelliano
per gli elettroni, ricordando l’importante relazione sul
1
!
2 1
mv
x = KT e
concetto di temperatura (trovata nella prima lezione):
2
2
v x2 =
KT e
m
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
+$
P
%[
"$
!
)
f 0 (v x )
v x " (# / k x )]
2
dv x & [ v x " (# / k x )]
!
"2
" 2pe
k x2
" (# / k x )
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
$2 %
[
]
( + .2 % + .2
(
'1+
* = - k x 0 '1+ - k x 0 3 KT e *
m *)
'& (# / k x ) 2 *) , # / '& , # /
3v x2
!
1
1
KT e
mv x2 = KT e v x2 =
2
2
m
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
!
" 2pe # k x &2) # k x &2 3KT e ,
+1+ % (
.
Per la parte reale della relazione di dispersione (1) si ottiene: 1 =
2 %$ " ('
$
'
"
m
+*
.kx
!
"
Questa relazione dà la frequenza del modo cercato
2
= " 2pe
" 2pe 3KT e 2
+ 2
kx
m
"
Nella relazione di dispersione trovata compare esplicitamente il numero d’onda, per cui i modi trovati
!
possono trasportare energia se Te > 0, valendo in generale:
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
!
"
Questa relazione dà la frequenza del modo cercato:
Ricordiamo che con il modello fluido freddo la stessa ricerca
di oscillazioni elettrostatiche elettroniche aveva dato:
!
!
2
= " 2pe
" 2pe 3KT e 2
+ 2
kx
m
"
" 2 = " 2pe
]
,
*
v x =" / k x *
.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
!
La parte reale della frequenza del modo elettronico è:
"
2
= " 2pe
" 2pe 3KT e 2
+ 2
kx
m
"
Abbiamo ottenuto il termine di correzione di temperatura finita
! per la frequenza delle oscillazioni elettroniche,
nota già prima di Landau. Vediamo ora di determinare anche l’effetto introdotto dalla parte immaginaria della
frequenza che si è ripercosso nella presenza anche in una parte immaginaria nella rdd.
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
]
,
*
v x =" / k x *
.
" 2pe # k x &2) # k x &2 3KT e ,
.
1 = 2 % ( +1+ % (
k x $ " ' +* $ " ' m .-
La parte reale della rdd dato:
!
Per stabilire se il modo è assorbito bisogna considerare anche la parte immaginaria della rdd:
ipotizziamo che il contributo della temperatura sia trascurabile, che corrisponde a velocità di fase
dell’onda relativamente elevate :
!
# k x &2 3KT e
<< 1
% (
$ " ' me
# " &2
3KT e
<< % (
me
$ kx '
e che la frequenza dell’onda coincida con la frequenza di plasma elettronica: "
2
v 2) >>
3KT e
me
# " 2pe
!
Con tali ipotesi la parte principale dell’integrale nella rdd si
approssima con:
+%
!
P
&
#%
)
( k x +2
"f 0 ( v x ) /"v x
dv ' * )$ ,
v x # ($ / k x )
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
1=
!
! con:
La rdd si può approssimare
%'
" 4pe )
2
" = &" pe + i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
[
]
" 2pe
k x2
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
&
[
)
" 2pe +-# k x &2
1 = 2 ,% ( + i) *f 0 ( v x ) /*v x
k x -.$ " '
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
!
[
/0
v x =" / k x 1
%'
" 2pe )
" = " pe &1+ i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
[
Avendo fatto all’inizio l’ipotesi Im (ω) <<1, possiamo approssimare l’espressione:
!
]
espandendo in serie di Taylor e prendendo solo il primo termine attorno a: z 0 = 1
!
!
!
]
,
*
v x =" / k x *
.
]
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
" = " pe (1+ iy)
1/ 2
= f (z)
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) da considerare per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
" 2pe
k x2
1=
!
[
]
&
[
)
" 2pe +-# k x &2
1 = 2 ,% ( + i) *f 0 ( v x ) /*v x
k x -.$ " '
[
! con:
La rdd si può approssimare
%'
" 4pe )
2
" = &" pe + i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
( +% )
)
*
#f 0 ( v x ) /#v x
dv x + 'i #f 0 ( v x ) /#v x
)P
v
$
"
/
k
(
)
*
x
x
+ $%
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
!
/0
v x =" / k x 1
%'
" 2pe )
" = " pe &1+ i# 2 $f 0 ( v x ) /$v x
'(
kx
[
Avendo fatto all’inizio l’ipotesi Im (ω) <<1, possiamo approssimare l’espressione:
]
)'1/ 2
*
v x =" / k x '
+
" = " pe (1+ iy)
1/ 2
= f (z)
espandendo in serie di Taylor e prendendo solo il primo termine attorno a: z 0 = 1
!
y="
# 2pe
k x2
)
$f 0 ( v x ) /$v x
[
!
]v
x =# / k x
<< 1
"d2 f %
" df %
1
1
2
'
f (z) = f (z 0 ) + $ '
z ( z!
z ( z 0 ) + ...
(
(
0) + $
2
# dz &z=z 1!
2!
$# dz '&
0
z=z
!
!
" df %
1
=
$# dz '&
2
z=z 0
z " z0 = #
$ 2pe
)
%f 0 ( v x ) /%v x
[
k x2 !
]v
x =$ / k x
da cui si ottiene il risultato finale:
!
]
]
,
*
v x =" / k x *
.
!
0
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
!
)
Data la fdd maxwelliana: f (v ) =
0 x
!
m
2"kT
1 mv x 2
#
e 2! kT
=
1 1
" v th
vx 2
#
2
e v th
v th =
!
2kT
m
)
+
v x =" / k x +*
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
!
)
Data la fdd maxwelliana: f (v ) =
0 x
m
2"kT
1 mv x 2
#
e 2! kT
1 1
" v th
=
2
vx 2
#
2
e v th
2
v
v
)
$ x
$ x
%
(
"f 0 (v x )
1 1
vx
2v x
v th 2
v th 2
'
*
=
$2
e
=
$
e
!
"v x
# v th '& v th 2 *)
# v th 3
!
)
# "f (v ) &
% 0 x (
$ "v x '
#
vx 2 &
*
%
2(
2v x
v
th
(
= %*
e
3
% + v th
(
v x =) / k x
%$
('
v th =
!
(
2
,*
)2
) pe / k x * 2 2
kx v th
e
+ v th 3
)
v x =) / k x
avendo posto nel coefficiente, ma non nell’esponente: " # " pe
!
!
2kT
m
)
+
v x =" / k x +*
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
Data la fdd maxwelliana: f (v ) =
0 x
m
2"KT
2
1 mv x 2
#
2 KT
e !
1 1
" v th
=
vx 2
#
2
e v th
si ottiene:
Im(" ) # $
!
!
#
)2
vx 2 &
*
%
2 ) pe / k x * 2 2
2(
2v x
v
kx v th Utilizzando l’espressione
th (
= %*
e
,
*
e
trovata per la parte reale di ω:
+ v th 3
% + v th 3
(
v x =) / k x
%$
('
v x =) / k x
"2
"2
" 2pe 3KT e 2
$
$
3 2 " /k
3
2
2
pe x
" pe
% " pe
" = " pe + 2
kx
kx2 v th 2
kx2 v th 2
Im(" ) # $
e
=
$
%
"
e
m
pe 3
"
2 k x2
% v th 3
k x v th 3
)
# "f (v ) &
% 0 x (
$ "v x '
(
(
!
2KT
m
2
v
v
)
$ x
$ x
%
(
"f 0 (v x )
1 1
vx
2v x
v th 2
v th 2
'
*
=
$2
e
=
$
e
!
"v x
# v th '& v th 2 *)
# v th 3
!
v th =
)
)
"2
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
=$
" 2pe
3
$
$
2
" 3pe
2
% " pe 3 3 e kx v th e 2
!
k x v th
= $0.22
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
Data la fdd maxwelliana: f (v ) =
0 x
m
2"KT
1 mv x 2
#
2 KT
e !
=
1 1
" v th
vx 2
#
2
e v th
v th =
2KT
m
!
!
Si è ottenuto dunque per la parte immaginaria della frequenza una quantità
negativa che corrisponde ad uno smorzamento dell’onda:
Im(" ) # $0.22
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
]
)
+
v x =" / k x +*
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
!
Questo effetto di assorbimento dell’onda sugli
elettroni, noto come Landau damping, è stato
ottenuto trascurando le collisioni, cioè è
adiabatico e reversibile.
La caratteristica nuova ed inaspettata consiste
appunto nella non necessità delle collisioni tra le
particelle per determinare l’assorbimento
dell’onda
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
Accelerazione della particella
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
!
Questo effetto di assorbimento dell’onda sugli
elettroni, noto come Landau damping, è stato
ottenuto trascurando le collisioni, cioè è
adiabatico e reversibile.
v"
Propagazione dell’onda
!
La caratteristica nuova ed inaspettata consiste
appunto nella non necessità delle collisioni tra le
particelle per determinare l’assorbimento
dell’onda
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
1=
" 2pe
k2
%
&
)
#f 0 ( v x ) /#v x
v x $ (" / k )
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
!
dv x
$%
!
Il Landau dampingi è associato alla distorsione della funzione di
distribuzione causato dall’onda, ed è dovuto al polo
dell’integrando della forma di partenza della fdd
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
!
Equazione di Vlasov
"
"
e
"
f1( x,v x ,t ) + v x
f1 ( x,v x ,t ) # E1x $
f 0 (v) = 0
"t
"x
m
"v x
f (x,v,t) " f 0 (v) + f1( x,v x ,t ) + ...
+ Equazione di Gauss avevano dato:
#f 0 (v)
ieE1x ( x,t ) #v x
f1 (x,v,t) "
m
$ % kv x
!
!
!
Il Landau damping è associato alla distorsione della funzione di
distribuzione causato dall’onda
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
f 0 (v x )
!
!
f (x,v,t) " f 0 (v) + f1( x,v x ,t )
0
!
!
Il Landau damping è associato alla distorsione della funzione di
distribuzione causato dall’onda
v x =" / k x
vx
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
)
f 0 ( v x ) + f1( v x )
!
!
f (x,v,t) " f 0 (v) + f1( x,v x ,t )
0
!
!
Il Landau damping è associato alla distorsione della funzione di
distribuzione causato dall’onda
v x =" / k x
vx
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
]
)
+
v x =" / k x +*
!
)
)
f 0 ( v x ) + f1( v x )
!
!
0
v x =" / k x
vx
L’assorbimento dell’onda sugli elettroni consiste nel trasferimento di energia tra onda ed elettroni con velocità
di scorrimento risonanti, cioè prossime alla velocità di fase. In tale modo elettroni più lenti assorbono energia
!
dall’onda tendendo a smorzarla, quelli più veloci cedono energia e tendono ad amplificarla.
Considerando il caso di equilibrio termico, poiché nella coda della fdd maxwelliana vi sono elettroni lenti più
che veloci,il processo di scambio energetico si traduce nell’assorbimento netto dell’onda.
Questo è un esempio notevole di comportamento collettivo del plasma
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
Landau predisse che trascurando la presenza del polo nel
piano complesso nel calcolare l’integrale della relazione di
!
dispersione del modo elettronico (come solitamente
veniva
fatto), si veniva ad omettere un importante effetto di
% )
2
interazione tra l’onda e le particelle.
" pe! #f 0 ( v x ) /#v x
1=
k2
&
v x $ (" / k )
[
]
)
+
v x =" / k x +*
)
)
f 0 ( v x ) + f1( v x )
dv x
$%
!
!
0
!
v x =" / k x
vx
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
Landau predisse che trascurando la presenza del polo nel
piano complesso nel calcolare l’integrale della relazione di
!
dispersione del modo elettronico (come solitamente
veniva
fatto), si veniva ad omettere un importante effetto di
% )
2
interazione tra l’onda e le particelle.
" pe
#f 0 ( v x ) /#v x
!
1=
k2
&
v x $ (" / k )
[
]
)
+
v x =" / k x +*
)
)
f 0 ( v x ) + f1( v x )
dv x
$%
!
Gli effetti di assorbimento
e di
!
generazione di corrente nel plasma
previsti da Landau furono confermati
anni dopo dagli esperimenti
0
v x =" / k x
vx
!
Il Landau damping è il più importante risultato di previsione matematica applicata alla fisica del plasma
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
A questo punto abbiamo un’informazione
fondamentale
per rispondere alla motivazione
!
principale del corso: giungere a progetto di
un’antenna ed un sistema rf in grado di generare
corrente in un plasma. Sappiamo ora che il modo
elettronico può essere assorbito dagli elettroni: la
parte immaginaria della frequenza del modo è
negativa per un plasma all’equilibrio termico.
Cosa possiamo dire sulla parte reale della frequenza?
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
!
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
A questo punto abbiamo un’informazione
fondamentale
per rispondere alla motivazione
!
principale del corso: giungere a progetto di
un’antenna ed un sistema rf in grado di generare
corrente in un plasma. Sappiamo ora che il modo
elettronico può essere assorbito dagli elettroni: la
parte immaginaria della frequenza del modo è
negativa per un plasma all’equilibrio termico.
Cosa possiamo dire sulla parte reale della frequenza?
Dunque, la relazione di dispersione (rdd) cercata per i modi elettronici longitudinali di plasma che si
i(k x#$t) è:
manifestino come onde piane nella direzione x del tipo: f1 " e x
&
" 2pe )
$
" # " pe (1+ i
%f 0 ( v x ) /%v x
2
(
2
kx
'
[
Da cui si ricava:
frequenza:
"
2
= " 2pe
" 2pe !
3KT e 2
+ 2
kx
m
"
…e smorzamento del modo elettronico:
!
Im(" ) # $0,22
" 0 > " pe
!
f 0 > 10GHz
]
)
+
v x =" / k x +*
" 2pe
$
2 2
" 3pe
% " pe 3 3 e kx v th
k x v th
A questo punto abbiamo un’informazione
fondamentale
per rispondere alla motivazione
!
!
Per una macchina con densità di
!
plasma di bordo:
principale del corso: giungere a progetto di
n e = 1012 cm"3
un’antenna ed un sistema rf in grado di generare
corrente in un plasma. Sappiamo ora che il modo
elettronico può essere assorbito dagli elettroni: la
4 #n 0e 2
" pe =
m
Frequenza di plasma
!
!
!
f pe " 9000 # n e [cm-3 ]
Espressione pratica
parte immaginaria della frequenza del modo è
negativa per un plasma all’equilibrio termico.
Cosa possiamo dire sulla parte reale della frequenza?
Non abbiamo ancora considerato un altro aspetto del nostro problema: il plasma deve essere intrappolato
nel vuoto mediante un campo magnetico statico. Si deve pertanto vedere se e come quest’ultimo modifica
la rdd delle onde elettroniche di plasma. In particolare bisogna considerare il fatto che in presenza del
campo magnetico di confinamento del plasma gli ioni non possono più essere considerati immobili essendo
animati dal moto di girazione alla frequenza ionica di ciclotrone
Questa condizione per il modo elettronico è stata ricavata
per il caso di un plasma non magnetizzato in cui gli ioni
sono immobili
" 0 > " pe
f 0 > 10GHz
A questo punto abbiamo un’informazione
fondamentale per rispondere alla motivazione
!
Per una macchina con densità di
!
plasma di bordo:
principale del corso: giungere a progetto di
n e = 1012 cm"3
un’antenna ed un sistema rf in grado di generare
corrente in un plasma. Sappiamo ora che il modo
elettronico può essere assorbito dagli elettroni: la
4 #n 0e 2
" pe =
m
Frequenza di plasma
!
!
!
f pe " 9000 # n e [cm-3 ]
Espressione pratica
parte immaginaria della frequenza del modo è
negativa per un plasma all’equilibrio termico.
Cosa possiamo dire sulla parte reale della frequenza?
Non abbiamo ancora considerato un altro aspetto del nostro problema: il plasma deve essere intrappolato
nel vuoto mediante un campo magnetico statico. Si deve pertanto vedere se e come quest’ultimo modifica
la rdd delle onde elettroniche di plasma. In particolare bisogna consderare il fatto che in presenza del
campo magnetico di confinamento del plasma gli ioni non possono più essere considerati immobili essendo
animati dal moto di girazione alla frequenza ionica di ciclotrone
Quale condizione vale per la frequenza del modo
elettronico considerando un plasma magnetizzato ?
!
!
qB
!c =
m
rL =
f ce " 2.8
GHz
kGauss
f ci " 760
kHz
(deuterio)
kGauss
v" mv"
=
!c
qB
La rdd del modo elettronico un plasma freddo, illimitato e non
magnetizzato che trovammo col modello fluido, è:
La rdd non dipende da k, il che implica:
- +
ug "
#$
=0
#k
+ - - +
+ !
!
E
4 #n 0e 2
" =
m
2
pe
Come vedremo, gli esperimenti di ricerca sull’energia da fusione
sono effettuati con plasmi intrappolati in un campo magnetico
statico, per cui è necessario ricavare la rdd del modo elettronico per
il caso di un plasma magnetizzato
Interesserà innanzitutto ricavare la struttura del campo nella regione
periferica e fredda del plasma che è utile per il progetto di
un’antenna che lanci dall’esterno della macchina contenete il
plasma potenza rf utile per riscaldare e generare corrente nel
plasma
Sarà allora sufficiente utilizzare il semplice modello fluido valido per
un plasma freddo per determinare la rdd del modo elettronico per
plasmi in presenza di campo magnetico statico
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
Equazioni di Maxwell
(per il vuoto):
in unità cgs elettrostatiche
nel sistema mks razionalizzato
" • E = 4 #$
"# E = $
%B
%t
!
"• B = 0
!
c 2 " # B = 4 $j +
!
!
!
"• D = 4 #$
%B
"# E = $
%t
" = µ =1
%E
%t
!
"• B = 0
!
"# H = j+
!
!
!
D = "0E
B = µ 0H
$D
$t
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
#i $ %r#&t)
Risolviamo l’equazione d’onda per campi rf del tipo: E " e (
" # " # E = $" #
in unità cgs elettrostatiche
%B
%t
!
%B
"# E = $
%t
!
!
"• B = 0
!
!
%E
c " # B = 4 $j +
%t
!
2
Ponendo:
!
" = µ =1
4 $ % & %E )
" # " # E+ 2 (j+ + = 0
c %t ' %t *
j=" •E
Si giunge all’equazione d’onda:
!
!
"# "# E$
!
!
%
c
& 'E= 0
( 4 %& +
" # *I $
' ,
)
tensore dielettrico
!
2
2
%
"# B
%t
4 % & ' &E *
" # " # E = $ 2 )j+ ,
c &t ( &t +
!
" • E = 4 #$
"# "# E = $
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
P = 1#
& S $iD 0 )
2
% (
+
" # " # E $ 2 (iD S
0+ • E = 0
c
(' 0
0 P+*
D=
" 2pe
2
" ce
" 02
" 2pe
" 0" ce
"
tensore dielettrico
2
n( n• E) " n E!+ # • E = 0
n"
!
ck
#
!
n = n "2 + n //2
indice di rifrazione
(o vettore numero d’onda)
!
!
!
" 02
" 2pe
!
!
#
" 2pi
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
Consideriamo la proiezione nel piano (x,y) perpendicolare alla
direzione (z) del campo magnetico. Lungo quest’ultima direzione
tutti I parametri di plasma possono considerarsi
! costanti.
!
L’equazione rilevante diviene:
An"4 + Bn"2 + C = 0
dove: n"2 = n x2 + n y2
P = 1#
D=
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
!
A=S
!
(
)
B = n //2 " S ( S + P) + D 2
!
#
C = P% n //2 " S
$
(
!
!
)
2
&
" D2(
'
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
Consideriamo la proiezione nel piano (x,y) perpendicolare alla
direzione (z) del campo magnetico. Lungo quest’ultima direzione
tutti I parametri di plasma possono considerarsi
! costanti.
!
L’equazione rilevante diviene:
An"4 + Bn"2 + C = 0
dove: n"2 = n x2 + n y2
!
L’equazione ha due soluzioni: n 2
"
!
!
#B ±
=
(B
!
!
rdd dell’onda veloce
(è sempre elettromagnetica)
2
n"f
2
rdd dell’onda lenta: n"s
(è elettrostatica
!
per
)
!
D $
#
(
# 4 AC
(
n //2
$S
)
)
P 2
D2
# $ n // $ S $
S
S
)
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
!
A=S
!
)
(
)
B = n //2 " S ( S + P) + D 2
!
#
C = P% n //2 " S
$
(
2
n //2 $ S + D 2 / P
(
D=
2A
Per B 2 >> 4 AC si ottiene:
2
2
P = 1#
" 2pe
!
)
2
&
" D2(
'
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
P = 1#
D=
!
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
!
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Se il nostro scopo finale è accelerare gli elettroni del plasma dobbiamo interessarci solo all’onda lenta:
Per tale scopo deve valere infatti:
!
2
rdd dell’onda lenta: n"s
(è elettrostatica
per
)
!
$
v " # << c
k
k >> 1
!
P 2
D2
# $ n // $ S $
S
S
(
)
!
!
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
D=
!
!
P = 1#
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
!
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Se il nostro scopo finale è accelerare gli elettroni del plasma dobbiamo interessarci solo all’onda lenta:
!
$
v " # << c
k >> 1
k
L’onda lenta può propagare solo se
n"2 > 0 , che implica: P < 0
Per tale scopo deve valere infatti:
cioè la densità di plasma deve essere superiore ad un
!
!
2
rdd dell’onda lenta: n"s
!
" pe > " 0
! certo valore critico dipendente dalla frequenza d’operazione
!
(è elettrostatica
per
)
!
P 2
D2
# $ n // $ S $
S
S
(
)
!
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
P = 1#
D=
!
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
!
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Se il nostro scopo finale è accelerare gli elettroni del plasma dobbiamo interessarci solo all’onda lenta:
Per tale scopo deve valere infatti:
L’onda lenta può propagare solo se
!
$
v " # << c
k
k >> 1
!
n"2 > 0 , che implica: P < 0
" pe > " 0
cioè la densità di plasma deve essere superiore ad un
! certo valore critico dipendente dalla frequenza d’operazione
L’onda è elettrostatica perché la stessa
forma della rdd si ricava con l’ipotesi:
!
"# E =
nell’eq. d’onda
!
0
2
P
D
2
2
rdd dell’onda lenta: n"s # $
n // $ S $
S
S
(è elettrostatica!
per
n //2 > 1 )
(
!
!
)
!
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
L’equazione d’onda è:
S = 1+
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
!
n"
ck
#
n = n "2 + n //2
D=
!
!
P = 1#
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
Frequenza di
operazione
" 2pe
" 02
" 2pe
" 0" ce
!
" pe,i =
4 #n ee 2
me,i
" ce,i =
eB0
me,i
Se il nostro scopo finale è accelerare gli elettroni del plasma dobbiamo interessarci solo all’onda lenta:
Per tale scopo deve valere infatti:
$
v " # << c
k
L’onda lenta può propagare solo se
Il numero d’onda è elevato, !
cioè l’onda
diviene sempre più lenta, quando: S " 0
k >> 1
cioè la densità di plasma deve essere superiore ad un
!
P 2
D2
2
rdd dell’onda lenta: n"s # $
n // $ S $
S
S
!
(è elettrostatica
per
n //2 > 1 )
!
" pe > " 0
! certo valore critico dipendente dalla frequenza d’operazione
n" # $ cioè l’onda ha una risonanza per S = 0
!
!
n"2 > 0 , che implica: P < 0
!
!
!
(
)
!
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
La rdd dell’onda cercata, detta
onda di lower hybrid (LH) è:
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
dove:
2
" LH
$
# " 2pi &1+
&
%
" 2pe '
)
2 )
" ce (
2
valida per: n // > 1
" pe =
L’onda propaga solo se: " pe > " 0
!
!
!
Frequenza di
operazione
!
!
4 #n ee 2
me
Il modo elettronico in un plasma freddo, illimitato e
magnetizzato con un campo statico e uniforme (B0 ≠0)
La rdd dell’onda cercata, detta
onda di lower hybrid (LH) è:
2
mi $ LH
n #n
2
me $ 02 % $ LH
2
"
2
//
S = 1+
dove:
2
" LH
$
# " 2pi &1+
&
%
" 2pe '
)
2 )
" ce (
L’onda propaga solo se: " pe > " 0
La condizione di risonanza
!
" 2pe
" 2pi
# 2
2
" ce
"0
" pe =
!
che si ha per: " LH = " 0
! n" # $
!
Ha cosa corrisponde la risonanza di lower hybrid (LH)
!
e come possiamo
figurarci l’onda LH?
!
La condizione n" # $ corrisponde ad un’oscillazione longitudinale
perpendicolare al campo magnetico statico di equilibrio.
•In questa condizione il moto sia degli ioni che degli elettroni è vincolato
ad avere orbite e frequenze imposte dalle rispettive frequenze ed orbite
di ciclotrone.
Essendo presente sia la forza di richiamo del campo
!
elettrico che la forza di Lorentz le orbite degenerano ad ellissi.
•Nella direzione perpendicolare a B0 il plasma si comporta similmente ad
un gas di dielettrico. Questo può essere sede di onde simili alle onde
sonore che, per un plasma, si verificano anche nell’ipotesi assunta di
plasma freddo: KT=0
Frequenza di
operazione
4 #n ee 2
me
coincide con la condizione S = 0
!
B0 !
!
n"
ck
#
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
e numero d’onda parallelo
!
!
!
n //2 > 1
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
" pe =
!
!
f 0 < 9GHz
4 #n ee 2
me
f pe " 9000 # n e [cm-3 ]
!
densità del plasma di bordo delle macchine sperimentali:
!
!
n e " 1012 cm#3
f pe " 9GHz
Frequenza di cut-off:
!
per eccitare il modo con potenza rf lanciata
dall’esterno per valori di densità del plasma di bordo
delle macchine sperimentali bisogna che il generatore
abbia frequenza ≤ 9 GHz
!
L’esperimento con onde LH sulla macchina FTU di Frascati opera a 8 GHz: la più alta al mondo
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
e numero d’onda parallelo
n //2 > 1
!
!
Plasma con alta densità
!
Interfaccia
plasma-vuoto
y
E
z, B0
!
!
x,"n
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
e numero d’onda parallelo
n //2 > 1
!
!
!
Interfaccia
plasma-vuoto
y
E
z, B0
!
!
x,"n
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda:
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
e numero d’onda parallelo
!
!
Dall’equazione d’onda si ricava
anche che per densità di plasma di
bordo tali che: " pe > " 0 vale: E≈ zEz
!
Interfaccia
plasma-vuoto
˜
ed anche:
Ey/Ez≈ 0, "x
y
!
!
E
x,"n
!
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
Dall’equazione d’onda:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
e numero d’onda parallelo
!
!
La condizione di polarizzazione
del campo elettrico al bordo
plasma:
E≈ zE
!
z
Può essere realizzata dal modo
fondamentale di una guida
d’onda rettangolare
opportunamente posizionata
y
E
x,"n
n// "
ck
>1
#
!
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
Dall’equazione d’onda:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
e numero d’onda parallelo
!
!
La condizione di polarizzazione
del campo elettrico al bordo
plasma:
E≈ zE
!
z
può essere realizzata dal modo
fondamentale di una guida
d’onda rettangolare
opportunamente posizionata
y
a
E
La condizione sul numero d’onda
c
ck
=
(condizione di onda lenta): n// !
v"
#
x,"n
!
c #$
" #z!
z, B0
!
può essere realizzata con una griglia di guide d’onda sfasate
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Abbiamo ricavato che l’onda LH propaga per elevate
densità di plasma:
Dall’equazione d’onda:
" pe > " 0
2
n( n• E) " n E + # • E = 0
n //2 > 1
!
!
La condizione di polarizzazione
del campo elettrico al bordo
plasma:
E≈ zE
!
"z
z
può essere realizzata dal modo
fondamentale di una guida
d’onda rettangolare
opportunamente posizionata
La condizione sul numero d’onda
c
ck
=
(condizione di onda lenta): n// !
v"
#
!
y
x,"n
!
c #$
" #z
!" # $
z, B0
!
può essere realizzata con una griglia di guide d’onda sfasate
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Analisi per valutare il coefficiente di riflessione del lanciatore
L’equazione d’onda deve essere risolta per Ez, By all’interfaccia antenna-plasma:
Condizioni al
contorno (x=0)
Ez = Ezi(0)+ Ezr(0)
By = Byi(0)+ Byr(0)
y
x,"n
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Analisi per valutare il coefficiente di riflessione del lanciatore
L’equazione d’onda deve essere risolta per Ez, By all’interfaccia antenna-plasma:
Condizioni al
contorno (x=0)
Ez = Ezi(0)+ Ezr(0)
By = Byi(0)+ Byr(0)
Il coefficiente di riflessione del
campo elettrico: Γ=Ezr(0) /Ezi(0) è:
dove:
Z
(
"=
(Z
p
/Z 0 ) #1
p
/Z 0 ) + 1
y
E zi (x = 0)
Impedenza di antenna Z 0 =
Byi (x = 0)
!
Impedenza del plasma Z p =
Ez
By
x,"n
!
L’analisi dei campi in guida nel lato vuoto, e la
soluzione dell’equazione d’onda nel lato plasma
consentono di ricavare
i valori di impedenza
!
z, B0
!
Nozioni per il progetto di un’antenna che lanci onde LH per generare
corrente in un plasma intrappolato con un campo magnetico statico
Dall’equazione d’onda si ha:
Impedenza di plasma:
Ez
n //2 #1
Zp =
"#
n e Antenna
By
#1
ne $ = $
pe
Coefficiente di riflessione del campo elettrico:
Z
(
"=
(Z
p
/Z 0 ) #1
p
/Z 0 ) + 1
!
Il plasma realizza un carico adattato:
" #0
Z p /Z 0 " 1
per un valore ottimale della densità di !
plasma sul lanciatore:
n e Antenna = n e opt > n e " = "
!
!
Per valori bassi di densità di plasma: n e Antenna << n e " = "
le onde non propagano
2
//
Z p e’ puramente reattiva
Z p " #i n #1
!
!
pe
" #1
La densità di plasma è pertanto il parametro fondamentale che determina l’accoppiamento delle onde LH
!
!
pe
Spettri in n// di potenza RF con il lanciatore LH di FTU
Lanciatore a griglia di guide d’onda del
tokamak FTU (8 GHz, 2 MW)
Sistema di potenza RF in una macchina per la ricerca sulla fusione nucleare
(dettaglio)
Lanciatore a griglia di guide d’onda del
tokamak FTU (8 GHz, 2 MW)
Sistema di potenza RF in una macchina per la ricerca sulla fusione nucleare
(dettaglio)
Schema completo di un tipico sistema di potenza RF
in una macchina per la ricerca sulla fusione nucleare (tokamak)
Agli altri
klystrons
Diodo switch
Sorg.
RF
TWT
attenuatore
ΔΦ
Settore di
antenna a
griglia di
guide d’onda
circolatore
modulatore
Pot. riflessa
Arc
detector
Pot. diretta
Klystron
ΔΦ
Controllo
fault
Segnale di
consenso
Alimentatore
ad alta
tensione
plasma
Misure RF